您的位置：360文档中心› 高中数学解三角形(有答案)

高中数学解三角形(有答案)

合集下载

数学-解三角形大题解析版

数学-解三角形大题解析版

解三角形大题(1)证明：sinsin BD ABDC ACαβ⋅=⋅；(2)若D为靠近B的三等分点，在ABC 中，由余弦定理得：2222b a c =+-a b c h AE +=+≥ ，即(c h +41123h c ∴<+≤1413tan2C ∴<≤，3tan 42C ∴≤222sincos 2tan22sin sin cos 1tan 22C C C C C ==++设tan2C t =，3,14t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1t t +1252,12t t ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，即1tan tan 2C +24sin 125C ∴≤<9．在ABC 中，3,AB AC ==(1)若3BC =，求CD 与AD ；因为AD 平分BAC ∠，所以因此32BD CD =，又3BC =，所以在ABC 中，3,AB BC AC ==在ACD 中，由余弦定理可得（2）如下图所示：因为AD 平分BAC ∠，DAC ∠所以60,120B C θθ=︒-=︒-()()sin 120sin 60AB ACθθ=︒-︒-展开并整理得333cos sin 22θ-10．ABC 中，,D E 是边BC (1)若3BC =，求ABC 面积的最大值；则()()0,0,3,0B C ，设(),A x y ，则2222(3)3x y x y -+=⨯+，整理得到：即点A 的轨迹是以3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭圆心，故ABC 的BC 边上的高的最大值为在APC △中，由正弦定理可得故133cos 22α⎛- ⎝因为α为锐角，故故P 存在且sin ABP ∠法二：如图，设∠同理30PCA ∠=︒-而3sin sin CPAPC α=∠在PBC 中，由余弦定理可得：整理得到：4cos =所以24cos 4sin α+整理得到：38tan =但α为锐角，故tan 故P 存在且sin ABP ∠11．在ABC 中，内角（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠【答案】（1）5sin 5C =；（2）tan DAC ∠【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠(sin ADC =∠在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ==由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos ,sin 5ADE ∠=∠在Rt ADE △中，5,sin 3AE AD DE ADE ===∠由（1）知5sin 5C =，所以在Rt CDG △中，11515AG AC CG =-=．［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为设BDC α∠=，则(5cos B 从而2(05cos )AB α=-+cos sin 1cos ADB α∠==-（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，225(22)2522=+-⨯⨯［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．19．在锐角△ABC 中，角（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 【答案】（I ）3B π=；（II ）【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角(1)求cos C及线段BC的长；(2)求ADEV的面积．【答案】(1)1cos4C=，BC(2)3158【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合正弦定理推出（2）求出15sin4C=，即可求出【详解】（1）由题意在ABC【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用25．ABC中，sin2A－sin（1）求A；（2）若BC=3，求ABC【答案】（1）23π；（2）3【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出（2）方法一：利用余弦定理可得到而2b ac =，即sin sin ADB ∠=故有ADB ABC ∠=∠，从而∠由2b ac =，即b c a b =，即CA CB 故AD AB AB AC =，即23b c c b=，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos c a b ABC +-==∠由2AD DC =，得,3c DE EC =在BED 中，2(3cos BED =∠在ABC 中2cos 2a BC c A +=∠因为cos cos ABC BED ∠=-∠所以22222()(332223a c a c b a ac ++-=-⋅由（1）知，3BD b AC ===设()(),33B x y x -<<，则2x 由2b ac =知，BA BC AC ⋅=即222(2)(1)x y x y ++⋅-+联立⑤⑥解得74x =-或72x =代入⑥式得36||,2a BC c ==由余弦定理得cos a ABC ∠=则11sin 122ADC S AD DC ADC =⋅∠=⨯ 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得35．记ABC 的内角,,A B C (1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A b a B b A c--=+，求【答案】(1)1(2)34【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出【详解】（1）因为22a b =+37．如图，在锐角ABC 中，角(1)求ABC 面积的最大值；(2)若AB 边上的点D 满足2AD DB =，求线段【答案】(1)934(2)3+1【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出（2）根据2AD DB =得到13CD CA = 求出222222442||1⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a b ab a CD a b ab b a 角形，得到311,32⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭b m t a ，从而利用基本不等式，求出线段【详解】（1）由余弦定理得：cos 60︒所以222212992+-⋅=⇒=+a b ab a b ∴9ab ≤，当且仅当3a b ==时取“=”∴1393sin 244==≤△ABC S ab C ab ，∴ABC 面积的最大值为934.（2）由2AD DB =，可得：23AD AB =(1)求角A ；(2)若D 为线段BC 延长线上一点，且∠【答案】(1)3A π=(2)963--【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：()sin sin cos sin cos sin cos B C A A B A C +--即sin cos cos sin sin cos cos B A B A C A -+-故()()sin sin 0B A C A -+-=，则有sin 又()(),,,B A C A ππππ-∈--∈-，故有。

