充要条件教学案

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第6课时 充要条件
一．课题：
充要条件
二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．
三．教学重点：充要条件关系的判定．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明．
（二）主要方法：
1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；
2．判断pq是否正确的本质是判断命题“若p，则q”的真假；
3．判断充要条件关系的三种方法：
①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．
4．说明不充分或不必要时，常构造反例．
（三）例题分析：
例1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、
“既不充分也不必要”中选一种作答）
（1）在ABC中，:pAB，:sinsinqAB
（2）对于实数,xy，:8pxy，:2qx或6y
（3）在ABC中，:sinsinpAB，:tantanqAB
（4）已知,xyR，22:(1)(2)0pxy，:(1)(2)0qxy

解：（1）在ABC中，有正弦定理知道：sinsinabAB
∴sinsinABab 又由abAB
所以，sinsinABAB 即p是q的的充要条件．
（2）因为命题“若2x且6y，则8xy”是真命题，故pq，
命题“若8xy，则2x且6y”是假命题，故q不能推出p，
所以p是q的充分不必要条件．
（3）取120,30AB，p不能推导出q；取30,120AB，q不能推导出p
所以，p是q的既不充分也不必要条件．
（4）因为{(1,2)}P，{(,)|1Qxyx或2}y，PQ，
所以，p是q的充分非必要条件．
例2．设,xyR，则222xy是||||2xy的（ ）、是||||2xy的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：由图形可以知道选择B，D．（图略）
例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是
命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，
因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，
因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，
由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B．
例4．设,xyR，求证：||||||xyxy成立的充要条件是0xy．
证明：充分性：如果0xy，那么，①0,0xy②0,0xy ③0,0xy于是
||||||xyxy
如果0xy即0,0xy或0,0xy，
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当0,0xy时，||||||xyxyxy，
当0,0xy时，||()()||||xyxyxyxy，
总之，当0xy时，||||||xyxy．
必要性：由||||||xyxy及,xyR
得22()(||||)xyxy即222222||xxyyxxyy
得||xyxy所以0xy故必要性成立，
综上，原命题成立．

例5．已知数列{}na的通项1113423nannn，为了使不等式

22
(1)11log(1)log20nttatt

对任意*nN恒成立的充要条件．

解：∵11111111()()02425324262526nnaannnnnnn，
则1221nnnaaaaa，
欲使得题设中的不等式对任意*nN恒成立，
只须{}na的最小项221(1)11log(1)log20ttatt即可，又因为11194520a，

即只须11t且22911log(1)log(1)02020tttt，解得1log(1)(1)tttt，
即101(2)tttt，解得实数t应满足的关系为152t且2t．
例6．（1）是否存在实数m，使得20xm是2230xx的充分条件？
（2）是否存在实数m，使得20xm是2230xx的必要条件？

解：欲使得20xm是2230xx的充分条件，则只要{|}{|12mxxxx或

3}x
，则只要12m即2m，

故存在实数2m时，使20xm是2230xx的充分条件．
（2）欲使20xm是2230xx的必要条件，则只要{|}{|12mxxxx或
3}x
，则这是不可能的，

故不存在实数m时，使20xm是2230xx的必要条件．
（四）巩固练习：
1．若非空集合MN，则“aM或aN”是“aMN”的 条件．

2．05x是|2|3x的 条件．
3．直线,ab和平面,，//ab的一个充分条件是（ ）
A.//,//ab B.//,//,//ab
C. ,,//ab D. ,,ab