3.1 时间序列平稳性和单位根检验
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X t ( 1) X t 1 t X t 1 t
• 通过上式判断Xt是否有单位根,就是时间序列平稳 性的单位根检验。
• 一般检验模型
X t X t 1 t X t X t 1 t
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
0.05 -3.60 -3.50 -3.45 -3.43 -3.42 -3.41 3.20 3.14 3.11 3.09 3.08 3.08 2.85 2.81 2.79 2.79 2.78 2.78
0.10 -3.24 -3.18 -3.15 -3.13 -3.13 -3.12 2.77 2.75 2.73 2.73 2.72 2.72 2.39 2.38 2.38 2.38 2.38 2.38
• 现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列 表现为平稳的，如利率等; • 大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以 当年价表示的消费额、收入等常是2阶单整的， 以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1 阶单整。 • 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多 次差分的形式变为平稳的。 • 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分， 都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的 （non-integrated）。
如果t<临界值，则拒绝零假设H0： =0，认为时 间序列不存在单位根，是平稳的。
单尾检验
2、ADF检验（Augment Dickey-Fuller test）
• 为什么将DF检验扩展为ADF检验？
– DF检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差项的 一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检验中，时 间序列可能由更高阶的自回归过程生成，或者随机 误差项并非是白噪声，用OLS法进行估计均会表现 出随机误差项出现自相关，导致DF检验无效。
年份
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
GDPC
16273.7 17716.3 18698.7 17847.4 19347.8 21830.9 25053.0 29269.1
年份
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
GDPC
2、平稳性的定义
• 假定某个时间序列是由某一随机过程 （stochastic process）生成的，即假定时间 序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一 个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：
–均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； –方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； –协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与 时间t 无关的常数；
• 检验GDPC，模型2
• 检验GDPC，模型2
从GDPC(-1)的参 数值看，其t统计 量的值大于临界 值，不能拒绝存 在单位根的零假 设。同时，由于 常数项的t统计量 也小于ADF分布 表中的临界值， 因此不能拒绝不 存在趋势项的零 假设。需进一步 检验模型1。
• 检验GDPC，模型1
• 检验GDPC，模型1
• 如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过 取差分的方法而形成平稳序列。
二、单整序列 Integrated Series
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的， 就称原序列是一阶单整（integrated of 1）序 列，记为I(1)。 • 一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变 成平稳序列，则称原序列是d 阶单整 （integrated of d）序列，记为I(d)。 • I(0)代表一平稳时间序列。
• 检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3 进行检验时，有各自相应的临界值表。
• 检验模型滞后项阶数的确定：以随机项不存在 序列相关为准则。
模型
统计量
样本容量 25 50 100
0.01 -2.66 -2.62 -2.60 -2.58 -2.58 -2.58 -3.75 -3.58 -3.51 -3.46 -3.44 -3.43 3.41 3.28 3.22 3.19 3.18 3.18
•从GDPC(-1)的 参数值看，其t统 计量的值大于临 界值，不能拒绝 存在单位根的零 假设。
• 至此，可断定中国实际支出法GDP时间序列是非 平稳的。如果仅需要检验该时间序列是否是平稳 的，检验到此结束。
• 如果需要检验该时间序列的单整性，即它是多少 阶的单整序列，则需要对其一次差分序列、二次 差分序列等进行单位根检验。
• 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。
• 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” （Spurious Regression）问题。
–表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的 相关性。
–例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势 （非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进 行回归也可表现出较高的可决系数。
– 如果 时间 序列含有明显的随时间变化的某种趋势 （如上升或下降），也容易导致DF检验中的自相关 随机误差项问题。
• ADF检验模型
X t X t 1 i X t i t
i 1 m
模型1
X t X t 1 i X t i t
• 可通过OLS法下的t检验完成。但是:
– 在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量 也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。 – Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服 从的分布（这时的t统计量称为统计量），即DF分布。 – 由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均值的 偏态分布。
