利用网格线-巧求锐角三角函数(初中)
【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)
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第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
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1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡
2024九年级数学下册第28章锐角三角函数28.1锐角三角函数(正弦函数)说课稿(新版)新人教版
布置课后作业：让学生撰写一篇关于正弦函数应用的短文或报告，巩固学习效果。
拓展与延伸
1.拓展阅读材料：
-《数学史上的伟大发现：锐角三角函数的起源与发展》
-《锐角三角函数在实际工程中的应用案例分析》
-《从生活中发现数学：锐角三角函数在日常生活中的应用》
-指导学生如何通过图像进一步探究正弦函数的性质，如周期性、对称性等。
-对于制作过程中的技术问题，提供相应的解决方法和技巧。
教学反思与改进
在上完这节关于锐角三角函数的课程后，我意识到有几个地方值得我反思和改进。首先，我发现学生在理解正弦函数的定义和应用时存在一些困难。在未来的教学中，我计划在设计课堂活动时，更加注重引导学生通过实际操作和具体案例来加深对正弦函数概念的理解。
作业布置与反馈
作业布置：
1.请学生完成教材第28章第28.1节后的练习题1、2、3。
-练习题1：计算给定直角三角形中各角的正弦值。
-练习题2：运用正弦函数解决实际问题，如测量建筑物的高度。
-练习题3：绘制正弦函数的图像，并分析其特点。
2.结合课堂讨论，选择一个生活中的直角三角形问题，运用正弦函数撰写一篇小报告，描述问题的解决过程和结果。
教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了直角三角形的性质和勾股定理，能够计算出直角三角形的边长。在此基础上，本节课将引导学生将这些知识拓展到锐角三角函数的学习中，通过对正弦函数的学习，进一步深化对直角三角形各元素关系的理解，并为后续学习其他三角函数打下基础。
核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：首先，通过探索正弦函数的定义及其在直角三角形中的应用，提升学生的几何直观与空间想象能力；其次，通过分析正弦函数的性质和图像，提高学生的数据分析与抽象思维能力；再次，通过解决实际问题，强化学生的数学建模与问题解决能力；最后，结合小组讨论与展示，培养学生的合作交流与表达分享能力。这些核心素养目标的达成，将有助于学生形成严谨的科学态度，增强数学应用意识，为未来继续学习数学及各学科打下坚实基础，符合新教材对学生全面发展的要求。
初中数学复习：锐角三角函数值的求解策略
锐角三角函数值的求解策略知识解读：求锐角三角函数值的方法较多，常用的方法有：定义法、参数法、等角代换法、等比代换法、构造法。
培优学案典例示范：1.定义法：当已知直角三角形的两边时，可以直接应用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值。
例1 如图，在中，,AB=13,BC=5,则sinA的值为。
【跟踪训练1】在中，,BC=3,AC=4,则cosA的值为。
二、参数法锐角三角函数值实质上是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需要将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题。
例2 在Rt△ABC中,∠C=90,tanA=，则sinB的值为___.【跟踪训练2】1.已知在Rt△ABC中,∠C=90,，则tanB的值为( )2. 在Rt△ABC中，已知∠A为锐角，tanA=2，求的值3.求tan15的值三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或者锐角不在直角三角形中时，可将该角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“若两锐角相等，则此两角的三角函数值也相等”来求解。
例3如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH，则sinB的值为。
【跟踪训练3】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC=四、等比代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或者锐角不在直角三角形中，可以通过相似三角形的对应边成比例，将直角三角形中的两边的比转换到两条已知线段的比来求解。
例4 如图，AB的直径，延长AB至P，使BP=OB,BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上，设【跟踪训练4】如图，AB的直径，弦AC,BD外一点P，若AB=2CD，求的度数。
五、构造法直角三角形是求解或应用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解。
中考数学锐角三角函数(共56张PPT)
二、填空题
(1)求旋转木马E处到出口B处的距离； (2)求海洋球D处到出口B处的距离.(结果保留整数)
解：(1) ∵AE=80，∠BAE=30°，∠ABE =90°, ∴BE=AEsin30°=80× =40(m). 答：旋转木马E处到出口B处的距离为40 m.
(2) ∵∠CED=∠AEB，∠DCE=∠ABE =90°,
∴∠D=∠BAE=30°.
∵CD=34 m,
∴DE=
=
=
(m).
∴DB=BE+DE=
≈40+
≈79(m).
答：海洋球D处到出口B处的距离为79 m.
二、填空题
11. 小明在某次作业中得到如下结果： sin27°+ sin283°≈0．122+0．992=0．9945; sin222°+ sin268°≈0．372+0932=1．0018; sin229°+ sin261°≈0．482+0．872=0．9873; sin237°+ sin253°≈0．602+0．802=1．0000;
二、填空题
9. (2017北京)计算：4cos30°+
原式=4× +1-
+2
=
+1- +2=3.
-
+
.
10.(2017湘潭)某游乐场部分平面图如图Z2816所示，点C,E,A在同一直线上，点D,E,B在 同一直线上，测得A处与E处的距离为80 m， C处与D处的距离为34 m，∠C=90°，∠ABE =90°，∠BAE=30°. (2≈1．4，3≈1．7)
图Z28-7
A.
m
B.
