数学微积分与数学建模
数学建模融入微积分教学单元
・
问题 提 出
在经 济发展 的 今天 ， 造 与销售 假 冒伪劣 品 等违 法犯 罪 活 动 （ 制 以下 简 称 造假 ） 来 越 引 起 人 们 的广 越
泛关 注 ， 假严 重危 害 了广 大 消费者 的利 益 ， 造 扰乱 社会 经 济 秩序 ， 而 影 响 整个 国 民经 济 正 常 有 序 的 发 从
定 ） ；
Ａ３ 单 位时 间 内维持 正常 的社会 经 济秩序 打掉 的假 品数 为 Ｂ， ： 同样 也假设 Ｂ 为常 数 ；
Ａ ： ４ 设单 位 时 间内因政 府 部 门开 展 某 种 打 假 运 动 所 打 掉 的假 品数 与 ｔ 刻 的假 品 数 成 正 比， 时 即 Ｃ ・ （） （ 中 Ｃ为打 假强 度系数 ， Ｊ￡ ； 其 由于运 动需 要资 金 ， 而且 范 围越 大 ， 所需 资金 也越 多 ） ； Ａ５ ：对 于地 区经 济系统 而言 ， 品单位 时 间 内应 控 制在一 定数 量 以 内 ， 假 如＜ Ｄ， 称为 临界值 ；打
摘要： 节（ 本 案例 ） 讨论 针 对打 假过 程分 析建 立 了相应 机 理 的微 分 方程 模 型 ， 对 求解 结 果讨 论 和分 再
析的基 础上论 述 了打 假 的种 种办 法 ， 说 明制假 活 动 中确有 一 个 类 似库 兹 涅茨 “ Ｕ 假 说 ” “ 命 周 并 倒 的 生 期 ” 最 后 给 出三 组 习题包 括 基本 练 习 、 ． 平行 研究 、 入研 究 （ 深 即模 型 的三个 改 进方 向） ．
南 １ ０ ０ （ 京 财 经 大 学 应 用 数 学 系 ， 京 ２ ０ ０ ； 江 苏 经 贸职 业 技 术学 院 ， 京 ２ ０ ０ ） 南 南 １ ０ ３
［ 摘 要 ］ 本 文 是 教 育 部 项 目的子 课 题 中 期报 告 中 样 板 单 元 ， 对 打 假 的 机 理 问 题 设 计 了数 学 建 模 融 人 针
数学建模的概念方法和意义
动态规划
解决多阶段决策问题，如最优路径、生产调 度等。
03
数学建模的意义与应用
在科学领域的应用
01
物理建模
通过建立数学模型来描述物理现 象和规律，如牛顿第二定律、热 传导方程等。
化学建模
02
03
生物建模
通过数学模型描述化学反应过程 和机理，如反应动力学方程、化 学平衡方程等。
用数学模型研究生物学问题，如 种群增长模型、基因表达模型等。
心理学研究
数学建模在心理学研究中用于描述人类认知 过程、情感反应和心理发展规律。
公共政策分析
数学建模在公共政策分析中用于评估政策效 果、预测社会趋势和制定科学决策。
04
数学建模的未来发展与挑战
人工智能与数学建模
人工智能与数学建模的结 合
人工智能技术为数学建模提供了强大的计算 能力和数据分析能力，使得复杂模型的建立 和求解成为可能。
金融建模
数学建模在金融领域中用于股票价格预测、风 险评估和投资组合优化。
经济学分析
数学建模在经济分析中用于描述市场供需关系、 经济增长和经济发展模式等。
计量经济学
数学建模在计量经济学中用于探索经济现象的内在规律和因果关系。
在社会领域的应用
社会学研究
数学建模在社会学研究中用于分析社会结构、 人口动态和人类行为模式。
假设不合理
在建模过程中，为了简化问题， 常常会做出一些假设，但这些假 设有时可能与实际情况存在较大 偏差。
数据不足或数据质
量差
在建模过程中，需要用到大量的 数据，但有时数据可能不足或质 量较差，导致模型无法准确反映 实际情况。
02
数学建模的主要方法
代数法
代数法
数学专业的数学建模学研究
数学专业的数学建模学研究数学建模学是数学专业中的一个重要研究方向。
