方差分析的若干模型
18第六章 方差分析-第五节-期望均方
εijl为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)。
数学模型中的处理效应αi(或βj、βij) 由于处理性质的不同，有固定效应(fixed effect)和随 机效应(random effect)之分。 就试验资料的具体统计分析过程而言，这三种模型 的差别并不太大， 但从解释和理论基础而言，它们之间是有很重要的 区别的。 不论设计试验、解释试验结果，还是最后进行统计 推断，都必须了解这三种模型的意义和区别。
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随机模型
如，为研究中国小麦品种的产量的变异情况， 从大量地方品种中随机抽取部分品种为代表进 行试验、观察，其结果推断中国小麦品种的产 量的变异情况，这就属于随机模型。 研究转基因抗虫棉大田生态环境中，昆虫种群 的变异
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混合模型(mixed model)
k个处理并非特别指定，而是从更大的处理总体中随 机抽取的k个处理而已; 研究的对象不局限于这k个处理所对应的总体的结果， 而是着眼于这k个处理所在的更大的总体； 研究的目的不在于推断当前k个处理所属总体平均数 是否相同，而是从这k个处理所得结论推断所在大总体
的变异情况.
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处理效应αi(或βj、βij) 固定效应(fixed effect) : k个处理看作k个明晰的总体。
研究的对象只限于这k个总体的结果，而不需推广到 其它总体；
研究目的在于推断这k个总体平均数是否相同.
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随机效应(random effect) :
固定模型
把k个处理看作k个明晰的总体。研究的对象只限于这k个总 体的结果，而不需推广到其它总体；
方差分析
方差分析专题单因素试验的方差分析（一）单因素试验在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。
例如，在化工生产中，有原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、溶液浓度、反应时间、机器设备及操作人员的水平等因素。
每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。
有些因素影响较大，有些较小。
为了使生产过程得以稳定，保证优质、高产，就有必要找出对产品质量有显着影响的那些因素。
为此，我们需进行试验。
方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果影响的有效方法。
在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标。
影响试验指标的条件称为因素。
因素可分为两类，一类是人们可以控制的（可控因素）；一类是人们不能控制的。
例如，反应温度、原料剂量、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般是难以控制的。
以下我们所说的因素都是指可控因素。
因素所处的状态，称为该因素的水平（见下述各例）。
如果在一项试验中只有一个因素在改变称为单因素试验，如果多于一个因素在改变称为多因素试验。
例1设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。
取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。
得结果如表9.1所示。
表9.1铝合金板的厚度这里，试验的指标是薄板的厚度。
机器为因素，不同的三台机器就是这个因素的三个不同的水平。
我们假定除机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其它条件都相同。
这是单因素试验。
试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显着的差异。
即考察机器这一因素对厚度有无显着的影响。
例2下面列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。
表9.2电路的响应时间这里，试验的指标是电路的响应时间。
电路类型为因素，这一因素有4个水平。
这是一个单因素试验。
试验的目的是为了考察各种类型电路的响应时间有无显着差异。
即考察电路类型这一因素对响应时间有无显着的影响。
例3一火箭使用了四种燃料，三种推进器作射程试验。
统计学方差分析
统计学方差分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于数据分析中。
它的主要目的是用于比较多个样本群体之间的均值是否存在显著差异。
通过方差分析，可以确定因素对于不同组之间的差异程度有无显著影响。
方差分析的基本原理是将数据进行分解，并据此计算各部分之间的均方差（mean square），然后通过比较这些均方差的比值，得出各部分对总体的贡献程度，并进行显著性检验。
在方差分析中，数据通常被分为几个不同的组别，每个组别称为一个因素（factor）。
每个因素可以有不同的水平（level），例如性别因素可以有男和女两个水平。
而一个水平下的所有观测值构成一个处理（treatment）或条件（condition）。
