高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式本讲达标测试 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数

第一讲不等式和绝对值不等式(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是A.a＞b＋1B.a＞b－1C.a2＞b2D.a3＞b3解析A项：若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b 不成立；D项：a＞b是a3＞b3的充要条件，综上所述答案选A.答案A2.若a>b，x>y，则下列不等式不正确的是A.a＋x>b＋yB.y－a<x－bC.|a|x>|a|yD.(a－b)x>(a－b)y答案C3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是A.[－5，7]B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析解法一当x≤－3时，不等式化为5－x－x－3≥10，即x≤－4；当－3＜x＜5时，不等式化为5－x＋x＋3≥10，即8≥10，故x∈∅；当x≥5时，不等式化为x－5＋x＋3≥10，即x≥6.综上，原不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.解法二利用绝对值的几何意义，即在数轴上的点x到5和－3的距离之和不小于10，所以x≤－4或x≥6，故选D.答案D4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为 A.(0，＋∞) B.(－1，0)∪(2，＋∞) C.(2，＋∞)D.(－1，0)解析f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x 2－x －2）x，则f ′(x )＞0，也就是2（x 2－x －2）x＞0，得－1＜x ＜0或x ＞2，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＞0的解集为{x |x ＞2}，故选C. 答案C5.若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2有A.最大值3＋2 2B.最小值3＋2 2C.最大值6D.最小值6解析 由题意知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＝3＋2y 2x 2＋x 2y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x2时，等号成立，故选B.答案B6.函数y ＝3x ＋12x2(x >0)的最小值是A.6B.66C.9D.12解析y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥ 333x 2·3x 2·12x2＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝2时，等号成立. 答案C7.设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是A.3B.3－3 2C.3－2 3D.－1 解析y ＝3－3x －1x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立.答案C8.若a 、b ∈R，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是 A.a 2＋b 2＞2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b＞2abD.b a ＋ab≥2解析 对A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b＜0，而2ab ＞0，2ab＞0，显然B 、C 不对；对D ：当ab ＞0时，由均值定理b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，故选D. 答案D9.某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n，则此人应选A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析 设第n 层总的不满意度为f (n )， 则f (n )＝n ＋9n ≥29＝6，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时等号成立. 答案C10.已知f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数， f (2)＝0，则不等式xf (x )<0的解集是A.{x |－2<x <0，或x >2}B.{x |x <－2，或0<x <2}C.{x |x <－2，或x >2}D.{x |－2<x <0，或0<x <2} 解析 画出草图，(图略)则当0＜x ＜2或x ＜－2时，f (x )＜0； 当x ＞2或－2＜x ＜0时，f (x )＞0.所以x ·f (x )＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＜0x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0x ＜0，即为0＜x ＜2或－2＜x ＜0. 答案D11.若0＜x ＜12，则x 2(1－2x )有A.最小值127B.最大值127C.最小值13D.最大值13答案B12.设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 2x ＋b 21－x≥m 恒成立，则m 的最大值是A.(a －b )2B.(a ＋b )2C.a 2b 2D.a 2解析a 2x ＋b 21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x [x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2（1－x ）x ＋b 2x 1－x≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当x 1－x ＝ab时取等号. 由a 2x ＋b 21－x≥m 恒成立，可知m ≤(a ＋b )2. 故m 的最大值是(a ＋b )2. 答案B二、填空题(每小题5分，共20分)13.不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________. 解析 由题意得|x ＋1|≥|x －3|， ∴(x ＋1)2≥(x －3)2，即8x ≥8，∴x ≥1. 答案 [1，＋∞)14.已知不等式|2x －t |＋t －1＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则t 的值为________. 解析 |2x －t |＜1－t ，t －1＜2x －t ＜1－t ，2t －1＜2x ＜1，t －12＜x ＜12.∴t ＝0.答案 015.设x ，y 为实数.若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________. 解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105. 当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105. 答案210516.下面四个命题：①若a >b ，c >1，则a lg c >b lg c ； ②若a >b ，c >0，则a lg c >b lg c ； ③若a >b ，则2c a >2cb ； ④若a <b <0，c >0，则c a >c b. 其中正确命题的个数为________.解析 ①正确，∵c >1，lg c >0，∴a lg c >b lg c ；②不正确，由于当0<c <1时，lg c <0，a lg c <b lg c ；③正确，∵2c >0，∴2c a >2c b ；④正确，∵a <b <0，∴0>1a >1b ，又c >0，∴c a >c b.答案 3三、解答题(共70分)17.(10分)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值.解析 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 18.(12分)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值.解析 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，则a ＝2.故a 的值为2.19.(12分)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1），当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4， 得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34. 因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－14≤x ≤34. 故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x [f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.20.(12分)(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值X 围.解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立. 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值X 围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).21.(12分)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，求证： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件. 证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件.22.(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a).(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值X围.解析(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1).当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1).(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0. 所以，a的取值X围是[1，＋∞).。