大学物理第一章答案

1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ= 2 + 4t3．求：

（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；

（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？

（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？

[解答]（1）角速度为

ω= dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)，

法向加速度为

an = rω2 = 230.4(m·s-2)；

角加速度为

β= dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)，

切向加速度为

at = rβ= 4.8(m·s-2)．

（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，

当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即

．

由此得，

即，

解得．

所以

=3.154(rad)．

（3）当at = an时，可得rβ= rω2，

即24t = (12t2)2，

解得t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．

1.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt =

2.0s内下降的距离h = 0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．

[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．

由于，所以

at = 2h/Δt2 = 0.2(m·s-2)．

物体下降3s末的速度为

v = att = 0.6(m·s-1)，

这也是边缘的线速度，因此法向加速度为

= 0.36(m·s-2)．

1.8 一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为

2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：

（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；

（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．

[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为

；

螺帽做竖直上抛运动，位移为

．

由题意得h = h1 - h2，所以

，

解得时间为

= 0.705(s)．

算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程

h = (a + g)t2/2，

由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．

第一章质点运动学

1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求：

（1）第2s内的位移和平均速度；

（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；

（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．

[解答]（1）质点在第1s末的位移大小为

x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．

在第2s末的位移大小为

x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)．

在第2s内的位移大小为

Δx = x(2) –x(1) = 4(m)，

经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为

=Δx/Δt = 4(m·s-1)．

（2）质点的瞬时速度大小为

v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，

因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，

v(2) = 12×2 - 6×22 = 0，

质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．

（3）质点的瞬时加速度大小为

a(t) = dv/dt = 12 - 12t，

因此1s末的瞬时加速度为

a(1) = 12 - 12×1 = 0，

第2s内的平均加速度为

= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 –6]/1 = -6(m·s-2)．

[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．

1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为．

并由上述数据求出量值．

[证明]依题意得vt = nvo，

根据速度公式vt = vo + at，得

a = (n –1)vo/t，(1)

根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得

a = (n2 –1)vo2/2s，(2)

（1）平方之后除以（2）式证得

．

计算得加速度为

= 0.4(m·s-2)．

1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成2

2.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s-2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？

（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？

[解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为

vy0 = v0sinθ= 24.87(m·s-1)．

取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式

vt - v0 = at，

这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为t1 = vy0/g = 2.49(s)．

再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式

vt2 - v02 = 2as，

可得上升的最大高度为

h1 = vy02/2g = 30.94(m)．

他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为

h2 = h1 + h = 100.94(m)．

根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为

= 4.49(s)．

因此他飞越的时间为

t = t1 + t2 = 6.98(s)．

他飞越的水平速度为

vx0 = v0cosθ= 60.05(m·s-1)，

所以矿坑的宽度为

x = vx0t = 419.19(m)．

（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为

vy = gt = 69.8(m·s-1)，

落地速度为

v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(m·s-1)，

与水平方向的夹角为

φ= arctan(vy/vx) = 49.30?，

方向斜向下．

方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程

，

解得

．

这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为

t = 6.98(s)．

由此可以求解其他问题．

1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数．

（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；