它通过运用数学工具和方法，对实际问题进行建模，分析和解决，从而为现实世界的各个领域提供有效的数学模型和解决方案。
本文将介绍数学建模学的研究内容、应用领域以及未来的发展趋势。
一、数学建模学的研究内容1. 数学建模的基本思想数学建模的基本思想是将实际问题转化成数学问题，并通过建立适当的数学模型来描述问题的本质。
数学建模的过程包括问题的选择、模型的建立、模型的求解和结果的验证。
在建模过程中，需要考虑问题的实际背景、约束条件以及模型的适用性。
2. 数学建模的数学工具数学建模学运用了众多的数学工具与方法，包括微积分、线性代数、概率论、运筹学等。
这些数学工具可以用来描述问题的量化关系、分析问题的规律以及求解优化问题。
数学建模的研究者需要在实际问题中选用合适的数学工具，并将其灵活应用于建模过程中。
二、数学建模学的应用领域数学建模学的应用领域非常广泛，涵盖了自然科学、社会科学以及工程技术等多个领域。
以下是数学建模在各个领域的应用案例：1. 自然科学领域在物理学、化学和生物学等自然科学领域，数学建模被广泛应用于模拟物理现象、分析化学反应以及研究生物系统。
例如，数学建模可以用来描述地球上大气环流的规律，预测气候变化；同时，数学建模也可以应用于药物设计和生物网络的分析。
2. 社会科学领域在经济学、社会学和人口学等社会科学领域，数学建模被用于分析人类行为、预测市场变化以及研究社会现象。
例如，经济学家可以利用数学建模来研究市场供需关系，预测商品价格的变化；同时，社会学家也可以运用数学建模来分析人口增长模式和社会结构。
3. 工程技术领域在工程技术领域，数学建模被广泛应用于电力系统、交通规划以及网络通信等方面。
例如，电力系统的运行调度可以通过数学建模来优化发电计划，提高电网的稳定性和经济性；同时，交通规划中的交通流量分析也可以通过数学建模来解决。
三、数学建模学的发展趋势1. 多学科融合数学建模学的发展趋势是与其他学科的融合。
数学建模面试基础知识
数学建模面试基础知识在数学建模的面试过程中，掌握一些基础知识是非常重要的。
这些基础知识可以帮助面试者更好地理解和应用数学建模方法，从而在面试中展现自己的能力。
本文将介绍数学建模面试中的一些基础知识。
1. 数学建模的定义和意义数学建模是指利用数学方法和技巧来解决实际问题的过程。
它是将实际问题转化为数学问题，并通过数学模型来描述和解决这些问题。
数学建模不仅可以提供解决问题的途径，还可以提供问题的定性和定量分析，从而更好地理解问题本质和规律。
2. 数学建模的基本步骤数学建模通常包括以下几个基本步骤：2.1. 问题的分析和理解在进行数学建模之前，首先需要对问题进行分析和理解。
这包括理解问题的背景和要解决的具体内容，确定问题的目标和约束条件。
2.2. 建立数学模型在理解问题之后，需要建立数学模型来描述问题。
数学模型可以是代数模型、几何模型、概率模型等，根据问题的特点选择合适的数学模型进行描述。
2.3. 模型的求解和分析建立数学模型之后，需要对模型进行求解和分析。
这可以通过数学方法和工具来实现，如求解方程组、优化算法等。
求解和分析的结果可以帮助我们理解问题的规律和特点。
2.4. 结果的验证和解释在完成模型求解之后，需要对结果进行验证和解释。
这包括对结果进行统计分析、敏感性分析等，以验证结果的可靠性和合理性。
同时，还需要将结果进行解释，给出问题的解决方案和结论。
3. 数学建模中常用的数学方法和技巧在数学建模中，常常使用一些数学方法和技巧来解决问题。
以下是一些常用的数学方法和技巧：3.1. 微积分微积分是数学建模中最常用的方法之一。
它可以用来描述变化率、极值、积分等概念，对于建立函数关系和求解问题非常有用。
