2018版高中数学苏教版必修四学案2.3.1 平面向量基本定理
平面向量基本定理
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
解析： 本题考查平面向量的基本概念、坐标运算。 a b (0,1 x 2 ) 取y轴的单位向量j=（0，1），则a+b= （1+x2）j ∴（a+b）∥j,故向量a+b平行于y轴，故选C
2（2007全国）把函数y=ex的图像按向量a=(2,0)平 移，得到y=f (x)的图像，则f (x)=( C ) A.ex+2 C. ex-2 B.ex-2 D.ex+2
b
A
M
C
a
B
课堂小结
1、平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时 又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前 起后的重要知识点。 2、向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或 180°，垂直向量的夹角是90°。
高考链接
1（2009广东）已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2), 则向量 a+b（ C ） A.平行于x轴
B
(1)3e1 + 2e 2 ;(2)4e1 - e 2 ;
e1
e2
作图，如下：
(1)3e1 + 2e2 ;
e1
e2
3e1 2e2
(2)4e1 - e2 ;
4e1 e2
e1
e2
3、如果e1、 e 2是平面内所有向量的一组基底， 那么（ ） D
A.对平面α中的任一向量a ，使 a = λ 1 e1 + λ 2 e 2 的实数λ 1、λ 2 有无数对; B.对实数λ 1、λ 2，λ 1 e1 + λ 2 e 2 不一定在平面α内; C.空间任一向量a可以表示为a = λ 1 e1 + λ 2 e 2， 这里λ 1、λ 2 是实数; D.若实数λ 1、λ 2 使λ 1 e1 + λ 2 e 2 = 0, 则λ 1 = λ 2 = 0.
高中数学苏教版必修四《平面向量基本定理》课件
• 单击此试处用编e辑1、母e版2表文示本向样量式
• 二级
• 三级
• 四级
• 五级 H
E
AB,CD, EF,GH
D B
e2 A e1
G
C F
4
单击此处编辑母版标题样式
AB 2e1 3e2
CD e1 4e2
• 单•击二此级处E编F辑母4版e1文- 4本e样2 式 GH 2e1 5e2
• 三级
• 三级
• 四a级• 1五e级1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的 分解式。
10
单击例此1处已编知辑：向母量版e1标，e题2 样式
求作：向量 -2.5 e1 + 3e2
•
单击此处编辑母版文本样式
• 二级
e1
e2
C
• 三级
• 四级
• 五级
作法：
1、任取一点O作OA = -2.5 e1
A -2.5 e1
OB = 3 e2
2、以OA,OB为邻边作 OACB
3、OC为所求
B o
11
单击此例2处. 已编知平辑行母四版边形标A题BCD样的式两条对角线相交
• 单击此处于编M辑，母设版文AB本样a式，AD b ，试用基底{a，b}
•
二级 表示 • 三级
MA, MB,
MC, MD
• 四级
• 五级
D
C
b
M
A
a
B
12
单击例此3处. 已编知辑A, 母B是版l上标任意题两样点式，O是l外一点，
求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使 OP • 单•击二此级关处于编基辑底母{版O文A本, O样B式}的分解式为
高中数学_必修四第二章平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量基本定理教学设计一、教材分析本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。
所以，本节在本章中起到承上启下的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。
平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。
教学重点：平面向量基本定理的应用；教学难点：平面向量基本定理的理解.三、教学教法1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.四、学法指导1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.五、教学过程针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。
第一环节：问题导学自主学习首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。
通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。
设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境导入课题进入新课，引入课题采用问题情境的办法。
通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。
为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。
设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。
导学案1：2.2.1 平面向量基本定理
必修四第二章 平面向量2．2.1 平面向量基本定理教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：平面向量基本定理2、难点：平面向量基本定理[知识要点]．平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一；(5)一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解。
