2016届安徽六安一中高三下学期第三次模拟数学(理)试题(解析版)

2015-2016学年云南开远四中高一（下）期中数学试题一、选择题1．设集合{}01≥-=x x xM ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫⎝⎛==0,21x y y N x，则M N ⋂= （ ） A ．[]0,1 B ．{}0 C ．()0,1 D ．(]0,1 【答案】C【解析】试题分析：{}10<≤=x x M ，{}10≤<=y y N ，{}10<<=x x N M ，故选C.【考点】集合的运算 2．已知复数21iz i-=+（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】试题分析：()()()()i i i i i i i i z 2321231111212-=-=-+--=+-=，i z 2321+=，复数z对于的复平面内的点是⎪⎭⎫⎝⎛23,21，在第一象限，故选A. 【考点】1.复数的运算；2.复数的几何意义.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间()5,3--内单调递增的为（ ） A ．2223y x x =-- B ．2xy =C ．2x xe e y --=D ．13log y x =【答案】D【解析】试题分析：A.不是偶函数；B.是偶函数，但在()3-5-，内是单调递减函数；C.奇函数，D.偶函数，并且满足在()3-5-，内单调递增，故选D. 【考点】函数的性质4．若随机变量()2~,Z Nμσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()28P x <<=（ ）A ．0.8185B ．0.6826C ．0.9544D ．0.2718【答案】A【解析】试题分析：26==σμ，()()()()8185.026826.09544.09544.0222282=--=+<<+-+<<-=+<<-=<<σμσμσμσμσμσμx P x P x P x P故选A.【考点】正态分布5．已知双曲线M2，则双曲线M 的标准方程可以是 （ ）A ．22144x y -=B ．22124y x -=C ．22214x y -= D ．22142y x -= 【答案】B【解析】试题分析：焦点在x 轴时，渐近线方程0=±ay bx ，()0,c F ，焦点到渐近线的距离222==+=b b a bc d ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==22232cb a ac b ，解得4,222==b a ，即方程是14222=-x y ，若焦点在y 轴方程就是14222=-y x ，故选B. 【考点】双曲线标准方程6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足数列{}2na 是等比数列，若23201410094=++a a a ，则2017S 的值是 （ ） A ．20172B ．1008C ．2015D ．2016 【答案】A【解析】试题分析：若{na 2}是等比数列，即q n n n n aa a a ==---11222，即qa a n n 21log =--）（2≥n ，所以数列{}n a 是等差数列，23201410094=++a a a ，所以根据等差数列的性质：1009201442a a a =+，即2331009=a ，即211009=a ，而()220172017220171009201712017==+=a a a S ，故选A.【考点】等差数列的性质7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为5-，则判断框中可以填入的条件为（ ）A ．10?z >B ．10?z ≤C ．20?z >D ．20?z ≤ 【答案】D【解析】试题分析：321,2,1=+===z y x ，满足条件，532,3,2=+===z y x ，满足条件，853,5,3=+===z y x ，满足条件，1385,8,5=+===z y x 满足条件，21138,13,8=+===z y x ，有题意，此时该不满足条件，推出循环，输出5138-=-=-y x ，所以判断框内可填入的条件是20≤z ?,故选D.【考点】循环结构8．设2000:,20,:p x R x x m q ∃∈-+->函数()3212413f x x x mx =-++在R 内是增函数，则p ⌝是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：0:>∆p ，04-4>m ，解得：1<m ；()m x x x f q 44:2+-='，01616≤-=∆m ，解得：1≥m ，1:≥⌝m p ，根据两个集合相等，即p ⌝是q 的充要条件，故选C. 【考点】命题9．函数()y g x =的图像是由函数()sin 2f x x x =的图像向左平移6π个单位而得到的，则函数()y g x =的图像与直线20,,3x x x π==轴围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．0B ．32C ．2D ．52【答案】D【解析】试题分析：()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f ，向左平移6π个单位后得到()x x x g 2sin 2362sin 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ，根据函数的图像表示封闭图形的面积()252c o s 2c o s 2s i n 22s i n 2322220322=+-=-=⎰⎰ππππππxx x d x x d x S ，故选D. 【考点】1.三角函数图像变换；2.定积分.10．