一类非线性Schr
一类非线性系统神经网络鲁棒控制方法
一类非线性系统神经网络鲁棒控制方法基于Lyapunov穩定性理论，采用神经网络直接自适应控制的思想设计控制器，针对一类具有Brunovsky canonical form的非线性系统，提出了一种基于神经网络的鲁棒控制方法，计算机数值模拟进一步验证了所提出方法的有效性。
标签：非线性系统；自适应控制；神经网络；Lyapunov稳定性1 引言許多工业系统因其固有的不确定性和非线性特性，难以建立确切的数学模型，使传统控制理论在应用于实践时遇到了前所未有的困难.另一方面，由于各种干扰的存在，系统的结构乃至参数都可能发生变化，因此即使依靠过程先验信息离线辨识得到了系统的模型，也难免存在模型失配的问题。
近年来发展起来的神经网络技术为解决复杂非线性系统的控制开辟了一条新路。
本文针对一类非线性不确定系统，提出了一种新的基于神经网络补偿的自适应鲁棒控制方案。
通过系统的已知动态特性设计一个稳定的反馈控制器，利用神经网络逼近非线性因素，从而消除系统不确定性的影响。
权重自适应修正规则是基于Lyapunov理论实现，从而能够保证系统的稳定性。
2 不确定非线性系统神经网络控制方案4 结论本文提出了一类具有未知的不确定性MIMO非线性系统神经网络直接自适应控制方法。
神经网络模拟近似不确定性及未知非线性函数，使用鲁棒控制词来补偿逼近误差。
以Lyapunov函数为基础设计，自适应规则保证闭环系统稳定和轨迹误差为零。
设计算法确保选择各种参数控制，以保证稳态轨迹误差收敛到零。
参考文献：[1]Isidori A.Nonlinear Control System.2nd Ed.Berlin，Germany：Springer-Verlag，1989.[2]Sastry S S，Isidori A.Adaptive control of linearizable systems.IEEE Trans.Automat. Contr.，1989（34）：1123-1131.[3]杨盐生.不确定系统的鲁棒控制及其应用[M].北京：科学出版社，2004：1-7.作者简介：涂庆伟（1978-），男，河南郏县人，硕士，讲师，主要从事数学教学和智能控制研究。
一类非线性奇摄动问题的渐近解
一类非线性奇摄动问题的渐近解方静;欧阳成【摘要】Using the matching asymptotic expansion method, a class of nonlinear singularly perturbed boundary value problems on an infinite long region is studied, and the uniformly valid asymptotic expansion with the first order for the solution is given. First solving the outer expansion, and then solving interior expansion with the contraction transformation. Using the generalized integral and Taylor expansion, the internal expansion and the outer one are matched, and the uniformly valid compound expansion is obtained. Through studying this class of new nonlinear problems on the infinite long region, the studied range of the similar problems is expanded. And it is provided with a reference for the research on the related singularly perturbed problems.%利用匹配渐近展开法,研究了一类无限长区域上的非线性奇摄动边值问题,给出了解的一致有效的一阶渐近展开式.先求出外展开式,利用收缩变换求出内展开式.利用广义积分和Taylor 展开将内外展开式进行匹配,进而得到一致有效的复合展开式.通过对这类新的无限长区域上非线性问题的研究,拓宽了类似问题的研究范围,为相关奇摄动问题的研究提供了参考.【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(036)001【总页数】3页(P21-23)【关键词】匹配渐近展开法;无限长区域;收缩变换;一致有效;边值【作者】方静;欧阳成【作者单位】湖州师范学院数学系,浙江湖州313000【正文语种】中文【中图分类】O175.14非线性奇摄动问题是近年来国际学术界十分活跃的研究对象.匹配渐近展开法是研究非线性奇摄动边值问题的一种较好的方法[1].利用这种方法，不仅可以处理有限区域上非线性奇摄动边值问题，还可以处理无限长区域上非线性奇摄动边值问题.文献[2-4]在文献[1]的基础上，研究了一般的具有无限长区域的非线性奇摄动边值问题，并得到了相关问题的一些有意义的结果.文献[5]研究了一个特殊的无限长区域上的非线性奇摄动边值问题，除了仍用匹配渐近展开法之外，还运用广义积分的收敛性，Taylor展开等有效地解决了该问题.这为研究无限长区域上的非线性奇摄动边值问题提供了有价值的思想方法.文献[6]利用文献[5]的思想，讨论了另一个无限长区域上的非线性奇摄动边值问题.在上述参考文献的基础上，本文考虑如下无限长区域上二阶非线性奇摄动边值问题：(1)y(1)=α,y(∞)=β，(2)其中ε为小的正参数，α，β为任意满足条件α≠β>0的常数.值得注意的是，与文献[5,6]不同的是，我们这里的边值是一般的常数α，β.1 外展开式我们找形式为y0(ε,x)=y0(x)+εy1(x)+…的两项渐近展开式.将其代入(1)，(2)，展开并令ε的同次幂系数相等得到：ε0阶：(3)y0(1)=α,y0(∞)=β，(4)ε1阶：(5)y1(1)=0, y1(∞)=0.(6)解二阶齐次线性微分方程(3)，并由边界条件(4)得到：(7)这个解在[1,∞)上是一致有效的，因为它满足退化方程和边界条件.把(7)中的y0=y0(x)代入(5)，并利用边界条件y1(1)=0，有y1=(8)由于且当t→∞时，故广义积分收敛，记其值为A.又由于当x→∞时，故所以由(8)知，y1(x)→∞，并不满足(6)中的第二个边界条件y1(∞)=0.由(7)和(8)，我们得到在一阶上对大的x值无效的两项外展开式：y0(x,ε)=(9)2 内展开式为了研究x很大时解的性状，我们引进收缩变换ξ=xεv(v>0).于是将方程(1)变形并取特异极限：(10)它对应于v=1.由(10)式所得的展开式称为内展开式，我们用上标i来表示它.由于零阶外展开式(7)在[0,∞)上的一致有效性，故可令内展开式为yi=β+εY1(ξ)+….将其代入(10)，并令ε项的系数为零，得到再由Y1(∞)=0可得因而内展开式为(11)外展开式(9)中的常数b与内展开式(11)中的常数c将在下面匹配中确定.3 复合展开式在(9)式中取两项外展开式，用内变量ξ改写并对小的ε展开，得到两项外展开式的两项内展开式：(y0)i=(12)在(11)中取两项内展开式，用外变量x改写并对小的ε展开，得到两项内展开式的两项外展开式：(13)在(12)中用x表示ξ并令它和(13)相等，我们有β(14)由此得到将外展开式(9)和内展开式(11)相加，再减去它们的公共部分(14)，我们得到问题(1)，(2)解的一致有效的两项复合渐近展开式：yc=其中c和b由前面所确定的常数.经检验可知，此展开式完全符合边值条件.4 结束语本文解决了一类无限长区域上二阶非线性奇摄动边值问题，通过引入收缩变换并利用匹配渐近展开法将内外展开式进行匹配从而得到复合展开式，即一致有效的渐近展开式.本文是在文献[2-4]的基础上对文献[5,6]的进一步研究，找到了与文献[5]具有类似形式并且有渐近展开式的方程，进一步丰富了文献[5]的成果.由于这类问题是否有一致有效的渐近解依赖于方程一阶导数项前面的系数，因此并不是所有此类方程都有渐近解.相反地，只有一小部分此类方程才有一致有效的渐近解.对广义积分的有效处理，是解此类方程的另一关键.本文的研究方法也为解决无限长区域的奇摄动边值问题提供了思路和方法，进一步丰富了此类问题的研究内容.参考文献：[1] NAYFEH A H. Introduction to perturbation techniques[M]. New York: John Wiley & Sons, 1981.[2] 韩祥临.非线性方程的奇摄动问题[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2001，24(4)：316-317.[3] 韩祥临.具有无限长区域非线性奇摄动方程[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2003，26(1)：1-4.[4] 李璜，欧阳成，韩祥临.具有无限长区域的非线性奇摄动问题的渐近解[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2010，33(1)：11-14.[5] 姚静荪.一个非线性奇摄动问题的渐近解[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2006，29(2)：108-110.[6] 李璜.一类具有无限长区域奇摄动边值问题[J].湖州师范学院学报，2011，33(1)：32-35.。
非线性Schr(o)dinger方程的显式模守恒格式
非线性Schr(o)dinger方程的显式模守恒格式
孙建强;秦孟兆
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2010(027)002
【摘要】本文采用Magnus方法求解非线性Schr(o)dinger方程.Schr(o0dinger 方程具有模平方守恒特性,用适当差分格式对其进行模平方守恒空间离散,转化成模平方守恒的常微分方程组,再用Magnus方法求解.数值结果表明Magnus方法能保非线性Schr(o)dinger方程模守恒量的优越性和好的稳定性.Magnus方法可应用到其它模守恒的微分方程.