当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解[预习自测]1.下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2(2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2 (3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2 (e 1、e 2不共线) A. (2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D. (1)(2)(3)(4)2.设一直线上三点A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠±1),O 是空间一点,则OP 用OA 、OB 表示式为（ ） A. OP =OA +λOBB. OP =λOA +(1-λ) OBC. OP =λλ++1OB OAD.OB OA OP λλ-+=111 3.若a 、b 是不共线的两向量,且AB =λ1a +b , AC =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ）A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=04.设OA 、OB 不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且OP =(1-t) OA +t OB (t ∈R ),求证A 、B 、P 三点共线.5.当不为零的两个向量a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件.[归纳反思]能力提升6.已知向量a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?7.如下图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以a 、b 为基底分解向量AM 与HF . 分析：以a ，b 为基底分解AB 与HF ，实为用a 与b 表示向量AM 与HF .答案预习自测:1. A2. C3. D5. p =q =06. 存在,λ=-2μ能使d 与c 共线7.解：由H 、M 、F 所在位置有：AM =AD +DM =AD +21DC =AD +21AB =b ＋21a ， HF ＝AF －AH ＝AB ＋BF －AH ＝AB ＋AD BC 2131 ＝AB ＋31AD －21AD ＝a －61b。
平面向量基本定理(教学设计)
《平面向量基本定理（第一课时）》教学设计一、教材分析：本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第3节“平面向量基本定理及坐标表示”的第一课时内容，本节共2个课时。
平面向量基本定理是本节的重点也是本节的难点。
平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，由于高中数学设计的向量是自由向量，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任何一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点和两个不共线的向量得到表示，这是引进平面向量基本定理一个原因（学生可以不讲）。
实际上，本节课在本章中起到一个“承上启下”的作用，一方面要在平面向量线性运算的基础上归纳定理，另一方面，作为平面向量基本定理的特殊情况，研究平面向量的正交分解及坐标表示，是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是学生后续学习向量坐标表示的基础。
二、学情分析：知识方面：学生学习了第一节“平面向量的实际背景及基本概念”和第二节“平面向量的线性运算”，已经有了一定的平面向量基础知识，学力和能力方面：授课对象为省级示范学校高一学生，有比较扎实的数学基本知识，其数学基本素养和学习能力应该在普通高中学生中处于中上水平。
三、教师教学的出发点：根据课程标准的要求备课，备学生，把课程标准的要求溶解在课堂中，让学生在潜移默化中提高数学素养。
本节课的教学设计主要是针对学习情况为中等的学生（占大多数），第一、注重知识的生成，通过创设问题情境，引导学生自主学习，主动探究发现新知（平面向量基本定理）；第二、注重数学思维的培养，通过问题的两个方面，即平面向量合成和分解，培养学生的观察能力，启发学生的逆向思考能力，抽象概括能力，引导学生进行适当的合情推理（定理的证明）；第三、注重对知识的理解、消化、应用，主要通过典型的问题，掌握对新知的应用，可进行适当的拓展，发散思维；第四：激发学生的学习兴趣，在3个方向：新知识的维度拓展的兴趣激发，解决几何问题的兴趣激发，后续学习的兴趣激发。
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
高中数学人教必修四课件231平面向量基本定理
e1
A
e2
3e1
B
3e1e e 1.如图，已知向量 1、 2求作下列向量：
(1) 3e1 2e2; (2) 4e1 e2;
e B
A
B
e e 2
(3)
2e1
1 2
e2
.
A1 2
4e1 e2
4e1
O
C
O
练习
e e 1.如图，已知向量 1、 2求作下列向量：
(1) 3e1 2e2; (2) 4e1 e2;
(3)
2e1
1 2
e2
.
O
e1 e2
O
2e1
2e1
1 2
e2
;
2e1
C
A
1 2
e2
B
A B
小结
本节学习了： （1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个a 向1e1 量2e2 都可以用两个不共
线的向量来表示.即 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使 其它向量都能够统一用这组基底来表达.
2.3.1 平面向量基本定理
复习
1.数乘定义？ 2.平面向量共线定理？
复习
3.同起点的三个向量终点共线的充要条件
：
o
A
P
B
OP OA 1 OB R
问题：如果e1, e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一
平面» 内创的设任一情向境量、，提那么出a 与问e1题, e2 之间有什么关系呢？
湖南省江华县一中数学组
不共线向量有不同的方向，它们的位置关系可以用 夹角来表示。关于向量的夹角我们规定：
已知两个非零向量a, b .作OA a,OB b .
