基于FFT幅度和相位插值的频率估计改进算法

法等 ， 基于参数模型 的 Ｍｕｉ 算法Ⅲ 、 Ｒ模 型算法 以及最 ｓ ｃ １Ａ ］ 大似然估计算法等 现代谱估 计 的方法＿ ， 以精确估 计正 ２可 ］
弦信 号 频 率 ， 算 法 复 杂 ， 算 量 大 ， 时 处 理 有 难 度 。 而 但 计 实
对 Ｒｉ 算法 和相 位差 算 法进 行 了讨 论 和研 究 ， 做 了改 ｆ ｅ 并
谱 线 对 应 的频 率 之 间 的 偏 差 有 关 ， 以 利 用 相 位 信 息 来 进 可
行频率估 计 ， 相位差法 是通过 对同一 信号进 行不 同长度 或
连续两段的傅里叶变换 ， 先 校正 相位 ， 后 再校 正频率 ， 首 然 从 而 实 现 利 用 Ｆ Ｔ 的 相 位 提 高 频 率 估 计 精 度 。本 文 主 要 Ｆ
１ 引 言
数字信号处理 中对淹没在噪声 中的正弦波 的频 率估计 是一项重要 的内容 ， 速高精度频率估计 已经应用于通 信 、 快 雷达 、 事 、 动 、 军 振 地震 监测 、 纳 以及 其 它 电子 测 试 测 量 技 声
术 等 众 多 领 域 ， 越 来 越 多 的 学 者 的关 注 和 重 视 ， 此 研 引起 因 究 频 率 估 计 具 有 重 要 的理 论 意 义 和 应 用 价 值 。 目前 国 内外 已经 提 出 了不 少 方 法 ， 要 分 为 时 域 、 域 及 时一 分 析 算 主 频 频
精度 。常用 的基 于 Ｆ Ｔ 的插 值 算 法有 双线 幅 度 Ｒｉ Ｆ ｆ ｅ算
法 ［ ｊ相 位 差 法 ｌ ］ 结 合 幅 度 与 相 位 的 双 线 Ｑｕｎ ３ 、 ６ 、 ｉｎ算
法ｌ ＿ ｌ 。其 中， ｉ 算法是借 助第二谱 线与最 大谱 线 的幅 等 Ｒｆ ｅ 度 比值来估 计 信 号 的 实 际频 率在 两 条 谱线 之 间 的位 置 。 Ｆ Ｔ最大值处 的相位与 信号 的实际频 率和 Ｆ Ｔ幅度最 大 Ｆ Ｆ
总第 ２４期 ７
计算机与数字工程
Ｃｏ ｕ ｅ ｍｐ ｔｒ＆ Ｄｉｉ ｌ ｇｎ ｅ ｉｇ ｇｔ ｉｅ ｒｎ ａ Ｅｎ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ８ １４ ．
３ ９
２ １ 年第 ８ ０２ 期
基 于 Ｆ Ｔ幅 度 和 相 位 插值 的 频 率估 计 改 进算 法 Ｆ
马阳阳 李京华 张 燕 荣
西安 ７０２） １ １ ９ （ 北 工业 大 学 电 子 信息 学 院 西
摘
要
针对基于 Ｆ Ｔ的插值算法在信 噪比较低或信号的实际频率与估计频率之间 的相对偏差较小时， Ｆ 存在插值方 向错误的情况 ， 通
过结合其 中分段相位差法与 Ｒｆ 算法的优点提出了一种 改进算法 ， ｉ ｅ 该算法可 以解决在低信 噪比情况下 当估计偏差 接近零时 ， ｆ Ｒｉ ｅ算法估 计误差较 大、 当 接近 ０ ５时相位差法误差大的问题 。算法仿真实验结果表明： 而 ． 改进算法在低信噪 比条件下 的频 率估计精度高 于 Ｒｉ 算 ｆ ｅ 法和分段相位差法 ， 稳定性也比较高 ， 具有很好的应用价值。