m
2024九年级数学下册第28章锐角三角函数28.1锐角三角函数(正弦函数)说课稿(新版)新人教版
- 监控预习进度：通过平台数据跟踪学生的预习情况，及时给予反馈。
学生活动：
- 自主阅读预习资料：学生按照要求阅读预习资料，对正弦函数形成初步认识。
- 思考预习问题：学生对预习问题进行思考，记录下自己的理解和解题思路。
3. 实验法：结合动态演示和实际测量，让学生通过动手操作，直观感受正弦函数的图像和性质，提高学生的实践能力。
教学手段：
1. 多媒体设备：利用多媒体课件展示正弦函数的图像、性质以及在实际问题中的应用，增强学生对知识的理解和记忆。
2. 教学软件：运用几何画板等教学软件，动态演示正弦函数的变化过程，帮助学生更好地理解正弦函数的性质。
3. 探究题：观察正弦函数图像，描述正弦函数在0°到90°范围内的变化趋势。
4. 综合题：已知直角三角形的斜边长为10，一锐角α的正弦值为3/5，求该三角形的另一锐角β的正弦值。
5. 创新题：设计一个利用正弦函数解决实际问题的方案，并说明其原理。
答案：
1. 正弦值sinα = 3/5。
2. 水平距离 = 100米 * tan30° = 100米 * 1/√3 ≈ 57.7米。
③ 使用图形和符号来表示正弦函数的计算方法，如用直角三角形的图形表示正弦函数的定义，用箭头表示正弦函数的变化趋势。
3. 趣味性设计：
① 设计一些有趣的数学谜语或小故事，与正弦函数相关，以激发学生的兴趣。
② 在板书设计中加入一些互动元素，如让学生在黑板上绘制正弦函数的图像，或者让学生上台演示正弦函数的计算方法。
作用与目的：
- 巩固学生对正弦函数的理解和应用能力。
北师大版九年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)
北师大版九年级下册数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0． 要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°B C a b c45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c =，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==122-．(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+63；Ca bc(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====． 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD＝AB＝5a，由3sin5BCAAB==得BC＝3a，∴22(5)(3)4AC a a a=-=，∴CD＝5a-4a＝a，22(3)10BD a a a=+=，∴10 sadA5BDAD==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( )A．25°B．55°C．65°D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A．12B．34C3D．45第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )A．5714B．35C．217D．21146．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( ) A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为( )A．303cm B．203cm C．103cm D．53cm第7题第8题8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD 的值为( )A．53B．253C．52D．23二、填空题9．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2)tan18°________tan21°11．在△ABC中，若223sin cos022A B⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为.12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．第12题第15题14．如果方程2430x x-+=的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为112y x=-，则tanA的值是________．16.（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．三、解答题17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．18. 计算下列各式的值．(1) （2015•普陀区一模）；(2) （2015•常州模拟）sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3) （2015•奉贤区一模）﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：3sin60=°，3cos30=°，3tan30=°．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C.【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD ⊥BC ， ∴sinB=，sinB=sin ∠DAC=，综上，只有C 不正确 故选：C ． 2.【答案】D ；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=，∴△ABC 为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)， 即90°-α＝25°，∴ α＝65°．4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ 2210553OD =-=，∵ ∠OBC ＝∠ODC ， ∴ 533cos OB cos 102OD C ODC CD ∠=∠===．5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°， 又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD ＝3， ∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，222827BC BD CD =+==，∴ 321sin 1427CD B BC ===．6.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C ；【解析】由3tan 3BC BAC AC ∠==，∴ 333010333BC AC ==⨯=8. 【答案】A ； 【解析】 ∵ 223AB AC BC =+=，∴ 5sin sin 3AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题 9.【答案】．【解析】过点A 作AB ⊥x 轴于B ， ∵点A （3，t ）在第一象限， ∴AB=t ，OB=3， 又∵tanα===，∴t=． 故答案为：．10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．11．【答案】105°；【解析】∵ 223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 2sin 02A -=3cos 0B = 即2sin A =3cos B =．又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°． 12．5【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得224225AC +=，∴5sin 525CH A AC ===13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上，当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或24； 【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3为斜边时，另一直角边为223122-=，∴ 最小角A 的正切值为12tan 422A ==. 故应填13或24．15．【答案】13；【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°，易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+，联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴ 2262AB AD BD =+=，又OC ＝OB ＝2，∴ BC ＝22．在Rt △ABC 中，221tan 362BC A AB ===．16.【答案】 ； 【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.三、解答题17.【答案与解析】过D作DE∥AC，交BC于点E．∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE．又∵DC⊥AC，DE∥AC，∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°．又∵∠BCD＝30°，∴EC＝2DE，DC＝3DE．设DE＝k，则CD＝3k，AC＝2k．在Rt△ACD中，227AD AC CD k=+=．∴227sin77AC kCDAAD k∠===，321cos77CD kCDAAD k∠===．223tan33AC kCDACD k∠===．18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3．(2) 原式=×+1﹣2×=1+1﹣1=1．(3) 原式=﹣×=﹣231-19.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC∴∠DAF＝∠AEB又∵AE＝BC，∴AE＝AD又∵∠B=∠DFA＝90°，∴△EAB≌△ADF．∴AB＝DF．(2)解：在Rt△ABE中，22221068BE AE AB--=∵△EAB≌△ADF，∴DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，∴EF＝AE-AF＝10-8＝2．∴21 tan63EFEDFDF∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．∵BD是直径，∴BD＝4，∠DCB＝90°．在Rt△DBC中，233 sin42BCBDCBD∠===，∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°．(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC，则AB＝AC，∠BAE12=∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE3=BAE＝30°，∴33tan303BEAE===°，∴1233332ABCS=⨯=△答：△ABC面积的最大值是33北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•c osC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△A BC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•A D=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵CD＝10，∴AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝53 2，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴5553(31)222AB AE BE=+=+=+≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A=，则tan B＝( )．A．43B．34C．35D．452．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB 于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )． A ．53米 B ．10米 C ．