分析力学

第六章 分析力学

引言：

到现在为止，我们所讨论的力学问题都是采用牛顿的方法来处理的，因此就称它为牛顿力学。力学问题除了用牛顿力学的方法处理之外，也可以应用拉格朗日和哈密顿的方法来处理，应用拉格朗日和哈顿方法处理的力学问题通常就称它为分析力学。分析力学这个名称实际上正是沿用了拉格朗日原著的名称。拉格朗日《分析力学》这本著作是在1788年写成的。全书根据一个虚位移原理，用严格的数学分析方法来处理所有的力学问。全书自始至终没有用到过一张图，拉格朗日本人曾经以此而感到非常满意和十分骄傲。但是，我们要注意，并不要以为“没有一张图”就能反映出它的最大优点，作为我们做作业的仿效依据，那是不行的。实际上在现代科学技术中，图是一种必不可少的工具，不要认为科学家所用的方法就占绝对的优势，而一成不变，因为有些内容、结果，往往要受到当时历史条件、科学技术等其他因素所限制。所以，我们今后在做分析力学部分的题目时，该画的图还是要画的，不要认为大科学家拉格朗日都不画图，那么我也以不作图而引以自豪，这种自豪是…..。至于，到底什么叫分析力学，没有一本书上，对它有确切的定义。根据我的理解主要是从研究的手段来区分。由于，牛顿力学：在求解力学问题时，用的是几何方法和分析方法相结合的手段。而分析力学：①主要是应用了广义坐标，用广义坐标作为描写机械运动的独立变量。它的很大优点之一,是在于它从方程组中巧妙地消去了约束，减少了方程组中未知量的个数，从而简化了大量的数学运算，于是也就提高了解题的效率。这一点在我们今后学了分析力学之后就会体会到。有些力学题目用牛顿力学的方法去解很难，很费劲，一旦用分析力学的方法去求解，就会显得很容易。甚至牛顿力学所无法求解的一些复杂的力学问题，然而应用分析力学的方法，常常可以通过比较简单的途径得到解决。分析力学的优点不仅在于使许多力学问题的求解相当容易，而且在应用和理论方面也起着桥梁作用。②用处：它们的用处所涉及的方面有：工业上的自动控制、工程技术、理论上的天体力学、量子力学、统计力学以及电动力学等等各个方面。当然分析力学的发展与其他理论基础也是分不开的。比如：分析力学中的哈密顿原理，实际上就是根据光学中的费马原理?=0nds δ想到而引伸到力学中来，这 条费马原理能够很好地解释了光的直射、折射和反射问题，它代表了光的粒子性。光学上的波动方程代表了光的波动性。光的波粒二象性早在十九世纪已被人们所认识。在光学上既然光具有波粒二象，那么在力学上研究的实物也

就是实物粒子是否也具有像光那样的波粒二象性，是否也有描写实物粒子波动性的波动方程呢？在1924年德布罗意他总结了光学理论上关于光的波粒二象性争论的经验，大胆地提出了实物粒子也具有波动性的假设，并且以此而获得了诺贝尔奖金。后来薛定谔在此前提的思想支配下，推出了描写微观粒子波动性的薛定谔方程，从而建立量子力学这一专门理论。因此说分析力学不仅是研究其他理论的桥梁，而理论本身的发展又和其他理论有着紧密的联系。这不仅仅是分析力学如此，其他理论物理也是如此。实际上，分析力学的理论内容是很广的，我们本章仅仅以拉格朗日方程和哈密顿原理为主体来介绍分析力学的初步知识。现在先介绍关于分析力学常用的一些基本概念。

§1、约束与广义坐标

一、约束：

关于约束这个概念在前面已经有过接触，但是在分析力学中对约束这个概念有更加明确的定义，并且对它加以明确的分类。

1、定义：凡是强加在体系上而限制其运动（几何位置，速度）的条件，就定义为约束。约束条件的数学表达式就称为约束方程。这里对运动的限制，它包括对几何位置和运动速度的限制。假设力学体系由n 个质点组成，一般地讲，加于体系的约束，不仅限制各质点的位置，而且还限制它们的速度，这些限制条件还可能随时间而改变。因此，约束方程的普遍形式表

示为：0),,,,,,(111111=??????t z y x z y x z y x z y x f n n n n n n ； γ，或简写为：0),(=?t r r f

γ，},{21n r r r r ???=。现在就各种情形对约束加以分类，约束首先可以分为完整约束和不完整约束。

2、约束的分类:

（1）完整与不完整约束：如果在约束方程中不包含速度：0),(=t r f

γ，这样的约束就称完整约束，完整约束又叫几何约束，如果在约束方程中包含速度（而且不能积分的），就称为不完整约束。因为不完整约束含有坐标微分，所以又称它为微分约束或者运动约束。凡是只受有完整约束的力学体系叫完整系。反之，所受的约束方程中存在速度，就称为不完整系。以后，我们只限于讨论完整系的力学问题。根据约束对时间的依赖性来区分的话，约束又可分为：

（2）稳定约束与不稳定约束：它的区分要看约束方程中有没有时间t ，如果约束方程中显含时间t 就是不稳定约束；反之，如果不含时间t 就是稳定约束。完整的稳定约束方程

可以表示为：0),(111=???n n n z y x z y x f γ。例如：吹肥皂泡时，泡

上有一小虫沿泡面运动。如果肥皂泡的半径随时间t 作线性增加：

bt a r +=。若取泡的中心为原点，显然这个泡面就是约束小虫运

动的约束面，所以其约束方程为：

0)(),,,(2222=+-++=bt a z y x t z y x f 。约束方程显含时间

t ，所以小虫所受的约束是不稳定约束。如果肥皂泡的半径既不增大也不缩小，那么约束方程就变为：0),,(2222=-++=a z y x z y x f ，不含时间t ，此时小虫所受的约束就是稳定约束。约束还可分为：

（3）可解约束与不可解约束：质点可离开约束面的约束－－叫做可解约束。完整的可解约

束方程的一般形式为：0),(≠t r f 。反之，如果质点不可脱离约束面，

这样的约束就叫做不可解约束，完整的不可解约束的约束方程是用等

号来表示的，即：0),(=t r f ——不可解约束方程。例如：有一质点

它可以脱离开球面在球内、外运动，这种约束是可解的。下面我再举

个例子，让大家来判断它是什么约束。

例：有一质点受有约束，其约束方程为：px y 22=，由此约束方程可见这种约束应该是属于那种约束？这种约束是完整的、稳定的不可解约束。又譬如约束方程为：

0222222

)(>+++b z b y t a x 。这种约束显然是完整的、不稳定的可解约束。

二、广义坐标：

引出广义坐标的出发点是质点组。由于一个自由质点在空间的位置，需要用三个独立坐标来确定。那么，对由n 个自由质点组成的质点组来说，确定该自由质点组位置的3n 个坐标当然也是独立的。但是在许多实际问题中，质点组的运动总是要受到某种约束，质点组的运动由于受到约束，从而就会使得确定质点组位置的独立坐标数目就会减少。例如：单摆的运动就是一个受约束运动的简单例子。单摆的运动我们可以将它看作为一个质点m 的运动。由于这个质点即摆锤的运动，它受到了平面和摆长的限止，因此就被约束在一条圆弧曲线上运动，此时就用不着要二个坐标确定它的运动位置，而只要一个参变量θ就完全可以确定它的运动位置了，显然这个质点由于约束它的独立坐标只有一个。又如下图所示的平面双摆机

构我们可以将它简化为由两个质点21m m 和组成的质点组。由于约束该质点组的运动位置，我们只要用两个独立的参量?θ和就完全可以确定，也就是说确定双摆运动位置的独立坐标只有两个。于是我们由此而得出一般的定义。

1、定义：凡是以描写质点组位置所需最少的一组参量，就叫做广义坐标。（1）广义坐标的符号一般都采用αq 来表示，α＝1,2，……s ，如果有s 个广义坐标，那么下足标α就取到s 为止。另外，我们要注意到

2、广义坐标它概括了各式各样的坐标，也包括我们以前的直角坐标，在力学中，可以是长度，也可是角度。这里的长度包括的不仅仅是直线的长度，也可以是曲线的长度。但是在力学上体积是不能当作广义坐标，在“热统”中却称它为广义坐标，它是套用了理论力学的术语。

3、广义速度：在一般的情况下广义坐标可以是时间t 的函数，即)(t q q αα=，因此广

义标对时间t 的一阶导数就叫作广义速度：αq

=广义速度。 三、自由度：

现在讲一下自由度的概念，在分析力学中引入自由度的目的是为了讨论广义坐标与直角坐标的关系。假设由n 个质点组成的质点组，确定其位置的共有3n 个坐标，受有K 个完整约束，因此有K 个完整约束方程：0),(=t r f

ν，k ???=2,1ν。此时，3n 个坐标中只有s=3n-k 个是独立的－－这些独立坐标也就是体系的自由度。一旦质点组的广义坐标选定以后，组中每个质点的直角坐标都可以表示成为广义坐标及时间的函数。即 ),,(21t q q q x x s i i ???=