高中数学解三角形

高中数学解三角形

高中数学解三角形一．选择题（共8小题） 1．在A B C ∆中，已知2A C=，4B C=，1c o s 4C=，则A B C ∆的面积为()A ．4B ．1CD ．2．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22212a b c++=，23Aπ=，则A B C∆面积的最大值为( )A 5B 5C 5D 3．已知a ，b ，c 分别为A B C ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且c o s c o s a C b A b+=，则A B C∆是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．在A B C ∆中，已知60B=︒，A C=，1A B=，则(B C=)A ．1B C ．2D ．45．在A B C ∆中，2sin sin sin A B C=，若3Aπ∠=，则B ∠的大小是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π6．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c o s 2o sa Cbc A+=，c=，则(A∠= )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π7．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin c a C=，4Bπ=，A B C∆外接圆的半径为6，则(c=)A ．6+B ．6+C ．8+D ．8+8．在A B C ∆中，2a=，3b=，c o s 4B=(A∠= )A ．6πB ．3πC ．56πD ．6π或56π二．解答题（共10小题）9．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222s in s in s in b c aB Ab cC+--=．（1）求角C 的值； （2）若边2c =，求A B C ∆面积的最大值．10．已知A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s in ()33c A π=+．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若4a c +=，求A B C ∆周长的取值范围．11．在锐角A B C∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且222c o s c o s sin sin C A A B B-=-．（1）求C 的大小； （2）若1c =，求22ba-的取值范围．12．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c o s 2a C b c=-．（1）求角A 的大小；（2）若A B C ∆45a=，求A B C ∆的周长．13．在A B C∆中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若222s i ns i n(s i n s i ns i n)2A B C A BC =+-． （1）求C ；（2）若c =，求A B C ∆周长的取值范围．14．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A B C ∆4（1）求C ∠； （2）若2Aπ∠=，C ∠的角平分线C E 与边A B 相交于点E ，延长C E 至点D ，使得C ED E=，求c o s A D B ∠．15．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c ，且s in s in2B C a C +=．（1）求角A 的大小； （2）若点D 在边B C 上，且33C D B D ==，6B A Dπ∠=，求A B C ∆的面积．16．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c s in c o s A a B a=+．（1）求角B 的值；（2）若8c =，A B C ∆的面积为2，求B C 边上中线A D 的长．17．在锐角A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s ()32a cb C π+-=．（1）求角B 的大小；（2）若b =A B C ∆的周长的取值范围．18．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222s in 2abcAb c+-=．（1）求C ；（2）若sinA B=，2c=，求A B C ∆的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．在A B C ∆中，已知2A C=，4B C=，1c o s 4C=，则A B C ∆的面积为()A 4B ．1CD ．【分析】先由同角三角函数的关系式求得s in C 的值，再利用1s in 2S A C B C C=⋅，得解．【解答】解：因为1c o s 4C =，(0,)Cπ∈，所以s in 4C==，所以A B C ∆的面积11s in 24224S A C B C C =⋅=⨯⨯⨯=故选：C ．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．2．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22212a b c++=，23Aπ=，则A B C∆面积的最大值为( )A 5B 5C 5D 【分析】由已知利用余弦定理，基本不等式可求b c 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：因为22212a b c++=，23Aπ=，所以由余弦定理可得222222co s a b c b c A b c b c=+-=++，所以222212b cb c b c --=++， 整理可得221222b cb cb c-+=…，可得125b c …，当且仅当bc=时等号成立，则A B C ∆面积1112s in 22525A B C S b c A ∆=⨯⨯=…当且仅当b c=时等号成立，即A B C ∆面5．故选：B ．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3．已知a ，b ，c 分别为A B C ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且c o s c o s a Cb A b+=，则A B C∆是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【分析】由已知结合正弦定理及和差角，诱导公式进行化简即可求解． 【解答】解：由c o s c o s a C b A b+=及正弦定理得，sin co s sin co s sin sin ()sin co s sin co s A C B A B A C A C C A+==+=+，所以s in c o s s in c o s B A C A =， 所以s in s in B C=或c o sA =，所以BC=或90A=︒，故A B C ∆是等腰三角形或直角三角形． 故选：D ．【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式及诱导公式在三角形判断中的应用，属于基础题．4．在A B C ∆中，已知60B=︒，A C=，1A B=，则(B C=)A ．1B C ．2D ．4【分析】根据余弦定理和题设中的条件即可求解B C 的值．【解答】解：因为60B =︒，A C=，1A B=，所以由余弦定理2222co s A C A B B CA B B C B=+-⋅⋅，可得：22121c o s 60B CB C =+-⨯⨯⨯︒，整理可得220B C B C --=，解得2B C =或1-（舍去）．故选：C ．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．属基础题． 5．在A B C ∆中，2sin sin sin A B C=，若3Aπ∠=，则B ∠的大小是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【分析】利用三角形的内角和定理及诱导公式得到co s co s()A B C =-+，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，把A的度数代入已知等式求出s in s in B C的值，代入计算求出c o s c o s B C的值，再利用两角和与差的余弦函数公式求出co s()B C -的值，进而得到B C∠=∠，即可求出B ∠的度数．【解答】解：在A B C ∆中，2s in s in s in 3A B C A π=∠=，231c o s c o s ()c o s c o s s in s in c o s c o s s in c o s c o s 42A B C B C B C B C A B C ∴=-+=-+=-+=-+=，1c o s c o s 4B C ∴=， 3s in s in 4B C =，co s()co s co s sin sin 1B C B C B C ∴-=+=，即0B C ∠-∠=，3B C π∴∠=∠=，故选：C ．【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c o s 2o sa Cbc A+=，c=，则(A∠= )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系式化简计算题中的等式，得到1s in 2A =±，由此能求出结果．【解答】解：3c a =，∴由正弦定理得sin CA=，22sin 3sinC A∴=，222co s 1sin 13sin CC A∴=-=-，由2c o s 2c o s a Cb c A+=，得2s inc o s s in 2s in c o s A C B C A+=，2s in A co s sin ()2sin co s C A C C A++=，3s in c o s s in c o s A C C A=，22229sin(13sin)3sin (1sin)A A A A -=-，由s inA ≠，得1s in 2A =±，0A π<<，6A π∴=．故选：A ．【点评】本题考查角的求法，考查正弦定理、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin c a C=，4Bπ=，A B C∆外接圆的半径为6，则(c=)A．6+B．6+C．8+D．8+【分析】直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出结果． 【解答】解：由于3s in ca C=，利用正弦定理：s in 3s in s in C A C=，故1s in3A =，由于，A B C ∆外接圆的半径为6， 所以2s in 4aR A ==，2sin b R B ==由于ba>，A 为锐角，所以c o s 3A =，144s in s in ()32326CA B +=+=⨯+=；故42s in 1286cR C +==⨯=+故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 8．在A B C ∆中，2a=，3b=，c o s 4B=，则(A∠= )A ．6πB ．3πC ．56πD ．6π或56π【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求s in B的值，利用正弦定理可求s in A的值，结合大边对大角可求A 为锐角，进而可求A 的值． 【解答】解：因为2a =，3b=，c o s 4B=所以3s in4B ==，因为由正弦定理可得s in s in a b AB=，所以32s in 14s in 32a BA b⨯⋅===，又ba>，可得A 为锐角，所以6Aπ=．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 二．解答题（共10小题）9．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222s in s in s in bcaB Ab cC+--=．（1）求角C 的值； （2）若边2c=，求A B C ∆面积的最大值．【分析】（1）由已知结合余弦定理可求c o s C ，进而可求C ；（2）由余弦定理及基本不等式可求a b 的范围，然后结合三角形面积公式可求． 【解答】解：（1）由条件和正弦定理可得2222bcab ab +-=-，整理得222b aca b+-=从而由余弦定理得1c o s 2C =．又C 是三角形的内角，∴3C π=．（2）由余弦定理得222222co s c ab a b C ab a b=+-=+-，2c =，2242aba b a b a b a b∴=+--=…，当且仅当2ab ==时取等号，4a b ∴…，故1s in 24A B CS a b C b ∆==…【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．10．已知A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s in ()33c A π=+．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若4ac +=，求A B C ∆周长的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理，结合三角函数恒等变换即可求解结论， （Ⅱ）结合余弦定理求得b 的范围，进而求解结论．【解答】解：（Ⅰ）A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，s in ()33c A π=+，由正弦定理可得：s in in s in ()33CB A π=+，1s in ()in (s in o s )322A B B A A ∴+=⨯+，可得：s in c o s c o s s in in s in s in c o s 3A B A B A B B A+=+，故有：s in c o s in s in 3A B A B=，有s in 0A >可得：ta nB =，故3Bπ=，（Ⅱ）2222222()2c o s ()3()3()424a c a c baca c B a c a c a c ++=+-=+-+-⨯==…，当且仅当2a c ==时等号成立， 可得2b …，A B C∴∆周长的取值范围是：(4，6]．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 11．在锐角A B C∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且222c o s c o s sin sin C A A B B-=-．（1）求C 的大小； （2）若1c=，求22ba-的取值范围．【分析】（1）由已知结合同角平方关系及正弦定理进行化简，然后结合余弦定理可求c o s C ，进而可求C ；（2）由正弦定理表示a ，b ，代入到所求式子后，结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数性质可求．【解答】解：（1）因为222c o s c o s sin sinC A A B B-=-，所以2221sin 1sinsin sinCA AB B--+=-，由正弦定理得，222a bcb+-=，故222c o s 22abcCa b+-==，由C 为三角形内角得6C π=；（2）由正弦定理得22s in cRC==，因为025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以32A ππ<<，所以572666A πππ<+<，所以11s in (2)262A π-<+<， 所以2s in a A=，2s in bB=，所以1c4(22BAba B A A B A A A A A ππ---=-=-=-=--=+=+∈-，1)．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．12．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c o s 2a C b c=-．（1）求角A 的大小； （2）若A B C ∆45a=，求A B C ∆的周长．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得c o sA的值，结合范围0A π<<，可求A 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求25b c=，根据余弦定理可求bc+的值，即可得解A B C∆的周长．【解答】解：（1）因为2c o s 2a C b c=-，则由正弦定理得2sin co s 2sin ()sin A C A C C=+-，即2s in c o s s in 0CA C -=，因为s in 0C ≠， 所以1c o s 2A =， 因为0A π<<，则3Aπ=．（2）因为1s in 24A B C S b c A ∆==，所以25b c=，因为22222251c o s 22252bc a bcA b c+-+-===⨯，所以2250b c +=，所以222()2100bc b c b c +=++=，即10b c +=．所以A B C ∆的周长为15ab c ++=．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 13．在A B C∆中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若222s i ns i n(s i n s i ns i n)2A B C A BC =+-． （1）求C ；（2）若c=，求A B C ∆周长的取值范围．【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定求出ta n C ，结合已知条件求出角C 的范围，进而求出C ； （2）由c，C的值，利用余弦定理可，得2222232c o s ()3()3()2a baba b C a b a b a b +=+-=+-+-⨯…，ab +…，再结合三角形三边关系可求得三角形周长的取值范围．【解答】解：由222s i n s i n(s i n s i n s i n )2A B C A BC =+-及正弦定理，得222s in ()2a b C abc =+-，又2222c o s a b ca b C+-=，sin c o s a b C b C∴=，ta n C ∴=0C π<<，3C π∴=；（2）由余弦定理，可得22232c o s ()3ab a b C a b a b=+-=+-22()3()2a b a b ++-⨯…，当且仅当ab=时取等号，a b ∴+…ab c +>=a b c ∴++…A B C∴∆周长的取值范围(．【点评】本题考查正余弦定理，以及基本不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属中档题．14．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A B C ∆4（1）求C ∠； （2）若2Aπ∠=，C ∠的角平分线C E 与边A B 相交于点E ，延长C E 至点D ，使得C ED E=，求c o s A D B ∠．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简可求ta n C ，进而可求C ； （2）由已知结合直角三角形勾股定理及角平分线性质可表示三角形各边，然后结合余弦定理即可求解．【解答】解：（1）因为A B C ∆的面积为222)4ab c +-，所以1s in 2c o s 24a b C a b C=，故sin o s CC=，即ta n C=，由C 为三角形内角得，60C =︒；（2）设A Ca=，则2B Ca=，A B =，因为C E 为C ∠的角平分线， 由角平分线性质得，12A E A C E BB C==，所以3A E=，3B E=，3C E =，因为60A E C ∠=︒，A E D ∆中，120A E D∠=︒，3A E =，3D E =， 由余弦定理得，22222214172c o s 1202333323A DA ED EA E D E aaa=+-⋅︒=++⨯⋅⨯=，故3A Da=，B D E∆中，3E DB E ==，60B E D∠=︒，所以3B D =，又A B=，在A B D ∆中，由余弦定理可得，222222743c o s 21433aa a A DD BA BA D BA D D B+-+-∠===⋅．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，角平分线性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．15．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c，且s in s in2B C a C +=．（1）求角A 的大小； （2）若点D 在边B C 上，且33C DB D ==，6B A Dπ∠=，求A B C ∆的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等方式可得s in22A =，结合2A 的范围可求2A 的值，进而可求得A 的值；（2）由题意可求2C AD π∠=，在A C D ∆中，可得3s in A DC=，在A B D ∆中，由正弦定理可得32bc=，进而在A B C ∆中，由余弦定理即可解得b ，c 的值，从而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为s in s in2B C a C +=， 所以由正弦定理可得sin in 3si n s i2B CA C C +=，即sin insi n s i n 3sinc o s22AAA C C C π-==，因为s in 0C ≠，所以s ino s2A A =，可得2s inc o so s222A A A =，因为(0,)A π∈，(0,)22A π∈，所以2s in 2A =s in22A =所以23A π=，可得23Aπ=；（2）因为点D在边B C上，且33C D B D ==，6B A D π∠=，可得2C AD π∠=，4B C B D C D =+=，所以在A C D ∆中，s in A D CC D=，可得3s in A DC=，在A B D ∆中，由正弦定理s in s in A D B DBB A D=∠，可得3s in 121s in 2C B==，由正弦定理可得32bc=，在A B C ∆中，由余弦定理2222co s a b c b c A=+-，可得2223314()2()222c cc c =+-⨯⨯⨯-，整理可得19c=，19b=，所以A B C ∆的面积11s in 221919219Sb c A ==⨯=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 16．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，cs in c o s A a B a=+．（1）求角B 的值； （2）若8c=，A B C ∆的面积为2，求B C 边上中线A D 的长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及辅助角同时即可求解B ； （2）由三角形面积公式先求出a ，然后结合余弦定理可求． 【解答】解（1sin sin c o s sin B A A B A=+，(0,)A π∈，∴c o s 1B B =+，则1s in ()62B π-=，(0,)B π∈，∴3B π=，（2）1s in 22S a c B ==8c=，10a ∴=，由余弦定理2221()22a A D ca c=+-得249A D =，7A D ∴=．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．17．在锐角A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s ()32a cb C π+-=．（1）求角B 的大小；（2）若b=A B C ∆的周长的取值范围．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式，辅助角公式进行化简，可求；（2）由正弦定理先表示各边，然后结合和差角及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质可求． 【解答】解：（1）c o s ()32a cb C π+-=，∴由正弦定理得：2s inc o s ()s in s in 3B C A Cπ-=+，又(0,)2Cπ∈，s in 0C ∴≠，∴12s in (c o s in )s in ()s in 22B C C B C C+=++，c o s 1B B -=，∴1s in ()62B π-=．A B C∆为锐角三角形，∴(,)663B πππ-∈-，∴66B ππ-=即3Bπ=．（2）3b B π==，由正弦定理有：4s in s in s in ac b ACB===，∴4sin ,4sin ,4sin 4sin a A c C a b c A C ==++=++．3B π=，∴23C Aπ=-，∴214s in 4s in ()4s in 4o s s in )6s in o s in ()3226a b c A A A A A A A A ππ++=+-++++++++A B C∆为锐角三角形，∴2(0,),(0,)232A C A πππ∈=-∈，∴(,)62A ππ∈，∴2(,),s in ()63362A A ππππ+∈+∈，∴in ()(66A π+++，即A B C ∆的周长的取值范围是(6+．【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式及正弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．18．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222s in 2abcAb c+-=．（1）求C ；（2）若sinA B=，2c=，求A B C ∆的面积．【分析】（1）由三角形的余弦定理和正弦定理，结合同角的商数关系，可得所求值；（2）由三角形的正弦定理和余弦定理，推得2b c a==，可得A B C ∆为直角三角形，可得所求面积．【解答】解：（1）因为222s in 2abcAb c+-=，所以2c o s 2s in a b Cb c A=，所以c o s s in a Cc A=，由正弦定理得s in c o s s in s in A C C A=．因为0A π<<，所以s inA ≠，所以s in ta n 1c o s C CC==．因为0C π<<，所以4Cπ=．（2）因为sinA B=，所以由正弦定理得a=．由余弦定理知2222222c o s )2c o s4c aba b C bb bπ=+-=+-⨯⨯=，所以2bc ==，222b c a+=，所以A B C ∆为直角三角形，所以12222A B CS ∆=⨯⨯=．【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。