方差分析的基本模型是一种线性模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。
对于单因素方差分析，它的模型可以表示为：Y=μ+α+ε其中，Y表示因变量，μ表示总体的平均值，α表示组别之间的差异，ε表示组内误差。
方差分析的目标是判断组别之间的差异（α）与组内误差（ε）的比值是否显著。
方差分析的核心思想是通过计算均方差，评估不同因素水平之间的差异是否显著。
均方差是方差与其自由度的比值，用于度量数据的离散程度。
通过计算组间均方差（MSTr）和组内均方差（MSE），我们可以得出F值，进而进行显著性检验。
F值是组间均方差与组内均方差的比值F = (MSTr / dfTr) / (MSE / dfE)其中，dfTr表示组间自由度，dfE表示组内自由度。
在统计学中，F值与显著性水平相关。
当F值大于显著性水平对应的临界值时，我们可以拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异。
否则，我们不能拒绝原假设，即组别之间的差异不显著。
方差分析不仅可以应用于单因素情况，还可以扩展到多因素情况。
多因素方差分析可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并评估这些自变量之间是否存在交互作用。
方差分析
假设从总体中抽取容量为 n i 的样本： X i 1 , X i 2 ,..., X in , i 1,2,3,4
i
• 假设4个样本相互独立，则 X ij相互独立， 这里 4
n ni
i 1
• 提出假设：
H0 : 1 2 3 4
原假设等价于
H0 : 1 2 ... r 0
5.4
5.1.3. 统计分析
（一）假设检验 • 构造（5.4）的统计量。 n 1 记 X X ,
i
ni
j 1 ni j 1
i
ij
1 2 Si ni
(X
ij
Xi ) ,
2
i 1,2,...,r
分别为第i个总体的样本均值和方差。
——单因素方差分析数学模型
• 假设
H 0 : 1 2 ... r
• 引入记号： n ni（总次数）
i 1 r
1 r ni i n i 1
（理论总均值）
i i
（因素对指标的效应）
•
i 之间的差异等价于 i 之间的差异，
且
n
Tests of Between-Subjects Effects Dep endent Variable: 杀 虫率 Source Corrected Model Intercept 农药 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 3794.500a 95340.115 3794.500 178.000 118693.000 3972.500 df 5 1 5 12 18 17 Mean Square 758.900 95340.115 758.900 14.833 F 51.162 6427.424 51.162 Sig . .000 .000 .000
方差分析模型
试问：灯丝的寿命是否因灯丝材料的不同而有显著差异？
在因素A 的每个水平上都做了若干次观察,这些观察结果不全相同， 并且即使在 同一水平上的那些结果仍然有差异，这种差异显然只能归咎为随机因素造成的，是 随机波动。 而随机波动总是可以合理的认为其服从正态分布，只是在不同的水平下，它们 可能以不同的值为中心进行着具有同样离散性（也就是假定其方差相等，称方差齐 性）的波动。 Ai 下灯泡的寿命，则方差分析的数学模型为： 用 X i 表示水平
2
xij xi xi x 2 xij xi xi x
ni i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
2
ST 可验证交叉项为零 , 故得分解式
其中
S E xij xi
2
2
SE SA
2
s
ni
2
X i ~ N u i ,
2
i 1,2,3,4
，
鉴别因素 A 水平的差异是否对试验结果产生显著影响的问题就转化为检验假设
H 0 : u1 u 2 u s
是否成立。
xij
i 1,2, , s, j 1,2, , n 的离散性着手 .
j
为了对H 成立与否进行检验，我们从分析试验数据
Between Groups Within Groups Total
Spss软件实现
1．灯丝材料的方差分析：spss 数据 ：灯丝材料方差分析数据 关注：数据格式、结果解读 2．工资收入的方差分析：spss 数据 ：09-03 3．不同年龄段健康状况的方差分析：spss 数据 ：13-02
i 1 j 1
n 刻画了全部 次试验中纯粹由随机因素所引起的变差
第八章 方差分析
xij (i 1,2,, r , j 1,2,, s)
1 r s 1 s 记＝ ij 表示总平均值， i .＝ ij 表示因素A的第i个水平的平均值， . rs i 1 j 1 s j 1
1 r . j＝ ij 表示因素B的第j个水平的平均值 . r i 1
行业类型 计算机
3.94 2.76 8.95 3.23
每股净收益
3.04 4.69 1.52 5.05
医药
公用
2.89
-2.26
1.65
0.66
2.59
2.22
1.09
1.77
-1.07
-0.15
2.30
2.10
-3.10
2.89 1.12 -3.21 2.11
例8.3：某汽车销售商欲了解三种品牌的汽车X,Y,Z和四种标
ANOVA过程简介
ANOVA过程用于均衡数据的方差分析。
对非均衡数据的方差分析问题，SAS系统要求用GLM（一般 线性模型）来处理（单因素时也可以用ANOVA).
