高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题

高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题 高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。

1.极化恒等式

极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4a b a b a b 2???=+--?? ，有时也可将其写成。

224()(a b a b a b ?=+-- )注：21()()4

a b a b a b ??=+--? 2??表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4

a b a b a b ??=+--?2??也叫“广义平方差”公式； 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ???=-=-?

? （如图） 在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214

a b AM BM AM BC ?=-=-2 ，它揭示了三角形的中线与边长的关系。

此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。

2．极化恒等式的应用

自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。 例1在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则______AB AC ?=

（年浙江省数学高考理科试题第15题）

2012【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为21925162

AB AC AM BC ?=-=-=- 。 下面我们再来看年浙江省数学高考选择题第题:

20137例2设是边0,ABC P ?AB 上一定点，满足014

P B AB =，且对于边AB 上任一点，恒有P

00PB PC P B P C ?≥? .90A ABC ∠= ，则

.9B BAC ∠= 0.C AB AC = .D AC BC =

(年浙江省数学高考选择题第题)

20137【分析】考生普遍反映该题无从入手，笔者认为主要原因有2个:⑴该题呈现方式比较新颖;⑵学生解题工具使用不当，以致费时费力且不得要领。

【解析

1】如图，

取BC 的中点D ，连接，在内使用极化恒等式得0,PD P D PBC ?22PB PC PD BD ?=- ，在内使用极化恒等式得，由条件知恒有0P BC ?22BD - 00P C P D ?= 0P B 0P D ≥PD ，即，故0P D AB ⊥AC BC =，

故选D 。

【解析2】如图，

取线段BC 的中点M ，则22224()4()4PB PC PB PC PB PC PM BC ?=+--=- ，要使的

值最小，只需PB PC ? PM 取得最小值，所以只有当MP AB ⊥时，PM 取得最小值，且点与点必须重

合，P 0P M 是线段BC 的中点，只有时才能成立，故选AC BC =D 。

很多一线教师都认为这个题目在10个选择题中是最难的，应该放在压轴的位置，笔者却不这样认为，其实这个题目只是在例1的基础上对极化恒等式的应用灵活化，步子迈得更大一些而己，这个题目的姊妹题也出现在年浙江省高中数学联赛中：

2013例3如图，已知直线与抛物线交于点为的中点，C 为抛物线上一个动点，若满足AB 24y =x ,,A B M AB 0C {}

00A C B CA CB ?=? min C

，则下列一定成立的是（ ）

0.A C M AB ⊥ 0.B C M l ⊥，其中l 为抛物线过点的切线

0C 00.C C A C B ⊥ 01.2

D C M AB = （20年浙江省高中数学联赛试题）

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