高一数学解斜三角形试题答案及解析

高一数学解斜三角形试题答案及解析

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，由得，即，由于为三角形的内角，故，即，因此三角形为等边三角形.【考点】判定三角形的形状.2.在中，若，则△ABC的面积是= ( )．A．9B．9C．18D．18【答案】A【解析】在中，,是等腰三角形，，由三角形的面积公式得．考点:解三角形．3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则∠B的范围是()A．(0，] B．(0，]C．[，π) D．[，π)【答案】B【解析】根据题意，由于a、b、c成等差数列，则可知2b=a+c,结合余弦定理可知得到cosB ,故可知得到∠B的范围是(0，],故选B.【考点】等差数列点评：主要是考查了等差数列的运用，以及解三角形的综合运用，属于基础题。

高中数学解三角形解答题专题训练含答案

高中数学解三角形解答题专题训练含答案

解三角形解答题专题训练 2017.121．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知（Ⅰ）求C ；，且sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.因为sin 0A ≠，解得（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则ABC ∆的面积若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积 综上，ABC ∆的面积为2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知a+b=5，(Ⅰ) 求角C 的大小； （Ⅱ）求△ABC 的面积. 解: (Ⅰ)∵A+B+C=180整理，得01cos 4cos 42=+-C C∵ ∴C=60°（Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab ∴ 由条件a+b=5得 7=25－3ab ， 故所以的面积 3．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边长，且cos cos 2cos a B b A c C +=. （1）求角C 的值；（2）若4,7c a b =+=，求ABC S ∆的值. 解：（1得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 又sin sin()2sin cos C A B C C =+=， （2）由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴11ab =，∴4．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知（1）求角C 的值；（2）若2=c ，且ABC ∆的面积为，求b a ,. 解：（1︒<<︒1800C ab b a 3)(72-+=ab=6ABC △又∵是三角形的内角，∴又∵C 是三角形的内角，∴（2，∴4=ab ，又∵C ab b a c cos 2222-+=，∴ab ab b a --+=2)(42，∴4=+b a ，或0=-b a ， ∴2==b a .5．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ∆的面积． （Ⅱ）当a 2,2sinA sinC ==时，由正弦定理，解得c 4=． 由余弦定理222c a b 2abcosC =+-，得 6．已知向量(sin m x =，(cos ,n x =-，且()f x m n =⋅.（1）求()f x 的单调递增区间；（2上有零点，求m 的取值范围.解：（1sin m n x =⋅=B则()f x 的递增区间为（2()g x 有零点，即函数与y m =图像有交点，由图象可得，m 的取值范围为7．如图，D 是直角三角形ABC ∆斜边BC 上一点，（Ⅰ）若 30=∠DAC ，求B ∠；（Ⅱ）若DC BD 2=，且，求DC . 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，根据正弦定理，有又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC ，∴ 120=∠ADC ， ∴ 3030120180=--=∠C ，∴ 60=∠B . （Ⅱ）设x DC =，则在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=，，得2=x .故2=DC . 8．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1,求b 的取值范围.又cos 0B ≠,又0B π<<,(2)由余弦定理,有2222cos ba c ac B =+-. 又01a <<,9．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 且cos2B+3cosB ﹣1=0． （1）求角B 的大小；（2）若a+c=1，求b 的最小值．解：（1）在△ABC 中，∵cos2B+3cosB ﹣1=0， ∴2cos 2B+3cosB ﹣2=0，∴或cosB=﹣2（舍去），∴．（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=（a+c ）2﹣3ac=1﹣3a （1﹣a ）=3a 2﹣3a+1，其中0＜a ＜1， ∵f （a ）=3a 2﹣3a+1在上递减，在上递增，∴，又0＜b ＜1，∴．10．已知ABC ∆中，a ，b，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b ，2c 是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根. （1）求角A 的大小；（2，设=B θ，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值．解：（1）在中，依题意有：，∴2ABC ∆222b c a bc +=+(0)A π∈，∴2sin 2sin b B θ==，11．已知在△ABC 中，（1）若三边长a ，b ，c 依次成等差数列，sinA ：sinB=3：5， 求三个内角中最大角的度数； （2）若()22BA BC b a c ⋅=--，求cosB ． 解：（1）在△ABC 中有sinA ：sinB=3：5， ∴a ：b=3：5，设a=3k ，（k ＞0）则b=5k ， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴c=7k ，∴最大角为C ，有cosC=()()()()()2223k 5k 7k 23k 5k +-⋅⋅=﹣，∴C=120° （2）由BA BC ⋅=b 2﹣（a ﹣c ）2 得：accosB=b 2﹣（a ﹣c ）2，即accosB=a 2+c 2﹣2accosB ﹣（a 2+c 2﹣2ac ），∴3cosB=2，∴cosB=． 12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的三边，22()a b c bc --=， (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)，角B 等于x ，周长为y ，求函数)(x f y =的取值范围. 解：(Ⅰ)由22()a b c bc --=，得222a b c bc --=-，又0A π<< ，(Ⅱ13．在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小;（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围. 解：(1）由已知得：(2sin sin )sin cos A C B C -=，即2sin cos sin()A B B C =+∴（2）由（1所以()22cos cos A A C +-的取值范围是(0,2]. 14．在△中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若2=b ，求△面积的最大值.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得B C C B A sin sin cos sin sin += 又)(C B A +-=π，故C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+= 得B B cos sin =，又()π,0∈B ，所以(Ⅱ) ⊿ABC 的面积又ac c a 222≥+.，当且仅当c a =时，等号成立.因此⊿ABC 的面积的最大值为15．如图，在△ABC 中，已知45B ∠=，D 是BC 边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB 的长.解：在△ABC 中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴120ADC ∠=, ∴60ADB ∠= ∴在△ABD 中，∵45B ∠=， 60sin 45AD=， 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立． （1）求角A 的大小；（2BC 边上的中线AM 长的取值范围．解：（1）由题意，∵对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立， ()f A ，当()f x 取得最大值时，A 是三角形的内角，即0A π<<，∴（2）∵AM 是BC 边上的中线， ∴在△ABM ① 在△ACM ② 又∵AMB AMC π∠=-∠，∴cos cos AMB AMC ∠=-∠，①＋②得，∴2236b c <+≤，17．设ABC ∆的内角A ，B ，C ，所对的边长分别为a ，b ，c ,()cos ,cos m A C =，(3n c =-，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若a b =，且BC 边上的中线AM 的长为求边a 的值． 解：（1）∵0m n ⋅=，∴4分6 （2）由（1，又∵b a =，∴ ，在AMC ∆中，由余弦定理得：解得2x =，即2a =．18．在ABC ∆中， )cos ,(),cos ,2(B b n C c a m =-= 且m ∥n （1）求角B 的大小；（2）若1=b ，当ABC ∆面积取最大时，求ABC ∆内切圆的半径．解：（1）因为m ∥n ，所以02=--C b B c a cos cos ）（，∴(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin()A B B C =+，（2）由（1）得，又1=b ，ABC ∆中B ac c a b cos 2222-+=得ac c a b -+=222即()2a 31c ac +=+，又因为()ac 4a 2≥+c ．得ac ac 431≥+即1≤ac ．所以当且仅当1==c a 时ABC S ∆最大值为19．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,a b c 且（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1=b ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．∴ac a c b a -=-+22222， ∴ac b c a =-+222，∴ac B ac =cos 2，则 ∵),0(π∈B ，∴（Ⅱ）ac c a c a c b a l =-+++=++=1)1(,122知由，∴ac c a 31)(2=-+ ∴4)(2≤+c a ．∴2≤+c a ．又∵1=>+b c a ，∴△ABC 的周长]3,2(∈++=c b a l ． 20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.解：（1（2）在ACD ∆中，由21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，b ＝2．（1）求∠C 和边c ；（2）若BC BM 4=,且点P 为△BMN值．解：（1所以01cos cos 22=-+C C ，所以1cos -=C 或又因为),0(π∈C ，所以建立坐标系，由（1），由BC BM 4=, ()0,3),4,0(N M ，△BMN 的内切圆方程为：()()11122=-+-y x ，设),(y x P ，则令[)πθθθ2,0,sin 1cos 1∈⎩⎨⎧+=+=y x。