3.2. 线性代数线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支。
它在数学建模中常用于矩阵运算、线性方程组的求解等问题。
3.3. 概率统计概率统计是对随机现象进行研究的数学分支。
它在数学建模中常用于描述不确定性和风险，对于分析和预测问题非常有用。
如何学习好数学建模
如何学习好数学建模在数学建模方面取得良好的学习成果是需要一定的耐心和努力的。
以下是一些建议，希望能帮助你更好地学习好数学建模。
1.掌握基础数学知识要学好数学建模，首先需要掌握扎实的基础数学知识，包括代数、微积分、概率论、线性代数等。
这些基础知识是建模的基础，只有牢固掌握了它们，才能更好地进行数学建模。
2.多做习题和实例分析学习数学建模的过程中，需要积极参与到课堂习题和实例分析中，通过反复的练习和实践，培养自己的数学建模思维和解题能力。
可以选择一些经典的建模题目，比如美国大学生数学建模竞赛（MCM）等，多加练习和挑战自己。
3.学习实际问题的背景知识数学建模是将数学方法应用到实际问题中，因此了解实际问题的背景知识非常重要。
学习数学建模时，要多关注与实际问题相关的知识，比如经济学、物理学、生态学等，深入了解问题的本质和特点，为数学建模提供更实际的背景。
4.增强编程和数据分析能力在数学建模中，数据分析和编程是必备的工具。
要学习好数学建模，可以选择一门编程语言，如Python、R等，学习基本的编程语法和数据分析技巧。
通过编程来处理和分析实际数据，可以更好地理解和解决建模问题。
5.关注数学建模竞赛和论文数学建模竞赛和论文是学习好数学建模的重要途径。
关注一些国内外的数学建模竞赛，如美国大学生数学建模竞赛（MCM）、中国大学生数学建模竞赛等，订阅相关期刊和论文，学习优秀的建模方法和思路，增强自己的建模能力和创新意识。
6.多与他人交流和合作数学建模是一项多学科、多人合作的工作，与他人交流和合作对学习好数学建模非常有帮助。
可以与同学、老师、从业人员等进行交流，分享彼此的经验和建模思路，一起解决问题，相互促进。
7.不断实践和反思数学建模需要不断的实践和反思，通过实际问题的分析和解决，不断提高自己的建模能力。
在实践中遇到困难和挫折时，要勇于思考和总结，找出问题所在，并采取相应的措施进行改进。
总之，学习好数学建模需要坚持不懈的学习和实践，掌握好基础知识，了解实际问题的背景，提升编程和数据分析能力，并通过交流和实践持续提高自己的建模能力。
大学数学建模知识点总结
大学数学建模知识点总结一、概率论基础知识1. 集合论基础知识集合的概念、集合的运算、集合的性质、集合的表示方法等。
2. 随机变量及其分布随机变量的概念、随机变量的分布、离散型随机变量、连续型随机变量等。
3. 数理统计基础知识抽样、统计量、分布函数、统计分布函数、极限定理等。
二、线性代数知识1. 行列式及其性质行列式的概念、行列式的性质、行列式的运算规则等。
2. 矩阵及其运算矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的性质、矩阵的逆、矩阵的转置等。
3. 矩阵方程组矩阵方程组的概念、矩阵方程组的求解、矩阵方程组的解的存在性和唯一性等。
三、微积分知识1. 极限函数极限的定义、函数极限的性质、无穷小量、无穷大量、极限的性质等。
2. 导数导数的概念、导数的求法、导数的性质、高阶导数、隐函数的导数等。
3. 微分方程微分方程的概念、微分方程的解、微分方程的分类、微分方程的求解方法等。
四、数理逻辑知识1. 命题与命题的联结词命题的概念、命题的分类、联结词的概念、联结词的分类、逻辑联结词的性质等。
2. 推理与证明推理的概念、推理的方法、证明的方法、证明的逻辑、直接证明、间接证明、数学归纳法等。