【总页数】6页(P271-276)
【作者】孙建强;秦孟兆
【作者单位】海南大学信息科学技术学院,海口570228;中国科学院计算数学研究所,北京100080
【正文语种】中文
【中图分类】O241.5
【相关文献】
1.非线性四阶Schr(o)dinger方程的半显式多辛拟谱格式 [J], 黄浪扬
2.带五次项的非线性Schrödinger方程的守恒差分格式 [J], 李华; 李德生
3.非线性四阶Schr(o)dinger方程的守恒差分格式 [J], 李德生; 李华
4.一类弱条件稳定非线性Schr dinger方程的显式差分格式 [J], 梁宗旗;鲁百年
5.广义非线性Schr dinger方程的多辛格式与模方守恒律 [J], 黄浪扬
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一类非线性多参数系统的自适应控制问题
收稿日期：２０１９－１２－２０；修回日期：２０２０－０１－３０基金项目：广东省教育厅项目“一类伪线性直接模型参考Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ自适应反馈控制”（２０１７ＧＸＪＫ２４）作者简介：何秋锦（１９８１－），女，河南杞县人，讲师，硕士，研究方向：自适应控制论．Ｅ－ＭＡＩＬ：８１０２５３０８１＠ｑｑ．ｃｏｍ第３７卷第２期周口师范学院学报２０２０年３月Ｖｏｌ．３７Ｎｏ．２Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｏｕｋｏｕ Ｎｏｒｍａｌ ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＭａｒ．２０２０一类非线性多参数系统的自适应控制问题何秋锦１，张星红２（１．华南农业大学珠江学院，广东广州５１０９００；２．河南工学院，河南新乡４５３００３）摘 要：对于含有不确定参数并以非线性形式出现在含有控制项的方程系统中的情形，采用合适的条件泰勒展开将其线性化逼近，考查一族纯参数反馈形式的推广形式：非线性多参数形式，基于一阶泰勒逼近的方法，将非线性多参数转换成模拟的纯参数反馈形式，将逼近的线性系统的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数对非线性系统至少在局部上仍为Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数．借用多参数反馈算法我们对其扩张，构造出合理的稳定条件，保证非线性多参数系统良好的稳定性．关键词：Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数；多参数反馈系统；反推算法中图分类号：Ｏ２３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－９４７６（２０２０）０２－００２２－０８ＤＯＩ：１０．１３４５０／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｚｋｎｕ．２０２０．０２．００６ Ｋａｎｅｌｌａｋｏｐｏｕｌｏｓ在文献［１］中引入了较弱的泰勒级数展开条件，给出了纯参数反馈形式的概念，以所谓的Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ方法进行了多步设计的自适应反推算法，对这族纯参数系统反推算法在文献［２］中给出．在本文中，笔者考查一族纯参数反馈形式的扩张形式———非线性多参数级联系统形式，称为非线性多参数反馈系统，所提的控制算法是纯参数反馈算法的扩张．该方法的思想来源于一些非线性多参数物理模型，这些物理模型不能在纯参数反馈形式下进行参数化，策略之一就是放宽线性多参数的非物理上的假设条件．１ 数学定义与定理及系统描述定义１［３］ 如果对任意给定的ε＞０及初始时刻ｔ０ ０．存在常数δ＝δ（ε，ｔ０）使得对满足‖ｘ０‖＜δ的任意初始条件ｘ０，微分方程 ｘ·＝ｆ ｘ，ｔ（）（１）的解φｔ，ｔ０，ｘ０（）满足‖φｔ，ｔ０，ｘ０（）‖＜ε， ｔ ｔ０，ｘ∈Ｒｎ为状态变量，ｔ∈Ｒ为时间的参量，则称系统１（）的平衡点ｘ＊＝０是Ｌｙａｐｕｎｏｖ意义下稳定的，简称稳定．定义２［３］ 如果在上述定义中，δ＝δε（）而与ｔ０无关，则称ｘ＊＝０是一致稳定的．定义３［３］ 如果系统１（）的平衡点ｘ＊＝０是稳定的，且有ｌｉｍｔ→"‖φｔ，ｔ０，ｘ０（）‖＝０，则称系统１（）的平衡点ｘ＊＝０为渐近稳定．定义４［３］ 若存在一个含原点为内点的区域Ｓ，使得 ｘ０∈Ｓ，均有ｘ ｔ（）＝ｘ ｔ，ｘ０，ｔ０（）∈Ｓ且ｌｉｍｔ→"ｘ ｔ（）＝０，则称Ｓ为系统１（）的平衡点ｘ＊＝０的吸引域．定义５［３］ 如果系统１（）的平衡点ｘ＊＝０是稳定的，且吸引域为Ｒｎ，则称系统＊（）的平衡点ｘ＊＝０是全局稳定的．定义６［３］ 一映射Ｈ：Ｌｍｅ→Ｌｑｅ是Ｌ稳定的，如果存在一定义在０，＋"［）上的Κ类函数α及一非负常数β，对所有的μ∈Ｌｍｅ及τ∈［０，＋∞）使得‖Ｈμ（）τ‖Ｌ!α‖μτ‖Ｌ（）＋β成立；称Ｈ为有限增益Ｌ稳定的，如果对所有的μ∈Ｌｍｅ及τ∈０，＋"［），存在常数γ及β，使得‖Ｈμ（）τ‖Ｌ!γ‖μτ‖Ｌ（）＋β．定理１［３］ 对于系统（１），若存在连续正定可微的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数Ｖ ｘ，ｔ（）：Ｕ×Ｊ→Ｒ，满足Ｖ·ｘ，ｔ（）＊＝ Ｖ ｔ＋ Ｖ ｘｆ ｘ，ｔ（）为半负定且连续的，其中， Ｖ ｘ＝ Ｖ ｘ１， Ｖ ｘ２，…， Ｖｘｎ［］，则ｘ＊＝０是该系统稳定的平衡点．定理２［３］ 对于给定正数γ，令ｕ＝ｘ｜ｘ∈Ｒｎ，‖ｘ‖＜γ｛｝，并记Ｊ＝０，＋"［），对于系统（１），若存在正定的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数Ｖ：Ｕ×Ｊ→Ｒ和负定函数Ｗ：Ｕ→Ｒ，使得沿系统（１）的任意解轨迹，都有Ｖ·ｘ，ｔ（）｜＊!Ｗ ｘ（）＜０，ｔ ｔ０，ｘ∈Ｕ－０｛｝，则ｘ＊＝０是该系统的渐近稳定的平衡点．考查一族时变系统ｘ·＝ｆ ｘ，ｔ（）（２）其中，ｆ：Ｕ×０，"［）→Ｒ Ｕ Ｒｎ（）是关于ｔ的连续向量函数，且对ｘ满足局部Ｌｉｐｓｈｉｔｚ条件，即ｆ ０，ｔ（）＝０．定理３［４］ （Ｌａｓａｌｌｅ－Ｙｏｓｈｉｚａｗａ定理）对时变系统（２），若存在连续可微的函数Ｖ：Ｕ×Ｒ＋→Ｒ＋满足γ１‖ｘ‖（）!Ｖ ｘ，ｔ（）!