2020年新课标高考数学二轮热点专题提升-考点13 平面向量的数量积及应用(含答案解析)

1 2020年新课标高考数学二轮热点专题提升-考点13 平面向量的数量积及应用 【自主热身，归纳总结】 1、(2018苏州暑假测试）已知平面向量a＝(2，1)，a·b＝10，若|a＋b|＝52，则|b|的值是________． 【答案】、5 【解析】、因为50＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋20＋|b|2，所以|b|＝5. 2、(2017无锡期末） 已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则实数m的值为________．

【答案】、14 【解析】、根据向量a，b的坐标可得a－b＝(1,2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因为(a－b)⊥(ma＋b)，所以(a－b)·(ma＋b)＝1×(2m＋1)＋2×(m－1)＝4m－1＝0，故m＝14. 3、(2016苏北四市摸底）. 已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，2)，则向量a，b的夹角为________．

【答案】、. 23π

【解析】、因为a＋b＝(1，2)，所以|a＋b|＝3，两边平方得a2＋2a·b＋b2＝3，将|a|＝1，|b|＝2代入得1＋2a·b＋4＝3，从而a·b＝－1，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－12，而〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝23π，即向量a，b的夹角为23π. 4、(2017苏北四市期末） 已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．

【答案】、5714 【解析】、解法1 因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－12a2＝－12b2，

所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝52a2，|2a－b|＝2a－b2＝5a2－4a·b＝7|a|， 2

cos〈a,2a－b〉＝a·2a－b|a|·|2a－b|＝52a2|a|·7|a|＝527＝5714. 解法2 因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以〈a，b〉＝2π3， 所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2a2－|a|·|b|cos2π3＝52a2，|2a－b|＝2a－b2＝5a2－4a·b＝5a2－4|a|·|b|cos2π3＝7|a|. 以下同解法1. 5、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 如图，在平面四边形ABCD中，

O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB→·AD→＝－7，则BC→·DC→的值是________．

【答案】、. 9 【解析】、BC→·DC→＝(OC→－OB→)·(OC→－OD→)＝(OC→＋OD→)·(OC→－OD→)＝OC2－OD2，类似AB→·AD→＝AO2－OD2＝－7，所以BC→·DC→＝OC2－OD2＝OC2－AO2－7＝9. 思想根源 极化恒等式：a·b＝a＋b22－a－b22.在△ABC中，若M是BC的中点，则AB→·AC→

＝AM2－MC2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积． 6、(2017南京学情调研） 在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在边AB上，AD→＝13AB→.若DB→·DC→

＝3，则边AC的长是________． 【答案】、10 【解析】、思路分析1 注意到AB，BC已知，故以BA→，BC→为基底，将其它向量表示出来，通过DB→·DC→＝3计算出向量BA→，BC→的夹角后，再利用余弦定理求得AC的长． 思路分析2 以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，从而用向

量的坐标运算来研究问题，要求AC的长本质就是求点A的坐标，可以通过DB→·DC→＝3来求得点A的坐标．

解法1 因为AD→＝13AB→，所以DB→·DC→＝23AB→·23AB→＋BC→＝49AB→2＋23AB→·BC→＝4－23×3×2cos∠ABC＝3

3，解得cos∠ABC＝14，因此AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝10，即AC＝10. 解法2 以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．设∠ABC＝θ，则因为AB＝3，BC＝2，所以C(2,0)，A(3cosθ，3sinθ)．又因为AD→＝13AB→，所以D(2cosθ，2sinθ)，故DB→＝(－2cosθ，－2sinθ)，DC→＝(2－2cosθ，－2sinθ)，因此DB→·DC→＝－4cosθ＋4cos2θ＋4sin2θ

＝3，解得cosθ＝14，从而A34，3154，由此可得AC＝34－22＋31542＝10. 7、（2016无锡期末） 已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为________．

【答案】、. (0，233] 【解析】、思路分析 本题题设虽然简单，但不易入手．实际上，本题隐含条件：|α|，|β|，|β－α|必能构成三角形，故引入α与β的夹角θ，根据正弦定理，用θ表示|α|，利用函数思想求解．

设α与β的夹角为θ，则0°233

sin(120°－θ)．因为0°8、(2019南京学情调研）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为边BC上一点，且AB→·AE→＝6，AD→·AE→＝32，则AB→·AD→的值为________．