GLM过程也可以处理均衡数据的方差分析问题，但效率低于 ANOVA.
ANOVA过程简介
ANOVA过程的一般格式：
PROC ANOVA<options>; CLASS variables; MODEL dependents=effects</options>; BY variables; FREQ variable; MEANS effects</options>;
一、单因素方差分析模型
设因素X有k个水平，每个水平可视为一个小总体，分别用
X1 , X 2 ,, X k 来表示。记 j的总体均值为 j , X
方差分析固定效应模型随机效应模型混合效应模型
方差分析固定效应模型随机效应模型混合效应模型方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或以上组之间的差异是否显著。
在方差分析中，根据实验设计的不同，可以采用不同的模型，包括固定效应模型、随机效应模型和混合效应模型。
固定效应模型是最简单的方差分析模型之一、在固定效应模型中，我们将不同的组视为独立的因素水平，其效应是固定的且不可变的。
这意味着我们只关注不同组之间的差异，而不考虑组内个体之间的差异。
固定效应模型的一个常见应用是单因素方差分析，它用于比较多个组的均值是否存在显著差异。
随机效应模型是一种更复杂的方差分析模型。
在随机效应模型中，我们认为组内个体之间的差异是随机的，而不是固定的。
这意味着我们关注不同组之间的差异，并且还要考虑组内个体之间的差异。
随机效应模型可以用于多因素方差分析，可以研究不同因素及其交互作用对组间差异的影响。
混合效应模型是固定效应模型和随机效应模型的结合。
在混合效应模型中，我们认为不同组之间的差异是固定效应，而组内个体之间的差异是随机效应。
混合效应模型可以考虑组间和组内的差异，同时还可以研究不同因素及其交互作用对组间差异的影响。
选择何种模型取决于研究的目的和假设。
如果我们只关注不同组之间的差异，并且组内个体之间的差异可以忽略，那么固定效应模型是恰当的选择。
如果我们还要考虑组内个体之间的差异，并且研究不同因素及其交互作用对组间差异的影响，那么随机效应模型或混合效应模型可以提供更全面的分析。
总之，方差分析可以通过不同的模型来研究组间差异的原因和影响。
根据研究的目的和假设，可以选择固定效应模型、随机效应模型或混合效应模型进行分析。
这些模型提供了一种系统的方法来比较不同组之间的差异，并帮助我们理解组间差异的产生机制。
【统计】方差分析中几个模型
【统计】⽅差分析中⼏个模型⽅差分析主要有三种模型：即固定效应模型（fixed effects model），随机效应模型（random effects model），混合效应模型（mixed effects model）。
所谓的固定、随机、混合，主要是针对分组变量⽽⾔的。
固定效应模型 表⽰你打算⽐较的就是你现在选中的这⼏组。
例如，我想⽐较3种药物的疗效，我的⽬的就是为了⽐较这三种药的差别，不想往外推⼴。
这三种药不是从很多种药中抽样出来的，不想推⼴到其他的药物，结论仅限于这三种药。
“固定”的含义正在于此，这三种药是固定的，不是随机选择的。
随机效应模型 表⽰你打算⽐较的不仅是你的设计中的这⼏组，⽽是想通过对这⼏组的⽐较，推⼴到他们所能代表的总体中去。
例如，你想知道是否名牌⼤学的就业率⾼于普通⼤学，你选择了北⼤、清华、北京⼯商⼤学、北京科技⼤学4所学校进⾏⽐较，你的⽬的不是为了⽐较这4所学校之间的就业率差异，⽽是为了说明他们所代表的名牌和普通⼤学之间的差异。
你的结论不会仅限于这4所⼤学，⽽是要推⼴到名牌和普通这样的⼀个更⼴泛的范围。
“随机”的含义就在于此，这4所学校是从名牌和普通⼤学中随机挑选出来的。