γ２‖ｘ‖（）， ｘ，ｔ（）∈Ｕ×Ｒ＋，Ｖ·ｘ，ｔ（）｜＊＊（）＝ Ｖｔ＋ Ｖ ｘｆ ｘ，ｔ（）!－Ｗ ｘ（）， ｘ，ｔ（）∈Ｕ×Ｒ＋这里γ１·（）和γ２·（）是Ｋ"类函数，Ｗ·（）是半正定连续函数，则系统（２）的解ｘ ｔ（）有界且满足ｌｉｍｔ→"Ｗ ｘ ｔ（）（）＝０，若Ｗ·（）是正定函数，则系统（２）的平衡点ｘ＊＝０是渐近稳定的．考查一族非线性参数反馈形式的系统：ｘ·ｉ＝ｆｉｘ１，…，ｘｉ（）＋ｇｉｘ１，…，ｘｉ（）ｘｉ＋１＋φｉｘ１，…，ｘｉ，θ（）ｘ·ｎ＝ｆｎｘ１，…，ｘｎ（）＋ｇｎｘ１，…，ｘｎ（）ｕ＋φｎｘ１，…，ｘｎ，θ（），１!ｉ!ｎ－１烅烄烆（３）这里ｕ∈Ｒ为输入控制，且θ∈ＲＰ是一未知常数向量，将参数多元化后，系统（３）可被重写为多参数形式：ｘ·ｉ＝ｆｉｘ１，…，ｘｉ（）＋ｇｉｘ１，…，ｘｉ（）ｘｉ＋１＋φｉｘ１，…，ｘｉ，θｉ（）ｘ·ｎ＝ｆｎｘ１，…，ｘｎ（）＋ｇｎｘ１，…，ｘｎ（）ｕ＋φｎｘ１，…，ｘｎ，θｎ（），１!ｉ!ｎ－１烅烄烆（４）每一向量φｉ包含了上面系统向量φｉ的非零元素，θｉ为待选的参数．考查从ｘ１到常参数ｘ１＊的调节问题．注意，ｘ１＊假设为任意的ｎ次可导信号．这里，笔者也有假设：系统（２）中，假设φ１０，θ１（）＝φ２０，０，θ２（）＝…＝φｎ０，…０，θｎ（）＝０，对 θｉ∈Ｒｐ成立．下面讨论输入控制ｕ及其镇定性问题．２ 逼近闭环系统的镇定性分析运用线性多参数情形下的Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ算法，从Ｌｙａｐｕｎｏｖ构造的多步设计中给出多参数Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ控制调节方案．看下面多参数反馈形式的系统：ｘ·ｉ＝ｆｉｘ１，…，ｘｉ（）＋ｇｉｘ１，…，ｘｉ（）ｘｉ＋１＋φｉｘ１，…，ｘｉ（）Ｔθｉ，１!ｉ!ｎ其中，ｘｎ＋１＝ｕ，ｘ∈Ｒｎ是状态，ｕ∈Ｒ是系统输入，ｆｉ，ｇｉ是光滑函数，ｇｉｘ１，…，ｘｉ（）≠０，φｉｘ１，…，ｘｉ（）是光滑向量场，θｉ是未知向量场，控制目标是调节ｘ１到常数参考值ｘ＊１．３ 控制器的设计首先，定义估计误差变量：３２第３７卷第２期何秋锦，等：一类非线性多参数系统的自适应控制问题 ｚｉ＝θ＾ｉ－θｉ＋βｉｘ１，…，ｘｉ（） ｉ＝１，２，…，ｎ（５）其次，对（３）求导，得ｚｉ的动态方程为ｚ·ｉ＝－θ＾·ｉ＋∑ｉｋ＝１βｉ ｘｋｆｋｘ１，…，ｘｋ（）＋ｇｋｘ１，…，ｘｋ（）ｘｋ＋１＋φＴｋｘ１，…，ｘｋ（）θ＾ｋ＋βｋｘ１，…，ｘｋ（）（）－ｚｋ［］（６）参数刷新率选为：θ＾·ｉ＝∑ｉｋ＝１ βｉ ｘｋｆｋｘ１，…，ｘｋ（）＋ｇｋｘ１，…，ｘｋ（）ｘｋ＋１＋φＴｋｘ１，…，ｘｋ（）θ＾ｋ＋βｋｘ１，…，ｘｋ（）（）［］于是有误差动态：ｚ·ｉ＝－∑ｉｋ＝１βｉ ｘｋφＴｋｘ１，…ｘｋ（）ｚｋ，（７）注意上式为下三角结构，其中βｉ的定义及假设：βｉ…，ｘｉ（）＝∫ｘｉ０ｋｉ…，ｘｉ（） φｉ θｉθ＾ｉ…，ｘｉ，θ＾ｉ（）ｄｘｉ其中ｋｉ·（）为正定函数，有如下假设及引理．假设１存在函数ｋｉ·（）及常数ｋｉ，满足ｋｉ·（） ｋｉ＞０，使得对所有的ｊ＝１，…，ｉ－１，有 βｉｘｊ＝δｉｊ…，ｘｊ（） φｉθｉθ＾ｉ…，ｘｉ，θ＾ｉ（）４ 控制器的设计本节方法思路是通过设计控制器，使得闭环系统就输出ｘ１－ｘ＊１和扰动φＴｉｚｉ是有限Ｌ２增益稳定的，并且所有的信号均有界．这意味着φＴｉｚｉ随ｔ→＋"将趋于０，从而得到希望的平衡点是全局渐近稳定的．下面我们通过递推方法来设计这样的控制器．第１步 定义ｘ～１＝ｘ１－ｘ＊１，其动态方程为ｘ～·１＝ｆ１ｘ１（）＋ｇ１ｘ１（）ｘ２＋φ１ｘ１（）Ｔθ１（８）令ｘ～２＝ｘ２－ξ２ｘ１，θ＾１（）（９）选择ξ２＝１ｇ１ｘ１（）－ｆ１ｘ１（）－φ１ｘ１（）Ｔθ＾１＋β１ｘ１（）（）－α１ｘ～１，θ＾１（）［］，（１０）其中α１·（）为将被设计的函数，将（５）代入（８）并考虑到（９）可得ｘ～·＝－α１ｘ１，θ＾１（）－φ１ｘ１（）Ｔｚ１＋ｇ１ｘ１（）ｘ～２第２步 对（９）式求导，得ｘ～·２＝ｆ２ｘ１，ｘ２（）＋ｇ２ｘ１，ｘ２（）ｘ３＋φ２ｘ１，ｘ２（）Ｔθ２－ξ２ｘ１ｘ·１－ ξ２ θ＾１θ＾·１．（１１）将ｘ３视为虚拟控制并定义ｘ·３＝ｘ３－ξ３ｘ１，ｘ２；θ＾１，θ＾２（），（１２）通过选择４２ 周口师范学院学报２０２０年３月ξ３＝１ｇ２ｘ１，ｘ２（）－ｆ２ｘ１，ｘ２（）－φ２ｘ１，ｘ２（）Ｔθ＾２＋β２ｘ１，ｘ２（）（）＋ ξ２ｘ１·ｆ１ｘ１（）＋ｇ１ｘ１（）ｘ２＋φ１ｘ１（）Ｔθ＾１＋β１ｘ１（）（）［］＋ ξ２ θ＾１θ＾·１－α２ｘ～１，ｘ～２；θ＾１，θ＾２（）烅烄烆烍烌烎（１３）按此步骤递推，直到推得真实控制ｕ出现的形式．第ｎ步 ｘ～·的动态方程为：ｘ～ｎ＝ｆｎｘ１，…，ｘｎ（）＋ｇｎｘ１，…，ｘｎ（）ｕ＋φｎｘ１，…，ｘｎ（）Ｔθｎ－∑ｎ－１ｋ＝１ ξｎ ｘｋｆｋｘ１，…，ｘｋ（）＋ｇｋｘ１，…，ｘｋ（）ｘｋ＋１＋φｋｘ１，…，ｘｋ（）Ｔθｋ［］－∑ｎ－１ｋ＝１ξｎ θ＾ｋθ＾·ｋ（１４）真实控制为：ｕ＝１ｇｎｘ１，…，ｘｎ（）－ｆｎｘ１，…，ｘｎ（）－φｎｘ１，…，ｘｎ（）Ｔθ＾ｎ＋βｎｘ１，…，ｘ２（）（）＋∑ｎ－１ｋ＝１ ξｎ ｘｋ［ｆｋ（ｘ１，…，ｘｋ）＋ｇｋ（ｘ１，…，ｘｋ）ｘｋ＋１＋φｋ（ｘ１，…，ｘｋ）Ｔ（θ＾ｋ＋βｋ（ｘ１，…，ｘｋ））］＋∑ｎ－１ｋ＝１ξｎ θ＾ｋθ＾·ｋ－αｎｘ～１，…，ｘ～ｎ；θ＾１，…θ＾ｎ（）烅烄烆烍烌烎（１５）因此，闭环系统在新坐标ｘ～１，…，ｘ～ｎ（）下化为：ｘ～·１＝－α１ｘ１，θ＾１（）－φ１ｘ１（）Ｔｚ１＋ｇ１ｘ１（）ｘ～２ｘ～·２＝－α２ｘ～１，ｘ～２；θ＾１，θ＾２（）＋ ξ２ ｘ１φ１ｘ１（）Ｔｚ１－φ２ｘ１，ｘ２（）Ｔｚ２＋ｇ２ｘ１，ｘ２（）ｘ～３ ｘ～·ｎ＝－αｎｘ～１，…，ｘ～ｎ；θ＾１，…，θ＾ｎ（）＋∑ｎ－１ｋ＝１ ξｎ ｘｋφｋｘ１，…，ｘｋ（）Ｔｚｋ－φｎｘ１，…，ｘｎ（）Ｔｚｎ烅烄烆（１６）定理４ 存在αｉ使得被误差动态方程（７）驱动的系统（１６）在原点全局渐近稳定，而且对于所有的ｉ＝１，…，ｎ有ｌｉｍｔ→＋"φｉｘ１ｔ（），…，ｘｉｔ（）（）Ｔｚｉｔ（）＝０．证 考虑函数Ｖ１ｘ～１，…，ｘ～ｎ（）＝１２∑ｎｋ＝１ｘ～２ｋ，（１７）则轨线（１７）沿系统（１６）的时间导数为Ｖ·１＝－ｘ～１α１ｘ～１，θ＾１（）－ｘ～１φ１ｘ１（）Ｔｚ１＋ｇ１ｘ１（）ｘ～１ｘ～２－ｘ～２α２ｘ～１，ｘ～２；θ＾１，θ＾２（）－ｘ～２φ２ｘ１，ｘ２（）Ｔｚ２＋ｘ～２ ξ２ ｘ１φ１ｘ１（）Ｔｚ１＋ｇ２ｘ１，ｘ２（）ｘ～２ｘ～３…－ｘ～ｎαｎｘ～１，…，ｘ～ｎ；θ＾１，…，θ＾ｎ（）－ｘ～ｎφｎｘ１，…，ｘｎ（）Ｔｚｎ＋ｘ～ｎ∑ｎ－１ｋ＝１ξｎ ｘｋφｋｘ１，…，ｘｋ（）Ｔｚｋ（１８）运用不等式ａ２＋ｂ２２ａｂ知：Ｖ·１!