中点四边形ppt
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九年级数学下册第29章几何的回顾29.2反证法课题学习：中点四边形课件华东师大版
即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°，
于是∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.
与三角形的三个内角和等于180°矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
点拨：至少的反面是没有！
例5.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中 的一条相交,那么和另一条也相交.
已知:直线l1,l2, l3在同一平面内, 且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了.小 华对婷婷说：“昨天晚上下雨了.”
你能对小华的判断说出理由吗？ 小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早 晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的. 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a,b,c三边有何关 系？为什么？
求证：a//b.
a
证明：如图假设a与b不平行，b
A
则可设它们相交于点A.
c
那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这
与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平
行”矛盾,所以假设不成立.
∴a//b.
小结：根据假设推出的结论除了可以与已知条件.
例4.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.
4.已知：如图,△ABC中，D,E两点分别在AB和
A
AC上. 求证：CD、BE不能互相平分.
D E
证明：假设CD,BE互相平分,
于是∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.
与三角形的三个内角和等于180°矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
点拨：至少的反面是没有！
例5.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中 的一条相交,那么和另一条也相交.
已知:直线l1,l2, l3在同一平面内, 且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了.小 华对婷婷说：“昨天晚上下雨了.”
你能对小华的判断说出理由吗？ 小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早 晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的. 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a,b,c三边有何关 系？为什么？
求证：a//b.
a
证明：如图假设a与b不平行，b
A
则可设它们相交于点A.
c
那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这
与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平
行”矛盾,所以假设不成立.
∴a//b.
小结：根据假设推出的结论除了可以与已知条件.
例4.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.
4.已知：如图,△ABC中，D,E两点分别在AB和
A
AC上. 求证：CD、BE不能互相平分.
D E
证明：假设CD,BE互相平分,
中点四边形
A E B
模型:连接任意四边形 各边中点所成的四边形 是平行四边形.
H
F
D G C
【思考】 • 如果把上题中的“任意四边形”改为 “平行四边形”，它的中点四边形是什么 形状呢？ • 把“任意四边形”改为“矩形”，它的 中点四边形仍是平行四边形吗？ • 再把它改为“菱形”、“正方形”呢？ • 改成“一般梯形、等腰梯形”呢？
【思考】
（1）中点四边形的形状与原四边形的什 么有密切关系？ （2）要使中点四边形是菱形，原四边形 一定要是矩形吗？ （3）要使中点四边形是矩形，原四边形 一定要是菱形吗？ （4）要使中点四边形是正方形，原四边 形一定要是正方形吗？
反思
• 重视这个模型的证明过程反映出的规律: • 对角线的关系是关键.改变四边形的形状后, 对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直, 对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边 形的形状
例1 （2010山东德州）在四边形中，点 E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、 DA的中点，如果四边形EFGH为菱形， 那么四边形ABCD是 （只要写出一 种即可）． 【关键词】特殊四边形的判定． 【答案】答案不唯一：只要是对角线相 等的四边形均符合要求．如：正方形、 矩形、等腰梯形等．
例2 点O是ΔABC所在平面内一动点，连 接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的 中点D、E、F、G依次连接，如果DEFG 能构成四边形： （1）如图，当O点在ΔABC内部时，证 A 明四边形DEFG是平行四边形；
中 点 四 边 形
H A G E D
B
F
C
三明十中
林华容
回顾
思考
三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 边的一半.
模型:连接任意四边形 各边中点所成的四边形 是平行四边形.