15米 D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点， 则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12 B ．22C ．32D ．1第3题 第4题 第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h α 6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ， 若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是( )． A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距( )． A ．30海里 B ．40海里 C ．50海里 D ．60海里第6题 第7题 第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N 的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A ．2003mB ．20033m C ．1003m D ．100m 二、填空题9．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD 中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE 的值是 ．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为3即AB:BC＝3，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. （2016•包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．（2015•资阳）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】如图，sin A＝45BCAB=，设BC＝4x．则AB＝5x．根据勾股定理可得AC＝223AC AB BC x=-=，∴33 tan44AC xBBC x===．2.【答案】B．【解析】如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD===；3.【答案】A ；【解析】由tan BCi A BC===1:3知，353AC BC ==(米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==， 设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里． 8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，2003PM =． 二、填空题 9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3， ∴DE==4，∴tan∠DB E===2．故答案为：2．10．【答案】32； 【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ．∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，3sin 602AG AF ==°．11．【答案】40403+；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝2 402402⨯=．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt△CDE中，3tan tan603DE DECE xDCE===∠°．在Rt△ABC中，∵13ABBC=，AB＝2，∴23BC=．在Rt△AFD中，DF＝DE-EF＝x-2．∴23(2) tan tan30DF xAF xDAF-===-∠°∵AF＝BE＝BC+CE．∴33(2)233x x-=+，解得6x=．答：树DE的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A．2 B3C2D．12．如图所示，△ABC中，AC＝5，2cos B=，3sin5C=，则△ABC的面积是( )A．212B．12 C．14 D．213．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC B''，则tan B'的值为( )A．12B．13C．14D．24第2题图第3题图第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路l的距离为( )．A．25米B．253米C．10033米D．25253+米5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度13i=:，则坡角α为( )．A．15°B．20°C．30°D．45°第5题图第6题图第7题图7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A．4 m B．6 m C．42m D．(223)m+8．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，5 11CD AB =，则cos CEB∠= ；tan CEB∠= ．10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为；CD的长为.A BCDEO第9题图 第10题图 第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为__ ______．13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .第15题图16. （2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sinα•cosβ+c osα•sinβ；sin （α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是 ．三、解答题17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是AE 的中点，OM 交AC 于点D ， ∠BOE ＝60°，cos C ＝12，BC ＝23 (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．。
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解►方法一运用定义求锐角三角函数值1．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠O的正弦值是________．图ZT－6－12．如图ZT－6－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求AB的长；(2)求两个锐角的三角函数值．图ZT－6－2►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝513，则cos A的值是()A.512B.813C.23D.12134．2017·铜仁如图ZT －6－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A ＝α，且tan α＝13，则tan 2α＝________．图ZT －6－35．已知：如图ZT －6－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值、余弦值．图ZT －6－46．如图ZT －6－5，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．图ZT －6－5► 方法三 利用边角关系求锐角三角函数值7．如图ZT －6－6所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值是( )图ZT －6－6A.34B.43C.35D.458．如图ZT －6－7所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AD ＝2DC ，AB ＝4DE ，则sin B 的值是( )图ZT －6－7A.12B.73C.3 77D.349．已知锐角三角形ABC 中，点D 在BC 的延长线上，连结AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求出tan D 的值．►方法四利用等角求锐角三角函数值10．如图ZT－6－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的正弦值、余弦值、正切值．图ZT－6－811．如图ZT－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠后，点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．图ZT －6－9► 方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则sin B 的值为( )A.2 53B.53C.2 55D.5513．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．► 方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．14．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos (90°－∠A)等于( ) A ．cos A B ．sin (90°＋∠A) C ．sin A D ．sin (90°－∠A)15．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．16．在△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，cos A ＝1213，求sin B 的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cos A与sin B的大小，并说明理由．教师详解详析1．[答案]10 10[解析] 如图，过点C作CD⊥OB于点D，根据正方形的性质可知点D为小正方形对角线的中点，∴CD＝22，由勾股定理得OC＝22＋12＝5，∴在Rt△OCD中，sin O＝CDOC＝225＝1010.2．解：(1)AB＝AC2＋BC2＝13.(2)sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512；sin B＝ACAB＝1213，cos B＝BCAB＝513，tan B＝ACBC＝125.3．D4．[答案]34[解析] 连结BE.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，∴AE ＝10a ，AB ＝6a ，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5，∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5，∴tan2α＝BCCE ＝3 10a 54 10a5＝34. 5．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝12， ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝5x ，∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝55.6．解：设AB ＝BD ＝2x . ∵AB ＝BD ，∠DBC ＝30°， ∴∠A ＝12∠DBC ＝15°.∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°， ∴CD ＝x ，由勾股定理可求出BC ＝3x ， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2x ＋3x ， ∴tan15°＝CDAC ＝2－ 3.7．[解析] B 连结BD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，BD ＝4， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°， ∴tan C ＝BD CD ＝43.8．[解析] D 如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则有DE ∥AF . ∵AD ＝2DC ，∴DC ∶AC ＝1∶3＝DE ∶AF ， ∴AF ＝3DE . ∵AB ＝4DE ， ∴sin B ＝AF AB ＝3DE 4DE ＝34.9．解：示意图如图所示．∵∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ，∠ACB ＝2∠D ， ∴∠CAD ＝∠D ， ∴AC ＝DC .∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°.∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ，∴BD ＝2AC .∵AC ＝32， ∴BD ＝3.在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，BD ＝3，∴AB ＝5，∴tan D ＝AB AD ＝52. 10．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵∠C ＝∠DEB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△DEB ，∴∠A ＝∠BDE ，∴sin ∠BDE ＝sin A ＝35， cos ∠BDE ＝cos A ＝45， tan ∠BDE ＝tan A ＝34.11．解：根据图形得∠AFE ＋∠EFC ＋∠BFC ＝180°. 根据折叠的性质，得∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴∠AFE ＋∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，∠BCF ＋∠BFC ＝90°，∴∠AFE ＝∠BCF .又根据折叠的性质，得CF ＝CD ＝10.在Rt △BCF 中，BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理，得BF ＝CF 2－BC 2＝6，∴tan ∠BCF ＝34， ∴tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34. 12．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23， ∴sin B ＝1－（23）2＝53. 故选B.13．解：∵cos α＝13， ∴sin α＝1－（13）2＝2 23， tan α＝sin αcos α＝2 2313＝2 2， ∴tan α＋cos α1＋sin α＝2 2＋131＋2 23＝2 2＋3－2 2＝3.14．C15．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝sin A ＝32. 16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝1213. (2)cos A ＜sin B .理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°， ∴cos A ＜sin B .。
考点20 锐角三角函数及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点20 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括①正弦、余弦、正切三函数、②特殊角的三角函数值、③解直角三角形与其应用等。
而且，因为锐角三角函数的性质的特点，出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察。
特别是三角函数的应用，是近几年中考填空压轴题常考题型。
学生在复习这块考点时，需要付出更多的努力，已达到熟练掌握这块考点的要求。
一、锐角三角函数的定义及其性质二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形四、解直角三角形的应用考向一：锐角三角函数的定义及其性质一．锐角三角函数的定义：在Rt △AABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b则：∠A 正弦：；ACBabc∠A余弦：；∠A正切：；二．锐角三角函数的函数关系当∠A＋∠B=90°时，有以下两种关系：（1）.同角三角函数的关系：；（2）互余两角的三角函数的关系：;1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cos B的值为（ ）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出BC，再根据三角函数的定义，即可得解．【解答】解：根据勾股定理可得，则cos B＝＝．故选：B．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，tan A的值为（ ）A．B．C．D．2【分析】根据勾股定理求出AB的值，代入正切公式即可得到答案；【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AC＝（ ）A．10B．8C．5D．4【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，再根据勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，∴sin A＝＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8．故选：B．4．已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（ ）A．cosθ＜B．tanθ＞1C．sinθ＞cosθD．sinθ＜tanθ【分析】根据逐项进行判断即可．【解答】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而0°＜θ＜45°，所以cosθ＞cos60°，即cosθ＞，因此选项A不符合题意；B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以tanθ＜tan45°，即tanθ＜1，因此选项B不符合题意；C．由于cosθ＝sin（90°﹣θ），而0°＜θ＜45°，即45°＜90°﹣θ＜90°，所以sinθ＜sin（90°﹣θ），即sinθ＜cosθ，因此选项C不符合题意；D．由于sinθ＝，tanθ＝，而锐角的邻边小于斜边，所以sinθ＜tanθ，因此选项D符合题意．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（ ）A．a2+b2＝c2B．sin B＝cos A C．tan A＝D．sin B＝【分析】根据直角三角形的边角关系逐项进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由勾股定理可得a2+b2＝c2，因此选项A不符合题意；由锐角三角函数的定义可得sin B＝＝cos A，因此选项B不符合题意；由锐角三角函数的定义可知，tan A＝，因此选项C符合题意；由于sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝＝1，因此选项D不符合题意；故选：C．考向二：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值表αsinαcosαtanα30°45°60°1．下列三角函数中，值为的是（ ）A．cos45°B．tan30°C．sin5°D．cos60°【分析】根据特殊锐角三角函数值逐项进行判断即可．【解答】解：A．由于cos45°＝，因此选项A不符合题意；B．由于tan30°＝，因此选项B不符合题意；C．sin5°＜sin30°，即sin5°＜，因此选项C不符合题意；D．由于cos60°＝sin30°＝，因此选项D符合题意；故选：D．2．计算tan45°+tan30°cos30°的值为（ ）A．B．1C．D．2【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝1+×＝1+＝，故选：C．3．4sin260°的值为（ ）A．3B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案．【解答】解：．故选：A．4．若sin（x+15°）＝，则锐角x＝ 45 °．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：∵sin（x+15°）＝，∴x+15°＝60°，解得：x＝45°，故答案为：45．5．计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝ ．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案．【解答】解：原式＝﹣（）2+1﹣2×＝﹣+1﹣＝．故答案为：．6．在△ABC中，，则△ABC的形状是 等边三角形 ．【分析】非负数的和为0，则每个加数都等于0，求得相应的三角函数，进而求得∠A，∠B的度数．根据三角形的内角和定理求得∠C的度数．【解答】解：由题意得：2cos A﹣1＝0，﹣tan B＝0，解得cos A＝，tan B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．7．计算：．【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【解答】解：＝＝＝＝＝．考向三：解直角三角形解直角三角形相关：三边关系：在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角关系：AB=c，BC=a，AC=b边与角关系：，，，锐角α是a、b的夹角面积：1．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则tan∠APD的值是（ ）A．2B．1C．0.5D．2.5【分析】连接格点AE，BE．根据题图和勾股定理先判断△ABE的形状，再求出∠APD的正切，利用平行线的性质可得结论．【解答】解：如图，连接格点AE，BE．由网格和勾股定理可求得；，，，∴BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是直角三角形．在Rt△ABE中，．∵BE∥CD，∴∠APD＝∠ABE，∴tan∠APD＝2，故选：A．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若tan∠BDC ＝，则BC的长是（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm【分析】设CD为xcm，则有AD为（8﹣x）cm，根据垂直平分线得到AD＝BD，根据得到BC，最后根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：设CD为xcm，则有AD为（8﹣x）cm，∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴AD＝BD＝8﹣x，∵，∴，∴，∵∠C＝90°，∴，解得：x1＝3，x2＝﹣12（不符合题意舍去），∴，故答案为：C．3．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sin C＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：（1）线段AB的长；（2）tan∠DBA的值．【分析】（1）先解Rt△ABC，得出sin C＝＝，设出AB＝3k，则BC＝5k，由BC2﹣AB2＝AC2，得出方程（5k）2﹣（3k）2＝82，解方程求出k的值，进而得到AB；（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．根据角平分线的性质得出DE＝AD＝x，利用HL 证明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE＝BA＝6，那么CE＝BC﹣BE＝4．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2＝CD2，即x2+42＝（8﹣x）2，解方程求出x的值，即为AD的长，再根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∴sin C＝＝，BC2﹣AB2＝AC2，∴可设AB＝3k，则BC＝5k，∵AC＝8，∴（5k）2﹣（3k）2＝82，∴k＝2（负值舍去），∴AB＝3×2＝6；（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB＝90°，∴DE＝AD＝x．在Rt△BDE与Rt△BDA中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），∴BE＝BA＝6，∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AD＝3，∴tan∠DBA＝＝＝．