－ｘ～１α１ｘ～１，θ＾１（）＋ｇ１ｘ１（）ｘ～１ｘ～２－ｘ～２α２ｘ～１，ｘ～２；θ＾１，θ＾２（）＋ｇ２ｘ１，ｘ２（）ｘ～２ｘ～３…５２第３７卷第２期何秋锦，等：一类非线性多参数系统的自适应控制问题－ｘ～ｎαｎｘ～１，…，ｘ～ｎ；θ＾１，…，θ＾ｎ（）＋…＋ｎ４γ槡ｘ～ｎ ξｎｘ１（）２＋γｎ槡φＴ１ｚ１（）２＋…＋２４γ槡ｘ～ｎ ξｎｘｎ－１（）２＋γ２槡φＴｎ－１ｚｎ－１（）２ｎ４γ槡ｘ～１（）２＋…＋γｎ槡φＴ１ｚ１（）２＋ｎ－１４γ槡ｘ～２（）２＋γｎ－１槡φＴ２ｚ２（）２（１９）通过如下设计αｉ·（）：α１ｘ１（）＝ｃ１＋ｎ４γ（）ｘ～１，αｉ＝ｇｉ－１ｘ１，…，ｘｉ－１（）ｘ～ｉ－１＋ｃｉ＋ｎ－ｉ＋１４γ（）ｘ～ｉ＋∑ｉ－ｋｋ＝１ｎ－ｋ＋１４γ ξｉ ｘｋ（）２ｘ～ｉ，ｉ＝２，…，ｎ，（２０）其中，ｃｉ，γ＞０是任意可调正常数，所以有Ｖ·１!－∑ｎｋ＝１ｃｋｘ～２ｋ＋γ∑ｎｋ＝１φｋｘ１，…，ｘｋ（）Ｔｚｋ（）２．（２１）结合引理１，选择正定函数为Ｖ＝Ｖ１＋γ∑ｎｋ＝１εｉｚＴｉｚｉ，易得Ｖ·!－∑ｎｋ＝１ｃｋｘ～２ｋ＝：－Ｗ ｘ（）!０，由于Ｗ ｘ（）是连续和正定的，由ＬａＳａｌｌｅ－Ｙｏｓｈｉｚａｗａ定理可知，平衡点ｘ～＝０是全局渐近稳定的．５ 逼近系统的参数估计引用自适应参数的Ａ．Ｐ．Ｌ逼近［５］，将多参数Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ算法应用到系统（４）上，可将非线性多参数反馈系统（４）转化成带有纯参数反馈系统的模拟系统：ｘ·ｉ＝ｆｉｘ１，…，ｘｉ（）＋ｇｉｘ１，…，ｘｉ（）ｘｉ＋１＋ψｉｘ１，…，ｘｉ，θ＾ｉ（）＋ ψｉ θｉθ＾ｉθｉ－θ＾ｉ（）１!ｉ!ｎ－１ｘ·ｎ＝ｆｎｘ１，…，ｘｎ（）＋ｇｎｘ１，…，ｘｎ（）ｕ＋ψｎｘ１，…，ｘｎ，θ＾ｎ（）＋ ψｎθｎθ＾ｎθｎ－θ＾ｎ（）烅烄烆（２２）首先，重新定义估计误差变量：ｚｉ＝θ＾ｉ－θｉ＋βｉｘ１，…，ｘｉ（），ｉ＝１，２，…，ｎ，（２３）其中βｉ的定义为βｉ…，ｘｉ（）＝∫ｘｉ０ｋｉ…，ｘｉ（） ψｉ θｉθ＾ｉ…，ｘｉ，θ＾ｉ（）ｄｘｉ（２４）其次，对（２３）两边分别求导，得关于ｚｉ的动态方程为ｚ·ｉ＝θ＾·ｉ＋∑ｉｋ＝１ βｉ ｘｋｆｋｘ１，…，ｘｋ（）＋ｇｋｘ１，…，ｘｋ（）ｘｋ＋１＋ψｋｘ１，…，ｘｋ，θ＾ｋ（）＋ ψｋ θ＾ｋＴθ＾ｋβｋｘ１，…，ｘｋ（）－ｚｋ（）熿燀燄燅（２５）其中令ｘｎ＋１＝ｕ．选择下方形式的协调律θ＾ｉ消去ｚ·ｉ中的已知量，参数θ＾ｉ选为：θ＾·ｉ＝－∑ｉｋ＝１ βｉ ｘｋｆｋｘ１，…，ｘｋ（）＋ｇｋｘ１，…，ｘｋ（）ｘｋ＋１＋ψｋｘ１，…，ｘｋ，θ＾ｋ（）＋ ψｋ θ＾ｋＴθ＾ｋβｋｘ１，…，ｘｋ（）熿燀燄燅（２６）于是有如下误差动态方程：ｚ·ｉ＝－∑ｉｋ＝１ βｉｘｋ ψｋθｋＴθ＾ｋｚｋ（２７）注意上式为下三角结构，有假设及引理：假设２＇存在函数ｋｉ·（）及常数ｋｉ，其中ｋｉ·（）为正定函数，满足ｋｉ·（） ｋｉ＞０，使得对所有的ｊ＝６２ 周口师范学院学报２０２０年３月１，…，ｉ－１，有βｉ ｘｊ＝δｉｊ…，ｘｊ（） ψｉ θｉθ＾ｉ…，ｘｉ，θｉ（）（２８）引理１［４］ 考查系统（２６），函数βｉ（·）由式（２７）给出，设对所有ｉ＝１，…，ｎ，若假设２＇成立，则存在常数εｉ＞０，ｄｄｔ∑ｎｉ＝１εｉｚＴｉｚｉ（）!－∑ｎｉ＝１ ψｉ θｉＴθ＾ｉｚｉ（）２（２９）６ 控制器的设计本节继续通过类似５节设计控制器ｕ使得闭环系统（２２）就输出ｘ１－ｘ＊１和扰动 ψｉ θｉＴθ＾ｉｚｉ为有限Ｌ２增益稳定的，并且所有的信号在条件下保证均有界．这可以证明 ψｉθｉＴθ＾ｉｚｉ将随着ｔ→＋"而趋于０，从而得到希望的平衡点能保证全局渐近稳定．下面笔者来递推设计这样的控制器：第１步 定义ｘ～１＝ｘ１－ｘ＊１，其动态方程为ｘ～·１＝ｆ１ｘ１（）＋ｇ１ｘ１（）ｘ２＋ψ１ｘ１，θ＾１（）＋ ψ１θ１Ｔθ＾１θ１，θ＾１（）．（３０）将ｘ２视为虚拟控制并定义ｘ～２＝ｘ２－ξ２ｘ１，θ＾１（），（３１）选择ξ２＝１ｇ１ｘ１（）－ｆ１ｘ１（）－ψ１ｘ１，θ＾１（）－ ψ１θ１Ｔθ＾１β１ｘ１（）－α１ｘ～１，θ＾１（）［］，（３２）其中，α１·（）为将被设计的函数，将（２３）代入（３０）并注意到（３１）可得ｘ～·１＝－α１ｘ１，θ＾１（）－ ψ１θ１Ｔθ＾１ｚ１＋ｇ１ｘ１（）ｘ～２．第２步 对（３１）求导，得ｘ～·２＝ｆ２ｘ１，ｘ２（）＋ｇ２ｘ１，ｘ２（）ｘ３＋φ２ｘ１，ｘ２，θ＾２（）＋ ψ２θ２Ｔθ＾２θ２－θ＾２（）－ ξ２ｘ１ｘ·１－ ξ２ θ＾１θ＾·１（３３）将ｘ３视为虚拟控制并定义ｘ～３＝ｘ３－ξ３ｘ１，ｘ２；θ＾１，θ＾２（），（３４）通过选择ξ３＝１ｇ２ｘ１，ｘ２（）－ｆ２ｘ１，ｘ２（）－φ２ｘ１，ｘ２，θ＾２（）－ ψ２θ２Ｔθ＾２β２ｘ１，ｘ２（）＋ ξ２ ｘ１ｆ１ｘ１（）＋ｇ１ｘ１（）ｘ２＋φ１ｘ１，θ＾１（）＋ ψ１θ１Ｔθ＾１β１ｘ１（）［］＋ ξ２θ＾１θ＾·１－α２ｘ～１，ｘ～２；θ＾１，θ＾２（）烅烄烆烍烌烎（３５）将（３５）代入（３４）与（３３）得ｘ～·２＝－α２ｘ～１，ｘ～１；θ＾１，θ＾２（）＋ ξ２ ｘ１ ψ１θ１Ｔθ＾１ｚ１－ ψ２ θ２Ｔθ＾２ｚ２＋ｇ２ｘ１，ｘ２（）ｘ～３按此步骤递推，直到真实控制出现．７２第３７卷第２期何秋锦，等：一类非线性多参数系统的自适应控制问题第ｎ步 ｘ～ｎ的动态为：ｘ～·ｎ＝ｆｎｘ１，…，ｘｎ（）＋ｇｎｘ１，…，ｘｎ（）ｕ＋φｎｘ１，…，ｘｎ，θ＾ｎ（）－ ψｎ θｎＴθ＾ｎθｎ－θ＾ｎ（）－∑ｎ－１ｋ＝１ ξｎ ｘｋｆｋｘ１，…，ｘｋ（）＋ｇｋｘ１，…，ｘｋ（）ｘｋ＋１＋φｋｘ１，…，ｘｋ，θ＾ｋ（）－ ψｋ θｋＴθ＾ｋθｋ－θ＾ｋ（）熿燀燄燅－∑ｎ－１ｋ＝１ ξｎ θ＾ｋθ＾·ｋ（３６）从而真实控制选为：ｕ＝１ｇｎｘ１，…，ｘｎ（）－ｆｎｘ１，…，ｘｎ（）－ψｎｘ１，…，ｘｎ，θ＾ｎ（）－ ψｎθｎＴθ＾ｎβｎｘ１，…，ｘｎ（）＋∑ｎ－１ｋ＝１ ξｎ ｘｋｆｋｘ１，…，ｘｋ（）＋ｇｋｘ１，…，ｘｋ（）ｘｋ＋１＋φｋｘ１，…，ｘｋ，θ＾ｋ（）Ｔ＋ψｋθｋＴθ＾ｋβｋｘ１，…，ｘｋ（）熿燀燄燅＋∑ｎ－１ｋ＝１ξｎ θ＾ｋθ＾·ｋ－αｎｘ～１，…，ｘ～ｎ；θ＾１，…θ＾ｎ（）烅烄烆烍烌烎（３７）代入（２２）闭环系统，因此闭环系统在新坐标ｘ～１，…，ｘ～ｎ（）下化为：ｘ～·１＝－α１ｘ１，θ＾１（）－ ψ１θ１Ｔθ＾１ｚ１＋ｇ１ｘ１（）ｘ～２ｘ～·２＝－α２ｘ～１，ｘ～２；θ＾１，θ＾２（）＋ ξ２ ｘ１ ψ１θ１Ｔθ＾１ｚ１－ ψ２θ２Ｔθ＾２ｚ２＋ｇ２ｘ１，ｘ２（）ｘ～３ｘ～·ｎ＝－αｎｘ～１，…，ｘ～ｎ；θ＾１，…，θ＾ｎ（）＋∑ｎ－１ｋ＝１ ξｎ ｘｋ ψｋθｋＴθ＾ｋｚｋ－ψｎ θｎＴθ＾ｎｚｎ烅烄烆（３８）笔者的主要结果为：定理５ 存在αｉ使得被误差动态方程（２６）驱动的系统（３８）在原点全局渐近稳定，而且对于所有ｉ＝１，…，ｎ，有ｌｉｍｔ→＋" ψｉ θｉＴθ＾ｉｚｉｔ（）＝０．