高三数学解三角形练习题及答案解析

高三数学解三角形练习题及答案解析

高三数学解三角形练习题及答案解析一、选择题1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案D2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，there4;tanA=tanB=tanC， there4;A=B=C.3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是（）A.152，+ infin;B.（10，+ infin;）C.（0，10）D.0，403答案D解析∵csinC=asinA=403， there4;c=403sinC.there4;04.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，there4;sin（B+C）=2sinBcosC，there4;sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，there4;sin（B-C）=0， there4;B=C.5.在△ABC中，已知（b+c）∶（c+a）∶（a+b）=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（）A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6答案B解析∵（b+c）∶（c+a）∶（a+b）=4∶5∶6，there4;b+c4=c+a5=a+b6.令b+c4=c+a5=a+b6=k（k>0），则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.there4;s inA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.6.已知三角形面积为14，外接圆面积为 pi;，则这个三角形的三边之积为（）A.1B.2C.12D.4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由 pi;R2= pi;，得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，there4;abc=1.二、填空题7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.答案23解析∵cosC=13， there4;sinC=223，there4;12absinC=43， there4;b=23.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60 deg;，a=3，b=1，则c=________.答案2解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60 deg;=1sinB，there4;sinB=12，故B=30 deg;或150 deg;.由a>b，得A>B， there4;B=30 deg;，故C=90 deg;，由勾股定理得c=2.9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.答案7解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，there4;asinA=bsinB=csinC=2R=2，there4;asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.10.在△ABC中，A=60 deg;，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.答案126解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.∵S△ABC=12absinC=12x63x12sinC=183，there4;sinC=12， there4;csinC=asinA=12，there4;c=6.三、解答题11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sin（B+C）-sinCcosBsin（A+C）-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanAhArr;a2sinBcosB=b2sinAcosAhArr;4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosAhArr;sinAcosA=sinBcosBhArr;sin2A=sin2BhArr;2A=2B或2A+2B= pi;hArr;A=B或A+B= pi;2.there4;△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力提升13.在△ABC中，B=60 deg;，边与最小边之比为（3+1）∶2，则角为（）A.45 deg;B.60 deg;C.75 deg;D.90 deg;答案C解析设C为角，则A为最小角，则A+C=120 deg;，there4;sinCsinA=sin120 deg;-AsinA=sin120 deg;cosA-cos120 deg;sinAsinA=32tanA+12=3+12=32+12，there4;tanA=1，A=45 deg;，C=75 deg;.14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C= pi;4，cosB2=255，求△ABC的面积S.解cosB=2cos2B2-1=35，故B为锐角，sinB=45.所以sinA=sin（ pi;-B-C）=sin3 pi;4-B=7210.由正弦定理得c=asinCsinA=107，所以S△ABC=12acsinB=12x2x107x45=87.1.在△ABC中，有以下结论：（1）A+B+C= pi;；（2）sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC；（3）A+B2+C2= pi;2；（4）sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2，tanA+B2=1tanC2.2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.。