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图的矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．．．32 D ．64【答案】B【解析】试题分析：根据所给图像，可判断几何体是四棱锥，底面直观图的面积是1262=⨯，那么实际图像的面积是2242212=⨯=S ,四棱锥的高是4，故几何体的体积是232422431=⨯⨯=V ,故选B. 【考点】1.三视图；2.斜二测画法. 【方法点睛】本题主要考察了几何体的体积以及斜二测画法下的直观图，属于基础题型，根据图形可得该几何体是四棱锥，并且高等于4，所以重点转化为求底面面积，而在斜二测画法下，42=实际直观图S S ，这样根据直观图的面积，可以直接求实际图形的面积. 11．抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上的任意一点，令PAt PF=，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是 （ ） A ．1 B ．1± C ．2± D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P 在第一象限PABPBPA PFPA t ∠===sin 1,当PAB∠最小时，t 最大，所以当直线AP 与抛物线相切时，PAB ∠最小，设直线AP ：2-=kx y 与抛物线方程联立，01682=+-kx x ，064642=-=∆k ，解得1±=k ，故选B.【考点】抛物线的几何性质【一题多解】本题主要考察了抛物线的几何性质，属于中档题型，抛物线有一条重要的性质：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，这样就将到焦点的距离转化为到准线的距离，根据数形结合，可得本题就是求过点A 的抛物线的切线的斜率，法一，可以设直线，与抛物线联立方程，令0=∆，求斜率，或者设切点()00,y x P ，根据()0x f k PA '=，求切点，再求切线的斜率.12．已知定义域为R 的函数满足一下条件：①()()2,68x R f x x g x ∀∈-+-=；②()()2g x g x =+；③当[]2,3x ∈时，()221218g x x x =-+-.若方程()()a log 1g x x =+在区间()0,+∞内至少有4个不等的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎛⎝⎭ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．⎛ ⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：根据条件①可得()[]()x g x f =+--132，说明函数()()x g x g -=+33对R x ∈∀恒成立，说明()x g 关于3=x 对称，又根据条件②说明函数的周期2=T ,最后根据条件③就可得到完整的函数()x g 的图像，如图所示，若要满足()()1log +=x x g a 在区间()∞+，0有至少4个不等实根，转化为函数()x g 与函数()1log +=x y a 有至少4个交点，先找到恰有4个交点时的图像，此时()1log +=x y a 恰过点()2-4，，即25log -=a ，解得55=a ，若要多于4个交点时，550<<a ，故选D.【考点】1.函数的性质；2.函数图像的应用.【思路点睛】本题综合的考察了函数的性质与函数图像的应用，属于中档题型，本题的出题意图比较明显，最终转化为熟悉的两个函数的交点问题的题型，条件②③比较好理解，但对于条件①()()2,68x Rfx x g x ∀∈-+-=的转化，因为()1386-22+--=-+x x x ，关于3=x 对称，所以满足()()x g x g -=+33，即转化为()x g 关于3=x 对称，这样本题的难点就突破了.谨记函数有关对称性的常用公式，若对于R x ∈∀，函数()x f y =满足：①()()x a f x a f -=+或()()x f x a f =-2，说明函数关于a x =对称，②()()x b f x a f -=+说明函数关于2ba x +=对称，③若满足()()x a f x a f --=+或()()x f x a f -=-2，都说明函数关于()0,a 对称.二、填空题 13．已知等腰ABCRt ∆的斜边2=BC ，则()A BA CBC B A+⋅+【答案】1【解析】试题分析：因为三角形是等腰直角三角形，所以⊥=+2,所以()0=⋅+1==-,故填：1. 【考点】向量的运算14．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配方法总数为a ，则二项式5313⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ax 的展开式中含x 项的系数为 （用数字作答）.【答案】25-【解析】试题分析：62223==A C a ,所以二项式等腰5312⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，()r r r r rrr r x C x x C T 3455535512112---+⋅⋅⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，当1345=-r 时，3=r ，所以含x 项的系数为()25213523-=⋅⋅--C ,故填：25-. 【考点】1.二项式定理；2.排列组合.15．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+3213,1222x y x y x y x 表示的平面区域的面积为 .【答案】π23 【解析】试题分析：如图，阴影表示圆心角为π43的扇形，所以扇形面积是ππ232832=⨯⨯=S ,故填：π23.