2020-2021下海位育初级中学高一数学下期中一模试卷带答案

2020-2021下海位育初级中学高一数学下期中一模试卷带答案

一、选择题

1．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是（ ）

A ．（1）（2）（3）

B ．（1）（4）

C ．（1）（2）（4）

D ．（2）（4）

2．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记

0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）

A ．a b c <<

B ．c a b <<

C ．a c b <<

D ．c b a <<

3．对于平面

、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )

A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥??,则a α⊥

B ．若//,a b b α?,则//a α

C ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a b

D ．若,,//,//a b a b ββαα??,则//βα

4．已知平面//α平面β，直线m αü，直线n βü，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤

B ．a c b ≤≤

C ． c a b ≤≤

D ．c b a ≤≤

5．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8π

B ．12π

C ．20π

D ．24π

6．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为

A ．20π

B ．

125

6

π C ．25π D ．100π

7．已知圆O ：2

2

24110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和

BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）

A ．42

B ．24

C ．21

2

D ．6

8．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若，，则

； ②若，，则； ③若，

，

，则

④若

，

，

，则.

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

9．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为

A ．1∶2

B ．1∶3

C ．1∶5

D ．3∶2

10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60?角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．

的是( )

A ．MN 与1CC 垂直

B ．MN 与A

C 垂直 C ．MN 与B

D 平行

D ．MN 与11A B 平行

12．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+??=+?（θ为参数），直线的参数方程为21,61

x t y t =-??

=-?（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切 D ．相离 二、填空题

13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 14．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互

相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________

15．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ．

16．

已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ?周长的最小值为_______.

17．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面

ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________

18．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．

19．在正方体1111ABCD A B C D -中，

①BD P 平面11CB D ②直线AD 与1CB 所成角的大小为60? ③1AA BD ⊥ ④平面11A BC ∥平面1ACD 请把所有正确命题的序号填在横线上________．

20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______.

三、解答题

21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32112x t y t

?=????=+??

（t 为参数），若以直角坐标

系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为22cos()4

π

ρθ=-

.

（1）求曲线C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.

22．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=?，

22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为

23

π

.

（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ； （2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.

23．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=?，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB

V

以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．

（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值． 24．已知圆2

2

C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.

（1）求直线l 所过定点A 的坐标；

（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；

（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C

上任一点P ，都有||

||

PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.

25．如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1

2

AB AD BC CD a ===

=，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：

（1）设G 为AD 中点，求证：//DC 平面GBE ；

（2）若平面DAE ⊥平面ABCE ，且F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥．

26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ?∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.

（1）求证：//MN 平面11ABB A ； （2）求证：1AN A B .

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案. 【详解】

如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；

如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；

如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.

【点睛】

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.

解析：B 【解析】

由()f x 为偶函数得0m =,所以

0,52log 3

log 32

121312,a =-=-=-=2log 5

2

1514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,

故选B.

考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.

3．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当

和

为相交

线时,才有

错误；

若

此时由线面平行的判定定理可知,只有当

在平面

外时,才有

错误；

由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若

//αβ，a αγ?=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确；

若

此时由面面平行的判定定理可知,只有当

、

为相

交线时,才有//,D βα错误. 故选C.

考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.

4．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】

由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】

本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

解析：C 【解析】 【分析】

先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面

ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.

【详解】

三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2

ABC π

∠=

，2223BC AC AB ∴=

-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是

直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，

则球O 的表面积2420S R ππ==.

故选：C 【点睛】

本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.

6．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】

由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点， 则O 为外接球球心，

半径长度为

1522

AD =， 所以表面积为25π.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222

128d d MO +==，

22121

216162S AC BD d d =

?=--，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()2

2

1216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.

()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.

222222121211

222161622

S AC BD r d r d d d =

?=?--=--2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.

故选：B . 【点睛】

本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ?β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】

由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：

在①中，若α∥β，m ?α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ?α，则m 与n 平行或异面，故②错误；

在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ?β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，

由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】

设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝

πr 2，S 底＝πr 故选

C ． 【点睛】

本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】

把平面展开图还原原几何体如图：

由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；

CN 与BE 平行，故②错误；

连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ?为正三角形，则60EBM ∠=?，故③正确；

由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】

本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.

【详解】

如图：连接1C D ，BD ，

Q 在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．

1CC ⊥Q 平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；

AC BD ^Q ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；

∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】

根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θ

θ=-+??=+?

（θ为参数），则圆的普通方程为

22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.

直线的方程为21

61x t y t =-??