高中数学期末专题：解三角形大题综合解析版

期末专题05解三角形大题综合1.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知平面四边形ABCD 中，AD =3,∠BAD =90°,∠CBA =120°,∠ACD =60°，(1)若AC =3，求BD ；(2)若∠ACB =45°，求AB ．【答案】(1)23(2)2【分析】(1)由条件可得∠CAB =30°，在△ABC 中，求出AB ,然后在直角三角形ABD 中由勾股定理可得出答案.(2)根据条件先求出∠CDA =45°，然后在△ACD 中利用正弦定理求出AC , 在△ABC 中利用正弦定理可得出答案.(1)由AC =AD =3, ∠ACD =60°,则△ACD 为等边三角形所以∠CAD =60°，又∠BAD =90°，则∠CAB =30°又∠CBA =120°，所以∠ACB =30°，则AB =BC ,由AB sin30°=AC sin120°,则AB =AC sin120°×sin30°=3连接BD ,由∠BAD =90°，则BD =AB 2+AD 2=3+9=23(2)由∠ACB =45°，∠CBA =120°，则∠CAB =15°又∠BAD =90°，则∠CAD =75°又∠ACD =60°，则∠CDA =45°在△ACD 中，AC sin ∠ADC =ADsin ∠ACD,即AC sin45°=3sin60°解得AC =6在△ABC 中, AB sin ∠ACB =ACsin ∠ABC, 即AB sin45°=6sin120°,解得AB =22.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量m =3cos A ，sin A ，n =1，-1 ，且m ⊥n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =7，3sin B =2sin C ，求△ABC 的面积．3(2)332．【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；(2)由正弦定理先求出b ,c 的关系，再由余弦定理即可解出b ,c ，最后根据三角形的面积公式即可解出(1)由m ⊥n 可得，m ⋅n =3cos A -sin A =0，所以tan A =3，而A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由3sin B =2sin C 得3b =2c ，而a 2=b 2+c 2-2bc cos A =7，即7=b 2+94b 2-32b 2，解得b 2=4，所以b =2,c =3，故△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×2×3×32=332．3.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m=b +c ,sin A ，n =a +b ,sin C -sin B ，且m ∥n .(1)求角C ；(2)若b =4，△ABC 的面积为43，求△ABC 的周长.【答案】(1)C =2π3(2)8+43【分析】(1)根据向量平行的坐标公式，结合余弦定理求解即可；(2)根据面积公式可得a =4，进而得到A =B =π6，从而利用正弦定理求出c =43，进而得到周长即可(1)由向量平行的坐标公式可得b +c sin C -sin B -a +b sin A =0，由正弦定理可得b +c c -b -a +b a =0，即-ab =a 2+b 2-c 2，故cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12，因为C ∈0,π ，故C =2π3(2)由三角形面积公式，43=12×4a ×32，故a =4，故△ABC 为等腰三角形，故A =B =12π-2π3 =π6，又a sin A =c sin C ，故c =a sin Csin A =4×3212=43，所以△ABC 的周长为4+4+43=8+434.(2022春·江苏南京·高一统考期末)在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边，m =2b +c ,cos C ,n=-a ,cos A ，且m ∥n ，a =23.(1)求A 角大小.(2)D 为BC 边上一点，AD =1，且，求△ABC 的面积.(从①AD 为∠BAC 的平分线，②D 为BC 的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.)3(2)3【分析】(1)根据向量的平行关系得到等式，再运用正弦定理及正弦的两角和公式化简即可求解；(2)若选①，运用面积公式及余弦定理可求解；选②，根据向量关系及余弦定理即可求解.【详解】(1)∵m ⎳n,∴2b +c cos A =-a cos C 由正弦定理得：2sin B +sin C cos A =-sin A cos C2sin B cos A +sin C cos A +sin A cos C =02sin B cos A +sin A +C =02sin B cos A +sin B =0sin B 2cos A +1 =0∵sin B ≠0，∴cos A =-12∵A ∈0,π ,∴A =2π3(2)选①：由AD 平分∠BAC 得：S △ABC =S △ABD +S △ACD 12bc sin120°=12×1×c sin60°+12×1×b sin60°，所以bc =b +c ，(1)在△ABC 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos120°,a =23所以b 2+c 2+bc =12，(2)(1)(2)联立得bc =b +cb 2+c 2+bc =12解得(bc )2-bc -12=0，解得bc =4，所以S △ABC =12bc sin120°=12×4×32=3，选②：AD =12AB +AC ，AD 2=14(AB +AC )2=14AB2+2AB ⋅AC +AC 21=14c 2+2bc cos120°+b 2 ，得b 2+c 2-bc =4(1)△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos120°,a =23所以b 2+c 2+bc =12，(2)(2)-(1)即可得bc =4，S △ABC =12bc sin120°=12×4×32= 3.5.(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 2-sin A 2cos A 2+sin A 2=sin Bcos B．(1)若C =2π3，求B ；(2)若a 2+b 2-kc 2=0(k ∈R )，求符合条件的k 的最小值．【答案】(1)π6(2)42-5【分析】(1)由三角恒等变换得出C =π2+B ，再由C =2π3，得出B ；(2)由k =a 2+b 2c 2结合正弦定理以及C =π2+B 得出k =2cos 2B -1 2+1-cos 2B cos 2B ，令x =cos 2B ，结合基本不等式得出k 的最小值.【详解】(1)cos A 2-sin A2cos A 2+sin A 2=cos 2A 2-sin A 2cos A2cos 2A 2+sin A 2cos A 2=1+cos A2-sin A 21+cos A2+sin A 2=1+cos A -sin A 1+cos A +sin A=sin Bcos B ，即sin B +sin B cos A +sin A sin B =cos B +cos A cos B -sin A cos B ，sin B +sin (A +B )=cos B +cos (A +B )，sin B -cos B =-sin C -cos C ，两边平方得1-2sin B cos B =1+2sin C cos C ，即sin (-2B )=sin2C ，∵-2B ∈-2π,0 ,2C ∈0,2π ,B +C ∈0,π ,∴-2B +2C =π,C =π2+B ,∵C =2π3，B =2π3-π2=π6;(2)由(1)可得，C =π2+B ，则π-π2+B +B =A ,则0<π-π2+B +B <π,0<B <π4，22<cos B <1,sin A =sin π-π2+B +B=cos2B =2cos 2B -1，由a 2+b 2-kc 2=0(k ∈R )得，k =a 2+b 2c 2=sin 2A +sin 2B sin 2C =2cos 2B -1 2+1-cos 2B cos 2B设x =cos 2B ，则12<x <1k =a 2+b 2c2=(2x -1)2+1-x x =4x 2-5x +2x =4x +2x -5≥24x ⋅2x -5=42-5当且仅当4x =2x ,x =22时，等号成立即符合条件的k 的最小值为42-56.(2021春·江苏扬州·高一统考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a +c =mb (m ∈R ).(1)若m =2，求∠B 的最大值；(2)若∠B 为钝角，求：①m 的取值范围；②sin A sin C 1+cos A cos C的取值范围.(参考公式：sin α+sin β=2sin α+β2cos α-β2)【答案】(1)π2；(2)①1<m <2；②0,13.【分析】(1)由题意可得b=a+c2，然后利用余弦定理可得cos B≥0，从而可求出∠B的最大值；(2)①由于∠B为钝角，所以可得a2+c2<b2，结合a+c=mb(m∈R)，可得m2<(a+c)2a2+c2=1+2a c +ca，再结合基本不等式可求得m的取值范围；②由正弦定理将a+c=mb化为sin A+sin C=m sin B，利用和差化积公式可得cos2A-C2=m2cos2A+C2，再利用三角恒等变换公式可得sin A sin C 1+cos A cos C =m2-1m2+1=-2m2+1+1，再结合①可得结论【详解】(1)当m=2时，b=a+c2，所以cos B=a2+c2-a+c222ac=(a-c)24ac≥0，因为B∈(0,π)，所以B∈0,π2，则∠B的最大值为π2.(2)①因为a+c>b，所以m>1；因为∠B为钝角，即存在a>0,c>0，使得a2+c2<b2，即a2+c2<a+cm2,m2<(a+c)2a2+c2=1+2ac+ca成立；因为ac+ca≥2，所以1<m2<2，即1<m<2；②又因为a+c=mb，所以sin A+sin C=m sin B，则2sin A+C2cos A-C2=2m sin B2cos B2，因为sinA+C2=sinπ-B2=cos B2≠0，所以cos A-C2=m sin B2=m sinπ2-A+C2=m cos A+C2，所以cos2A-C2=m2cos2A+C2，则1+cos(A-C)2=m2×1+cos(A+C)2，1+cos A cos C+sin A sin C=m2(1+cos A cos C-sin A sin C)，所以sin A sin C1+cos A cos C=m2-1m2+1=-2m2+1+1，因为1<m<2，所以0<-2m2+1+1<13，所以sin A sin C1+cos A cos C的取值范围为0,13.7.(2021春·江苏常州·高一统考期末)如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中AB=3a，∠B=π2，BC=33a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A MN).现考虑绿地最大化原则，要求点M与点A，B 均不重合，A 落在边BC上且不与端点B，C重合.(1)设∠AMN=θ，若θ=π3，求此时公共绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度.【答案】(1)23a 2；(2)2a .【分析】(1)根据大三角形直角边的比例关系，可得三角形∠A =π3，结合θ=π3，可求得各边的长度以及三角形的面积(2)在△AMN 中，由正弦定理求出AN 的表达式，可化简为关于θ的三角函数形式，根据θ角的范围求出三角函数的最值，从而求出AN 的最值【详解】(1)由题意得：△AMN 与△A MN 全等，∴∠BMA =π-2θ=π3∴在Rt △BMA 中，BM =12A M =12AM ，又BM +AM =3a =AB ，∴32AM =3a ，∴AM =2a ，又∵AB =3a ，BC =33a ，∠B =π2，∴∠A =π3，∴△AMN 为等边三角形，∴公共绿地的面积S =2S △AMN =2⋅34AM 2=23a 2(2)由图得：AM +AM cos (π-2θ)=AB =3a 且AM =A M∴AM =3a 1-cos2θ=3a2sin 2θ在△AMN 中，由正弦定理得：AN sin θ=AMsin 2π3-θ∴AN =AM sin θsin 2π3-θ=3a2sin θsin 2π3-θ，令f (θ)=2sin θsin 2π3-θ=2sin θ32cos θ+12sin θ =32sin2θ+1-cos2θ2=sin 2θ-π6 +12又由0<π-2θ<π2得θ∈π4,π2，∴2θ-π6∈π3,5π6 ，∴当2θ-π6=π2即θ=π3时f (θ)取最大值，即AN 最短，此时△AMN 是等边三角形，MN =AM =2a .8.(2021春·江苏南通·高一统考期末)在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．①3a sin C =4c cos A ，②2b sinB +C2=5a sin B 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知；a =32.(1)求sin A的值(2)如图，M为边AC上一点，MC=MB，∠ABM=π2，求△ABC的面积【答案】选择见解析；(1)45；(2)278．【分析】选择条件①3a sin C=4c cos A(1)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解．选择条件②2b sin B+C2=5a sin B(1)根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解．【详解】解：若选①，(1)3a sin C=4c cos A，由正弦定理可得3sin A sin C=4sin C cos A因为sin C≠0，所以可得tan A=43，在△ABC中，所以A∈0，π2，所以sin A=442+32=45；(2)设BM=MC=m，易知cos∠BMC=-cos∠BMA=-sin A=-4 5．在△BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2·-4 5，解得m=5，所以S△BMC=12m2sin∠BMC=12×5×35=32，在Rt△ABM中，因为sin A=45，BM=5，∠ABM=π2，所以AB=354所以S△ABM=15 8，所以S△ABC=32+158=278．若选②，(1)因为2b sin B+C2=5a sin B，所以2b sinπ-A2=5a sin B，由正弦定理可得2sin B cos A2=5sin A sin B=25sin A2cos A2sin B，因为sin B≠0，cos A2≠0，所以sin A2=15，cos A2=25，所以sin A=2sinA2cos A2=2⋅15⋅25=45.(2)设BM=MC=m，易知cos∠BMC=-cos∠BMA=-sin A=-4 5．在△BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2·-4 5，解得m=5，所以S△BMC=12m2sin∠BMC=12×5×35=32，在Rt△ABM中，因为sin A=45，BM=5，∠ABM=π2，所以AB=354所以S△ABM=15 8，所以S△ABC=32+158=278．9.(2021春·江苏常州·高一统考期末)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C=2a-c 2b.(1)若cos(B+C)=-5314，求cos C的值；(2)若点D 在边AC 上，且AD =2DC ，BD =2，求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)3314；(2)332.【分析】(1)根据已知条件cos C =2a -c 2b，运用余弦定理，可推得B =π3，再结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．(2)由AD =2DC ，可推得BD =13BA +23BC，对等式两边同时平方，并结合均值不等式和三角形面积公式，即可求解．【详解】解：(1)由余弦定理得，cos C =2a -c 2b =a 2+b 2-c 22ab 整理得，a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12又因为B ∈(0,π)，所以B =π3因为cos (B +C )=-5314，又0<B +C <π，所以sin (B +C )=1-cos 2(B +C )=1114故cos C =cos [(B +C )-B ]=cos (B +C )cos B +sin (B +C )sin B=-5314 ⋅12+1114⋅32=3314(2)因为AD =2DC ，所以BD =BA +AD =BA +23AC =BA +23(BC -BA )=13BA+23BC所以BD 2=13BA+23BC 2，即4=19c 2+49a 2+2⋅29ac ⋅12≥219c 2⋅49a 2+29ac =23ac ，所以ac ≤6.当且仅当19c 2=49a 2ac =6，即a =3c =23 取“=”又因为S △ABC =12ac sin B =34ac ，所以S △MBC max =33210.(2021·江苏·高一期末)在①b 2+2ac =a 2+c 2，②a cos B =b sin A ，③sin B +cos B =2，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC 中，，A =π3，b =2，(1)求角B ； (2)求△ABC 的面积．【答案】条件选择见解析(1)B =π4；(2)3+34.