五、数学建模方法1. 模型建立模型的概念、模型的分类、模型的建立方法、模型的验证等。
2. 模型求解模型求解的方法、模型求解的工具、模型求解的步骤等。
3. 模型分析模型分析的方法、模型分析的工具、模型分析的步骤等。
六、优化理论1. 最优化问题最优化问题的概念、最优化问题的分类、最优化问题的求解方法、最优化问题的应用等。
2. 线性规划线性规划的概念、线性规划的模型、线性规划的求解方法、线性规划的应用等。
七、统计推断1. 参数估计参数估计的概念、参数估计的方法、参数估计的性质、参数估计的应用等。
2. 假设检验假设检验的概念、假设检验的原理、假设检验的方法、假设检验的应用等。
八、时间序列分析1. 时间序列的概念时间序列的定义、时间序列的分类、时间序列的性质、时间序列的应用等。
数学建模的初步认识
数学建模的初步认识数学建模是一种通过数学方法解决实际问题的过程，它是现实世界和数学之间的桥梁，可以帮助我们更好地理解和分析现实世界中的复杂问题。
数学建模涉及到许多数学工具和技巧，包括微积分、线性代数、概率统计等，同时也需要具备一定的实际问题分析能力和创造性思维。
在本文中，我们将对数学建模进行初步的认识，并探讨其在现实中的应用和意义。
一、数学建模的基本概念数学建模是一种将现实问题抽象化、数学化、定量化的过程。
通常情况下，数学建模可以分为三个基本步骤：建立模型、求解模型、验证模型。
建立模型是指将实际问题抽象成数学形式，通常包括确定问题的变量、建立数学关系式等；求解模型是指利用数学方法和技巧来解决建立的数学模型，通常包括求解方程、优化问题等；验证模型是指将模型的结果与实际数据进行比较，从而验证模型的有效性和可靠性。
通过这些步骤，我们可以利用数学方法来更好地分析和解决实际问题，提高问题的理解和解决能力。
二、数学建模的应用领域数学建模在现实生活中有着广泛的应用领域，涉及到经济、生态、气候、环境、医学等各个方面。
在经济领域，数学建模可以帮助企业进行市场预测、资源配置、成本优化等方面的决策；在生态领域，数学建模可以帮助研究人员预测生物种群的发展趋势、生态系统的稳定性等问题；在医学领域，数学建模可以帮助研究人员分析疾病传播规律、药物疗效等方面的问题。
通过数学建模，我们可以更好地理解和分析这些复杂问题，并为问题的解决提供科学的依据。
三、数学建模的意义和挑战数学建模在现实世界中有着重要的意义，它可以帮助我们更好地理解和解决各种复杂问题，为决策提供科学依据，促进科学技术的发展。
数学建模也面临着许多挑战，比如模型的建立是否合理、数据的准确性等问题，这些都需要我们具备相关的数学知识和实际问题分析能力来克服。
数学建模的介绍
4．模型假设与符号说明 在数学建模时，要根据问题的特征 和建模目的，抓住问题的本质，忽略 次要因素，对问题进行必要的简化， 做出一些合理的做设。模型假设部分 要求用精练、准确的语言列出问题中 所给出的假设，以及为了解决问题作 者所做的必要、合理的假设。
假设做得不合理或太简单，会导致错 误的或无用的模型;假设做得过分详尽， 试图把复杂对象的众多因素都考虑进 去，会使工作变得很难或无法继续下 去，因此常常需要在合理与简化之间 作出恰当的折中。因为这一项是论文 评奖中的重要指标之一，所以必须逐 一书写清楚。
数 学 建 模
1、数学建模简介； 2、数学建模论文写作； 3、数学建模资料查询； 4、数学建模竟赛的解题方法总结。
数学建模简介
什么是数学模型？数学模型应 该说是每个人都十分熟悉的. 譬如你一定解过这样的所谓"航 行问题":甲乙两地相距750千米,船 从甲到乙顺水航行需30小时,从乙到 甲逆水航行需50小时,问船的速度是 多少.