ｃ ｍ ｂ ｎ ｄ ｔ ｅ ａ ａ ｔ ｇ ｓ ｏ ｈ ｅ ｍｅ ｅ — ｏ ｉ ｅ ｈ ｄｖ ｎ ａ ｅ ｆｔ ｅ ｓ ｇ ｎｔ ｄ ＦＦＴ ｈａ ｅｄ ｆ ｅ ｅ ｃ ｔ ｄ ａ ｈ ｆ ｔ ｏ ．Ｔｈ ｌ ｏｒｔ ｐ ｓ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｍｅ ｈｏ ｎｄ ｔ ｅ Ｒｉｅ ｍｅ ｈ ｄ ｅ ａｇ ｉ ｈｍ ａ ｏ ｖ ｈ ｒ ｂ ｅ ｔ ａ ｈ ｃ ｎ ｓ ｌ ｅ ｔ ｅ ｐ ｏ ｌｍ ｈ ｔｔ ｅ
Ｋｅ ｏ ｄ ｆ ｅ ｕ ｎ ｙ ｅ ｔｍ ａ ｉ ｎ，ｒｆ ｌ ｏ ｉｈ ，ｓ ｇ ｅ ｅ — ｙＷ ｒｓ ｒ ｑ ｅ ｃ ｓ ｉ ｔｏ ｉ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｅ ｅ ｍ ｎｔ ｄ ＦＦＴ ｈ ｓ ｆ ｅ ｅ ｃ ｔ ｏ ｐ ａ ｅ ｄｉ ｒ ｎ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｆ Ｃｌ ｓ ｍｂｅ ＴＰ３ ］ ａ ｓ Ｎｕ ｒ ９
） 一 案
一０， ， ， ２ １ １ … Ｎ／ —
卜瑚
（） ２
３ ）其 它情况 ， △ 一伫一 １ 实验表 明对对相 位差 的范 围进 行判 断后 ， 信噪 比大 在 于 ０的条件下 ， 基本不出现频率插值方 向错误 。 分段相位差 法 的频 率估 计 均方 根误 差 随 增 大而 增 大 ， 接近 ０ ５ ， 当 ． 时 出现较大 频率估计 误差 ； 反之 ， 占接 当 近零 时 ， 频率估 计误 差较 小 ， 发生这 种情况 的概 率与 Ｄ Ｔ Ｆ 点数 Ｎ 以及信 噪比有关 ， 同Leabharlann 也与 有关 ， 文将 主要从 本
ｔ ｅ ｈ ｃｕ ｌ ｒ ｑ ｅ ｃ ｎ ｅｅ ｔ ｔｄ ｆｅ ｕ ｎ ｙｗｈ ｃ ｍａ１ ｗｅ ｎ ｔ ｅａ ｔ ａ ｆ ｕ ｎ ｙａ ｄ ｔ ｓｉ ｅ ｒｑ ｅ ｃ ｉ ｉ ｓ ｌ ｅ ｈ ｍａ ｈｓ ．Ａｉ ｄ ａ ｈ ｈ ｒｃｅ ｉ ｉ， ｎｃ ｎｏｎ ｌｏ ｉ ｍ ｒ ｐ ｓ ｄ ｗｈｃ ｍｅ ｔ ｅｃ ａａ ｔ ｒ ｔ ａ ｏ ｊ ｉｔ ｇ ｒ ｈ ｉ ｐ ｏ ｏ ｅ ｉ ｔ ｓｃ ａ ｔ ｓ ｈ
４ ０
马阳阳等 ： 基于 Ｆ Ｔ幅度和相位插值 的频 率估计改进算法 Ｆ
１ ）若 一 ＜ 一 ７ 则 Ａ ＝ｑ ～ １ ｎ １ 【 ， ｆ ￣ ＋２ ２ ）若 忱 一 ＞ ７ 则 ／ｐ ￣ －９ ～ ２ ｃ ， ｘ＝ｃ ｃ １ ７ ｃ
第４ Ｏ卷
序列的 Ｄ Ｔ 的对称性 ， 略 ＤＦ Ｆ 忽 Ｔ频谱 的负频率成 分 ， 只考 虑离散频谱 的前 Ｎ／ ， ： ２点 有