【答案】、 －92 【解析】、设BE→＝λAD→，且菱形的边长为x，则AE→＝AB→＋λAD→，AB→·AE→＝AB→·(AB→＋λAD→)＝x2－12λx2＝6，AD→·AE→＝AD→·(AB→＋λAD→)＝－12x2＋λx2＝32，解得x2＝9，所以AB→·AD→＝x2cos120°＝－92. 9、(2019通州、海门、启东期末） 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝45°，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上一点P满足EP→＝2PE→，则AP→·AB→＝________．

【答案】、 16． 4

解析1(基底法)：因为FP→＝2PE→，所以AP→－AF→＝2(AE→－AP→)，即AP→＝23AE→＋13AF→，又因为E，F为BC、CD的中点，所以AE→＝AB→＋12AD→，AF→＝12AB→＋AD→，故AP→＝56AB→＋23AD→，因此，AP→·AB→

＝56AB→2＋23AB→·AD→＝56×16＋23×4×2×22＝16. 解析2(坐标法)：以A点为坐标原点，以AB→的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则根据题设条件可得A(0，0)，B(4，0)，D(1，1)，C(5，1)，E(92，12)，F(3，1)，又因为FP→＝2PE→，

所以设点P(x，y)，从而(x－3，y－1)＝292－x，12－y＝(9－2x，1－2y)，故x－3＝9－2xy－1＝1－2y，解

得x＝2y＝23，故AP→＝2，23，从而AP→·AB→＝2×8＝16. 题型一 运用平面向量的基底解决向量的数量积 知识点拨：向量的运算问题，通常有两种基本方式，一是基底法、二是坐标法．一般地，基底法更具有一般性，基底法的难点在于将所研究的向量表示为基底的形式，运用基底法尽量选出一组已知的基底即模和夹角已知． 例1、(2019苏北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足CP→＝32PB→＋2PA→，则CP→·AB→的值为________． 【答案】、 －1 【解析】、因为CP→＝32PB→＋2PA→，所以AP→－AC→＝32(AB→－AP→)－2AP→，解得AP→＝13AB→＋29AC→，故CP→·AB→＝(AP→－AC→)·AB→＝13AB→＋29AC→－AC→·AB→＝13AB→2－79AC→·AB→＝43－79×2×3×cos60°＝－1. 【变式1】、(2019通州、海门、启东期末） 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝45°，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上一点P满足EP→＝2PE→，则AP→·AB→＝________．

【答案】、. 16 5

【解析】思路分析1：注意到AB，AD，∠BAD已知，因此，以AB→，AD→作为基底，从而只需将AP→以基底的形式表示出来即可． 思路分析2：由于图形的确定性，因此，将问题转化为向量的坐标来进行运算． 解析1(基底法)：因为FP→＝2PE→，所以AP→－AF→＝2(AE→－AP→)，即AP→＝23AE→＋13AF→，又因为E，F为BC、CD的中点，所以AE→＝AB→＋12AD→，AF→＝12AB→＋AD→，故AP→＝56AB→＋23AD→，因此，AP→·AB→

＝56AB→2＋23AB→·AD→＝56×16＋23×4×2×22＝16. 解析2(坐标法)：以A点为坐标原点，以AB→的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则根据题设条件可得A(0，0)，B(4，0)，D(1，1)，C(5，1)，E(92，12)，F(3，1)，又因为FP→＝2PE→，所

以设点P(x，y)，从而(x－3，y－1)＝292－x，12－y＝(9－2x，1－2y)，故x－3＝9－2xy－1＝1－2y，解得

x＝2y＝23，故AP→＝2，23，从而AP→·AB→＝2×8＝16.

【变式2】(2019镇江期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则AF→·BC→的值为________． 【答案】、13. 【解析】、 解法1(基底法) 连结AE.因为△ABC为正三角形，E为BC的中点，所以AE⊥BC.所以AF→·BC→＝(AE→＋EF→)·BC→＝AE→·BC→＋EF→·BC→＝EF→·BC→.由题知EF→＝13DE→＝16AC→，所以AF→·BC→＝16

AC→·BC→＝16×2×2×cos60°＝13.

解法2(向量法) 建立如图所示平面直角坐标系，A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，D－12，32，E(0，0)，设点F(x0，y0)由DE＝3EF得DE→＝3EF→，故12，－32＝3(x0，y0)，故x0＝16，y0＝－