【分析】分别选择①②③，利用余弦定理、正弦定理和三角函数的性质，以及辅助角公式等，求得B =π4，再根据正弦定理，求得a =3,C =5π12，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】若选①：(1)因为b 2+2ac =a 2+c 2，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =2ac 2ac =22，又因为B ∈(0,π)，可得B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin A sin B=2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.若选②：(1)因为a cos B =b sin A ，由正弦定理，可得sin A cos B =sin B sin A ，又因为A ∈(0,π)，得sin A >0，所以cos B =sin B ，即tan B =1，由B ∈(0,π)，可得B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin A sin B=2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.若选③：(1)因为sin B +cos B =2，可得2sin B +π4 =2，即sin B +π4=1，又因为B ∈(0,π)，可得B +π4∈π4,5π4 ，所以B +π4=π2，所以B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin Asin B =2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.11.(2021春·江苏南通·高一统考期末)在①a +b +c a +b -c =3ab ②tan A +tan Btan A tan B -1=3③sin C 2sin B -sin A =cos Ccos A 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足．(1)求角C 的大小；(2)若D 为边BC 上一点，且AD =6，BD =4，AB =8，求AC ．【答案】(1)C =π3；(2)AC =35【分析】(1)选①则根据等式化简结合余弦定理与角的取值范围即可；选②则根据两角和的正切公式化简并结合角的取值范围即可；选③则利用两角和的正弦公式结合角范围即可；(2)在中利用余弦定理求出算出，在中利用正弦定理即可.【详解】(1)选①，由题意化简得a 2+2ab +b 2-c 2=3ab ，即c 2=a 2+b 2-ab ，根据余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab=12，因为C ∈(0,π)所以C =π3.选②，由题意得-tan (A +B )=3,则tan C =3，因为C ∈(0,π)所以C =π3.选③，由题意化简得sin B =2cos C sin B ,当sin B =0,B =π2时代入原式显然不成立，故cos C =12，因为C ∈(0,π)所以C =π3.(2)在△ABD 中，根据余弦定理得cos ∠ADB =62+42-822×6×4=-14，所以cos ∠ADB =14，故∠ADB ∈0,π2 ,所以sin ∠ADC =1-cos 2∠ADC =154，在△ADC 中根据正弦定理得AC sin ∠ADB =6sin C，解得AC =3512.(2021春·江苏泰州·高一泰州中学校考期末)△ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知2b +c =2a cos C 且a =5.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的周长为6+5，求△ABC 的面积；(3)若b =3，求cos (2B -A )的值.【答案】(1)2π3(2)34(3)-1+33320【分析】(1)由余弦定理角化边化简后可得；(2)余弦定理与已知联立可得bc 的值，然后可得；(3)先由正弦定理可得sin B 的值，然后根据二倍角公式与和差公式可解.【详解】(1)因为2b +c =2a cos C ，所以2b +c =2a ⋅a 2+b 2-c 22ab，整理可得：b 2+c 2-a 2=-bc ，由余弦定理可得：b 2+c 2-a 2=2bc cos A ，所以cos A =-12，A ∈(0,π)，所以可得A =2π3；(2)由三角形的周长为6+5，a =5，所以b +c =6，由(1)可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-2bc -2bc cos A ，而cos A =-12，所以可得5=6-2bc +bc ，可得bc =1，所以S △ABC =12bc sin A =12×1×32=34，所以△ABC 的面积为34；(3)因为b =3，a =5，A =23π，由正弦定理可得：sin B =basin A =35⋅32=325，b <a ，所以B 为锐角，所以cos B =1125，所以sin2B =2sin B cos B =31110，cos2B =2cos 2B -1=2×114×5-1=110，所以cos (2B -A )=cos 2B -2π3 =-12，即-12cos2B +32sin2B =-1+33320，所以cos 2B -A =-1+33320．13.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =b 3sin C +cos C ．(1)求B ；(2)已知BC =23，D 为边AB 上的一点，若BD =1，∠ACD =π2，求AC 的长．【答案】(1)B =π6(2)AC =212【分析】(1)由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；(2)由余弦定理求得CD ，再用正弦定理计算．【详解】(1)∵a =b 3sin C +cos C ，∴sin A =sin B 3sin C +cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =3sin B sin C +sin B cos C ，所以cos B sin C =3sin B sin C ，因为sin C >0，所以cos B =3sin B ，所以tan B =33，因为B ∈0,π ，所以B =π6．(2)因为BC =23，BD =1，∠B =π6，根据余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ⋅BD ⋅cos B =1+12-2×1×23×32=7，∴CD =7．∵∠BDC =π2+∠A ，∴sin ∠BDC =sin π2+∠A =cos A ．在△BDC 中，由正弦定理知，BC sin ∠BDC =CD sin ∠B ，∴23cos A =712，∴cos A =217，∴tan A =233=CD AC，∴AC =212．14.(2022春·江苏扬州·高一期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足b cosB +C2=a sin B ．(1)求A 的大小；(2)若a =23，BA ⋅AC =32，AD 是△ABC 的角平分线，求AD 的长．【答案】(1)2π3；(2)155.【分析】(1)利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A ；(2)由数量积公式可得bc ，再由余弦定理求出b +c ，根据三角形面积公式利用S △ABC =S △ABD +S △ACD 建立方程求解即可.【详解】(1)因为b cos B +C2=a sin B ，∴sin B sinA2=sin A sin B ，因为B ∈0,π ，所以sin B >0，所以sin A 2=2sin A 2cos A2，又A ∈0,π ，∴cos A 2=12，所以A 2=π3，即A =2π3.(2)由BA ⋅AC =32，得cb cos π3=32，∴bc =3，又a =23，∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b +c 2-2bc +bc =12，可得b +c =12+3=15，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12bc sin 2π3=12b ⋅AD ⋅sin π3+12c ⋅AD ⋅sin π3，所以AD =bc sin 2π3b +c sin π3=3⋅3215⋅32=155.15.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，请在①cos2B -3cos A +C =1，②2a -c =2b cos C ，③a 2+c 2-b 2=433S △ABC这三个条件中任选一个，完成下列问题.(1)求角B ；(2)在(1)的条件下，若点D 为AC 的中点，且AB =3，BD =132，求△ABC 的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，B =π3(2)334【分析】(1)选①，根据二倍角公式结合内角和与诱导公式化简求解即可；选②，根据正弦定理结合内角和与两角喝茶的正余弦公式化简求解即可；选③，根据余弦定理与面积公式化简求解即可；(2)构造四边形ABCE 为平行四边形，再在△ABE 中，由余弦定理化简求解即可【详解】(1)选①，因为cos2B -3cos A +C =1，所以cos2B -3cos π-B =1，2cos 2B -1+3cos B =1,2cos 2B +3cos B -2=0，解得cos B =12,cos B =-2，因为cos B ∈-1,1 ，所以cos B =12,B ∈0,π ，故角B =π3．选②，因为2a -c =2b cos C ，由正弦定理的，2sin A -sin C =2sin B cos C ,2sin B +C -sin C =2sin B cos C ，所以，2cos B sin C -sin C =0，sin C >0，所以cos B =12,B ∈0,π ，故角B =π3．选③，因为a 2+c 2-b 2=433S ΔABC ，所以a 2+c 2-b 2=433⋅12ac sin B ，2ac cos B =233⋅ac sin B ,ac >0，tan B =3,B ∈0,π ，故角B =π3．(2)作AE ⎳BC ,CE ⎳AB ，交于点E ，连结DE ，则四边形ABCE 为平行四边形，点D 为BE 中点，且∠BAE =2π3．在△ABE 中，由余弦定理得BE 2=AB 2+AE 2-2AB ⋅AE cos ∠BAE ,13=9+AE 2-2⋅3⋅AE ⋅-12,AE 2+3AE -4=0,AE =1或AE =-4(舍)，即BC =1，所以S ΔABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12×3×1×32=334.16.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)在①b =a cos C +33c sin A ；②(b +c +a )(b +c -a )=3bc ；③sin A -sin C sin B -sin C=b a +c 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．(1)求A ；(2)若a =3，求△ABC 面积的取值范围．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】(1)A =π3(2)0,334【分析】对于条件①：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得A=π3；对于条件②：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得A=π3；对于条件③：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得A=π3.【详解】(1)(1)若选①：因为b=a cos C+33c sin A，根据正弦定理得sin B=sin A cos C+33sin C sin A，所以sin(A+C)=sin A cos C+33sin C sin A，所以sin A cos C+cos A sin C=sin A cos C+33sin C sin A．则cos A sin C=33sin C sin A，因为sin A≠0,sin C≠0，所以tan A=3，又0<A<π，所以A=π3．若选②化简得：b2+c2-a2=bc，则cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又0<A<π，所以A=π3．若选③：因为sin A-sin Csin B-sin C=ba+c，根据正弦定理得a-cb-c=ba+c，所以a2-c2=b2-bc．即cos A=b2+c2-a22bc =12，因为0<A<π，所以A=π3．(2)(2)因为a=3，由bsin B =csin C=3sin60，则b=2sin B,c=2sin C=2sin B+π3，S△ABC=12bc sinπ3=3sin B sin B+π3=312sin2B+32sin B cos B=31-cos2B4+34sin2B=32sin2B-π6+34，又B∈0,2π3,2B-π6∈-π6,7π6，所以sin2B-π6∈-12,1，则S△ABC的取值范围为0,33 4．17.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且满足2b-ccos A=a cos C，b cos C+c cos B=1．(1)求A和a的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围．【答案】(1)A=π3，a=1；(2)36,3 4.【分析】(1)由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小；(2)由锐角三角形得B ∈π6,π2，根据正弦定理有b =23sin B ，c =23sin 23π-B ，最后利用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.【详解】(1)因为(2b -c )cos A =a cos C ，由正弦定理得：(2sin B -sin C )cos A =sin A cos C 所以2sin B cos A =sin C cos A +sin A cos C ，所以2sin B cos A =sin (C +A )=sin B ，因为△ABC 中sin B ≠0，所以cos A =12，因为A ∈(0,π)，所以A =π3，因为b cos C +c cos B =1，由余弦定理得：b ⋅a 2+b 2-c 22ab+c ·a 2+c 2-b 22ac =1，解得a =1，综上，A =π3，a =1．(2)由(1)知：A =π3，a =1，由正弦定理得：b =a sin B sin A =23sin B ，c =a sin C sin A =23sin C =23sin 23π-B ．因为△ABC 为锐角三角形，故B ∈0,π2C =23π-B ∈0,π2 ，得B ∈π6,π2 ．从而△ABC 的面积S =12bc sin A =33sin B ⋅sin 23π-B =33sin B ⋅12sin B +32cos B =3312sin 2B +32sin B ⋅cos B =331-cos2B 4+34sin2B =3632sin2B -12cos2B +312=36sin 2B -π6 +312，又B ∈π6,π2 ，2B -π6∈π6,5π6，所以sin 2B -π6 ∈12,1，从而△ABC 的面积的取值范围为36,34．18.(2022春·江苏常州·高一统考期末)如图，AC 是平面四边形ABCD 的一条对角线，且在△ADC 中，2AD-DC =AC 2+AD 2-DC 2AD.(1)求角D 的大小；(2)若∠BAD =π3，∠ABC =5π6，AB =2，DC =4，求AC 的长.【答案】(1)D =π3(2)AC =27【分析】(1)在△ACD ，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小；(2)设AC =x ，∠CAD =α，在△ACD 中，由正弦定理可得23=x sin α，在△ABC 中，由正弦定理x=12sin α-π6 ，联立可解得sin α的值，在△ACD 中，由正弦定理可得AC 的值.(1)解：因为在△ADC 中，2AD -DC =AC 2+AD 2-DC 2AD所以AD 2+DC 2-AC 2=AD ×DC ，①即在△ADC 中，由余弦定理得，AD 2+DC 2-AC 2=2×AD ×DC ×cos D ，②则由①②两式得，cos D =12，又因为在△ADC 中，D ∈(0,π)，所以D =π3，(2)解：在△ACD 中，设∠CAD =α，AC =x ，则由正弦定理得AC sin D =DCsin ∠CAD，即x =DC sin ∠CAD×sin ∠D =23sin α①又在△ABC 中，∠CAB =π3-α，∠BCA =π-5π6-π3-α =α-π6，则由正弦定理得AC sin ∠ABC =ABsin ∠BCA ，即x =AB sin ∠BCA ×sin ∠ABC =1sin α-π6②则由①②两式得，23sin α=1sin α-π6 ，即23sin α-π6 =sin α，展开并整理得2sin α=3cos α，也即4sin 2α=3cos 2α=3-3sin 2αsin 2α=37，又因为在△ACD 中，sin α>0，所以sin α=217，把sin α=217代入①式得，AC =23sin α=14321=27.19.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =2B .(1)若sin B =13，求sin A 的值；(2)若a >c ，求证：12<b c <λ.