H
F
D G C
【思考】 • 如果把上题中的“任意四边形”改为 “平行四边形”，它的中点四边形是什么 形状呢？ • 把“任意四边形”改为“矩形”，它的 中点四边形仍是平行四边形吗？ • 再把它改为“菱形”、“正方形”呢？ • 改成“一般梯形、等腰梯形”呢？
【思考】
（1）中点四边形的形状与原四边形的什 么有密切关系？ （2）要使中点四边形是菱形，原四边形 一定要是矩形吗？ （3）要使中点四边形是矩形，原四边形 一定要是菱形吗？ （4）要使中点四边形是正方形，原四边 形一定要是正方形吗？
反思
• 重视这个模型的证明过程反映出的规律: • 对角线的关系是关键.改变四边形的形状后, 对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直, 对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边 形的形状
例1 （2010山东德州）在四边形中，点 E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、 DA的中点，如果四边形EFGH为菱形， 那么四边形ABCD是 （只要写出一 种即可）． 【关键词】特殊四边形的判定． 【答案】答案不唯一：只要是对角线相 等的四边形均符合要求．如：正方形、 矩形、等腰梯形等．
例2 点O是ΔABC所在平面内一动点，连 接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的 中点D、E、F、G依次连接，如果DEFG 能构成四边形： （1）如图，当O点在ΔABC内部时，证 A 明四边形DEFG是平行四边形；
中 点 四 边 形
H A G E D
B
F
C
三明十中
林华容
回顾
思考
三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 边的一半.
中点四边形课件人教版八年级数学下册
__平__行__四__边__形____；
(2)顺次连接平行四边形各边中点，所得的四边形是
__平__行__四__边__形____；
(3)顺次连矩形四边中点所得四边形是___菱__形___；
(4)顺次连接菱形四边中点所得四边形是___矩__形___；
(5)顺次连接正方形四边中点四边形是___正__方__形___．
中点．求证：四边形EFGH是菱形．
证明：连接 BD，AC，如图．
∵在矩形 ABCD 中，
E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，
∴AC＝BD.
∴EF＝12 AC，EF∥AC，GH＝12 AC，GH∥AC.
同理：FG＝1 BD，FG∥BD，EH＝1 BD，EH∥BD.
2
2
∴EF＝FG＝GH＝EH.
中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
H分别是各边的中点．四边形EFGH是什么特殊的 10．一个四边形ABCD的对角线为AC、DB，顺次连接各边中点M，N，P，Q，得到四边形MNPQ，若AC＝BD＝3，则四边形MNPQ
的形状为________，周长为______．
(3)顺次连矩形四边中点所得四边形是________；
10．一个四边形ABCD的对角线为AC、DB，顺次连接各边中点M，N，P，Q，得到四边形MNPQ，若AC＝BD＝3，则四边形MNPQ
的形状为________，周长为______．
1 12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，∠AOB＝ ∴EH∥BD，EH＝ BD. 60°.
2
2
2
∴EF＝FG＝GH＝HE.
中点四边形
九(上)第三章 证明（三）
3.2.3特殊的平行四边形
创设情境 将一块不规则的四边形铁皮 剪成平行四边形，让你剪， 你打算怎样剪呢？
想一想
为什么四边形EFGH是平行四边形？如何证明？
G ● D
●
C
证明：
F
∵E、H分别是AB、AD的中点 ∴EH是△ABD的中位线
H● A
●
E G ● D
1 ∴EH∥BD EH ＝ BD B 2 1 同理可得: FG∥BD FG ＝ 2 BD C
的图形呢？先猜一猜，动手画一画，再证明。
D H● A E
●
G
●
C
●
F B
请大家动手画图，猜想, 测量， 分组讨论并证明！
结论：
任意四边形的中点四边形都是 平行四边形 ； 平行四边形的中点四边形是 平行四边形 ； 矩形 菱形的中点四边形是_____________；
菱形 矩形的中点四边形是______________；
∴ EH∥FG
●
EH＝FG
H● A
●
F
B
∴四边形EFGH是平行四边形
中点四边形的定义： 顺次连接一个四边形四边中点所得到的 四边形称为这个四边形的中点四边形。
G ● D
●
C
D
C
H● A
●
F B
E
A
B
试一试
依次连接正方形各边的中点，能得到一个怎样
的图形呢？先猜一猜，动手画一画，再证明。
D
●
G
C
H●
一展
身手
在下图中,ABCDXA表示一条环行高速公路,X表示 一座水库,B,C表示两个大市镇.已知ABCD是一个正方 形,XAD表示是一个等边三角形.假如政府要铺设两条 输水管XB和XC,从水库向B,C两个市镇供水,那么这条 水管的夹角(即∠BXC)是多少度?