3
25 50 100 250 500 >500
25 50 100 250 500 >500
• 一个简单的检验过程：
– 同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过 ADF临界值表检验零假设H0：=0。
– 只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就 可以认为时间序列是平稳的； – 当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认 为时间序列是非平稳的。
• 向量自回归模型（VAR）已经成为一类广泛应用 的现代时间序列分析模型，本章将进行简单的介 绍。
§3.1 时间序列平稳性和单位根检验
一、时间序列的平稳性 二、单整序列
三、单位根检验
四、趋势平稳与差分平稳随机过程
五、结构变化时间序列的单位根检验
一、时间序列的平稳性 Stationary Time Series
模型
统计量
样本容量 25 50 100 250 500 >500
0.01 -4.38 -4.15 -4.04 -3.99 -3.98 -3.96 4.05 3.87 3.78 3.74 3.72 3.71 3.74 3.60 3.53 3.49 3.48 3.46
0.025 -3.95 -3.80 -3.73 -3.69 -3.68 -3.66 3.59 3.47 3.42 3.39 3.38 3.38 3.25 3.18 3.14 3.12 3.11 3.11
• ADF检验在Eviews中的实现
• 检验GDPC，模型3
• 检验GDPC，模型3
从GDPC(-1)的参 数值看，其t统计 量的值大于临界 值，不能拒绝存 在单位根的零假 设。同时，由于 时间项T的t统计量 也小于ADF分布 表中的临界值， 因此不能拒绝不 存在趋势项的零 假设。需进一步 检验模型2 。
3、例题演示
• 检验1978~2006年间中国实际支出法国内生产总 值GDPC时间序列的平稳性。
年份
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
GDPC
7802.5 8694.2 9073.7 9651.8 10557.3 11510.8 13272.8 14966.8
wenku.baidu.com
⒈问题的提出
• 经典计量经济模型常用到的数据有：
– 时间序列数据（time-series data)； – 截面数据(cross-sectional data)
– 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data)
• 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。 • 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
样 本 容 量 显著性水平 0.01 0.05 0.10 25 -3.75 3.00 2.63 50 -3.58 -2.93 -2.60 100 -3.51 -2.89 -2.58 500 -3.44 -2.87 -2.57 ∝ -3.43 -2.86 -2.57 t分布临界值 （n=∝） -2.33 -1.65 -1.28
第3章
现代时间序列计量经济学模型
本章说明
• 关于经典的平稳时间序列分析模型，即自回归模 型（AR）、移动平均模型（MA）、自回归移动 平均模型（ARMA）等，在一般的中级计量经济 学教科书或者经典的时间序列分析教科书中，都 有详细的介绍，本章将不予涉及。
• 本章所讨论的，主要是非平稳时间序列。重点是 单位根检验、协整检验和误差修正模型。
0.025 -2.26 -2.25 -2.24 -2.23 -2.23 -2.23 -3.33 -3.22 -3.17 -3.14 -3.13 -3.12 2.97 2.89 2.86 2.84 2.83 2.83
0.05 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -3.00 -2.93 -2.89 -2.88 -2.87 -2.86 2.61 2.56 2.54 2.53 2.52 2.52
0.10 -1.60 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -2.62 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -2.57 2.20 2.18 2.17 2.16 2.16 2.16
1
250 500 >500
25 50 100 250 500 >500
2
25 50 100 250 500 >500
32056.2 34467.5 37331.9 39988.5 42713.1 45625.8 49238.0 53962.5
年份
2002 2003 2004 2005 2006
GDPC
60078.0 67282.2 76096.3 88002.1 101616.3
• ADF检验在Eviews中的实现
i 1
m
模型2
X t t X t 1 i X t i t
i 1
m
模型3
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
• 检验过程
–实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 –何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为 平稳序列，何时停止检验。 –否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。
• 检验ΔGDPC，模型3
• 检验ΔGDPC，模型3
从△GDPC(-1)的 参数值看，其t统 计量的值大于临 界值，不能拒绝 存在单位根的零 假设。同时，由 于时间项项T的t 统计量也小于 AFD分布表中的 临界值，因此不 能拒绝不存在趋 势项的零假设。 需进一步检验模 型2 。
• 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)， 而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
宽平稳、广义平稳
• 白噪声（white noise）过程是平稳的： Xt=t ， t~N(0,2)
• 随机游走（random walk）过程是非平稳的： Xt=Xt-1+t ， t~N(0,2) Var(Xt)=t2 • 随机游走的一阶差分（first difference）是平 稳的： Xt=Xt-Xt-1=t ，t~N(0,2)
三、平稳性的单位根检验
（unit root test）
1、DF检验（Dicky-Fuller Test）
X t X t 1 t
