现代控制理论课程设计实验报告

现代控制理论课程设计

目录

第1章线性系统状态空间表达式建立

1.1由开环系统的传递函数结构图建立系统的状态结构图

1.2由状态结构图写出状态空间表达式

第2章理论分析计算系统的性能

2.1稳定性分析方法与结论

2.2能控性与能观测性分析方法与结论

第3章闭环系统的极点配置

3.1极点配置与动态质量指标关系

3.2极点配置的结果（闭环特征多项式）

第4章由状态反馈实现极点配置

4.1通过状态反馈可任意配置极点的条件

4.2状态反馈增益阵的计算

第5章用MATLAB编程研究状态空间表达式描述的线性系统5.1由传递函数结构图建立状态空间表达式

5.2由状态空间表达式分析稳定性、能控性、能观测性

5.3根据极点配置要求，确定反馈增益阵

5.4求闭环系统阶跃响应特性，并检验质量指标

课程设计小结

第1章 线性系统状态空间表达式建立

1.1由开环系统的传递函数结构图建立系统的状态结构图

由已知条件得线性控制系统开环传递函数结构图如图所示：

系统开环传递函数结构框图

图1-1

已知线性控制系统开环传递函数为

G 0

12K (s)=

s(T s+1)(T s+1)，根据系

统对具体参数的要求（见表1-1），可得系统参数如下：K0=1,T1=0.4S,T2=3.3S ，则系统的开环传递函数如下为：

1

G (s)=

s(0.4s+1)(3.3s+1)

3

20.758

G 2.7560.758s s ++(s)=

系统参数要求 表1-1

由系统的结构框图1-1经过变换得到系统的结构图如下1-2:

系统结构图

图1-2

1.2由状态结构图写出状态空间表达式

根据系统的状态结构图得：

()()?????????

??==-=-=-=-==3

303232232

121121.300.31 2.52.51x x k y x x x x T x x x x x T x u x 系统的状态空间方程和输出方程如下：

?

??+=+=D Cx y B Ax x 其中A,B,C,D 矩阵分别为：

????

?

?????=0.3-.30002.5-2.5000A ??????????=001B []100=C

0=D

第2章 理论分析计算系统的性能

2.1稳定性分析方法与结论

稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件:

系统的稳定性与系统的结构和参数有关，与外界初始条件无关，与外界扰动大小无关；非线性系统的稳定性与系统的结构和参数有关，与外界初始条件有关，与外界扰动大小有关。

李雅普诺夫判稳第二方法：

如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即e

t x x =∞

→lim 。那么随着系统的运动，其贮存

的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。虚 构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数，根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。第二法判稳的过程，

只要找到一个正定的标量函数)(x V ，而)(x V

是负定的，这个系统就是稳定的。在用李雅普诺夫判据线性系统稳定性时，系统矩阵A 必须是非奇异的，系统仅存在唯一的平衡状态0=e x ，

而在此系统中，系统矩阵????

?

?????=0.3-.30002.5-2.5000A 为奇异常数矩阵，

()()

det[] 2.50.3I A λλλλ-=++所以根据其解为10, 2.5,30.3λλλ==-=-李雅普诺夫判

定为系统为不稳定的。

2.2能控性与能观测性分析方法与结论

线性系统能控性的定义：

能控性指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的控制能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。但是一般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能不受u(t)的控制。受u(t)控制的状态称为能控状态，不受u(t)控制的状态称不能控状态。

能控性的分析方法：

能控性判据：线性定常系统x A x B u =+，完全能控的充分必要的条件是能控性矩阵

21[ ]n Qc B AB A B A B -=???的秩为n ，即21[ ]n rankQc B AB A B A B n -=???=

????

??????=????????????????????-=02.500010.30.3002.5-2.5000AB

???

?

??????-=?????

???????????????--=75.025.6002.500.30.3002.5

2.50002B A n rank rank ==???

?

??????-=375.00025.65.20001M 故系统的状态完全可控；

能观测性分析：

构造能观测性判别矩阵：

[]100=C

[][]

3.03.003.03.0005.25.2000100-=???

??

?????--=CA

[][]

0.09 0.84- 0.753.03.0005.25.20003.03.002=???

??

?????---=CA

??

????????=0.090.84-75.0 2.5-2.50100N 2)求能观性判别矩阵的秩：

3.0900.84-75.00.25-25.00

100=???

?

?

?????=rank rankN 故此系统是状态完全能观测的。

第3章 闭环系统的极点配置

3.1极点配置与动态质量指标关系

极点配置问题：控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。通过反馈增益矩阵K 的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在S 平面期望的位置上，以获得期望的动态性能。

???