证 构造函数Ｖ１ｘ～１，…，ｘ～ｎ（）＝１２∑ｎｋ＝１ｘ～２ｋ，（３９）则轨线（３９）沿系统（３８）的时间导数为Ｖ·１＝－ｘ～１α１ｘ～１，θ＾１（）－ｘ～１ ψ１θ１Ｔθ＾１ｚ１＋ｇ１ｘ１（）ｘ～１ｘ～２－ｘ～２α２ｘ～１，ｘ～２；θ＾１，θ＾２（）－ｘ～２ ψ２θ２Ｔθ＾２ｚ２＋ｘ～２ ξ２ｘ１ ψ１θ１Ｔθ＾１ｚ１＋ｇ２ｘ１，ｘ２（）ｘ～２ｘ～３－…－ｘ～ｎαｎｘ～１，…，ｘ～ｎ；θ＾１，…，θ＾ｎ（）－ｘ～ｎ ψｎθｎＴθ＾ｎｚｎ＋ｘ～ｎ∑ｎ－１ｋ＝１ ξｎｘｋ ψｋ θｋＴθ＾ｋｚｋ运用不等式ａ２＋ｂ２２ａｂ知：Ｖ·１!－ｘ～１α１ｘ～１，θ＾１（）＋ｇ１ｘ１（）ｘ～１ｘ～２－ｘ～２α２ｘ～１，ｘ～２；θ＾１，θ＾２（）＋ｇ２ｘ１，ｘ２（）ｘ～２ｘ～３…－ｘ～ｎαｎｘ～１，…，ｘ～ｎ；θ＾１，…，θ＾ｎ（）＋…＋ｎ４γ槡ｘ～ｎ ξｎｘ１（）２＋γｎ槡 ψ１θ１Ｔθ＾１ｚ１（）２＋…＋２４γ槡ｘ～ｎ ξｎｘｎ－１（）２＋γ２槡ψｎ－１ θｎ－１Ｔθ＾１ｚｎ－１（）２ｎ４γ槡ｘ～１（）２＋…＋ｎ－１４γ槡ｘ～２（）２＋γｎ－１槡ψ２θ２Ｔθ＾１ｚ２（）２（４０）８２ 周口师范学院学报２０２０年３月通过如下设计αｉ·（）：α１＝ｃ１＋ｎ４γ（）ｘ～１，αｉ＝ｇｉ－１ｘ１，…，ｘｉ－１（）ｘ～ｉ－１＋ｃｉ＋ｎ－ｉ＋１４γ（）ｘ～ｉ＋∑ｉ－ｋｋ＝１ｎ－ｋ＋１４γ ξｉ ｘｋ（）２ｘ～ｉ，ｉ＝２，…，ｎ，（４１）其中，ｃｉ，γ＞０是任意可调正常数，所以有Ｖ·１!－∑ｎｋ＝１ｃｋｘ～２ｋ＋γ∑ｎｋ＝１ψｋ θｋＴθ＾ｋｚｋ（）２．（４２）同理结合引理１，选择正定函数Ｖ＝Ｖ１＋γ∑ｎｋ＝１εｉｚＴｉｚｉ，由（２９）和（４２），易得Ｖ·!－∑ｎｋ＝１ｃｋｘ～２ｋ＝：－Ｗ ｘ（）!０，由于Ｗ ｘ（）是连续和正定的，由ＬａＳａｌｌｅ－Ｙｏｓｈｉｚａ－ｗａ定理可知，平衡点ｘ～＝０是全局渐近稳定的．参考文献：［１］Ｄ．Ｇ．Ｔａｙｌｏｒ，Ｐ．Ｖ．Ｋｏｋｏｔｏｖｉｃ，Ｒ．Ｍａｒｉｎｏ，ｅｔ ａｌ．Ａｄａｐｔｉｖｅ ｒｅｇｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎ ｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｕｎｍｏｄｅｌｌｅｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．，Ａｕｔｏｍａｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８９，３４：４０５－４１２．［２］Ｒ．Ａ．Ｆｒｅｅｍａｎ，Ｐ．Ｖ．Ｋｏｋｏｔｏｖｉｃ．Ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ ｉｎ ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊ．Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｏｐｔｉｍ，１９９６，３４：１３６５－１３９１．［３］Ｅ．Ｄ．Ｓｏｎｔａｇ．Ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ Ａｒｔｓｔｅｉｎ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｅｔｔ．，１９８９，１３：１１７－１２３．［４］Ｒ．Ａ．Ｆｒｅｅｍａｎ，Ｐ．Ｖ．Ｋｏｋｏｔｏｖｉｃ．Ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ ｉｎ ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊ．Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｏｐｔｉｍ，１９９６，３４：１３６５－１３９１．［５］何秋锦．一类非线性参数的自适应控制［Ｄ］．郑州：郑州大学硕士论文，２００７．Ａｄａｐｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｕｌｔｉ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓＨＥ Ｑｉｕｊｉｎ１，ＺＨＡＮＧ Ｘｉｎｇｈｏｎｇ ２（１．Ｚｈｕｊｉａｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０９００，Ｃｈｉｎａ；２．Ｈｅｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉｎｘｉａｎｇ ４５３００３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｏｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇｃｏｎｔｒｏｌ ｔｅｒｍｓ，ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ｌｉｎｅａｒｉｚｅ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅｅｘｔｅｎｄｅｄ ｆｏｒｍ ｏｆ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｐｕｒｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｆｏｒｍｓ：Ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｕｌｔｉ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｆｏｒｍ，ｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｂａｓｅｄｏｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒ Ｔａｙｌｏｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｖｅｒｔｓ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｕｌｔｉ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｎｔｏ ａ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｐｕｒｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｆｅｅｄｂａｃｋ ｆｏｒｍ，ａｎｄ ｔｈｅ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｓｔｉｌｌ ａ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍ ａｔ ｌｅａｓｔ ｌｏｃａｌｌｙ．Ｂｏｒｒｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｆｅｅｄｂａｃｋ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｗｅ ｅｘｐａｎｄ ｉｔ ａｎｄ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｔｏ ｅｎｓｕｒｅ ｇｏｏｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｙｓｔｅｍ．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｍｕｌｔｉ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｓｙｓｔｅｍ；ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ（责任编辑 闫建军）９２第３７卷第２期何秋锦，等：一类非线性多参数系统的自适应控制问题。
一类具有位势的非线性薛定谔方程组的定性分析
一类具有位势的非线性薛定谔方程组的定性分析毕业论文标题1：位势对非线性薛定谔方程的影响摘要：这篇毕业论文的主要研究内容是位势对非线性薛定谔方程的影响。
薛定谔方程是描述微观粒子的运动的基本方程，在量子力学的研究中起着重要的作用。
非线性薛定谔方程则是描述复杂的粒子运动系统的方程。
本文通过对位势的分析，探究其对非线性薛定谔方程解的影响及其对物理现象的解释。
首先，本文通过简单的数学模型，分析了位势如何影响薛定谔方程的解。
位势一般分为几类：有限势、无限势和周期势。
然后，本文从对位势的不同分类出发，对薛定谔方程的解进行了详细的分析，并探究位势如何影响非线性薛定谔方程的稳定性和变化规律。
然后，本文将位势与非线性薛定谔方程的解联系起来，阐述了位势对非线性薛定谔方程解的影响。
在这个过程中，本文考虑了位势对具体物理现象的解释，如束缚态、散射态、谐振子等。
通过对比实际物理现象和薛定谔方程的描述，本文探究了位势对非线性薛定谔方程解的定量影响。
最后，本文对位势对非线性薛定谔方程的影响进行了总结，指出了这方面的研究方向和未来的发展趋势。
同时，本文也提出了一些关于非线性薛定谔方程的未解之谜和待解决的问题。
本文的研究结果对深入理解薛定谔方程的数学和物理本质有积极的贡献。
毕业论文标题2：缺陷对非线性薛定谔方程的影响摘要：本文研究了非线性薛定谔方程中缺陷对其解的影响。
缺陷是指材料中的缺陷，如缺陷点、缺陷环等。
在材料科学研究中，缺陷是材料性质的主要因素之一，非线性薛定谔方程的研究也需要考虑缺陷对其解的影响。
本文首先通过模拟仿真方法，研究了不同类型的缺陷如何影响材料的能量和非线性薛定谔方程的解。
然后，本文对不同类型的缺陷进行分类，分析了不同类型的缺陷对非线性薛定谔方程的影响。
接着，本文对缺陷的影响进行了数学上的分析，在这个过程中，本文详细阐述了非线性薛定谔方程中缺陷的定义和描述，并从数值角度探究了缺陷对薛定谔方程的解的影响。
最后，本文着重总结了缺陷对非线性薛定谔方程的影响，并指出了非线性薛定谔方程中缺陷研究的未来研究方向。
一类非线性系统的自适应神经网络控制
本文采用 RB F 网络逼近连续函数 h ( ) : R p →
R,即
+ 1) 为正, 在区间 ( 4n + 1, 4n + 3) 为负, n 为整数 .
456
控 制 与 决 策
x i = F i ( x i , 0 ) + G i ( x i , x i+ 1 ) x i+ 1 + d i ( t ) ,
第 20 卷
4n + 5 2 4n + 3 2 2 g ( ) exp ( Ν ) co s
α
θ
θ
1 ≤ i ≤ n - 1; α θ θ x n = F n ( x n , 0) + G n ( x n , u ) u + d n ( t). 其中 θ θ F i ( x i , 0) = f i ( x i , 0) , 1 ≤ i ≤ n 1;
作者简介: 杜红彬 ( 1974—) , 男, 河北无极人, 博士后, 从事过程及智能自适应控制等研究; 邵惠鹤 ( 1936—) , 男, 浙江 宁波人, 教授, 博士生导师, 从事过程优化控制等研究. © 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
足够多的神经元节点后, 网络可在闭区间 8 < R p 上 逼近任意的光滑函数 3 T h (z ) = W S (z ) + Ε , Π z ∈ 8.
非线性KdV-Schr(o)dinger方程的近似解
非线性KdV-Schr(o)dinger方程的近似解
迟晓丽
【期刊名称】《上海电机学院学报》
【年(卷),期】2008(011)002
【摘要】为了研究非线性KdV-Schrodinger方程解的性质,介绍了方程解的基本结论及谱格式,利用谱方法,讨论了方程的近似解,得到了近似吸引子的存在性.