随机游走，非平稳 对该式回归，如果确实 发现ρ =1，则称随机变 量Xt有一个单位根。 等价于通过该式判断 是否存在δ =0。
X t X t 1 t
• 通过上式判断Xt是否有单位根,就是时间序列平稳 性的单位根检验。
• 一般检验模型
X t X t 1 t X t X t 1 t
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
0.05 -3.60 -3.50 -3.45 -3.43 -3.42 -3.41 3.20 3.14 3.11 3.09 3.08 3.08 2.85 2.81 2.79 2.79 2.78 2.78
0.10 -3.24 -3.18 -3.15 -3.13 -3.13 -3.12 2.77 2.75 2.73 2.73 2.72 2.72 2.39 2.38 2.38 2.38 2.38 2.38
• 现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列 表现为平稳的，如利率等; • 大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以 当年价表示的消费额、收入等常是2阶单整的， 以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1 阶单整。 • 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多 次差分的形式变为平稳的。 • 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分， 都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的 （non-integrated）。
如果t<临界值，则拒绝零假设H0： =0，认为时 间序列不存在单位根，是平稳的。
单尾检验
2、ADF检验（Augment Dickey-Fuller test）
• 为什么将DF检验扩展为ADF检验？
– DF检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差项的 一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检验中，时 间序列可能由更高阶的自回归过程生成，或者随机 误差项并非是白噪声，用OLS法进行估计均会表现 出随机误差项出现自相关，导致DF检验无效。
年份
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
GDPC
16273.7 17716.3 18698.7 17847.4 19347.8 21830.9 25053.0 29269.1
年份
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
GDPC
2、平稳性的定义
• 假定某个时间序列是由某一随机过程 （stochastic process）生成的，即假定时间 序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一 个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：
–均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； –方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； –协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与 时间t 无关的常数；
• 检验GDPC，模型2
• 检验GDPC，模型2
从GDPC(-1)的参 数值看，其t统计 量的值大于临界 值，不能拒绝存 在单位根的零假 设。同时，由于 常数项的t统计量 也小于ADF分布 表中的临界值， 因此不能拒绝不 存在趋势项的零 假设。需进一步 检验模型1。
• 检验GDPC，模型1
• 检验GDPC，模型1
• 如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过 取差分的方法而形成平稳序列。
二、单整序列 Integrated Series
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的， 就称原序列是一阶单整（integrated of 1）序 列，记为I(1)。 • 一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变 成平稳序列，则称原序列是d 阶单整 （integrated of d）序列，记为I(d)。 • I(0)代表一平稳时间序列。
• 检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3 进行检验时，有各自相应的临界值表。
• 检验模型滞后项阶数的确定：以随机项不存在 序列相关为准则。
模型
统计量
样本容量 25 50 100
0.01 -2.66 -2.62 -2.60 -2.58 -2.58 -2.58 -3.75 -3.58 -3.51 -3.46 -3.44 -3.43 3.41 3.28 3.22 3.19 3.18 3.18
•从GDPC(-1)的 参数值看，其t统 计量的值大于临 界值，不能拒绝 存在单位根的零 假设。
• 至此，可断定中国实际支出法GDP时间序列是非 平稳的。如果仅需要检验该时间序列是否是平稳 的，检验到此结束。
• 如果需要检验该时间序列的单整性，即它是多少 阶的单整序列，则需要对其一次差分序列、二次 差分序列等进行单位根检验。
• 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。
• 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” （Spurious Regression）问题。
–表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的 相关性。
–例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势 （非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进 行回归也可表现出较高的可决系数。
– 如果 时间 序列含有明显的随时间变化的某种趋势 （如上升或下降），也容易导致DF检验中的自相关 随机误差项问题。
• ADF检验模型
X t X t 1 i X t i t
i 1 m
模型1
X t X t 1 i X t i t
• 可通过OLS法下的t检验完成。但是:
– 在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量 也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。 – Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服 从的分布（这时的t统计量称为统计量），即DF分布。 – 由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均值的 偏态分布。