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sin B＝，BC＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，根据圆周角定理可得，由已知∠CAD＝∠B，可得∠AOC＝2∠CAD，根据三角形内角和定理可得∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，等量代换可得∠CAO+∠CAD＝90°，即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得∠BAC＝∠DAC，由已知可得∠BAC＝∠B，根据垂径定理可得，OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，根据正弦定理可得sin B＝＝＝，即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE＝的长度，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，代入计算即可得出答案．【解答】证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵，∴，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sin B＝＝＝，∴CE＝，∴BE＝＝＝，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r﹣）2+，解得：r＝．5．如图，△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．（1）sin B＝ ；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，利用等腰三角形的三线合一性质求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长即可解答；（2）分两种情况，当0＜t≤1时，当1＜t＜2时．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝6cm，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4cm，在Rt△ABD中，AB＝6cm，BD＝4cm，∴AD＝＝2，∴sin B＝＝；故答案为：．（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴sin B＝sin C＝，分两种情况：当0＜t≤1时，由题意得：CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣2t，在Rt△CQE中，QE＝CQ sin C＝3t•＝t，∴S＝CP•QE＝•（8﹣2t）•t＝4t﹣t2＝﹣t2+4t，当1＜t＜2时，由题意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣2t，BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝12﹣3t，在Rt△BQE中，QE＝BQ sin B＝（12﹣3t）•＝4﹣t，∴S＝CP•QE＝•（8﹣2t）•（4﹣t）＝，∴S＝．考向四：解直角三角形的应用解直角三角形的应用：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作坡度和坡角坡度越大，坡角越大，坡面越陡1. 在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③2. 常用结论：1．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为27°，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（ ）A．3sin27°B．3cos27°C．D．3tan27°【分析】根据坡角的定义、余弦的概念列式计算即可．【解答】解：如图，过点A作AB⊥BC于B，∴∠ABC＝90°，cos∠BAC＝，∵AC＝3，∠BAC＝27°，∴AB＝AC cos∠BAC＝3cos27°；故选：B．2．如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下A处乘缆车上山顶B处，缆车索道与水平线所成的∠BAC＝α，若山的高度BC＝800米，则缆车索道AB的长为（ ）A．800sinα米B．800cosα米C．米D．米【分析】利用直角三角形的边角关系定理列出关系式即可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，sin BAC＝，∴AB＝．∵∠BAC＝α，BC＝800米，∴AB＝（米）．故选：C．3．如图，为了估算某河流的宽度，在该河流的对岸选取一点A，在近岸取点D，C，使得A、D、C在一条直线上，且与河流的边沿垂直，测得CD＝15m，然后又在垂直AC的直线上取点B，并量得BC＝30m，若cos B＝，则该河流的宽AD为 25 m．【分析】根据三角形函数的定义可得AB的长，利用勾股定理可得AC的长，由线段的和差关系可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝30m，cos B＝＝，∴AB＝50m，∴AC＝＝40（m），∵CD＝15m，∴AD＝AC﹣CD＝25（m），故答案为：25．4．某古村落为方便游客泊车，准备利用长方形晒谷场长60m一侧，规划一个停车场，已知每个停车位需确保有如长5.5m，宽2.5m的长方形AEDF供停车，如图平行四边形ABCD是其中一个停车位，所有停车位都平行排列，∠ABD为60°，则每个体车位的面积大约为 17 m2（结果保留整数），这个晒谷场按规划最多可容纳 20 个停车位．（）【分析】由题意，在Rt△ABF中，由直角三角形的边角关系得出AB，BF的长，讲而可以解决问题．【解答】解：由题意，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠ABF＝60°，AF＝2.5m，∴AB＝＝＝≈2.94（m），∴BF＝AB≈1.47（m），∴BD＝DF+BF≈5.5+1.47＝6.97（m），∵CD＝AB≈2.94m，∴S平行四边形ABDC＝BD•AF≈6.97×2.5≈17 （m2），∴每个停车位的面积大约为17m2；∵60÷2.94≈20.4，∴这个晒谷场按规划最多可容纳20个停车位．故答案为：17；20．5．夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB 于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．【分析】（1）根据在Rt△AOD中，，先算出OD的长，再根据AD＝2OD即可得到答案；（2）过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AHE中，，得，当∠CAE＝140°时和当∠CAE＝90°时，分别求出AH的值，作差即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠CAE＝140°，AC＝AD，AO⊥CD，∴，CD＝2DO，在Rt△AOD中，，即，解得：OD≈1.88m，∴CD＝2OD≈3.76m，答：遮阳宽度CD约为3.76m；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝2.2m，在Rt△AHE中，，∴，当∠CAE＝140°时，∠EAO＝70°，m，当∠CAE＝90°时，∠EAO＝45°，AH＝2.2m，2.2﹣0.8＝1.4m，答：点E下降的高度为1.4m．6．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝31cm，灯罩DE＝24cm，BC⊥AB，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：cos50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据FG＝CB，即可求得DG的长，从而可以解答本题．【解答】解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点C作CF⊥DG，垂足为F，如右图所示，∵CB⊥AB，FG⊥AB，CF⊥FG，∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，∴四边形BCFG为矩形，∴∠BCF＝90°，FG＝BC＝18cm，又∵∠DCB＝140°，∴∠DCF＝50°，∵CD＝31cm，∠DFC＝90°，∴DF＝CD•sin50°≈31×0.77＝23.87（cm），∴DG≈23.87+18≈41.9（cm），答：点D到桌面AB的距离约为41.9cm．1．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 ． ．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．2．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）A．B．C．D．3【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故选：C．3．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．4．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝ ﹣1 ．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．5．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．6．（2022•贵港）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】延长AC到D，连接BD，由网格可得AD2+BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，可求出答案．【解答】解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，故选：C．7．（2022•广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC 是（ ）A．12sinα米B．12cosα米C．米D．米【分析】直接根据∠A的正弦可得结论．【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，∵AB＝12米，∴BC＝12sinα（米）．故选：A．8．（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE 交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用矩形和折叠的性质可得BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cos∠ADF．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故选：C．9．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB 与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）A．B．C．D．【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故选：B．10．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（ ）A．3B．3C．3D．6【分析】利用三角函数求出AD＝6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．【解答】解：∵2CD＝6，∴CD＝3，∵tan C＝2，∴＝2，∴AD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝，故选：D．11．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ ．【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ADB＝∠CDB，则可得CD＝CB＝3，根据矩形的性质可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根据勾股定理可得，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案为：．12．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝ 3+3或3﹣3 ．【分析】利用分类讨论的思想方法，画出图形，过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理解答即可．