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔 平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔 两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一 平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二 用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则． 类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形． 所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角． 方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形． 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33， 所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。
2.3.1平面向量基本定理
§2.3.1 平面向量基本定理撰稿人： 刘小颖 课 型： 新授课 审核人： 班 级： 姓 名： 使用日期： 一、标学《高中数学课程标准》要求：了解平面向量的基本定理及其意义。
在本节具体要做到： 1.了解平面向量基本定理，理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.二、互学（以小组为单位，相互交流合作，完成以下内容） 自学 知识链接★1、实数与向量的积的定义及运算律是什么？ ★★2、向量共线定理是什么？★3、如图，已知向量e 1，e 2，根据向量加法的平行四边形法则，说明图中的向量与e 1，e 2有什么关系？4、任意向量都能用e 1，e 2分解吗？互学1 平面向量基本定理★1、定理：（在课本上划出来，找出定理的关键词，并熟记）★★2、探究： a（1）什么叫做基底？基底有什么特征？ 1e （2）基底唯一吗？ 2e （3）基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量e 2e 1GHFEDCBAADBC互学2 平面向量基本定理的应用1、已知向量1e ，2e 求作向量-21e +32e 和1e -22e1e2e3、如图1，D 是BC 边的中点， ， , 试用 、 表示互学4 平面向量的夹角★1、什么叫做向量的夹角？两个向量夹角的取值范围是什么？★★2、知向量a 、b 的夹角为60°，试求下列向量的夹角：（1）a -,b ; (2) 2a 、32b三、示学 四、用学1、下列关于基底的说法正确的是（ ）。
（1）平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底。
（2）基底中的向量可以是零向量。
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的。
2、已知21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下列四组向量中，不能作为一组基底的是（ ）。
A 、,1e 21e e +B 、212e e -，122e e -C 、212e e -，2214e e -D 、21e e +，21e e - 五、评学1、我的收获：ABa = ACb = a bAD2、教师点睛：平面内的任何一个向量都可以用一组不共线的向量表示。
数学必修四2.3.1
3．已知|a|＝|b|＝4， 〈a，b〉＝60° ，求〈a＋b，a－b〉的大小．
→ → 解：作AB＝a，AC＝b，并使∠BAC＝60° .再以 AB、AC 为邻 边作平行四边形 ABDC，则平行四边形 ABDC 为菱形，由于 a＋b， → → a－b 对应于菱形的对角线向量AD， CB， 且菱形的对角线互相垂直， 可知〈a＋b，a－b〉的大小为 90° .
解： 1→ 1 1→ 1 1 5 → → → OM＝OB＋BM＝b＋3BC＝b＋3· 2BA＝b＋6(a－b)＝6a＋6b， → → → → 1→ 1→ 1 1→ 2→ 2 ON＝OC＋CN＝OC＋3CD＝2OD＋3· 2OD＝3OD＝3(a＋b)＝ 2 2 3a＋3b， 1 5 1 1→ 1 → → → → → MN ＝ MC ＋ CN ＝ ( OC － OM ) ＋ 3 CD ＝ 2 (a ＋ b) － 6a＋6b ＋ 3
2.在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 CD，BC 的中点，设 → → → → AM＝a，AN＝b.试以 a，b 为基底表示向量AB和AD.
解：根据向量加法的三角形法则有 → → → → → → AB＋BN＝AN，AD＋DM＝AM， 2 4 → 1 → → AB＋2AD＝b， AB＝－3a＋3b， 即 解得 → 1→ → 4 2 AD AD ＋2AB＝a， ＝3a－ BA＝OA－OB＝2a－2b， BC＝OC－OB＝(－ → → → → a＋3b)－2b＝－a＋b，显然BA＝－2BC，可见BA与BC共线，且是 → → 反向共线，故BA与BC的夹角为 180° . 纠错心得： 求两个向量的夹角时， 应把这两个向量平移到起点 重合的位置，若不便于平移，就需要作辅助线．两向量的夹角的范 围是[0° ，180° ]，当两向量同向共线时，其夹角为 0° ；当两个向量 反向共线时，其夹角为 180° .
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平面向量基本定理
学习目标.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.在平面内，当一组基
底选定后，会用这组基底来表示其他向量.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综
合问题．
知识点一平面向量基本定理
思考
如果，是两个不共线的确定向量，那么与，在同一平面内的任一向量能否用，表示？依据是
什么？
思考如果，是共线向量，那么向量能否用，表示？为什么？
梳理()平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量，
实数λ，λ，使＝λ＋λ.
()基底：的向量，叫做表示这一平面内向量的一组基底．
知识点二向量的正交分解
思考
一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力，可分解为使物体沿斜面下滑的力和使物体垂
直作用于斜面的力.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？
梳理正交分解的含义
一个平面向量用一组基底，表示成＝的形式，我们称它为向量的．当，所在直线互相时，这
种分解也称为向量的．
类型一对基底概念的理解
例如果，是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是．(填序号)
①λ＋μ(λ，μ∈)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量，使＝λ＋μ的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ＋μ与λ＋μ共线，则有且只有一个实数λ，使得λ＋μ＝λ(λ＋μ)；
④若存在实数λ，μ使得λ＋μ＝，则λ＝μ＝.
反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平
面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训
练，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是．
①＋，－；②－，－；③＋，＋；④，＋；⑤－，－.
类型二用基底表示向量
例如图所示，在▱中，，分别是，边上的中点，若＝，＝，试以，为基底表示，.