3
25 50 100 250 500 >500
25 50 100 250 500 >500
• 一个简单的检验过程：
– 同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过 ADF临界值表检验零假设H0：=0。
– 只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就 可以认为时间序列是平稳的； – 当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认 为时间序列是非平稳的。
• 向量自回归模型（VAR）已经成为一类广泛应用 的现代时间序列分析模型，本章将进行简单的介 绍。
§3.1 时间序列平稳性和单位根检验
一、时间序列的平稳性 二、单整序列
三、单位根检验
四、趋势平稳与差分平稳随机过程
五、结构变化时间序列的单位根检验
一、时间序列的平稳性 Stationary Time Series
模型
统计量
样本容量 25 50 100 250 500 >500
0.01 -4.38 -4.15 -4.04 -3.99 -3.98 -3.96 4.05 3.87 3.78 3.74 3.72 3.71 3.74 3.60 3.53 3.49 3.48 3.46
0.025 -3.95 -3.80 -3.73 -3.69 -3.68 -3.66 3.59 3.47 3.42 3.39 3.38 3.38 3.25 3.18 3.14 3.12 3.11 3.11
• ADF检验在Eviews中的实现
• 检验GDPC，模型3
• 检验GDPC，模型3
从GDPC(-1)的参 数值看，其t统计 量的值大于临界 值，不能拒绝存 在单位根的零假 设。同时，由于 时间项T的t统计量 也小于ADF分布 表中的临界值， 因此不能拒绝不 存在趋势项的零 假设。需进一步 检验模型2 。
3、例题演示
• 检验1978~2006年间中国实际支出法国内生产总 值GDPC时间序列的平稳性。
年份
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
GDPC
7802.5 8694.2 9073.7 9651.8 10557.3 11510.8 13272.8 14966.8
wenku.baidu.com
⒈问题的提出
• 经典计量经济模型常用到的数据有：
– 时间序列数据（time-series data)； – 截面数据(cross-sectional data)
– 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data)
• 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。 • 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
样 本 容 量 显著性水平 0.01 0.05 0.10 25 -3.75 3.00 2.63 50 -3.58 -2.93 -2.60 100 -3.51 -2.89 -2.58 500 -3.44 -2.87 -2.57 ∝ -3.43 -2.86 -2.57 t分布临界值 （n=∝） -2.33 -1.65 -1.28
第3章
现代时间序列计量经济学模型
本章说明
• 关于经典的平稳时间序列分析模型，即自回归模 型（AR）、移动平均模型（MA）、自回归移动 平均模型（ARMA）等，在一般的中级计量经济 学教科书或者经典的时间序列分析教科书中，都 有详细的介绍，本章将不予涉及。
• 本章所讨论的，主要是非平稳时间序列。重点是 单位根检验、协整检验和误差修正模型。
0.025 -2.26 -2.25 -2.24 -2.23 -2.23 -2.23 -3.33 -3.22 -3.17 -3.14 -3.13 -3.12 2.97 2.89 2.86 2.84 2.83 2.83
0.05 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -3.00 -2.93 -2.89 -2.88 -2.87 -2.86 2.61 2.56 2.54 2.53 2.52 2.52
0.10 -1.60 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -2.62 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -2.57 2.20 2.18 2.17 2.16 2.16 2.16
1
250 500 >500
25 50 100 250 500 >500
2
25 50 100 250 500 >500
32056.2 34467.5 37331.9 39988.5 42713.1 45625.8 49238.0 53962.5
年份
2002 2003 2004 2005 2006
GDPC
60078.0 67282.2 76096.3 88002.1 101616.3
• ADF检验在Eviews中的实现
i 1
m
模型2
X t t X t 1 i X t i t
i 1
m
模型3
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
• 检验过程
–实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 –何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为 平稳序列，何时停止检验。 –否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。
• 检验ΔGDPC，模型3
• 检验ΔGDPC，模型3
从△GDPC(-1)的 参数值看，其t统 计量的值大于临 界值，不能拒绝 存在单位根的零 假设。同时，由 于时间项项T的t 统计量也小于 AFD分布表中的 临界值，因此不 能拒绝不存在趋 势项的零假设。 需进一步检验模 型2 。
• 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)， 而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
宽平稳、广义平稳
• 白噪声（white noise）过程是平稳的： Xt=t ， t~N(0,2)
• 随机游走（random walk）过程是非平稳的： Xt=Xt-1+t ， t~N(0,2) Var(Xt)=t2 • 随机游走的一阶差分（first difference）是平 稳的： Xt=Xt-Xt-1=t ，t~N(0,2)
三、平稳性的单位根检验
（unit root test）
1、DF检验（Dicky-Fuller Test）
X t X t 1 t
随机游走，非平稳 对该式回归，如果确实 发现ρ =1，则称随机变 量Xt有一个单位根。 等价于通过该式判断 是否存在δ =0。
X t X t 1 t