【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②当△ABC为钝角三角形时，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；综上，BC的长为3+3或3﹣3．13．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A＝ ．【分析】先构造直角三角形，然后即可求出sin A的值．【解答】解：设每个小正方形的边长为a，作CD⊥AB于点D，由图可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案为：．14．（2022•长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC ＝α，下列关系式正确的是（ ）A．sinα＝B．sinα＝C．sinα＝D．sinα＝【分析】根据直角三角形的边角关系进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由锐角三角函数的定义可知，sinα＝sin∠ABC＝，故选：D．15．（2022•沈阳）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（ ）A．m sinαB．m cosαC．m tanαD．【分析】根据垂直定义可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ•tanα＝m tanα（米），∴河宽PT的长度是m tanα米，故选：C．16．（2022•福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【分析】根据等腰三角形性质求出BD，根据角度的正切值可求出AD．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故选：B．17．（2022•六盘水）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E 处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）【分析】（1）根据对称性得出AD＝2m，再根据锐角三角函数求出OD，即可求出答案；（2）过点E作EH⊥AB于H，得出EH＝BF＝3m，再分别求出∠α＝65°和45°时，AH的值，即可求出答案．【解答】解：（1）由对称知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，∴sinα＝，∴OD＝AD•sinα＝2×sin65°≈2×0.90＝1.80m，∴CD＝2OD＝3.6m，答：遮阳宽度CD约为3.6米；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝3m，在Rt△AHE中，tan a＝，∴AH＝，当∠α＝65°时，AH＝≈≈1.40m，当∠α＝45°时，AH＝＝3，∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为3﹣1.40＝1.6m．18．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC ＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．1．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 ．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sin A＝．故答案为：．2．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．【分析】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sin A的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．3．（2022•广东）sin30°＝ ．【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．【解答】解：sin30°＝．故答案为：．4．（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案为：．5．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．【分析】根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质进行计算即可．【解答】解：原式＝＝．6．（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0＝3﹣2×1+1﹣1＝3﹣2+1﹣1＝1．7．（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵点A，B，C都在格点上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，故选：B．8．（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（ ）A．2B．3C．D．2【分析】过D点作DE⊥AB于E，由锐角三角函数的定义可得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的长，利用勾股定理可求解AB的长，进而求解AD的长．【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故选：C．9．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）A．y＝3x B．y＝﹣x+C．y＝﹣2x+11D．y＝﹣2x+12【分析】分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可得出结论．【解答】解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，则直线MN为符合条件的直线l，如图，∵四边形OABC是矩形，∴OM＝BM．∵B的坐标为（10，4），∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．∵四边形ABEF为菱形，BE＝AB＝10．过点E作EG⊥AB于点G，在Rt△BEG中，∵tan∠ABE＝，∴，设EG＝4k，则BG＝3k，∴BE＝＝5k，∴5k＝10，∴k＝2，∴EG＝8，BG＝6，∴AG＝4．∴E（4，12）．∵B的坐标为（10，4），AB∥x轴，∴A（0，4）．∵点N为AE的中点，∴N（2，8）．设直线l的解析式为y＝ax+b，∴，解得：，∴直线l的解析式为y＝﹣2x+12，故选：D．10．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝ ．【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B＝sin A＝．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝，∴cos B＝＝．故答案为：．11．（2022•西宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则cos A＝ ．【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出cos A即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝，所以cos A＝＝＝，故答案为：．12．（2022•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝ ﹣1 ．【分析】用含有AB的代数式表示AD，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，设AB＝a，则AE＝a，BE＝＝a＝ED，∴AD＝AE+DE＝（+1）a，在Rt△ABD中，tan∠BDE＝＝＝﹣1，故答案为：﹣1．13．（2022•张家界）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝ ．【分析】根据两个正方形的面积可得AD＝10，DF﹣AF＝2，设AF＝x，则DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解方程可得x的值，从而解决问题．【解答】解：∵大正方形ABCD的面积是100，∴AD＝10，∵小正方形EFGH的面积是4，∴小正方形EFGH的边长为2，∴DF﹣AF＝2，设AF＝x，则DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解得x＝6或﹣8（负值舍去），∴AF＝6，DF＝8，∴tan∠ADF＝，故答案为：．14．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A 离地面EF的高度为（ ）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC＝，∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故选：B．15．（2022•枣庄）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出结论．【解答】解：如图，连接AB、BC、AC、BE，∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∴tan∠ABE＝tan30°＝，故答案为：．16．（2022•绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A 处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B 点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝ （5﹣5） 海里（计算结果不取近似值）．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AB＝10海里，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝45°，从而可得∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，进而利用三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE＝x海里，再在Rt△ADE 中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC＝5海里，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得：AB＝20×＝10（海里），∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAC＝∠FAC﹣∠FAD＝30°，∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin45°＝10×＝5（海里），设DE＝x海里，在Rt△ADE中，AE＝＝＝x（海里），∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝45°，在Rt△DEC中，CE＝＝x（海里），DC＝＝＝x（海里），∵AE+EC＝AC，∴x+x＝5，∴x＝，∴DC＝x＝（5﹣5）海里，故答案为：（5﹣5）．17．（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝ （1+） 小时．【分析】根据题意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间＝路程÷速度，进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小时，故答案为：（1+）．18．（2022•桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 20 米．【分析】先证OB是⊙F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝20m，故答案为：20．19．（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝（x+60）米，先利用平角定义求出∠ACE ＝45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定义求出∠BCF ＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，。
九年级数学下册常考点微专题提分精练(网格中求正切(解析版)