【总页数】3页(P151-153)
【作者】迟晓丽
【作者单位】上海电机学院文理学院,上海,200240
【正文语种】中文
【中图分类】O241.7
【相关文献】
1.非线性与立方非线性Schr(o)dinger方程的多级准确解 [J], 钱天虹;刘中飞;韩家骅
2.一类带势的非线性Schr(o)dinger方程组解整体存在和解爆破的最佳条件 [J], 张艳;吕中学
3.具临界非线性项的随机非线性Schr(o)dinger方程的整体解 [J], 李姣;张健
4.变系数非线性Schrödinger方程的精确解和相似解 [J], 马林;危寰
5.非线性Schrōdinger方程和非线性Klein-Gordon方程耦合组Cauchy问题整体经典解的存在唯一性 [J], 阿里甫买买提
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一类非线性水轮机调节系统动力学模型的稳定性和Hopf分支研究
一类非线性水轮机调节系统动力学模型的稳定性和Hopf分支研究一类非线性水轮机调节系统动力学模型的稳定性和Hopf分支研究一、引言水轮机是一种常用的水能转换装置，广泛应用于水电站等能源领域。
在水轮机的运行过程中，其调节系统对于维持系统的稳定运行起着至关重要的作用。
研究水轮机调节系统的动力学特性，能够为水轮机的性能优化和安全运行提供理论指导。
本文将针对一类非线性水轮机调节系统的动力学模型，探讨其稳定性和Hopf分支特性。
二、问题描述考虑一个具有非线性特性的水轮机调节系统，其数学模型可以描述为如下形式：$$\begin{cases}\dot{x} = f(x, y) \\\dot{y} = g(x, y)\end{cases}$$其中，$x$和$y$分别表示系统的状态变量，$f(x, y)$和$g(x, y)$为非线性函数。
三、稳定性分析为了研究系统的稳定性，我们可以通过判断系统的状态变量是否收敛到某个稳定点来得出结论。
稳定点是系统状态变量不再变化的特殊点，可以通过求解系统的稳定点方程得到。
稳定点方程即令$\dot{x}=0$和$\dot{y}=0$，解得系统的稳定点$(\bar{x}, \bar{y})$。
接下来，我们可以通过线性化系统方程近似描述非线性系统的行为。
使用雅可比矩阵可以将系统方程线性化为如下形式：$$\begin{bmatrix}\delta \dot{x} \\\delta \dot{y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partialf}{\partial y} \\\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partialg}{\partial y}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta x \\\delta y\end{bmatrix}$$其中，$\delta x = x - \bar{x}$和$\delta y = y -\bar{y}$表示状态变量的偏差。
一类非线性切换系统的稳定域
收稿日期:2005-04-01基金项目:国家自然科学基金资助项目(60274009);沈阳市科技计划项目(10220360-1-07)#作者简介:李浚圣(1963-),男,辽宁沈阳人,东北大学博士研究生,沈阳大学副教授;原忠虎(1962-),男,辽宁大连人,沈阳大学教授;李建华(1957-),男,辽宁盘锦人,沈阳大学教授;高立群(1949-),男,辽宁沈阳人,东北大学教授,博士生导师#第27卷第2期2006年2月东北大学学报(自然科学版)Journal of Northeastern U niversity(Natural Science)Vol 127,No.2Feb.2006文章编号:1005-3026(2006)02-0127-04一类非线性切换系统的稳定域李浚圣1,原忠虎2,李建华2,高立群1(1.东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳 110004; 2.沈阳大学信息工程学院,辽宁沈阳 110044)摘 要:在生物学超循环(Hy percycle)系统的基础上,提出了非线性循环系统和非线性循环切换系统的概念,并建立了数学模型,这类系统具有广泛的实际背景#分别研究了非线性循环系统和非线性循环切换系统的稳定域问题,并通过系统循环矩阵的特征值,给出了非线性循环切换系统在任意切换律和确定切换律下的稳定域#仿真实验进一步检验了结论的正确性#关 键 词:切换系统;非线性系统;循环系统;切换律;稳定域中图分类号:T P 273 文献标识码:A切换系统是由连续动态系统作为子系统,通过离散切换量组成的较为复杂的一类系统,属于混杂系统的范畴#切换系统已经成功应用到飞机多工作点的飞行控制、电力系统网络的切换、多频采样数字控制系统、无线电通讯、受约束机械人、高速公路、柔性生产制造等许多领域#文献[1~3]研究的舞蹈机器人也是切换系统应用的较好例子#稳定性是控制系统基本而重要的特性#有关切换系统稳定性的问题,已经有一些研究,但结果主要集中在线性切换系统#由于非线性的复杂性,只能对特殊的非线性系统进行研究#本文将对一类存在于生物学领域中的非线性循环切换系统,研究其稳定性情况,给出在任意切换律下和确定切换律下的稳定域#1 系统模型描述艾根(Eigen)在生命起源和生物进化的研究中,提出了超循环自组织进化论[4,5]#循环和发展是相互联系的,大自然的万物在循环中发展,在发展中循环#在系统内部,所有组成系统的各个种类,都是以一种循环的方式,相互联系#每一个种类的变化率,除接收自己的信息以外,还接收系统的前一个种类的信息,并且也接收后一个种类的信息[6]#如果记系统的各个种类为x 1,x 2,,,x n ,则这类系统可以表示为Ûx 1=f (x 1,x 2,,,x n ),Ûx 2=f (x 2,x 3,,,x 1), sÛx n=f (x n ,x 1,,,x n-1)#(1)规定第n 个种类x n 的下一个种类是x 1,这是以种类x 1,x 2,,,x n 构成的非线性循环系统#在文献[5~7]的讨论中,都是把f (x 1,x 2,,,x n )作为x 1,x 2,,,x n 的二次函数#因此,不妨设f (x 1,x 2,,,x n )=aX +X T BX ,其中,X =(x 1,x 2,,,x n )T 为状态向量,a =(a 1,a 2,,,a n )为f (x 1,x 2,,,x n )的一次项系数向量,对称矩阵B I R n @n 是f (x 1,x 2,,,x n )的二次齐次项系数矩阵#记E =01,0000,00s s s s 00,011,n @n,(2)则E 是一个正交阵#用E 作为基本变换矩阵,则状态向量之间的关系可以表示如下:(x 2,x 3,,,x 1)T =EX ,(x 3,x 4,,,x 2)T =E 2X ,,,(x n ,x 1,,,x n-1)T=E n-1X #所以,有f (x 1,x 2,,,x n )=f (X )=aX +X T BX ,f (x 2,x 3,,,x 1)=f (EX )=aEX +X T E T BEX ,sf(x n,x1,,,x n-1)=f(E n-1X)= aE n-1X+X T(E n-1)T BE n-1X#记A=aaEsaE n-1=a1a2,a na n a1,a n-1s s sa2a3,a1n@n,(3)则A是循环矩阵[8],其循环元素为a1,a2,,, a n,采用文献[8]的记号,有A=cl(a1,a2,,,a n) I R n@n#再记 B i=(E i-1)T BE i-1,i=1,2,,,n,则非线性循环系统(1)可表示为ÛX=AX+F(B,X),(4)其中,F T(B,X)=(X TB1X,X TB2X,,, X TB n X),X=(x1,x2,,,x n)T是状态的向量#在系统的演化过程中,当满足一定的参数条件时,将产生一个从催化(catalysis)到抑制(suppression)的切换点,形成切换系统#环境的改变、人为的控制、突发事件的产生等等,都有可能产生切换点,从而有非线性循环切换系统:ÛX=A j X+F(B j,X)(j=1,2,,,m),(5)其中,A j=cl(a(j)1,a(j)2,,,a(j)n)I R n@n为第j个子系统中一次项的系数矩阵,是循环矩阵#F T (B j,X)=(X TB(j)1X,X TB(j)2X,,,X TB(j)n X)是第j个子系统中二次齐次项函数,B(j)i= (E i-1)T B j E i-1,i=1,2,,,n,j=1,2,,,m#对称矩阵B j为第j个子系统中二次齐次项系数矩阵#2准备工作引理1[8]循环矩阵A=cl(a1,a2,,,a n)的特征值集合为K(A)={K1,K2,,,K n},其中,K i=a1X0i +a2X1i+,+a n X n-1i,(6)i=1,2,,,n,并存在与循环元素a1,a2,,,a n 无关的特征向量N i=(X0i,X1i,,,X n-1i)T,而X i=cos 2(i-1)Pn+i sin2(i-1)Pn是式(2)中矩阵E的特征值#引理2[8]对于循环矩阵A=cl(a1,a2,,, a n),存在与循环元素a1,a2,,,a n无关的酋矩阵G I C n@n,使G*AG=diag(K1,K2,,,K n)#其中,K i由式(6)给出#引理3由循环矩阵A=cl(a1,a2,,,a n)构成的对称阵A+A T,其特征值集合为K(A+A T)={2Re(K1),2Re(K2),,,2Re(K n)}#其中, K i是矩阵A=cl(a1,a2,,,a n)的特征值#证明由引理2,存在酋矩阵G I C n@n,使G*AG=diag(K1,K2,,,K n),取共轭转置得G*A T G=diag( K1, K2,,, K n)#因此有G*(A+ A T)G=diag(K1+ K1,K2+ K2,,,K n+ K n),即K(A+A T)=(2Re(K1),2Re(K2),,,2Re(K n)}#在非线性循环系统(4)中,可以看出,系统状态的平衡点,就是原点#因此,系统的稳定区域包含原点#下面给出该系统稳定域的判别定理#定理1对于非线性循环系统(4),如果矩阵A=cl(a1,a2,,,a n)是稳定的,记K(A)={K1, K2,,,K n},K(B)={L1,L2,,,L n},令K Max= Max{Re(K1),Re(K2),,,Re(K n)},|L|M ax=M ax{|L1|,|L2|,,,|L n|},取Q=-K M axn|L|Max,则区域8={X|X T X<Q2}是非线性循环系统(4)的一个稳定域#证明因为矩阵A=cl(a1,a2,,,a n)是稳定的,即Re(K i)<0,i=1,2,,,n#由引理3可得K(A+A T)={2Re(K1),2Re(K2),,,2Re(K n)},即A T+A是稳定的#取正定二次函数V(X)= X T X为Lyapunov函数,沿系统(4)求导数,有ÛV(X)=ÛX T X+X TÛX=X T(A T+A)X+2(X TB1X,X T B2X,,,X T B n X)X[2K Max X T X+2n|L|Max X T X X T X=2(K Max+n|L|M a x X T X)X T X#这样,只要K Max+n|L|M ax X T X<0,即X T X<-K M axn|L|Max=Q,就有ÛV(X)<0,从而使得系统稳定#因此,区域8={X|X T