3.2.3特殊的平行四边形
创设情境 将一块不规则的四边形铁皮 剪成平行四边形，让你剪， 你打算怎样剪呢？
想一想
为什么四边形EFGH是平行四边形？如何证明？
G ● D
●
C
证明：
F
∵E、H分别是AB、AD的中点 ∴EH是△ABD的中位线
H● A
●
E G ● D
1 ∴EH∥BD EH ＝ BD B 2 1 同理可得: FG∥BD FG ＝ 2 BD C
的图形呢？先猜一猜，动手画一画，再证明。
D H● A E
●
G
●
C
●
F B
请大家动手画图，猜想, 测量， 分组讨论并证明！
结论：
任意四边形的中点四边形都是 平行四边形 ； 平行四边形的中点四边形是 平行四边形 ； 矩形 菱形的中点四边形是_____________；
菱形 矩形的中点四边形是______________；
∴ EH∥FG
●
EH＝FG
H● A
●
F
B
∴四边形EFGH是平行四边形
中点四边形的定义： 顺次连接一个四边形四边中点所得到的 四边形称为这个四边形的中点四边形。
G ● D
●
C
D
C
H● A
●
F B
E
A
B
试一试
依次连接正方形各边的中点，能得到一个怎样
的图形呢？先猜一猜，动手画一画，再证明。
D
●
G
C
H●
一展
身手
在下图中,ABCDXA表示一条环行高速公路,X表示 一座水库,B,C表示两个大市镇.已知ABCD是一个正方 形,XAD表示是一个等边三角形.假如政府要铺设两条 输水管XB和XC,从水库向B,C两个市镇供水,那么这条 水管的夹角(即∠BXC)是多少度?
第19章课题学习中点四边形
第19章 课题学习 19章 中点四边形
概念回顾 一 .概念回顾 概念
矩 形
一角为直角且一组邻边相等
平行四边形
四边形
正方形
菱 形
等腰梯形
梯形
直角梯形
关于中点四边形 二.关于中点四边形 关于中点
一个四边形四边中点所连得到的四边形叫做中点四边形。 一个四边形四边中点所连得到的四边形叫做中点四边形。它的形状与原 数量关系和 有关。 四边形两条对角线的 数量关系和位置关系 有关。 平行四边形 1、连接任意一个四边形四边中点所得到的四边形一定是 四边形四边中点所得到的四边形一定是 、连接任意一个四边形 。 2、连接任意一个平行四边形四边中点所得到的四边形是 平行四边形 、连接任意一个平行四边形四边中点所得到的四边形是 。 平行四边形 3、连接任意一个菱形四边中点所得到的四边形是 、连接任意一个菱形四边中点所得到的四边形是 菱形 4、连接任意一个矩形四边中点所得到的四边形是 、连接任意一个矩形 矩形四边中点所得到的四边形是 矩形 。 菱形 。 。 。
结束
BD
∴四边形EFGH是平行四边形 四边形 是平行四边形
返回
D H A E B G C F
∵
AC⊥ AC⊥BD ∠EHG=90° °
∴
A E B
H
D G
F
C
∵ ∴
AC=BD EF=EG
A E
H D
∵
G
AC=BD EF=EG, AC ⊥ BD ∠EHG=90° ° EF=EG, ∠EHG=90° °
5、连接任意一个正方形四边中点所得到的四边形是 正方形 、连接任意一个正方形四边中点所得到的四边形是 正方形 6、连接任意一个等腰梯形四边中点所得到的四边形是 菱形 等腰梯形四边中点所得到的四边形是 、连接任意一个等腰梯形
概念回顾 一 .概念回顾 概念
矩 形
一角为直角且一组邻边相等
平行四边形
四边形
正方形
菱 形
等腰梯形
梯形
直角梯形
关于中点四边形 二.关于中点四边形 关于中点
一个四边形四边中点所连得到的四边形叫做中点四边形。 一个四边形四边中点所连得到的四边形叫做中点四边形。它的形状与原 数量关系和 有关。 四边形两条对角线的 数量关系和位置关系 有关。 平行四边形 1、连接任意一个四边形四边中点所得到的四边形一定是 四边形四边中点所得到的四边形一定是 、连接任意一个四边形 。 2、连接任意一个平行四边形四边中点所得到的四边形是 平行四边形 、连接任意一个平行四边形四边中点所得到的四边形是 。 平行四边形 3、连接任意一个菱形四边中点所得到的四边形是 、连接任意一个菱形四边中点所得到的四边形是 菱形 4、连接任意一个矩形四边中点所得到的四边形是 、连接任意一个矩形 矩形四边中点所得到的四边形是 矩形 。 菱形 。 。 。
结束
BD
∴四边形EFGH是平行四边形 四边形 是平行四边形
返回
D H A E B G C F
∵
AC⊥ AC⊥BD ∠EHG=90° °
∴
A E B
H
D G
F
C
∵ ∴
AC=BD EF=EG
A E
H D
∵
G
AC=BD EF=EG, AC ⊥ BD ∠EHG=90° ° EF=EG, ∠EHG=90° °
5、连接任意一个正方形四边中点所得到的四边形是 正方形 、连接任意一个正方形四边中点所得到的四边形是 正方形 6、连接任意一个等腰梯形四边中点所得到的四边形是 菱形 等腰梯形四边中点所得到的四边形是 、连接任意一个等腰梯形
人教版八年级下册数学作业课件 第十八章 解题技巧专题：中点四边形问题
1．如图，四边形 ABCD 四条边上的中点分别为 E、F、 G、H，顺次连接 EF、FG、GH、HE.连接 AC，BD. (1)试说明四边形 EFGH 为平行四边形； 解：∵E、H 分别是 AB、AD 的中点，
∴EH 是△ABD 的中位线．∴EH＝12BD，EH∥BD. 同理得 FG＝12BD，FG∥BD. ∴EH＝FG，EH∥FG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
(2)当 AC 与 BD 满足 AC＝BD 时，四边形 EFGH 是菱形，并证明你的结论； 证明如下：∵E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四 条边上的中点，
∴EH＝12BD，EF＝12AC. 由(1)知四边形 EFGH 是平行四边形． 又∵AC＝BD，∴EH＝EF.
∴四边形 EFGH 是菱形．
(3)当 AC 与 BD 满足 AC⊥BD 时，四边形 EFGH 是矩形；当 AC 与 BD 满足 AC⊥BD 且 AC＝BD 时，四边形 EFGH 是正方形(不用证明)．
2．我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形
叫做“对角线垂直四边形”．如图①，在四边形 ABCD
中，AC⊥BD，四边形 ABCD 就是“对角线垂直四边
形”．
(1)下列四边形中，一定是“对角线
垂直四边形”的是 CD ；
A.平行四边形； B.矩形；
，在“对角线垂直四边形”ABCD 中，点 E、 F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点．求 证：四边形 EFGH 是矩形； 证明：∵点 E、F、G、H 分别是 边 AB、BC、CD、DA 的中点， ∴HG∥AC，EF∥AC.∴HG∥EF. 同理可得 HE∥GF， ∴四边形 EFGH 是平行四边形． ∵DB⊥AC，∴HE⊥HG.∴∠EHG＝90°. ∴四边形 EFGH 是矩形．
∴EH 是△ABD 的中位线．∴EH＝12BD，EH∥BD. 同理得 FG＝12BD，FG∥BD. ∴EH＝FG，EH∥FG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
(2)当 AC 与 BD 满足 AC＝BD 时，四边形 EFGH 是菱形，并证明你的结论； 证明如下：∵E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四 条边上的中点，
∴EH＝12BD，EF＝12AC. 由(1)知四边形 EFGH 是平行四边形． 又∵AC＝BD，∴EH＝EF.