专题23 网格中求正切【法一】构造直角三角形求如图是由边长为1的小正方形组成的44⨯网格，则tan BAC ∠=________．【详解】解：连接BC ，由勾股定理可知：22125AC =+=，222425BC =+=，22345AB =+=，∵2225(5)(25)=+，∵222AB AC BC =+，∵ABC 为直角三角形，∵25tan 25BC BAC AC ∠===， 故答案为：2． 如图，A ，B ，C ，D 均为网格图中的格点，线段AB 与CD 相交于点P ，则∵APD 的正切值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．32【详解】：连接CM ，DN ，由题意得：CM ∵AB ，∵∵APD ＝∵NCD ，由题意得：CN 2＝12+12＝2，DN 2＝32+32＝18，∵2,1832CN DN ===，∵tan∵DCN ＝DN CN ＝322＝3， ∵∵APD 的正切值为：3，故选：A ．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、O都在格点（小正方形的顶点）上，则tan AOB∠的值是______．解：作AC OB⊥交于点C，由图可知：=416=25+OB，∵11=22?·22AOBS AC OB⨯⨯=，∵2=5AC，∵22OA=，∵2246 855=-=-=OC OA AC，∵1 tan3∠==ACAOBOC，故答案为：1 31．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∵ABC的正切值是（）A．2B25C5D．12【答案】D【分析】连接AC，根据网格图不难得出=90CAB∠︒，求出AC、AB的长度即可求出ABC∠的正切值．【详解】连接AC，A．1B C D．22A ．13B ．35C ．23 D ．12根据图象可知454590ADB ∠=︒+︒=︒，的值是_____．【答案】1【分析】根据已知图形得出45CAD ∠=︒，再求解即可.【详解】连接CD，∠若A，C，B′三点共线，则tan∵B′CB=________．【答案】2【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和锐角三角函数关系，得出BD⊥CB′是解题的关键．6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则∵ABC的正切值是．【答案】2因为所以考点：勾股定理的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点∠的正切值是______．上，则ABC【答案】2【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出∵ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∵∵ABC是直角三角形，且∵ACB=90°，∠=_____________相交于点P，则tan APC∵四边形BCED是正方形，切值为_____．【答案】1∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5点．（1）CD的长度为______；（2）CD与网格线交于E，则DE=______；（3）若AB与CD所夹锐角为α，则tanα=______．(3)取各点M，连接CM，则CM∵AB，取格点H，连接MH，使MH交CD于N，如图，．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，锐角三角函数，正确__________．【点睛】本题考查网格中求角的正切值问题，关键是把给的角转移到三角形中，掌握正方形相应的格点上则tan A的值为______．1则∵ABD是直角三角形，∵ABD=90°，a12ABC S ∆=12ABC S ∆=∴322BD ⋅BD ∴=【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的三、解答题15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题：（1）用2B 铅笔画AD∵BC （D 为格点），连接CD ；（2）线段CD 的长为 ；（3）请你在△ACD 的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是；（4）若E为BC中点，则tan∵CAE的值是．D点即为所求；BC=2三边的长分别为，求∵A 的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点∵ABC （∵ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和∵ABC 相似的格点∵DEF ，从而使问题得解．（1）图2中与A ∠相等的角为 ， A ∠的正切值为 ；（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在∵GHK 中，HK=2，HG=KG=延长HK ，求+αβ∠∠的度数．11正方形的顶点上．（1）在图中画一个以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，并直接写出BE的长；（2）在图中画一个钝角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，并且三角形CDF的面积为92，3tan4DCF∠=．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理、等腰直角三角形、解直角三角形等。
2021年中考一轮复习数学 分类训练：锐角三角函数及其应用(含答案)
2021中考数学 分类训练：锐角三角函数及其应用一、选择题 1. （2020·聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为（ ）A ．553 B ．517C ．53D ．542. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( ) A . 6 cm B . 7 cm C . 8 cm D . 9 cm3. 满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为 ( )A .AB=，BC=4，AC=5B .AB ∶BC ∶AC=3∶4∶5 C .∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5D .cos A -+tan B -2=04. 在直角三角形中，下列条件中不能解直角三角形的是( )A ．已知一直角边和一锐角B ．已知斜边和一锐角C ．已知两边D ．已知两角5. (2019•山东威海)如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC=2千米．用科学计算器计算小路AB 的长度，下列按键顺序正确的是A．B．C．D．6. 如图，平面直角坐标系中，☉P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D 是☉P上的一动点，当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是()A.2B.3C.4D.57. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于A．asinx+bsinx B．acosx+bcosxC．asinx+bcosx D．acosx+bsinx8. (2019·浙江金华)如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是A．∠BDC=∠αB．BC=m•tanαC ．AO 2sin mα= D ．BD cos mα=二、填空题 9. 【题目】（2020·黔东南州）cos60°＝ ．10. 如图，在△ABC 中，BC ＝6＋2，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________．11. (2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．12. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD 是__________米(结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．13. （2020·天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin ∠AOB 的值是________．14. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)15. (2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC255AB2，则tanC=__________．16. 如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l 上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．三、解答题17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求:(1)线段BE的长;(2)∠ECB的正切值.18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE.(1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；(2)如果CE ＝2，sin ∠CAE ＝23，求tanB 的值．19. 如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会撞到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64；cos 40°≈0.77；tan 40°≈0.54)20. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．21. 如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AC 为直径，AB ︵＝BD ︵，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ；(2)求证：BE 是⊙O 的切线；(3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .22. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：(1)计算sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．23. 如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5cos13ABC∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S △ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD 的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图22021中考数学 分类训练：锐角三角函数及其应用-答案一、选择题 1. 【答案】D【解析】利用网格特征把∠ACB 放置于直角三角形中求正弦值．如图，在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AC ＝22CD AD +＝2234+＝5，于是sin ∠ACB ＝AC AD ＝54．ABCD2. 【答案】C【解析】∵sin A＝BCAB＝45，∴设BC＝4a，则AB＝5a，AC＝（5a）2－（4a）2＝3a，∴3a＝6，即a＝2，故BC＝4a＝8 cm.3. 【答案】C[解析]A.∵52+42=25+16=41=()2，∴△ABC是直角三角形;B.设AB=3x，则BC=4x，AC=5x.∵(3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2，∴△ABC 是直角三角形;C.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∴∠C=×180°=75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形;D.∵cos A-+tan B-2=0，∴cos A=，tan B=，∴∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形.故选C.4. 【答案】D5. 【答案】A【解析】在△ABC中，sinA=sin20°=BCAB，∴AB=sin20BC︒=2sin20︒，∴按键顺序为：2÷sin20=，故选A．6. 