X<Q2}是系统的一个稳定域#3主要结果3.1系统在任意切换律下的稳定域定理1给出单个非线性循环系统的稳定域#以单个非线性循环系统作为子系统构成的切换系统,可利用定理1的结果,解决其在任意切换律下的稳定域问题#定理2对于非线性循环切换系统(5),如果每个子系统中一次项的系数矩阵A i=cl(a(i)1, a(i)2,,,a(i)n)都是稳定的,设K(A i)={K(i)1,K(i)2,,,K(i)n},K(B i)={L(i)1,L(i)2,,,L(i)n}#令128东北大学学报(自然科学版)第27卷K(i)Max=M ax{Re(K(i)1),Re(K(i)2),,,Re(K(i)n)}, |L|(i)Max=Max{|L(i)1|,|L(i)2,|,,,|L(i)n|,取Q i=-K(i)Maxn|L|(i)M ax,令Q=Min{Q i|i=1,2,,,n},则区域8={X|X T X<Q2}是非线性循环切换系统(5)在任意切换律下的一个稳定域#证明对系统(5)中的每个子系统ÛX=A i X +F i X,由定理1构造8={X|X T X<Q2i},i=1, 2,,,n#显然8<8i,取V(X)=X T X作为Lyapunov函数,则对任意的初始值X0I8,沿第i个子系统求导数,有ÛV(X)=X T(A Tj+A j)X+2(X TB(j)1X,X TB(j)2X,,,X TB(j)n X)X[ 2K(j)M a x X T X+2n L(j)M a x X T X X T X=2(K(j)Max+n L(j)Max X T X)X T X<0#从而,8是系统(5)在任意切换律下的一个稳定域#3.2系统在确定切换律下的稳定域如果非线性循环切换系统(5)中,一次项的系数矩阵A j I R n@n,j=1,2,,,m,不都是稳定的,则至少存在某个矩阵A k=cl(a(k)1,a(k)2,,, a(k)n)不是稳定的,系统(5)就不可能存在任意切换律下的稳定域#但是,如果矩阵组{A1,A2,,, A m}满足凸组合[9,10]条件,则可以设计一个切换律,使系统(5)在确定切换律下,存在一个稳定域#定理3对于非线性循环切换系统(5),如果它的一次项系数矩阵A j I R n@n,j=1,2,,,m,不都是稳定的,但是存在一组非负常数S1,S2, ,,S m,使得S1A1+S2A2+,+S m A m是稳定的#记A=S1A1+S2A2+,+S m A m,B=S1B1+ S2B2+,+S m B m,设K(A)={K1,K2,,,K n},K (B)={L1,L2,,,L n},令K M ax=M ax{Re(K1), Re(K2),,,Re(K n)},|L|Max=M ax{|L1|,|L2|, ,,|L n|}及Q=-K Maxn|L|Max,则可以设计一个切换律,使得系统(5)在这个确定切换律下,以区域8 ={X|X T X<Q2}为一个稳定域#证明由于A=S1A1+S2A2+,+S m A m 为循环矩阵,B=S1B1+S2B2+,+S m B m为对称阵,因而以A,B构造的非线性循环系统,由定理1就能够确定稳定域8,使得选取的Ly apunov 函数V(X)=X T X对任意的X I8,都有ÛV(X) <0#由于ÛV(X)=6m j=1S jÛV j(X),其中ÛV j(X)= X T(A T j+A j)X+2(X TB(j)1X,X TB(j)2X,,, X TB(j)n X)X,它是V(X)=X T X沿第j个子系统的导数,其中,B(j)1=(E i-1)T B j E i-1#对任意确定的X I8,由ÛV(X)=6m j=1S jÛV j(X)<0,说明至少存在某个ÛV j(X)<0成立#令W j={X|ÛV j(X)<0,X I8},则有8=G W j#令 W1= W1,W2=W2-W1,,,W m=W m-W m-1,设计切换律如下:当X I8HW1,运行第一个子系统,当X I8HW2,运行第二个子系统,s当X I8HW m,运行第m个子系统#(7)则均有ÛV(X)<0,故系统(5)在确定切换律(7)下,以区域8=(X|X T X<Q2}为一个稳定域#4实例仿真通过实际例子,考察非线性循环切换系统稳定域#例1非线性循环切换系统为ÛX=A j X+ F j(B j,X),j=1,2,3,其中,A1=cl(-5,-2,1),A2=cl(-7,-3,1),A3=cl(-8,3,-1); B1=-017-015-0103-015012-0103-0103-0103112,B2=017-014011-014018-013011-013-116,B3=-115-016-013-016014-011-013-011115#通过计算得:K(A1)={-415+j216,-415-j216,-6},K(A2)={-416+j715,-416-j715,-1118},K(A3)={-811+j714,-811-j714,-718}#所以A j都是稳定矩阵#由定理2,可以得到一个在任意切换律下的稳定域#进一步计算得K(B1)={-019,014,112},K(B2)={-116,014,112},K(B3)={-117,016,115},K(1)Max =-415,K(2)Max=-416,K(3)M ax=-718,|L|(1)Max= 112,|L|(2)M a x=116,|L|(3)Max=117,Q1=2117,Q2=129第2期李浚圣等:一类非线性切换系统的稳定域1166,Q 3=2165#取Q =M in {Q 1,Q 2,Q 3}=1166,则区域8={X |X T X <11662}是系统的一个稳定域#选取初始值(-018,-013,017)T I 8,取任意(随机)切换律,仿真结果见图1#图1 切换系统在任意切换律下的状态运行轨迹F i g.1 State m ovement tr ack of swi tched system inaccordance to arbi trar y switching law5 结 语本文讨论了一类非线性切换系统的稳定域问题,给出稳定域的一种确定方法#但是,这个稳定域还不是最大的#在仿真过程中,发现这样的例子,当初始点在稳定域之外,也有切换系统收敛的情况#这说明,本文所确定的稳定域还可以进一步/放大0#有关稳定域的形状特征,目前只能证明它是个超球体#稳定域的形状能否为椭球体或其他形状,以及稳定域更详细的特性,还有待进一步的研究#参考文献:[1]M cGeer T.Passive dynamic walking [J ].International Jou rnal of R obotics Research ,1990,9(2):62-82.[2]Gosw ami A,Espiau B,Keraman e A.Limi t cycles in a passive compass gai t biped and passivi ty mimicking control law s[J ].Jou rnal of A utonomous R obu ts ,1997,4(3):127-131.[3]M ark W.Some aspects of sw i tching control in robot locomotion[J ].Au tomatisier ungstechnik ,2000,48:1-8.[4]Eigen M.S teps towar ds lif e:a p erspectiv e on e volu tion [M ].Oxford:Oxford University Press,1992.65-92.[5]Eigen M ,S chuster P.T he hyper c ycle :a p rinciple of natural self-organization [M 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the concepts of nonlinear circulant system and nonlinear circulant switched system and develops corresponding ly the mathematical models,which are extended from Hypercycle as a biolog ical.T he two kinds of systems thus have a w ide backg round in practice.T he stability domain of both systems proposed ar e studied separately,and the stability domain of the nonlinear circulant sw itched system in accordance to arbitrary and certain sw itching laws is given in ter ms o f the eig envalues of circulant system matrices.Simulation has verified the r esults.Key words:sw itched system;nonlinear system;circulant system;switching law;stability domain(Receiv ed A p r il 1,2005)130东北大学学报(自然科学版) 第27卷。
非线性耦合schr
非线性耦合schr dinger-kdv方程组的精确解段良霞;陈怀堂【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(015)002【摘要】In this paper,the complex hyperbolicofunction method is prestented for constructing exact solutions of the coupled schr dinger-kdv equations and（2＋1）odimensional Davey Stewartson equations with computerized symbolic software.by this methodr,some exact soluitions of these equations are obtained,and the application of the complex hyperbolic-function method is generalized.%借助于计算机符号计算软件,利用复双曲函数方法求解了非线性耦合schr dinger-kdv方程组和（2＋1）-维Davey-Stewartson方程组,得到了方程组的解,拓展了复双曲函数方法的应用.【总页数】4页(P13-15,21)【作者】段良霞;陈怀堂【作者单位】临沂大学理学院,山东临沂276005;山东师范大学数学科学学院,山东济南250014【正文语种】中文【中图分类】O175【相关文献】1.非线性耦合Schr(o)dinger-Kdv方程组的周期波解 [J], 李拔萃2.耦合的Schr(o)dinger-kdv方程组的精确解 [J], 王秀秀;崔泽建;杨玉婷3.具有二次非线性项的耦合Schr(o)dinger方程组的精确解 [J], 高克权;张金良;王明亮4.非线性耦合Schr(o)dinger-KdV方程的新精确解 [J], 赵云梅5.耦合Schr(o)dinger-KdV方程组的行波解 [J], 李森因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。