实变函数积分理论部分复习题(附标准答案版)

2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）

1、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nnfxfx是[0,1]上的Lebesgue可积函数。（×） 2、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nnfxfx是[0,1]上的Lebesgue可测函数。（√） 3、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim()dlim()dnnnnfxxfxx。

（×） 4、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在()nfx的一个子列()knfx，

使得，[0,1][0,1]lim()dlim()dkknnkkfxxfxx。 （×，比如()nfx为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。） 5、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在()nfx的一个子列()knfx，使得，[0,1][0,1]lim()dlim()dkknnkkfxxfxx。 （×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。） 6、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim()dlim()dnnnnfxxfxx。

（√） 7、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim()dlim()dnnnnfxxfxx。

（×） 8、设()fx是[0,1]上的黎曼可积函数，则()fx必为[0,1]上的可测函数。 （√，Lebesgue积分与正常黎曼积分的关系） 9、设()fx是[0,)的上黎曼反常积分存在，则()fx必为[0,)上的可测函数。

（√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数0n>，()fx在[0,]n上

黎曼可积，从而()fx是[0,]n上的可测函数，进而()fx是1[0,)[0,]nn上的可测函数） 10、设()nfx是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],nGf表示()nfx在[0,1]上的下方图形，()lim()nnfxfx=，则()[0,1],nGf单调递增，且

()()()1lim[0,1],[0,1],[0,1],nnnnGfGfGf¥===

U

，()()[0,1],lim[0,1],nnmGfmGf=。

（√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。） 二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题）

（自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样） 1、单调收敛定理（即Levi定理） 2、Fatou引理（法都引理） 3、非负可测函数的Fubini定理和Lebesgue可积函数的Fubini定理 4、Lebesgue控制收敛定理（两个） 5、Lebesgue基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理） 6、积分的绝对连续性

三、计算题（请完整写出计算过程和结果）

1、设0D为[0,]中的零测集，300sin,(),xxxDfxexD ，求 [0,]()dfxx。 解：由题设()sinfxx，..ae于[0,]，而sinx在[0,]上连续， 于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得

0[0,][0,]

0

()dsind()sin(cos)2fxxxxRxdxx。

2、设Q为[0,+)中有理数全体，23sin,[0,)\(),xxxxexQfxexQ ，求[0.)()dfxx。 解：因为Q为可数集，所以0mQ，从而2()xfxxe，..ae于[0,)，而2xxe在[0,)上非负连续，且2200011()()d()d22xxRfxxRxexe，

所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得 2220[0.)[0.)011()dd()d22xxxfxxxexRxexe

。

3、设P为[0,1]上的Cantor三分集，2,[0,)\()sin(),xxxexPfxexP ，求[0.)()dfxx。 解：因为0mP，所以2()xfxxe，..ae于[0,)，而2xxe在[0,)上非负连续，且 3 / 12

22000

11()()d()d22xxRfxxRxexe，

所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得 2220[0.)[0.)011()dd()d22xxxfxxxexRxexe

。

4、计算20lim(1)dnnxnxexn。 解： 令2[0,]()(1)()nxnnxfxexn，易见()nfx在[0,)非负可测，且()nfx单调上升lim()xnnfxe，故由单调收敛定理 200lim(1)dd1nxxnxexexn

。

5、积分计算 （1）设¤为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E上函数f定义如下：

1,,(,)sin,.xyxyfxyxyexy





求 ()dEfzz。

（2）设¤为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E上函数f定义如下： sin,(,),(,)ln(1||),(,).xxyxyfxyexyxy





求 ()dEfzz。

解：（1）记12{,,}rr=，令{(,):}kkAxyExyr=?=，则()0,kmA=故

10,kkmA¥=骣÷ç

=÷ç÷桫U从而(,)1fxy=几乎处处于E。显然，1是E上的连续函数，从而在E

上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，1在E上Lebesgue 可积且

1d(R)1dd1.EEzxy==蝌

由于(,)1fxy=几乎处处于E，故由积分的基本性质 .(d)d11EEfzzz （2）解：因()0,m?い从而(,)sinfxyxy=几乎处处于E。显然，sinxy是E上的连续函数，从而在E上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，sinxy在E上Lebesgue 可积且 11001sind(,)(R)sindddsind(1cos1).2EExyxyxyxyxxyy===-蝌蝌

由于(,)sinfxyxy=几乎处处于E，故由积分的基本性质 4 / 12

1sind(,)(1co()ds1).2EEfxyzyxz

三、证明题（请完整地写出以下命题的证明） 1、用Fubini定理证明：若(,)fxy为2R=(,+)(,+)上的非负可测函数，则

000d(,)dd(,)dxyxfxyyyfxyx。

证明：记00{(,)}{(,)}0xyDxyxyyxyx， 令(,),(,)(,)0,(,)fxyxyDFxyxyD， 由题设易知(,)Fxy也是2R上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理

200d(,)dd(,)d(,)ddxRxfxyyxFxyyFxyxy

0d(,)dd(,)dyyFxyxyfxyx。

2、设E是Rn中的可测集，若（1）1kkEE，其中kE为可测集，12EE； （2）()fx，()nfx(12)n都是E上的可测函数，且lim()()nnfxfx ..ae于E；

（3）存在E上的Lebesgue可积函数()Fx，使得n，()()nfxFx ()xE。 证明：()fx在E上也Lebesgue可积，且 lim()d()dnnnEEfxxfxx。

证明：记()()()nnnEfxfxx，由题设知lim()()nnfxfx ..ae于E（事实上xE，存在0n，当0nn时，总有nxE，从而()1nEx，于是()()()()nnnEnfxfxxfx。） 又 ()()()()()nnnEnfxfxxfxFx，()Fx在E上Lebesgue可积 所以 由Lebesgue控制收敛定理，并注意到()()()()nnnnEnEEEfxdxfxxdxfxdx可

得 lim()lim()()nnnnnEEEfxdxfxdxfxdx。

3、设E是Lebesgue可测集，()nfx(12)n，()fx都是E上的Lebesgue可积函数，若