为使模型易懂，可借助于适当的图形、 表格来描述问题或数据。因为这一部 分是论文的核心内容，也是评奖中的 重要指标之一，主要反映在"建模的创 造性"上，所以必须认真撰写。
6．模型求解 使用各种数学方法或软件包求解数 学模型。此部分应包括求解过程的公 式推导、算法步骤及计算结果。为求 解而编写的计算机程序应放在附录部 分。有时需要对求解结果进行数学上 的分析，如结果的误差分析、模型对 数据的稳定性或灵敏度分析等。
这里提请读者注意，摘要在整篇论文 评阅中占有重要权重，需要认真书写。 在地区和全国评阅时。首先根据摘要 和论文整体结构及概貌对论文优劣进 行初步筛选，然后再根据论文的内容 确定获奖等级。
3．问题重述 数学建模竞赛要求解决给定的具体 问题，所以论文中应叙述给定问题。 撰写这部分内容时，有的学生不动脑 筋，照抄原题，这样不太好，应把握 住问题的实质，用较精练的语言叙述 原问题，并提出数学建模需要解决的 问题。
数学建模基础知识
数学建模基础知识一、数学基础数学建模是使用数学语言描述实际问题并建立模型的过程。
因此，掌握一定的数学基础知识是进行数学建模的关键。
这包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等学科的基础知识。
1. 高数学是数学建模的基础，主要包括极限、微积分、级数、微分方程等知识。
这些知识在模型构建和数值计算中有着广泛的应用。
2. 线性代数是研究线性方程组的科学，它提供了解决多变量问题的基本工具。
在模型构建和数据处理中，线性代数可以帮助我们理解和操作空间向量、矩阵等重要概念。
3. 概率论与数理统计是研究随机现象的数学科学。
在数据处理和问题解决中，概率论与数理统计的知识可以帮助我们理解和分析不确定性，从而更好地解决问题。
二、模型构建模型构建是数学建模的核心，它包括以下步骤：1. 问题分析：对实际问题进行深入分析，明确问题的主要矛盾和次要矛盾，找到问题的核心。
2. 模型假设：根据问题分析的结果，提出合理的假设，为模型构建提供基础。
3. 模型建立：根据假设，使用数学语言描述实际问题，建立数学模型。
4. 模型验证：将建立的模型用于实际问题，进行数据分析和预测，验证模型的准确性和可靠性。
三、数值计算数值计算是数学建模中不可或缺的一部分，它包括以下步骤：1. 算法设计：根据问题的特点，设计合适的算法，以实现模型的数值计算。
2. 编程实现：使用适当的编程语言实现算法，进行数值计算。
常用的编程语言包括Python、C++、Java等。
3. 结果分析：对计算结果进行分析和解释，为问题解决提供依据。
四、数据处理数据处理是数学建模中非常重要的一环，它包括以下步骤：1. 数据收集：根据实际问题的需要，收集相关的数据。
这可能包括历史数据、调查数据、实验数据等。
2. 数据清洗：对收集到的数据进行清洗和处理，去除无效和错误的数据，确保数据的准确性和完整性。
3. 数据转换：将清洗后的数据进行转换，使其更符合建模需要。
这可能包括数据的缩放、标准化、归一化等操作。
《微积分与数学模型》教材编写基本思想
反 映了一 个人 在现 代信 息社 会 的基 本 素质 。尤其 是 当今 科 学技 术 领 域都 在 追 求 “ 高精 确 、 高速 度 、 自 高
动 、 安全 、 高 高效 率 和高 质量 ” 的形势 下更 是 如此 。 ｊ 所 以培养 学生 的数 学建模 能 力应是 大 学数学 教育 最 重要 的 目标之一 。 迄今 为止 ， 但 这一 能力 的培养 并未 在大 学数 学 主干教 材 中得到 应有体 现 。这就 给我 们 提 出了 巨大 的、 前所 未有 的挑 战 。 其是 非数 学类专 尤 业 的数 学教 育 ， 由于要 同时 完 成数 学 基 础知 识 教育