),,(21t q q q y y s i i ???= i=1,2,3???n q 是独立的广义坐标。

),,(21t q q q z z s i i ???=

因为我们所讨论的力学体系都是完整的约束体系，在完整约束的情况下，这些广义坐标都是独立的。在这里还附带地提一下，在不完整约束的情况下，由于速度不能积分，系统还受有微分约束的限制，所以在不完整约束的情况下广义坐标是不独立的。

下面我们仍然以平面双摆为例，看看在具体的问题中广义坐标如何选取，以及如何寻找广义坐标与直角坐标的关系。如图所示，我们设摆锤m 1和m 2在直角坐标系中的位置坐标

分别为：（x 1,y 1,z 1）和（x 2,y 2,z 2），共有六个位置坐标。

在这个问题里，坐标系按图上这样取。由于平面双摆

的运动是被约束在xy 平面上的运动所以由此就可得到

两个约束方程为：z 1=0，z 2=0。另外，双摆的运动还受

到摆长的约束。如果已知两摆的摆长为l 1和l 2，由此又

可

得到两个约束方程为：212121l y x =+ ;22212212)()(l y y x x =-+-，共有

四个约束方程，六个减去四个等于两个，所以双摆的

自由度只有二个。因此，在这个问题中独立的广义坐标也就只有二个，这里我们就取两摆分别与垂直线的夹角θ和?为广义坐标，即q 1=θ，q 2=?。于是可以得到直角坐标与广义坐标的关系为：

要注意广义坐标选法不是唯一的，我们也可以不这样取，不过也没有一定的法则，要看具体问题的性质和方便来选取的。但是在完整约束的情况下，所选取的广义坐标必须是独立变化的。

接下去再简单提一下分析力学中常常要出现的一个术语——即分析力学中的一个抽象的概念：位形空间（这个概念后面讨论哈密顿原理时将要用到）。

四、位形空间

在分析力学中研究的对象一般均指由n 个质点组成的力学系统，由n 个质点集合而成的系统也就是我们前面所讲的质点系。我们知道每个质点在空间都占有一个位置，那么系统中各个质点在空间的位置的集合就称作为系统的位形。

X 1=1 sin θ Y 1=1 cos θ

X 2=1 sin θ+2 sin ?

Y 2=1 cos θ+2 cos

?

1、位形：系统各质点在空间的位置的集合。可见位形是一个表示系统中各质点的位置分布所构成的几何形象。在三维物理空间描写位形是很不方便的，因此为了便于描写位形，在分析力学中就引入了位形空间这一个抽象空间的概念。所谓的位形空间就指……

2、位形空间：是用来描述任意系统位形的抽象空间，在这个空间中的任一点代表系统的某一位形[引入位形空间得目的是在于把复杂系统的位形或运动状态和多维空间中的点建立一一对应的关系，通过这种几何类比的方法可以将复杂系统的动力学现象用几何的语言加以高度集中与概括，以便于抓住各种不同系统的力学现象之间的共同本质。它是分析力学中研究系统运动的辅助手段]。为了帮助我们理解位形空间这个概念，下面从大家熟悉的一个质点的运动开始讨论。

大家都知道，研究一个质点的运动便构了三维物

理空间中的力学问题。也就是说要描述一个自由质

点在空间的位置，需要建立三维空间坐标，也就是

说质点在三维空间中的任一位置就用三个坐标来表

示。如左图1.那么研究两个质点的运动时，当然可

以将每一个质点分别用三个坐标来描述，这仍然是

处于三维空间中研究。除此之处，我们可以将它看

成是六维空间中的“一个质点”的运动。进一步推而广之，我们也可以将n个自由度的系统的运动看成是n维空间中“一个质点”沿着一条轨道的运动。这n维空间也就是位形空间。这种空间当然不能像三维空间那样确切地画出来，只能去想象它，所以说它是个抽象的概念。为了便于理解我们可以画出它的示意图(如下图

2所示)。系统在现实空间的某一位形对应于这

个n维空间中的一个点，M在位形空间中代表

系统的点就称它为位形点。如果系统的位置由

广义坐标q1,q2??????q n确定，那么在位形空间内，

代表点M的坐标是q1,q2??????q n。系统在实际空

间中由某一个位形连续变化到另一个位形的运

动过程反映在位形空间中就是代表点M由M1连续变化达到另一点M2所形成的一条曲线，这条曲线就称作为位形轨迹或位轨线。仿照三

维空间中一个动点的轨道参数方程的形式：???????