Ｒｉ ｌｏ ｉｈ ｈ ｓａ １ｒ ｅｖ ｒａ ｅｗｈ ｎ ｅ ｔｍａｅｄ ｖａ ｉｎ ａ ｐ ｏ ｃ ｅ ｅｏ ａ ｄ ｔ ｅｓ ｇ ｎｔｄＦＦＴ ｈａｅｄｆｅｅ ｃ ｌｏ ｉｈ ｈａ ａ ｇ ｆ ａｇ ｒｔ ｍ ａ ａｇ ａ ｉｎｃ ｅ ｓｉ ｔ ｅ ｉｔｏ ｐ ｒ ａ ｈ ｓｚｒ ｎ ｈ ｅ ｍｅ ｅ — ｅ ｐ ｓ ｉｆｒ ｎ ｅａｇ ｒｔ ｍ ｓａｌｒ ｅ ｖ ｒａ ｅｗｈ ｎ ｉ ＣＯＳ ｏ０ ５ｉ ｏ Ｓ ａ ｉｎｃ ｅ Ｓ ｌ ｅｔ ． ｎ １ｗ ＮＲ．Ｔｈｅｒ ｓ ｌｓｏ ｉ ｌｔｏ ｈｏ ｔ ｔｔ ｍｐ ｏ ｅ ｌ ｒｔ ｅｕ ｔ ｆｓｍｕ ａｉｎｓ ｗ ｈａ ｈｅｉ ｒ ｖ ｄ ａｇｏ ｉ ｈｍｉ ａ ｅａｂｅｔｒａ ｃ ａ ｙａ ｄ ｓａ ｉｉｙ ｎｈ ｖ ｔｅ ｃｕｒｃ ｎ ｔｂ ｌ ｔ ｔ ｅ ｈｅＲｉｅａｇ ｉｈ ａ ｄ ｔ ｅ ｍ ｅ ｔ ｄＦＦＴ ｈ ｓ ｉｆｒｎｃ ｌｏ ｉｈ ｉ ｏ Ｓ ｈ ｎ ｔ ｆ ｌｏｒｔｍ ｎ ｈｅｓ ｇ ｎ ｅ － ｐ ａ ｅｄｆｅｅ ｅａｇ ｒｔ ｍ ｎ ｌｗ ＮＲ ｏ ｉｉｎｓ ｏ ｉ ｈ ｓｓ ｍ ｅｐ ａ ｔｃｌｖ ｌｅ ｃ ｎｄｔｏ ，Ｓ ｔ ａ ｏ ｒｃｉａ ａｕ ．
其 中 ｎ ｆ ，０ ，００ 分别为正弦信号 的幅度 、 频率和初 相 ，（ ） ｒ 为
零 均 值 高斯 白噪声 。 ， 的～点 Ｄ Ｔ记 为 Ｘ（ ） 鉴 于实 ｚ（ｚ ） Ｆ ｋ ，
收 稿 日期 ：０ ２年 ２月 １ ２１ ４日 ， 回 日期 ：０ ２年 ３月 ２ 修 ２１ ８日
作者简介 ： 马阳阳 ， 硕士研究生 ， 女， 研究方向 ： 号与信息处理 。李京华 ， ， 信 女 教授， 硕士生导师 ， 研究方向 ： 目标探测与定位 ， 信号与信 息 处 理 ， 信 信 号 处 理 ， 载 电子 综 合 显 示 。张燕 荣 ， ， 士 研 究 生 ， 究 方 向 ： 载 电子 综 合 显 示 ， 号 与 信 息处 理 。 通 机 女 硕 研 机 信
差算法进行讨论 。
３ 基 于 Ｆ Ｔ 插 值 的 频 率 估 计 改 进 算 法 Ｆ
根据前 面的分析可知 ， 当 接 近零 时 ， 段相位差 法估 分
，
根 据 占得到精 细 的频率估计
值：
一 （ 一 １ 士 ） （ ） △ｆ （） ３
为相邻谱线 之 间 的 间隔 。再 利用 次 大谱 线 赋值 Ａｚ Ｉ ＝ Ｘ （２ Ｉ意 ｋ ） （ｚ为次大赋值位置 ） 与最 大谱 线赋值 Ａ Ｉ ｋ ） 一 Ｘ（。
的比值 ａ ＝ＡｚＡ ， ／ 得到信号的实际频率与估计频率之 间的 相对偏差 一 ｌＬ ￣
ａ
一
影 响比较大 的信 噪比和 这两方面对 Ｒ ｆ 算法和分段相位 ｉ ｅ
Ｒｉ 算法是 利用 Ｄ Ｔ 最大谱 线与次 大谱 线 的 比值来 ｆ ｅ Ｆ
进行正弦波频率估 计 的。先 利用 Ｆ Ｔ对 信号 的频 率做粗 Ｆ
略 的估计 ： ｏ 志 一 １Ａ ｋ ｆ 一（。 ） ｆ，ｏ为最大谱 线 位置 （ 由于谱 线 间隔数相对于谱线数少 １本文 中 ｋ 都减 去了 １ ， 中 ａ ， 。 ）其 ｆ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｒ Ｓ ａ ｉ ｖ ｒ ｉ ｎ ｏ ｈ ｎ ｅ ｐ ａ ｉ ｎ ｄｉｅ ｔ ｎ ｏ ｈ ｎ ｅ ｐ ｌｔ ｄ ＦＦＴ ｌ ｒｔ ｍ ｏ Ｓ ｓｒｃ ｅ ｅ ｉ ｎ ｅ ｓｏ ｆｔ ｅ ｉ ｔ ｒ ｏｌｔｏ ｒ ｃ ｉ ｎ ｔ ｅ ｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｅ ｏ ａｇｏ ｉｈ ｉ ｌ ｗ ＮＲ ｒ ｔ ｅ ｒ ｌ ｔｖ ｖ ａ ｉ ｎ ｂ ｎ ｏ ｈ ｅａ ｉｅ ｄｅ ｉｔｏ ｅ
２ １ Ｒｉ 算 法 ． ｒ ｅ
个 综 合 性 能最 佳 的方 法 ， 到 了 广 泛 的应 用 。 但 Ｄ Ｔ 中 得 Ｆ
在ｏ ～Ｔ时 间内 ， 对单 一频 率正 弦信号 按等 间 隔 Ａ 一 ｔ
丁 Ｎ进行采样 ， 到长度为 Ｎ 的序列 ： ／ 得
ｚ ＝ａ ｏ （ ｎ ｏ ＋ ） ｒ （ ） ｃｓ２ ｆ ＋ （） （） １
进。
采用借助 于 Ｆ Ｔ的离散傅 立 叶变换 （ Ｆ 的直 接谱估 计 Ｆ Ｄ Ｔ）
法， 由于 物 理 意 义 明 确 ， 算 速 度 快 、 时 性 高 、 于 硬 件 实 计 实 利 现 ， 有 较 高 的 信 噪 比增 益 和对 算法 参 数 不 敏 感 等 优 点 ， 具 是
一
２ 基 于 Ｆ Ｔ 插值 的频 率估 计 算 法 Ｆ
Ｍ Ａ ａ ｇ ａ ｇ ＬＩＪ ｎ ｈ ａ ＺＨＡＮＧ ｎ ｏ Ｙ ｎ ｙ ｎ ｉ ｇ ｕ Ｙａ ｒ ｎｇ
（ ｃ ｏ ｌｏ ｅ ｔ ｏ ｉ ｓａ ｄ Ｉ ｏ ｍ ａ ｉ ｎ， ｒ ｈ ｓ ｅ ｎ Ｐｏ ｙｔ ｃ ｎ ｃ ｌＵｎｉ ｅ ｓｔ Ｓ ｈ ｏ ｆＥｌ ｃ ｒ ｎ ｃ ｎ ｎｆ ｒ ｔｏ Ｎｏ ｔ ｗｅ ｔ ｒ ｌ ｅ ｈ ｉ ａ ｖ ｒ ｉｙ，Ｘｉ ｎ ７ ０ ７ ） ’ １ ０ ２ ａ
存 在 能 量 泄 漏 和栅 栏 效 应 ， 即使 在无 噪声 影 响 情 况 下 ， 种 这 方 法 的频 率 估 计 也 无 法 满 足 精 度 要 求 ， 且 算 法 精 度 在 很 并
大程度上依赖 于采 样数据 长度 。针 对这个 问题 ， 多学者 诸
在Ｆ Ｔ基础上 相继提 出 了多 种插值 算法 ， 高 了频 率估计 Ｆ 提
关键 词 频 率 估 计 ；Ｒｆ 算 法 ； 段 相 位 差 法 ｉ ｅ 分 ＴＰ ９ ３１ 中 图 分类 号
Ａｎ Ｉ ｐ ｏ ｅ ｅ ｕ ｎ ｙ Ｅｓ ｉ ｔｏ ｇ ｒｔ ｍ ｓ ｄ ｏ ｍ ｒ ｖ ｄ Ｆｒ ｑ ｅ ｃ ｔｍａ ｉ ｎ Ａｌ ｏ ｉ ｈ Ｂａ ｅ ｎ
ＦＦＴ Ｐｈａｓ ｎｄ Ａｍ ｐ ｉｕｄ ｅａ ｌｔ ｅ