多所 高 校使 用 ， 得好 评 ， 获 得 ２ ０ 获 并 ０ ２年 全 国优 秀 教材二 等奖 。如今 教 材再版 在 即 ， 者欣慰 之余 ， 编 也
深有 如履薄 冰之感 。 人高 兴 的是 ， 令 十年 的教学 改革 进程 ， 不仅 没有动 摇初衷 ， 而使 当初 不甚 成熟 的改 反 革思 想渐渐 清 晰而形成 系统 。然 而这 一 系统毕 竟 与 原教材 的体 系大 有不 同 。 为便 于使 用起 见 ， 我们 将编
部立项 ， 一项 得 到山西 省教 育厅 重点经 费 支持 ） 的实 施 中 ， 启 发应 用 意识 ， 以“ 提高 应 用 能力 ” 为宗 旨 ， 为 在 数 学教 学 中 突 出素质 教 育 ， 以及 培养 学 生 的创 新 能力 和应 用 能力 ， 微 积 分及 与 之 相关 的数 学模 型 将 内容进 行整 合而产 生 的＿ 。 书 自 １ ９ 年 在高 等教 】 该 ９９ 育 出版社 和 Ｓ ｒ ｇ ｒ出版社 联 合 出版 以来 ， 国 内 ｐｉ ｅ ｎ 经
科研 人员 或 工程 技 术人 员 ， 用 计 算 机 已成 为 一种 使
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数学微积分与数学建模
数学微积分是数学中的重要分支，它研究的是变化率和累积量的数学理论。
微
积分的概念和方法在科学、工程、经济学等领域中具有广泛的应用。
而数学建模则是通过数学方法解决实际问题的过程，它将现实世界的问题转化为数学模型，并利用数学工具进行分析和求解。
微积分和数学建模之间存在着密切的联系，下面将从微积分的基本概念、微积分在数学建模中的应用等方面进行探讨。
微积分的基本概念包括导数和积分。
导数描述了函数在某一点上的变化率，它
可以用来求解曲线的斜率、速度、加速度等问题。
而积分则是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间内的累积量，可以用来求解曲线下的面积、体积、质量等问题。
导数和积分是微积分的核心概念，它们的应用范围非常广泛。
例如，在物理学中，通过对位移、速度和加速度的关系进行微积分分析，可以得到物体的运动规律；在经济学中，通过对需求曲线和供给曲线进行微积分分析，可以得到市场均衡的价格和数量等。
微积分在数学建模中的应用可以说是无处不在。
数学建模是一种将实际问题转
化为数学模型的过程，而微积分则是解决这些数学模型的重要工具。
例如，在生物学中，研究生物种群的增长和衰退时，可以使用微积分中的微分方程来描述其变化规律；在工程学中，研究电路中的电流和电压时，可以使用微积分中的积分来求解电路的特性参数；在金融学中，研究股票价格的变动时，可以使用微积分中的导数来计算股票的波动率等。
微积分为数学建模提供了强大的工具和方法，使得我们能够通过数学的方式来理解和解决实际问题。
除了微积分的基本概念和应用之外，微积分还有一些重要的拓展内容，如偏导数、重积分、级数等。
这些概念和方法在更复杂的问题中起着重要的作用。
例如，在物理学中，研究多变量函数的变化规律时，可以使用偏导数来描述其变化率；在工程学中，研究三维空间中的物体的体积和质量时，可以使用重积分来求解；在数学分析中，研究无穷级数的收敛性和求和问题时，可以使用级数的概念和方法来分
析。
这些拓展内容使得微积分更加丰富和深入，为解决更复杂的实际问题提供了更多的工具和思路。
总之，数学微积分是数学中的重要分支，它研究的是变化率和累积量的数学理论。
微积分的基本概念和方法在科学、工程、经济学等领域中具有广泛的应用。
而数学建模则是通过数学方法解决实际问题的过程，微积分在数学建模中起着重要的作用。
微积分的基本概念和应用、拓展内容等方面都是我们学习和研究微积分的重要内容。
通过深入学习微积分，我们可以更好地理解和应用数学的力量，解决实际问题，推动科学和技术的发展。