=-?

（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即

320y x --=，圆心不在直线上.

∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(

1)2

210

219

d -?--==

<+，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】

本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.

二、填空题

13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案 解析：

3 【解析】 【分析】

棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ. 【详解】

因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，

所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，

设棱长为：1，1

26,2AO AO ==，易知2

32sin 62

θ== 3【点睛】

本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.

14．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平解析：①③

【解析】

【分析】

对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

【详解】

解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；

②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；

③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；

④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．

故答案为：①③．

【点睛】

本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

15．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE ＝180°?∠AOC＝180°?120°＝60

解析：

3

【解析】

【分析】

【详解】

设AC与BD交于点O．

在三角形ABD中，因为∠A＝120°，AB＝2．可得AO＝1．

过A作面BCD的垂线，垂足E，则AE即为所求．

由题得，∠AOE＝180°?∠AOC＝180°?120°＝60°．

在RT△AOE中，AE＝AO?sin∠AOE＝3

．

16．【解析】【分析】点C关于直线y=x的对称点为（12）点C关于x轴的对

称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关

【解析】 【分析】

点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离． 【详解】

点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），

点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，

|C C '''（2，﹣1）．

【点睛】

本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

17．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线

【解析】 【分析】

在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解. 【详解】

连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，

11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，

所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交， 其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，

Q M 是1BB 的中点，111

,//2

BM DD BM DD ∴=

， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，

正方体各棱长为1，BN BD ∴==

,1,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，

2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-??∠

2

3

21252

=+???

=，5AN ∴=. 故答案为:5.

【点睛】

本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.

18．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以

解析：【解析】 【分析】

以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解. 【详解】

设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD

上，且2AF FD =，所以

16AEF ACD S AE AF S AC AD ???==?,16AEF S S ?=，所以5

6

ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以

?=11

236

Sh ，36Sh =，所以153610318

B ECDF ECDF V S h -=

=?=. 故答案为10. 【点睛】

本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.

19．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确；

解析：①③④

【解析】 【分析】

利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④. 【详解】

对于①，如下图所示，由于1111,DD BB DD BB =P ，则四边形11DD B B 为平行四边形，则

11D B BD P

11D B ?面11D B C ，BD ?面11D B C ，所以BD P 平面11CB D ，故①正确；

对于②，由于AD BC ∥，则直线AD 与1CB 所成角为145B CB ∠=?，故②错误； 对于③，1AA ⊥面ABCD ，BD ?面ABCD ，则1AA BD ⊥，故③正确； 对于④，在正方体中，1111,AA CC AA CC =P ，则四边形11AAC C 为平行四边形 所以1111,AC AC AC ?P 平面1ACD ，AC ?平面1ACD ，所以11A C ∥平面1ACD 同理1A B P 平面1ACD ，1111111,,AC A B A AC A B ?=?平面11A BC 所以平面11A BC ∥平面1ACD ，故④正确； 故答案为：①③④

【点睛】

本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，利用线面垂直的性质证明线线垂直，异面直线所成角，属于中档题.

20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为

解析：)

1,2??

【解析】 【分析】

由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二

是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。 【详解】

如图所示，21y x =-是个以原点为圆心，1为半径的半圆，y x b =+是一条斜率为1的直线，要使直线l 与曲线C 有两个交点，过()1,0A -和()0,1B 作直线，直线l 必在AB 左上方的半圆内平移，直到直线与半圆相切.当直线l 与AB 重合时，1b =；当直线l 与半圆相切时，2b =

.所以b 的取值范周是)

1,2??.

【点睛】

本题主要考查直线与圆相交的性质，体现了数形结合的数学思想，属于一般题。

三、解答题

21．（1）22

220x y x y +--=；（27

【解析】 【分析】 （1）由公式cos sin x y ρθ

ρθ

=??

=?可得曲线C 的直角坐标方程；

（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C 是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长． 【详解】

（1）因为22)4

π

ρθ=-

，所以()22cos cos sin sin 2cos sin 44

ππ

ρθθθθ?

=+=+??

即()2

2cos sin ρρθρθ=+.

因为222

cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，所以222()x y x y +=+，

所以曲线C 的直角坐标方程为22

220x y x y +--=

（2）因为直线l的参数方程为

3

2

1

1

2 x t y t ?

=

??

?

?

=+

??