???===)()()(t t t z z y y x x

可以将位形空间的位轨线表示为：q 1=q 1(t) ，q 2=q 2(t)??? q n =q n (t)，这些方程其实就是分析动力学方程的解。关于位形空间这个概念就简单地介绍到这里。由此可见，引入位形空间可以使系统的复杂运动简化为n 维空间的一个质点的运动来研究。

§2、虚功原理

我们所学习的分析力学，当然也属于经曲力学，它与牛顿力学不同的地方只是研究手段的不同。用广义坐标建立经典力学方程的思路一般为：先从静力学入手给出：虚功原理和达朗伯原理，将虚功原理和达朗伯原理结合起来就可推出达朗伯拉格朗日方程→由此方程再推出第二类拉格朗日方程→接下去就是讲哈密顿正则方程→哈密顿原理→再到正则变换→最后建立起哈密顿－雅可俾方程。下面我们也就按这条路径来走。虚功原理其实也叫做虚位移原理。

一、虚位移

由于虚功原理与虚位移有关。而虚位移却是由于约束并且跟约束有关的概念。（虚位移这个概念的引入，是为了进一步反映力学方程受有完整约束的性质。那么，什么叫虚位移呢？）一个质点组如果受有某种约束，那么，我们就把符合约束条件的假想的位移，叫做虚

位移，用r δ表示。虚位移和我们以前运动学中讲的真实位

移是完全不同的概念，[在这里为了与虚位移区分，我们将真

实位移简称为实位移]实位移：是经过dt 时间以后质点真正的

位移，它是一个与质点所经历的时间有关的位移。而虚位移

却与它完全不同，因为虚位移，只是符合约束条件的（1）假

想的位移，（2）它不需要时间，它与质点所经历的时间t 无关，

它只取决于质点在某时刻的位置和加在它上面的约束。既然虚位移与时间无关，所以虚速度是没有的，当然也就谈不上实速度与虚速度之分了。还有（3）根据虚位移应满足的条件可知，虚位移可以有好多个，而实位移只能有一个。在稳定约束的情况下，实位移是虚位移当中的一个。（4）在不稳定约束的情况下，虚位移和实位移可完全不同。例如，一质点P 被约束在运动着的曲面0),,,(=t z y x f 上，在t 时刻的虚位移r δ，必定在通过质点在该时刻的位置P 的切平面上，而t 到t+dt 时刻质点的实位移r d

由于曲面的移动，既不在t

时刻

曲面的切平面上，也不在t+dt 时刻曲面的切平面上。而是如图所示的情况，可见在不稳定约束的情况下它们是不一致的。

二、虚功原理：

1、虚功：我们知道，力与位移的标积就叫做力所做的功。很自然地想到，由于虚位移，那么作用在质点组上的力所做之功，就叫做虚功。我们就用w δ来表示虚功，则

r F w δδ?=。有了虚功的概念，就可以给出

2、理想约束的概念。如果作用于质点组的约束力在任意虚位移中所作的虚功之和等于

零，那么这种约束 就称为理想约束。因此，理想约束必须满足的条件是：0=?∑i i

i r N δ。

例如光滑曲面、光滑曲线、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳子等等都是理想约束。有了虚功的概念和理想约束的概念，我们就可以证明下面的定理。定理：质点组在理想约束的情况下，其平衡条件(必要)是主动力所作的虚功之和为零。这里的充分条件是理想约束。对它加以证明，即定理的证明：

假设质点组处于平衡状态，那么，质点组中的每一个质点必然处于平衡。那么，组中第i 个

质点的平衡方程为：0=+i i N F ，n i ???=,2,1。式子中的i F 是第i 个质点所受主动力的合

力，i N 是约束力的合力。两边点乘一个虚位移i r δ，则有：0=?+?i i i i r N r F δδ类似

这样的方程有n 个，将这个n 个方程都加起来就可以得到：0=?+?∑∑i i i i i r N r F δδ，

因为在理想约束的情况下：0=?∑i i i r N δ，于是证明了质点组在理想约束的情况下，其

平衡条件是主动力所作虚功的总和等于零：0=?∑i i

i r F δ，这个定理就叫做虚功原理。

要注意虚功原理中的i F 主动力对质点组来说应该包括外力和内力两部分，例如：有一质点

组，用弹簧联系着，这种联系不是约束。弹簧由于形变而引起的这些弹性内力应该是属于主

动力i F 。对于刚体，由于刚体内力所作的总功等于零，所以就不必考虑它内力的功。虚功原理的方程是分析力学中解决静力学问题的基本方程，由它可以求作用在质点组上的力和几何位置。所以虚功原理有时也可称它为分析静力学。从上面的证明可以看出，虚功原理的优点是在光滑约束的情况下可以不计及约束反力。但是这并不等于说，虚功原理就不能求约束反力。如果我们要想求出系统中某处的约束反力，只要将该处的约束去掉，代之以作用力，只要这部分约束撤去后其余的约束还是理想约束的话，那么还是可以用虚功原理来计算约束力的。至于如何应用虚功原理解题等到下次课再举例说明。