【答案】B[解析]如图所示，当点D到弦OB的距离最大时，DE⊥OB于E点，且D，E，P三点共线.连接AB，由题意可知AB为☉P的直径，∵A(8，0)，∴OA=8，∵B(0，6)，∴OB=6，∴OE=BE=OB=3，在Rt△AOB中，AB==10，∴BP=AB=×10=5，在Rt△PEB中，PE==4，∴DE=EP+DP=4+5=9，∴tan∠DOB===3，故选B.7. 【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ， 故选D．8. 【答案】C【解析】A 、∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD ，AO=CO ，BO=DO ，∴AO=OB=CO=DO ，∴∠DBC=∠ACB ，∴由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α，故本选项不符合题意； B 、在Rt △ABC 中，tan αBCm=，即BC=m •tan α，故本选项不符合题意； C 、在Rt △ABC 中，AC cos m α=，即AO 2cos mα=，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=m ，∵∠BAC=∠BDC=α，∴在Rt △DCB 中，BD cos mα=，故本选项不符合题意； 故选C ．二、填空题9. 【答案】【答案】10. 【答案】2 [解析] 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，如图所示．设AC ＝x ，则AB ＝2x. 在Rt △ACD 中，AD ＝AC·sinC ＝22x ， CD ＝AC·cosC ＝22x. 在Rt △ABD 中，AB ＝2x ，AD ＝22x ， ∴BD ＝AB 2－AD 2＝62x. ∴BC ＝BD ＋CD ＝62x ＋22x ＝6＋2， ∴x ＝2.11. 【答案】0 【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．12. 【答案】1.5【解析】∵sin αAD AC，∴AD=AC •sin α≈2×0.77≈1.5，故答案为：1.5． 13. 【答案】22【解析】连接AB ，利用勾股定理的逆定理证明△OAB 是等腰直角三角形，得到∠AOB ＝45°，再根据特殊角的三角函数求解．∵AB 2＝12＋32＝10，OB 2＝12＋32＝10，OA 2＝22＋42＝20，∴AB 2＋OB 2＝OA 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠AOB ＝45°，∴sin ∠AOB ＝sin45°＝22．14. 【答案】11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．15. 【答案】5【解析】如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2=2AD•DC=2BD•DC，∵AC2–BC255=AB2，∴2BD•DC55=⨯2BD2，∴DC55=BD，∴tan555BD BDCDCBD===．故答案为:5．16. 【答案】3或3 3 或37【解析】如解图，∵点O是AB的中点，AB＝6，∴AO＝BO＝3.①当点P为直角顶点，且P在AB上方时，∵∠1＝120°，∴∠AOP1＝60°，∴△AOP1是等边三角形，∴AP1＝OA＝3；②当点P为直角顶点，且P在AB下方时，AP2＝BP1＝62－32＝33；③当点A为直角顶点时，AP3＝AO·tan∠AOP3＝3×3＝33；④当点B为直角顶点时，AP4＝BP3＝62＋（33）2＝37.综上，当△APB为直角三角形时，AP的值为3或3 3 或37.三、解答题17. 【答案】解:(1)∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°，∴AE=AD ·cos45°=2×=， ∴BE=AB -AE=3=2， 即线段BE 的长为2. (2)过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ，如图所示.∵在Rt △BEH 中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE ·cos45°=2=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt △CHE 中，tan ∠ECB==2，即∠ECB 的正切值为2.18. 【答案】 解：(1)∵DE 垂直平分AB ，∴EA ＝EB ，∴∠EAB ＝∠B ＝25°.又∵∠C ＝90°，∴∠CAE ＝90°－25°－25°＝40°.(2)∵∠C ＝90°，∴sin ∠CAE ＝CE AE ＝23. ∵CE ＝2，∴AE ＝3，∴AC ＝ 5.∵EA ＝EB ＝3，∴BC ＝5，∴tanB ＝AC BC ＝55.19. 【答案】【思路分析】本题是一道锐角三角形函数的实际应用问题，关键是从实际问题抽象出数学模型．本题车门是否会碰到墙？实际上就是求点A到直线OB的距离，所以过点A作AC⊥OB于点C，在Rt△AOC中，利用锐角三角函数关系，可求得AC的长，与0.8米比较就可得出结论．解图解：如解图，过点A作OB的垂线，垂足为C，在Rt△AOC中，sin∠AOC＝AC AO，(3分)∴AC＝AO·sin40°＝1.2×0.64＝0.768. ∵0.768<0.8，∴车门不会碰到墙．(8分)20. 【答案】解：(1)∵新坡面AC的坡度为1∶3，∴tanα＝13＝33，∴α＝30°.(2分)答：新坡面的坡角α的度数为30°.(3分)(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．理由如下：如解图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，∵坡面BC的坡度为1∶1，∴BD＝CD＝6米，(4分)∵新坡面AC的坡度为1∶3，∴CD∶AD＝1∶3，∴AD＝63米，(6分)∴AB＝AD－BD＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM不需拆除．答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．(7分)21. 【答案】(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，∵AB ︵＝BD ︵，∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠BDE∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB，∴△ABF ≌△DBE (AAS)，∴BF ＝BE ，∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ，∴∠1＝∠BCE ；(2)证明：如解图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°，∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ，∴∠BAC ＝∠EBC ，∵OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°，∴∠EBO ＝90°，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中，⎩⎨⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS)，∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4，∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35.22. 【答案】解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)(2分)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°(3分) ＝22×32－22×12 ＝6－24.(4分)(2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3，(5分)∴ BE ＝14＋73，(6分)又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，(7分) 答：纪念碑的高度是(14＋83)米．(8分)23. 【答案】探究 AH ＝12，AC ＝15，S △ABC ＝84．拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ． （2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x +=． 由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14． 所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12． （3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14． 发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565．。
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利用网格线 巧求锐角三角函数
在解题中经常碰到求网格线中锐角三角函数的问题，我们知道借助于网格线可以构造直
角三角形，利用勾股定理求出任意两个格点的长度，也可以利用对角线的特征构造垂直线、
平行线。那么如何利用网格线求锐角三角函数值呢？
一、构造直角三角形
锐角三角函数反映了直角三角形中锐角和边与边的比值之间的对应关系，所以要求三角
函数值，必须将这个角放到直角三角形中。
（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求
∠ABC的正切值。
分析：∠ABC不在直角三角形中，无法根据对边和邻边的比值来求它的正切值，借助
网格线，连接A、C，就可以构造直角三角形求出正切。
解：如图：连接A、C
由勾股定理得
AC=，AB=2，BC=，
∴AC²+AB²=BC²
∴∠CAB=90°
∴tan∠B= =
二、转化角
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶
点上，AB、CD相交于点P，求tan∠APD的值。
分析：P点不在网格线的格点上，无法发挥网格线的作用，可以将∠APD转化为一个
顶点在格点上的角，如何转化，利用网格线构造平行，从而得到相等的角。
解：如图，连接BE，AE。
∵DE∥BC DE=BC
∴四边形DEBC是平行四边形
∴DC∥BE
∴∠ABE=∠APD
由勾股定理得
BE=，AE=2，AB=
∵AB²=BE²+AE²
∴∠AEB=90°
∴tan∠APD= tan∠ABE=AEBE=2．
三、面积法
（2015•南京二模）如图，方格纸中有三个格点A、B、C，求sin∠ABC的值。
分析：∠ABC不在直角三角形中，通过连接对角线又不能得到直角，只有过点A作垂
直，抓住面积，求出垂线段的长。
解：如图过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，
∵S△ABC=20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4=9，
∴S△ABC=×BC×AD=9，
∴×2AD=9，
解得：AD=，
∴sin∠ABC===．
四、勾股定理法
E
仍然以上题为例，由勾股定理易得AB²=29 AC²=17 BC=2
设BD为x,CD为2
-x,由勾股定理得AB²-BD²=AD² AC²-CD²=AD²
∴AB²-BD²=AC²-CD²
即29-x²=17-（2-x）² ∴x=
85
5
AD²=29-645=815
∴AD=955 ∴sin∠ABC===
五、建立平面直角坐标系法
还是以上题为例，在原网格线基础上，再向右补一列，
以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系,连接CD,并延长CD交BA的延长线于点E。
借助网格线，易证△BOC≌△CFD ∴∠BCO=∠CDF
∵∠DCF+∠CDF=90° ∴∠DCF+∠BCO=90°∴∠BCD=90°
由图可知B(0,2),A(5,4),C(4,0),D(6,4),可以求出直线AB函数关系式为：y=25x+2
直线CD函数关系式为：y=2x-8，将两个函数关系式联立成一个二元一次方程组，可求
E点坐标为（254，92）
利用点C、B、E的坐标，由勾股定理可求CE=954 BE=5294
∴ sin∠ABC=CEBE=954÷5294=
这五种方法，通过分析，后面三种方法适用于任何情形下求网格线中的锐角三角函数，
而面积法又是三种方法中最简单的一种，可以将其看成是求网格线中锐角三角函数的万能方
法。
D
E
F
y
x