（t为参数），所以

33

3(3)3

x y t t

-=-+=-，

所以l的直角坐标方程为330

x y

-+=

所以圆心()

1,1到直线l的距离

()2

1331

2

13

d

-+

==

+

，

所以2

1

22227

4

AB d

=-=-=，所以线段AB的长度为7

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．

22．（1）证明见解析；（2）

3

4

.

【解析】

【分析】

(1)直角梯形ABCD中,过D作DF⊥AB于F,求解三角形可得ABD

△为正三角形，又PAD

△

为正三角形，M为线段AD的中点，可得PM⊥AD，BM⊥AD，再由线面垂直的判定可得AD⊥平面PBM，从而得到平面PMB⊥平面ABCD；

(2)在平面PMB中，过B作BO⊥PM,垂足为O,则BO⊥平面P AD,连接AO,则∠BAO为直线BA与平面P AD所成角，然后求解三角形得答案.

【详解】

（1）证明：过D作DF⊥AB于F

在Rt ADE

?中，2,1

AD AE

==,

3

BAD

π

∴∠=

∴BAD

V和PAD

△是正三角形，

∵M 是AD 的中点， ∴AD MB ⊥，AD MP ⊥， 又∵MB MP M ?=， ∴AD ⊥平面PMB ， 又∵AD ?平面ABCD ∴平面PMB ⊥平面ABCD.

（2）由（1）知PMB ∠是二面角P -AD -B 的平面角 ∴23

PMB π∠=

. 由（1）知AD ⊥平面PMB ∵AD ?平面P AD ∴平面PAD ⊥平面PBM

∴过B 作平面P AD 的垂线，则垂足E 在PM 延长线上,

∴3

BME π

∠=

.

连结AE ，则BAE ∠是AB 与平面P AD 所成的角,

∴3BM =，∴3

2

BE =，

∴3

sin 4

BAE BE AB ∠== 【点睛】

本题主要考查平面与平面垂直的判定，线面角的求法，二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题. 23．（1）证明见解析；（215 【解析】 【分析】

（1）平面AOB ⊥平面AOC ，OC OA ⊥，可证OC ⊥平面AOB ，即可证明结论； （2）取OB 中点E ，连DE ，则//DE AO ，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，解Rt CDE ?，即可求出结论. 【详解】

（1）平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB I 平面AOC OA =，

,OC OA OC ⊥?平面,AOC OC ∴⊥平面AOB ，

OC ?Q 平面,COD ∴平面COD ⊥平面AOB ；

（2）取OB 中点E ，连DE ，D 为AB 的中点，

//DE AO ∴，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角， ,,,OA OB OA OC OB OC O OA ⊥⊥=∴⊥Q I 平面BOC ，

DE ∴⊥平面BOC ，CE ?平面,BOC DE CE ∴⊥，

在Rt AOB V 中，30OAB ∠=?，斜边4AB =，

22

23,2,3,()52

OB OA OB OC DE CE OC ∴===∴==+=， 15

tan CE CDE DE ∴∠=

=

， 所以异面直线AO 与CD 所成角的正切值为

15.

【点睛】

本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.

24．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为23）在直线

MC 上存在定点4,43N ??

- ???

，使得||||PM PN 为常数32． 【解析】 【分析】

（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；

（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；

（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设

(),P x y ，

||

||

PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-，求出λ，然后求解比值. 【详解】

解：（1）依题意得，(3)(4)0m x y x y -++-=， 令30x y -=且40x y +-=，得1,3x y ==， ∴直线l 过定点A （1，3）；

（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，

43101

AC

k -∴==--，得1111l

AC k k --===-， ∴由

31

11

m m +=-得1m =-， 此时直线l 方程为20x y -+=，

∴圆心到直线的距离为||d AC ==

∴最短弦长为==

（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，

则设(),P x y ，

||

||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-， 222222(3)(4)()(4)x y x t y λλ∴++-=-+-，

()

222222(3)4()4x x x t x λλ∴++-=-+-，

整理得，(

)()

2

22

2624130t x t

λ

λλ+-+-=，

∵上式对任意[2,2]x ∈-恒成立，

2620t λ∴+=且2224130t λλ+-=，

解得 43

,32

t λ=-

=或3,1t λ=-=（舍去，与M 重合）， 综上可知，在直线MC 上存在定点4,43N ??

- ???

，使得||||PM PN 为常数32.

【点睛】

本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题. 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG ，先证明四边形ABCE 为平行四边形，再通过证明

//OG DC ，即可得到//DC 平面GBE ；

（2）通过证明AC ⊥平面DFH ，即可得到DF AC ⊥. 【详解】

（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG .