不定积分中的“积不出”问题探讨

不定积分中的“积不出”问题探讨摘要：本文对不定积分中的“积不来”问题进行了研究，论述了自刘维尔（j.liouville）第一个研究该问题的一系列定理，并分析了它们之间的关系，根据常用积分表与相关定理总结推导出不定积分中“积不出”的若干重要类型.
关键词：不定积分原函数初等函数
初等函数在其定义域内是连续的，而任何连续函数的原函数都是存在的，因此，每个初等函数在其定义区间上都有原函数，都存在不定积分.函数“积不出”是指不定积分?蘩f（x）dx不是初等函数，即的原函数不是初等函数.
有限形式下初等函数的积分最早是由刘维尔提出并研究的问题.首先证明了，如果一个代数函数的原函数是初等函数，则它的原函数是代数函数，不过他所说的初等函数包括代数函数，接着他把定理推广到一般的初等函数的情况.后来众多数学家如ostrowski，r.h.risch，maxwell rosenlicht，ritt等沿liouville的思想方法进行推广、重新表述、证明，从理论上基本解决了该问题，然而应用这些理论作证明需要用到微分代数的知识，过于复杂，难以为一般教科书所采用.这里仅对这方面理论作综述，限于篇幅不给出证明，尽量多给出“积不出”的函数例子及如何快速判断函数是否“积不出”的一些方法.
一、主要理论
刘维尔第三定理：设f（x），g（x）为x的代数函数，且g（x）不为常数.若?蘩f（x）e■dx是初等函数，则?蘩f（x）e■dx=r （x）e■+c，其中r（x）是x，f（x），g（x）的有理函数，c是常数.
刘维尔第四定理：设f■（x），g■（x）（k=1，2，…，n）为x 的代数函数，且g■（x）-g■（x）≠常数（i≠j）.若函数w（x）=■f■（x）e■的不定积分是初等函数，则?蘩f■（x）e■dx（k=1，2，…，n）也是初等函数.
推论1：设■（x），g■（x）（k=1，2，…，n）为x的代数函数，且g■（x）-g■（x）≠常数（i≠j）.若w（x）=■f■（x）e■中有一项是积不出函数，则w（x）也是积不出函数.
推论2：设f（x）是有理函数，g（x）是多项式函数，则不定积分?蘩f■（x）e■dx是初等的，则不定积分?蘩f■（x）e■dx 是初等的充要?蘩f■（x）e■dx条件是存在有理函数r（x），使r′（x）+g′（x）r（x）=f（x）成立.
上述定理主要用来判定是否能“积出来”，通过欧拉定理，三角函数一些类型也可以通过上述定理解决.以下是现代数学家
a.ostrowski、ritt用域扩张法代数的表述liouville定理.
liouville定理：设k是微分域，f∈k，若存在k的初等扩张域const（e）=const（k），g∈k使得dg=f，则v∈k，u■，…，u■∈k■，c■，…，c■∈const（k）使得：f=dv+■c■■（其中const
（k）={a∈k|da=0}，初等扩张包括代数扩张、对数扩张、指数扩张）.
强liouville定理：设f是初等函数，k是包括初f等域，c为复数域，那么f的原函数能用初等函数表示出来当且仅当c中存在非零常数c■，…，c■和k中的非零函数g■，…，g■和k中函数h，使得f=■c■■+h′.
推论：设f，g∈c（x）（复数域上x有理函数）且f≠0，g不是常数，若f（x）e■的原函数能用初等函数表示出来，则在c（x）中存在一个有理函数r（x）使r′（x）+g′（x）r（x）=f（x）成立.
替换定理：设f（x）、x=g（t）及它的反函数t=g■（x）都是初等函数，则?蘩f（x）dx是非初等函数当且仅当?蘩f（g（t））g′（t）dt也是非初等函数.
总之，有限形式下的积分理论，经历了从19世纪早期liouville 的创立到ritt于1948年的总结，特别是rosenlicht和risch作出了重要贡献.
二、主要结果
文献［１］利用刘维尔第三定理证明了不定积分?蘩e■dx（b ≠0）?蘩■dx（b≠0）?蘩■dx等不是初等函数.由欧拉公式和刘维尔第四定理，不难证明?蘩sinx■dx，?蘩cosx■dx，?蘩■dx，?蘩■dx也不是初等函数，利用分部积分、变量替换等手段，由它们
可得更多“积不出”函数.
1.由?蘩e■dx不是初等函数通过欧拉公式，分部积分变量替换导出来的类型.
?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩x■sinx■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，（其中m，n∈n■）.
2.通过变量替换，分部积分可以化归成二项微分式的类型.
切比雪夫定理：不定积分?蘩x■（a+bx■）■dx（其中a，b≠0，b，q，r是有理数）是初等函数的充分必要条件是q，■，■+q 三个数中至少有一个是整数.
推论：设p，q是有理数，则不定积分?蘩x■（1-x）■dx是初等函数的充分必要条件是p，q，p+q三个数中至少有一个是整数.这类型的积分很多，文献［５］通过切比雪夫定理给出?蘩■dx（m ＞2）其中p■（x）=a■x■+a■x■+…+a■x+a■能表成初等函数的充要条件.
3.可以转化成椭圆积分型.
当n≥3时，不定积分?蘩r（x，■）dx一般不是初等函数；当3≤n≤4时称为椭圆积分，文献［４］指出它总可以表示成初等函数与以下三个标准的椭圆积分之和：
?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx
而这些椭圆积分，早在1833年刘维尔就证明了不是初等函数.
?蘩■，?蘩■dθ，?蘩■，?蘩■dθ（|k|＜1），?蘩■，?蘩■，?蘩■，?蘩■，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，其中p≠q，可化归椭圆积分.
4.其他的一些类型.
?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx（n≠1是初等函数n=1非初等函数），?蘩■dx，?蘩ln（sinx）dx，?蘩ln（cosx）dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩e■tanxdx，?蘩lnlnxdx，?蘩x■e■dx（k=0，1，…，n-2），都不是初等函数.
总之，判断和证明一个函数的不定积分是不是初等函数是一个很复杂的问题，有理函数或通过替换可化为有理函数的是能“积出来”的，无理函数和包含超越函数的不定积分大部分都是非初等函数，目前还没有统一的方法可解决，如下例：?蘩■dx=-■■+c能积出，更换其中一些常数就可能“积不出”.所以简单的被积函数不一定有初等积分，而复杂的被积函数不一定没有初等积分.
参考文献：
［1］张从军.数学分析概要二十讲.安徽大学出版社，2000.
［2］金玉明主编.实用积分表.中国科技大学出版社，2005.
［3］张春苟.不定积分中的“积不出”问题.数学的实践与认识，2009.
［4］赵兴华.超越函数初等积分存在性和机械化算法.大连理工大学.硕士论文，2009.
［5］邓四清.一类无理函数积分能表成初等函数的充要条件.工科数学，1995.。