(参考数据：λ=2sin π10=5-12≈0.618)【答案】(1)2327；(2)证明见解析.【分析】(1)由三角形内角性质可得0<B <π2，结合已知并利用二倍角正余弦公式求cos B 、sin C 、cos C ，最后应用诱导公式、和角正弦公式求sin A .(2)由大边对大角及三角形内角性质得0<B <π5，根据C =2B 及正弦定理边角关系得bc=12cos B ，即可证结论.(1)由C =2B ，A +B +C =π，故0<B <π3，又sin B =13，可得cos B =223，则sin C =sin2B =2sin B cos B =429，cos C =cos2B =2cos 2B -1=79，则sin A =sin [π-(B +C )]=sin (B +C )=sin B cos C +cos B sin C =2327.(2)由a >c 知：A >C =2B >0，所以π=A +B +C >B +2C =5B ，即0<B <π5，又sin C =sin2B =2sin B cos B ，则sin B sin C=12cos B ，即b c =12cos B ，所以12<b c <12cos π5，而cos π5=1-2sin 2π10=5+14，则12cos π5=25+1=5-12=λ，综上，12<bc<λ.20.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，某学校前后两座教学楼AB ，CD 的高度分别为12米和17米，从教学楼AB 顶部A 看教学楼CD 的张角∠CAD =45°．(1)求两座教学楼AB 和CD 的底部之间的距离BD ；(2)求∠ACB 的正切值．【答案】(1)BD =20米；(2)4897．【分析】(1)过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，分别求出tan ∠DAE ,tan ∠CAE ，再根据两角和的正切公式即可解出；(2)先通过解△ACE ,△BCD 求出tan ∠ACE ,tan ∠BCD ，即可求出tan ∠ACB ．(1)如图所示：过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，易知四边形ABDE 为矩形，设BD =AE =x 米，所以，tan ∠DAE =12x ,tan ∠CAE =5x，而∠CAD =45°，所以，tan ∠CAD =tan ∠DAE +∠CAE =tan ∠DAE +tan ∠CAE 1-tan ∠DAE tan ∠CAE =12x +5x1-12x ×5x =1，化简得，x 2-17x-60=0，而x >0，解得x =20，即BD =20米．(2)在△ACE 中，tan ∠ACE =205=4，在△BCD 中，tan ∠BCD =2017，所以，tan ∠ACB =tan ∠ACE -∠BCD =4-20171+4×2017=4897．21.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，其中BD ，BE 为景区内的乘车观光游览路线，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 是步行观光旅游路线(所有路线均不考虑宽度)，经测量得：∠BCD =135°，∠BAE =120°，∠CBD =30°，CD =32，DE =8，且cos ∠DBE =35.(1)求BE 的长度；(2)景区拟规划△ABE 区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域△ABE 面积最大，并求此最大值．【答案】(1)10(2)当步行观光旅游路线AB =AE =1033时，种植区域△ABE 面积最大，且最大值为2533【分析】(1)在△BCD 中，根据正弦定理，可得BD 的长，在△BDE 中，根据余弦定理，即可得答案.(2)在△ABE 中，由余弦定理及基本不等式，可得AB ×AE ≤1003，代入面积公式，即可得答案.(1)在△BCD 中，由正弦定理得CD sin ∠CBD =BDsin ∠BCD，所以BD =CD ⋅sin ∠BCDsin ∠CBD=6，在△BDE 中，由余弦定理得cos ∠DBE =BD 2+BE 2-DE 22×BD ×BE=35，所以35=36+BE 2-642×6×BE ，解得BE =10或BE =-145(舍)(2)在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠BAE =AB 2+AE 2-BE 22×AB ×AE=-12，所以AB 2+AE 2=100-AB ×AE ≥2AB ×AE ，所以AB ×AE ≤1003，当且仅当AB =AE =1033时等号成立，此时△ABE 面积最大值S =12×AB ×AE ×sin ∠BAE =2533所以当步行观光旅游路线AB =AE =1033时，种植区域△ABE 面积最大，且最大值为253322.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且10sin B +C22=7-cos2A ．(1)求角A 的大小；(2)若b =2,c =1，①∠BAC 的角平分线交BC 于M ，求线段AM 的长；②若D 是线段BC 上的点，E 是线段BA 上的点，满足CD =λCB ,BE =λBA ，求AD ⋅CE的取值范围．【答案】(1)A =π3(2)①AM =233；②[-3,-1]【分析】(1)根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可；(2)①法一：在△AMC 与△ABM 中根据正弦定理可得CM =2MB ，再根据AM =23AB +13AC结合数量积运算求解即可；法二：根据S △ABM +S △AMC =S △ABC ，结合面积公式列式求解即可；②法一：根据平面向量基本定理可得AD ⋅CE =[λAB +(1-λ)AC ]⋅[(1-λ)AB -AC]，进而求得范围；法二：以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据坐标运算求解即可【详解】(1)10sin B +C 2 2=7-cos2A ，则51-cos B +C =7-cos2A ，故5(1+cos A )=8-2cos 2A ，所以2cos 2A +5cos A -3=0，因为cos A <1，可得cos A =12，由A ∈(0,π)，所以A =π3．(2)①法一：在△AMC 与△ABM 中，由正弦定理得CM sin ∠CAM =AC sin ∠AMC ,BM sin ∠BAM =ABsin ∠AMB，即CM BM =ACAB =2，故CM =2MB ，所以AM =23AB +13AC ,AM 2=49AB 2+19AC 2+49AB ⋅AC =43，所以AM =233法二：在△ABC 中，由AM 是∠BAC 的角平分线所以∠BAM =∠MAC =π6由S △ABM +S △AMC =S △ABC 知：12⋅AB ⋅AM ⋅sin ∠BAM +12⋅AM ⋅AC ⋅sin ∠MAC =12⋅AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC 即12⋅1⋅AM ⋅sin π6+12⋅2⋅AM ⋅sin π6=12⋅1⋅2⋅sin π3，解得AM =233②法一：由CD =λCB ，得AD =λAB +(1-λ)AC ,(λ∈[0,1])又CE =AE -AC =(1-λ)AB -AC所以AD ⋅CE =[λAB +(1-λ)AC ]⋅[(1-λ)AB -AC]=2λ-3∈[-3,-1]．AD ⋅CE的取值范围为[-3,-1]；法二：以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由b =2,c =1,A =π3．则A (0,0),B (1,0),C (1,3),AB =(1,0),AC =(1,3)因为CD =λCB ,BE =λBA ，所以AD =AC +CD =(1,3-3λ),CE =BE -BC=(-λ,-3)．所以AD ⋅CE=-λ-3(3-3λ)=2λ-3由λ∈[0,1]，得AD ⋅CE的取值范围为[-3,-1]23.(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A +sin Bsin C=c +ba -b．(1)若a =23，b =2，求角B ;(2)设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为3，求AD 长的最大值．【答案】(1)B =π6(2)1【分析】(1)从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A ，再利用一次正弦定理求得角度B .(2)利用角平分线性质及面积公式得到AD =bc b +c，再利用基本不等式得出AD 最值.【详解】(1)解：因为sin A +sin B sin C =c +b a -b ，依据正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ，所以a +b c =c +b a -b⇒a 2-b 2=bc +c 2，即b 2+c 2-a 2=-bc ，由余弦定理变形知cos A =b 2+c 2-a 22bc =-bc 2bc =-12，因为A ∈0，π ，所以A =2π3．因为a =23，b =2，则在△ABC 中，由正弦定理得：又a sin A =b sin B ⇔2332=2sin B ⇒sin B =12，因为b <a ⇔B <A ，所以B =π6．(2)法一：因为S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc =3⇒bc =4，AD 是∠BAC =2π3的角平分线，而S △ABC =S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×AD ×sin π3+12×AC ×AD ×sin π3=12×AB ×AC ×2π3，即b +c AD =bc ，所以AD =bc b +c ，因为b >0，c >0，b +c ≥2bc ，且bc =4，故AD =bc b +c ≤bc 2bc=1;当且仅当b =c =2取等，所以AD 最大值为1．答：当b =c =2时，AD 最大值为1．法二：因为S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc =3⇒bc =4,设∠ABD =θ，θ∈0，π3，在△ABD ，△ACD 中由正弦定理知：AD sin θ=c sin ∠ADB ⇔AD sin θ=c sin θ+π3①，ADsinπ3-θ=bsin∠ADC⇔ADsinπ3-θ=bsinθ+π3②，因为bc=4，所以①⋅②得，AD2=bc sinθsinπ3-θsin2π3+θ=8sinθsinπ3-θ1+cos2θ-π3=23sin2θ+2cos2θ-21+cos2θ-π3=4sin2θ+π6-21+cos2θ-π3=4cos2θ-π3-21+cos2θ-π3=4-61+cos2θ-π3，令t=1+cos2θ-π3，θ∈0，π3，由于2θ-π3∈-π3，π3⇒t∈32，2，所以AD2=4-6t，易得此函数在t∈32,2为单调递增函数，所以当t=2⇔θ=π6时，AD最大值为1．【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．24.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC中，已知AB=1，BC=7，D为AC上一点，AD=2DC，AB⊥BD.(1)求BD的长度；(2)若点P为△ABD外接圆上任意一点，求PB+2PD的最大值.【答案】(1)3；(2)27.【分析】(1)设BD=x，CD=y，在△ABD与△CBD中应用余弦定理，结合∠ADB+∠CDB=π可得x2+2y2=5，再由AB⊥BD有1+x2=4y2求出BD.(2)由(1)易知AD为△ABD外接圆的直径，讨论P的位置，利用正余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质求PB+2PD的最大值.【详解】(1)设BD=x，CD=y，则AD=2y.在△ABD与△CBD中，由余弦定理知：AB2=BD2+AD2-2BD⋅AD⋅cos∠ADB，即x2+4y2-4xy cos∠ADB=1，BC2=BD2+CD2-2BD⋅CD⋅cos∠CDB，即x2+y2-2xy cos∠ADB=7.∵∠ADB+∠CDB=π，∴cos∠ADB+cos∠CDB=0，可得x2+2y2=5.∵AB⊥BD，∴AD2=AB2+BD2，即1+x2=4y2.解得x=3，y=1.∴BD= 3.(2)由(1)知：△ABD中，∠ABD=π2，AD=2，AD为△ABD外接圆的直径.P为△ABD外接圆上任意一点，当P在B点时，PB+2PD=2PD=2 3.当P在D点时，PB+2PD=PB= 3.当P 在优弧BAD 上时，∠BPD =∠BAD =π3，设∠PBD =θ0<θ<2π3 ，则∠PDB =2π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin 2π3-θ ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin 2π3-θ +4sin θ=2sin 2π3cos θ-cos 2π3sin θ +4sin θ=5sin θ+3cos θ=27sin (θ+φ)tan φ=35,0<φ<π2 ，当θ+φ=π2时，PB +2PD 的最大值为27.当P 在劣弧BD 上时，∠BPD =π-∠BAD =2π3，设∠PBD =θ0<θ<π3 ，则∠PDB =π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin π3-θ ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin π3-θ +4sin θ=2sin π3cos θ-cos π3sin θ +4sin θ=3sin θ+3cos θ=23sin θ+π6 .当θ+π6=π2时，PB +2PD 的最大值为2 3.综上，PB +2PD 的最大值为27.【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论P 的位置，综合运用正余弦定理、三角恒等变换及正弦型函数的性质求对应最值.25.(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin A sin B +sin C +b sin B b sin A +c sin B=1(1)求角C ；(2)CD 是∠ACB 的角平分线，若CD =433，△ABC 的面积为23，求c 的值.【答案】(1)C =π3；(2)c =23【分析】(1)先由正弦定理得a b +c +b 2ba +cb=1，化简整理得a 2+b 2-c 2=ab ，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；(2)先由面积求得ab =8，再由角平分线得AD BD =b a ，结合平面向量得CD =a a +b CA +b a +b CB ，平方整理求得a +b =6，再由(1)中a 2+b 2-c 2=ab 即可求出c 的值.【详解】(1)由正弦定理得a b +c +b 2ba +cb =1，即a b +c+b a +c =1，整理得a a +c +b b +c =a +c b +c ，化简得a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =12，又C ∈0,π ，则C =π3；(2)由面积公式得12ab sin C =12ab ×32=23，解得ab =8，又CD 是∠ACB 的角平分线，则S △ACD S △BCD =12⋅CA ⋅CD ⋅sin π612⋅CB ⋅CD ⋅sin π6=CA CB =AD BD ，即AD BD =b a ，则CD =CA +AD =CA +b a +b AB =CA +b a +b CB -CA =a a +b CA +b a +b CB ，所以CD 2=a a +b CA +b a +b CB 2=a 2a +b 2CA 2+2ab a +b 2CA ⋅CB +b 2a +b2CB 2，即163=a 2b 2a +b 2+2ab a +b 2⋅ab ⋅12+a 2b 2a +b2，整理得163=3a 2b 2a +b2，又ab =8，解得a +b =6，则a 2+b 2=a +b 2-2ab =20，由(1)知c 2=a 2+b 2-ab =20-8=12，则c =2 3.26.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在①2a cos A =b cos C +c cos B ；②tan B +tan C +3=3tan B tan C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且其面积为32，点G 为△ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且AN =2NB ，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．【答案】(1)A =π3(2)16,1312【分析】(1)若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；(2)用AB 、AC 作为平面内的一组基底表示出AG ，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP ，即可表示GP ，利用面积公式求出bc =2，再由三角形为锐角三角形求出b 的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得；【详解】(1)解：若选①2a cos A =b cos C +c cos B ，由正弦定理可得2sin A cos A =sin B cos C +sin C cos B =sin B +C即2sin A cos A =sin A ，又sin A >0，所以2cos A =1，即cos A =12，因为A ∈0,π ，所以A =π3；。