???

?=-===?

?

??

??--5.11%16212ζωπζπζn p p

t e M 得 ，0.6=ζ 1.3=n

ω

数据错误 需要计算

因此系统希望主导极点j j S n n 2.11.4122,1±-=-±-=ζωζω，算按主导极点的要求，非主导极点3S 应满足41103=≥n S ζω所以取非主导极点143-=S 。

综上所述，系统极点为???

??-=--=+-=14 2.14.1 2.14.13

21S j S j

S 可以不要

3.2极点配置的结果（闭环特征多项式）

选择期望极点，是个确定综合指标的复杂问题。一般就注意以下两点： 第一点：一个n 维系统，必须指定n 个实极点或共轭复极点。

第二点：极点位置的确定，要充分考虑它们对于系统性能的主导影响及其与系统零点分布状况的关系。同时还要兼顾系统抗干扰的能力和对参数漂移低敏感性的要求。

主导极点=-±-=2

2,11ξωξωn n j S -

±j

，按主导极点要求，非主导极点应满足

31032n S ζω>=

=，取332S =- 期望闭环特征多项式为：

常数除以一

次放系数

第4章 由状态反馈实现极点配置

4.1通过状态反馈可任意配置极点的条件

通过状态反馈进行任意配置闭环极点的充要条件是，其受控对象是完全能控的；

4.2状态反馈增益阵的计算

设状态反馈阵为[]32

1k k k K =，由状态方程可得，闭环特征多项式为：

()???

?

??????+-+-+=-=5.05.00025

.125.1-321s s k k k s BK A SI f s ()()()32121213625.0625.025.1125.175.1k k k s k k s k s ++++++++= 令 ()()s s f f =* 可得：

???

??=++=++=+8.9

625.0625.0625.010.30.62525.1125.1 4.2

1.75321211k k k k k k

解得：???

??===24.66.54.23

21k k k

所以闭环传递函数为 9

.83.102.49

.82

3+++=

s s s s φ 为检验稳态误差的要求，可求得于原系统相对应的开环传递函数为()s

s s G s 3.102.49

.823++=' 由

此可求得静态位置误差系数()0.8610.3

9

.8lim 0

==

'?=→s s p G s k 从而求得静态位置误差0.4911

=+=

p

ssv k e ,刚好满足5.0≤ssv e 的要求。

第5章用MATLAB编程研究状态空间表达式描述的线性系统5.1由状态空间表达式分析稳定性、能控性、能观测性

clc

A=[0 0 0;2.5 -2.5 0;0 0.3 -0.3];

B=[1;0;0];

C=[0 0 1];

D=0;

Qc=ctrb(A,B)

rank_Qc=rank(Qc)

if rank_Qc<3

disp('系统不可控！')

else

disp('系统可控！')

end

Qo=obsv(A,C)

rank_Qo=rank(Qo)

if rank_Qo<3

disp('系统不可观！')

else

disp('系统可观！')

end

运行结果：

Qc =

1.0000 0 0

0 2.5000 -6.2500

0 0 0.7500

rank_Qc =

3

系统可控！

Qo =

0 0 1.0000

0 0.3000 -0.3000

0.7500 -0.8400 0.0900

rank_Qo =

3

系统可观！

5.2根据极点配置要求，确定反馈增益阵clc

num=[0 0 0 8.9];

den=[1 4.2 10.3 8.9];

G=tf(num,den)

[z,p,k]=tf2zp(num,den)

运行结果：

G =

8.9

----------------------------

s^3 + 4.2 s^2 + 10.3 s + 8.9 Continuous-time transfer function. z =

Empty matrix: 0-by-1

p =

-1.4036 + 2.1024i

-1.4036 - 2.1024i

-1.3928 + 0.0000i

k =

8.9000

>> 因此所求极点为??

??

??????+---+-=i i i p 0000.03928.11024.24036.11024.24036.1 反馈增益阵 clc

A=[0 0 0;1.25 -1.25 0;0 0.5 -0.5]; B=[1;0;0];

P=[-1.4036+2.1024i;-1.4036-2.1024;-1.3928]; acker(A,B,P) 运行结果：

ans =

4.5524 2.5339 3.8801

5.3求闭环系统阶跃响应特性，并检验质量指标

课程设计小结

通过对本次现代控制理论课程设计课程的学习，我对现代控制理论有了更深一步的了解，在此次课程设计过程中，不仅仅加深了对课程了的理解，还可以自己用matlab软件进行调试，这可以增加我的动手能力和对整本书整体系统的理解，为以后的课程和学习打下一个良好的基础。