总结 从上述的分析可以发现，固定效应模型和随机效应模型之间最⼤的不同就在于其基本假设，即个体不随时间改变的变量是否与所预测的或⾃变量相关。
固定效应模型认为包含个体影响效果的变量是内⽣的；⽽与此相反，随机效应模型是假设全部的包含个体随机影响的回归变量是外⽣的。
在模型中变量的引⼊上，固定效应模型默认了那些不随时间变化⽽变化的⾃变量不会对因变量造成影响，因⽽不允许这类变量出现在模型之中；随机效应模型则认为表⽰某些个体特征的但不随时间变化⽽变化的⾃变量能够对因变量造成影响，允许这类变量引⼊到模型之中。
在假定了解释变量是外⽣性的情况下，固定效应模型中的估计量是⽆偏的。
与⼀阶差分法⼀样，固定效应通过⼀个变换 把⾮观察效应消除掉了 也正是其允许与任意时期内的解释变量随意相关 才导致任何不随时间变化⽽变化的解释变量也会随之消除。
方差分析(一)单向课件
F值检验
根据F值和显著性水平判断组间 差异是否显著。
效应量估计
根据方差分析的结果估计效应量， 效应量越大表明组间差异越大。
结果解释
根据检验结果和效应量估计解释 方差分析的结果，并给出相应的
结论和建议。
案例一：不同施肥处理对小麦产量的影响
总结词
施肥处理对小麦产量有显著影响，不同 施肥处理下的小麦产量存在显著差异。
总结词
详细描述
案例三：不同温度处理对酶活性的影响
总结词
温度处理对酶活性有显著影响，不同温度处理下的酶活性存在显著差异。
详细描述
为了研究不同温度处理对酶活性的影响，选取了三种不同的温度处理，分别为低温、中温和高温。通过方差分析， 发现不同温度处理下的酶活性存在显著差异，其中高温处理下的酶活性最高，中温次之，低温最低。这说明温度 处理对酶活性的影响非常显著。
方差分析的基本思想
方差分析认为数据中的变异可以归结为两个部分：组间变异和组内变异。 组间变异是由不同条件或处理引起的，而组内变异则是由随机误差引起的。
通过比较组间变异和组内变异的比例，可以推断不同条件或处理对结果 的影响是否显著。如果组间变异的比例显著高于组内变异的比例，则说
明不同条件或处理对结果有显著影响。
方差分析的局限性
假设严格
。
样本量要求
交互作用 多元比较问题
使用方差分析时的注意事项
01
数据正态性
02
独立性
03
样本量均衡
04
异常值处理
THANKS
感谢观看
线性模型
方差分析的数学模型通常采用线性模 型，将自变量和因变量之间的关系表 示为线性方程。
数学模型的建立过程
方差分析-1
第一节 方差分析的基本原理和方法
上述总变异的自由度和平方和可分解为组间和组内两个 部分。组间变异即k个平均数的变异，故其自由度为k－1， 平方和 SSt 为：
SSt n ( xi x )
2
组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组 具有n－1个自由度，平方和为 ( xij xi ) 2 ，而总共有k 组资料， 故组内自由度为k（n－1），而组内平方和SSe为：
第一节 方差分析的基本原理和方法
1. 自由度和平方和的分解 2. F分布(F Distribution) 3. 多重比较(multiple comparisons) 4. 方差分析的基本假定 5. 数据转换
第一节 方差分析的基本原理和方法
1、自由度和平方和的分解
设有K组样本，每样本均具有n个观察值，则该资料共有 nk个观察值，数据如下表。 表 每组具n个观察值的k组样本的符号表
xi
xk
T xij x
x
Xij，i=1,2,……k，j=1,2,……n。
第一节 方差分析的基本原理和方法
总平方和 (SST) 总变异是nk个观察值的变异，故其自由度为 nk－1，平方和SST为：
SST ( x x ) 2 x 2 ( x ) 2 nk (T ) 2 x2 nk
( xij x ) 2 n ( xi x ) 2 [ ( xij xi ) 2 ]
1 i 1 i 1 j 1
nk
k
k
n
第一节 方差分析的基本原理和方法
均方的计算：
SST S nk 1 SSt 2 St k 1 SS e 2 Se k (n 1)
第三章 方差分析
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方差分析的若干模型
方差分析（Analysis of variance，简称ANOVA）是一种常用的统计
方法，用于比较两个或多个样本的平均差异是否显著。
它的基本原理是将
总体方差分解为组内方差和组间方差，然后通过比较组间方差与组内方差
的大小以判断组间差异的显著性。
在实际应用中，根据具体情况可以选择
多种不同的ANOVA模型进行分析。
一元方差分析模型：一元方差分析适用于只有一个自变量的情况，用
于比较不同水平之间的平均差异是否显著。
该模型的方程可以表示为：
Y=μ+αi+ε，其中Y为观测值，μ为总体均值，αi为第i个水平的效应，ε为误差项。
一元方差分析的前提是误差项满足独立同分布的正态
分布假设。
双因素方差分析模型：双因素方差分析适用于有两个自变量的情况，
用于比较两个自变量的不同水平和水平间的交互效应对因变量的影响是否
显著。
该模型的方程可以表示为：Y = μ + αi + βj + (αβ)ij + ε，其中Y为观测值，μ为总体均值，αi和βj分别表示第i个和第j个自
变量的水平效应，(αβ)ij表示自变量i和自变量j的交互效应，ε为
误差项。
双因素方差分析的前提是误差项满足独立同分布的正态分布假设。
多因素方差分析模型：多因素方差分析适用于有多个自变量的情况，
用于比较多个自变量的不同水平和水平间的交互效应对因变量的影响是否
显著。
该模型的方程可以表示为：Y = μ + αi + βj + γk +
(αβ)ij + (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + ε，其中Y为观测值，μ为总体均值，αi、βj和γk分别表示第i个、第j个和第k个
自变量的水平效应，(αβ)ij、(αγ)ik和(βγ)jk表示自变量i与自
变量j、自变量i与自变量k以及自变量j与自变量k的交互效应，
(αβγ)ijk表示三个自变量的交互效应，ε为误差项。
重复测量方差分析模型：重复测量方差分析适用于在同一组个体上进
行多次测量的情况，用于比较不同时间点或处理条件对因变量的影响是否
显著。
该模型的方程可以表示为：Y = μ + αi + βj + (αβ)ij + ε，其中Y为观测值，μ为总体均值，αi和βj分别表示第i个和第j个自
变量（通常为时间点或处理条件）的效应，(αβ)ij表示自变量i和自
变量j的交互效应，ε为误差项。
重复测量方差分析的前提是误差项满
足独立同分布的正态分布假设，并且测量次序或处理次序对观测值的影响
可以忽略。
混合效应方差分析模型：混合效应方差分析适用于同时考虑固定效应
和随机效应的情况，用于比较不同的因素水平和个体间的差异是否显著。
该模型的方程可以表示为：Y=μ+αi+Bi+ε，其中Y为观测值，μ为总
体均值，αi为第i个水平的固定效应，Bi为随机效应，ε为误差项。
混合效应方差分析的前提是误差项满足独立同分布的正态分布假设，并且
随机效应满足一定的分布假设（如正态分布、均匀分布等）。
除了上述基本的方差分析模型，还有很多扩展和变种模型，如多元方
差分析、非参数方差分析、重复测量的混合效应方差分析等。
每种模型都
有其适用的条件和前提，研究者在实际应用中需要根据具体问题选择适合
的模型进行分析。