∴四边形 EFGH 是菱形．
(3)当 AC 与 BD 满足 AC⊥BD 时，四边形 EFGH 是矩形；当 AC 与 BD 满足 AC⊥BD 且 AC＝BD 时，四边形 EFGH 是正方形(不用证明)．
2．我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形
叫做“对角线垂直四边形”．如图①，在四边形 ABCD
中，AC⊥BD，四边形 ABCD 就是“对角线垂直四边
形”．
(1)下列四边形中，一定是“对角线
垂直四边形”的是 CD ；
A.平行四边形； B.矩形；
，在“对角线垂直四边形”ABCD 中，点 E、 F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点．求 证：四边形 EFGH 是矩形； 证明：∵点 E、F、G、H 分别是 边 AB、BC、CD、DA 的中点， ∴HG∥AC，EF∥AC.∴HG∥EF. 同理可得 HE∥GF， ∴四边形 EFGH 是平行四边形． ∵DB⊥AC，∴HE⊥HG.∴∠EHG＝90°. ∴四边形 EFGH 是矩形．
中点四边形的探究.
中点四边形的探究
别斯托别中学 ：朱智英
知识回顾
四边形之间的关系:
矩形 平行四边形
正方形
菱形
四边形
等腰梯形
梯形 直角梯形
知识回顾
三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于 第三边,且等于第三边的一半.
∵ DE是△ABC的中位线,
D A E
1 ∴ DE∥BC, DE BC . 2
B
C
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍 分关系的根据.
< 图 1 >
B H A G D
< 图 2 >
E M O F C
D
C
结论：
（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有
密切关系。 （2）只要原四边形的两条对角线 相等 ，就能 使中点四边形是菱形； （3）只要原四边形的两条对角线 互相垂直 ， 就能使中点四边形是矩形； （4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符 合的条件是 对角线相等且互相垂直
说说你的收获：
1、中点四边形的定义； 2、中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系。 3、能灵活运用三角形中位线性质探索中点 四边形的形状，经历“问题提出——探究— —验证——归纳”的过程，感受探索活动中 所体现的转化、思想方法，在合作探究中积 极主动地参与数学学习，树立学好数学的自 信心
E B F G 正方形 C
A
H D G
D
矩 形
看图讨论填表:
图形 对角线的特征 中点四边形
平行四边形 菱 菱 矩 形 形 形
平行四边形 既不互相垂直也不相等 矩形 等腰梯形 相等 相等
菱形
正方形
互相垂直
互相垂直且相等
别斯托别中学 ：朱智英
知识回顾
四边形之间的关系:
矩形 平行四边形
正方形
菱形
四边形
等腰梯形
梯形 直角梯形
知识回顾
三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于 第三边,且等于第三边的一半.
∵ DE是△ABC的中位线,
D A E
1 ∴ DE∥BC, DE BC . 2
B
C
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍 分关系的根据.
< 图 1 >
B H A G D
< 图 2 >
E M O F C
D
C
结论：
（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有
密切关系。 （2）只要原四边形的两条对角线 相等 ，就能 使中点四边形是菱形； （3）只要原四边形的两条对角线 互相垂直 ， 就能使中点四边形是矩形； （4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符 合的条件是 对角线相等且互相垂直
说说你的收获：
1、中点四边形的定义； 2、中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系。 3、能灵活运用三角形中位线性质探索中点 四边形的形状，经历“问题提出——探究— —验证——归纳”的过程，感受探索活动中 所体现的转化、思想方法，在合作探究中积 极主动地参与数学学习，树立学好数学的自 信心
E B F G 正方形 C
A
H D G
D
矩 形
看图讨论填表:
图形 对角线的特征 中点四边形
平行四边形 菱 菱 矩 形 形 形
平行四边形 既不互相垂直也不相等 矩形 等腰梯形 相等 相等
菱形
正方形
互相垂直
互相垂直且相等