高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)

高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1． 答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2． 答案 D解析 因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0， 所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7． 所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3． 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42． 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4． 答案 C解析 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5． 答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6． 答案 C解析 在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32； 当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7． 答案 A解析 由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°． 故选A ． 8． 答案 D解析 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9． 答案 C解析 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ． 又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10． 答案 C解析 由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ． 因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， 所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11． 答案 A解析 由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4． 由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12． 答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14． 答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22． 由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ． 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2． 由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15． 答案 22解析 在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ． 由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°． 又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16． 答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4． 设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42． 三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解 如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1． 又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°． 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)． 故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。

高一数学解三角形试题答案及解析

高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。

【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.3.在中，满足下列条件的三角形有两个的是（）.A．B．C．D．【解析】选项A:,;又，三角形有一解；同理选项B有一解；选项C:，,所以三角形有一解；选项D:，,所以三角形有两解.【考点】解三角形.4.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.5.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.6.的三内角成等差数列，且，则= .【解析】因为的三内角成等差数列，所以又，所以=.【考点】三内角成等差数列7.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.8. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】两角和差的公式．9.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】1小时【解析】解实际问题，关键在于正确理解题意.本题关键在于正确理解方位角的概念.解三角形问题，需正确选用正余弦定理，本题三角形ADB中可得两角一边，即，因此可利用正弦定理得，解出=，再在中，由余弦定理得=从而得到需要的时间（小时）.试题解析：由题意知海里，3分在中，由正弦定理得 4分=（海里）， 6分又海里 7分在中，由余弦定理得=9分30（海里），10分则需要的时间（小时）。

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.．【答案】【解析】故答案为：．【考点】两角和与差的三角公式．2.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，令，在区间上，，单调递增，，所以；【考点】1．导数与单调性；2．化归的思想；3.函数在内是（）A．增函数B．减函数C．有增有减D．不能确定【答案】A【解析】函数，可得，所以函数在内是增函数．故选：A．【考点】利用导数研究函数的单调性．4.（12分）．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若，求sinA·sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sinAsinC的值试题解析：（Ⅰ）已知等式变形得：sinAcosA+sinBcosB=2sinCcosA，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=12，则B=60°；（Ⅱ）由，整理得：，∵cosB=12，∴，由正弦定理得：sin2B=2sinA·sinC=，则sinA·sinC=【考点】1．同角间三角函数关系；2．正弦定理5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．6.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tanC等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】1．余弦定理解三角形；2．同角间三角函数关系7.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若＋＝3，求sin Asin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意切化弦，同分可得，整理可得，即可求得；（2）根据已知式子同分可得，由余弦定理得到，再结合正弦定理即可得到试题解析：（1）由题意可得：因为，所以，又因为，所以（2）有题意可得：即由余弦定理可得：，得到有正弦定理：【考点】1．正余弦定理；2．化简求值8.（本题满分11分）若的内角所对的边分别为，且满足（1）求；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.（本小题满分10分）在△ABC中，是方程的一个根，（1）求；（2）当时，求△ABC周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次方程得到方程的根，结合三角函数有界性得到的值，从而求得大小；（2）由三角形余弦定理结合，可将转化为的表达式，从而求得其最小值，得到周长的最小值试题解析：（1）又是方程的一个根（2）由余弦定理可得：则：当时，c最小且，此时△ABC周长的最小值为．【考点】1．余弦定理解三角形；2．一元二次方程的根11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____【答案】【解析】由正弦定理可将已知条件转化为【考点】正弦定理与三角函数基本公式12.在△ABC中，cosA＝，sinB＝，则cosC的值为．【答案】【解析】由cosA＝，sinB＝得【考点】三角函数基本公式13.在△ABC中，如果，且为锐角，试判断此三角形的形状．【答案】等腰直角三角形．【解析】判定三角形的形状由三角形的三边长或三个角来确定．由可确定．根据正弦定理，可确定角，从而确定三角形的形状．试题解析：因为，所以,又为锐角，所以．，．由正弦定理得：，即展开得：，即，则，所以△ABC是等腰直角三角形．【考点】1．三角形形状；2．正弦定理；14.在△中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】,三角形为等腰三角形【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式15.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知（1）求角C的大小；（2）满足的是否存在？若存在，求角A的大小．【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）由正弦定理将变形可得到关于角C的关系式，进而求得角C的大小；（2）结合角C的大小将变形求解A角，若A角存在则三角形存在试题解析：（1）由正弦定理，得因为由则（2）由（1）知，于是=这样的三角形不存在。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

解三角形 一．选择题（共20小题） 1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（ ） A． 18 B． 19 C． 16 D． 17

2．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（ ） A． 17 B． 19 C． 16 D． 18

3．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（ ） A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°

4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 不确定

5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ） A． B． C． D．

6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，B=105°，a=1．则c=（ ） A． ﹣1 B． . C． . D． .2

7．（2013•天津模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（ ） A． B． C． D．

8．（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（ ） A． B． 3 C． D． 7

9．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A的取值范围是（ ） A． B． C． D．

10．（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（ ） A． B． C． D．

11．（2012•天河区三模）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（ ） A． 30° B． 45° C． 135° D． 45°或135°

12．（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ） A． ﹣ B． C． ﹣ D． 13．△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值范围是（ ） A． （0，+∞） B． （0，2+） C． （1，+∞） D． （1，2+）

14．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（ ） A． ﹣ B． C． 1 D．

15．（2014•重庆三模）在△ABC中，若，则∠B等于（ ） A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°

16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（ ） A． B． C． （0，2） D．

17．（2014•南平模拟）在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（ ） A． 30° B． 45° C． 60° D． 120°

18．（2014•广西模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：∠B=1：2，且a：b=1：，则cos2B的值是（ ） A． ﹣ B． C． ﹣ D．

19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则边a的值为（ ） A． B． C． D． 3

20．（2014•文登市二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（ ） A． B． C． D．

二．解答题（共10小题） 21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求△ABC的面积．

22．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

24．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC， （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0． （Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；

（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．

26．（2014•福建模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2． （Ⅰ）当时，求角A的度数； （Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

27．（2014•江西模拟）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C． （1）求内角B的余弦值； （2）若b=，求△ABC的面积．

28．（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

29．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且． （Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若，求的取值范围． 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（ ） A． 18 B． 19 C． 16 D． 17

考点： 余弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosB的值代入求出b的值，即可确定出三角形ABC周长． 解答： 解：∵△ABC中，a=3，c=8，B=60°， ∴b2=a2+c2﹣2accosB=9+64﹣24=49，即b=7，

则△ABC周长为3+8+7=18， 故选：A． 点评： 此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

2．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（ ） A． 17 B． 19 C． 16 D． 18

考点： 余弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosB的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值． 解答： 解：∵a=3，c=9，B=60°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即：b2=9+64﹣24，即b=7，

则a+b+c=18 故选：D． 点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

3．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（ ） A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°

考点： 余弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB的值，即可确定出B的度数． 解答： 解：∵在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，

∴cosB==﹣， 则∠B=150°， 故选：D． 点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 不确定

考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状． 解答： 解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，

即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形， 故选B． 点评： 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ） A． B． C． D．

考点： 正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A． 解答： 解：∵在△ABC中，2asinB=b，

∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，

∴sinA=，又△ABC为锐角三角形， ∴A=． 故选D． 点评： 本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．

6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，B=105°，a=1．则c=（ ） A． ﹣1 B． . C． . D． .2

考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 由已知可先求C，然后结合正弦定理可求

解答： 解：∵A=30°，B=105°， ∴C=45° ∵a=1．

由正弦定理可得，

则c=== 故选B 点评： 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题

7．（2013•天津模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（ ） A． B． C． D．

相关文档
最新文档