【考点】不等式组表示的平面区域【方法点睛】本题主要考察了不等式组表示的平面区域，属于基础题型，当0>a 时，0>++c by ax 表示直线的右侧区域，0<++c by ax 表示直线的左侧区域，如果直线给的是斜截形式，b kx y +>表示直线的上方区域，b kx y +<表示直线的上方区域,这样就比较快速方便的找到不等式组表示的平面区域. 16．若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n 的前n 项和为n S ，不等式n n n t S n 2941+≤-+对任意的N n ∈恒成立，则实数t 的最小值为 . 【答案】161【解析】试题分析：根据错位相减法，可求得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n 的前n 项和为1224-+-=n n n S ,n n n S 2341+-=+，所以原不等式可化简为nn nt n n 2923+≤+⋅，N n ∈恒成立，所以max226⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥n n n t ，0=n 时，0262=-n n n 1=n ，，25262-=-n n n ，2=n时，2-262=-n n n ，3=n 时，89-262=-n n n ，4=n 时，21-262=-n n n ，5=n 时，325-262=-n n n ，6=n 时，0262=-nn n ，7=n 时，1287262=-n n n ，8=n 时，161262=-nn n ，9=n 时，16151227262<=-n n n ，……,数列是先减后增的数列，所以当8=n 时，161)26(max 2=-nn n ，即161≥t ，所以实数t 的最小值是161,故填：161. 【考点】1.错位相减法求和；2.数列的函数特征.【易错点睛】本题主要考察了错位相减法求和以及数列的最值问题，属于中档题型，对于错位相减法求和是一个易错点，方法就是多练，再有整理后转化为max 226⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥n n n t ，*N n ∈，除了本题所给的方法外，也可以求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，同样需要带特殊值得到函数的最大值.三、解答题 17．已知A B C ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,若()(),cos ,cos cos ,1,2A C a A c n b m +==且n m //.（1）求角A 的值. （2）若ABC ∆的面积2，试判断ABC ∆的形状. 【答案】（1）3π=A ;（2）等边三角形.【解析】试题分析：（1）首先根据向量平行的坐标表示01221=-y x y x ，得到三角形的边和角的等式，然后根据正弦定理的变形公式C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===,将边化为角，再根据两角和的余弦公式，化简，即得结果；（2）利用三角形的面积公式A bc S sin 21=,将等式化简，再根据余弦定理，()bc c b A bc c b a +-=-+=2222cos 2化简，得到边的关系，判断三角形的形状. 试题解析：（1）由n m //，得0cos cos cos 2=+-A c C a A b ， 由正弦定理，得C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=， 即()B C A A B sin sin cos sin 2=+=， 在ABC ∆中，0sin >B ， 所以21cos =A ，又()π,0∈A ，所以3π=A ，（2）由ABC ∆得面积2433sin 21a bc S ==π，得bc a =2， 由余弦定理，得()bc c b A bc c b a +-=-+=2222cos 2， 所以()02=-c b ，所以c b =，此时有c b a ==，所以ABC ∆为等边三角形.【考点】1.正余弦定理；2.判断三角形的形状.18．2016年，我国诸多省市将使用新课标全国卷作为高考用卷.（以下简称A 校）为了调查该校师生对这一举措的看法，随机抽取了30名教师，70名学生进行调查，得到（1）根据以上数据，能否有90%的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关？（2）现将这100名师生按教师、学生身份进行分层抽样，从中抽取10人，试求恰好抽取到持“反对使用新课标全国卷”态度的教师2人的概率；（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从A 校所有师生中，采用随机抽样的方法抽取4位师生进行深入调查，记被抽取的4位师生中持“支持新课标全国卷”态度的人数为X .①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）没有%90的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关；（2）14552=P ;（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据所给公式计算2K ,然后和表格所给的706.2比较大小，如果706.22>K 就表示有把握，706.22<K 就表示没有把握；（2）根据分层抽样，教师应抽取3人，学生应抽取7人，教师一共是30人，相当于是从30人中抽取3人，其中2人反对，一人支持，所以根据超几何分布得到CC C P 330116214=；（3）首先计算抽到持“支持使用新课标全国卷”态度的师生的频率为5310060=视为概率，X 可视作服从二项分布，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,4B X ，根据二项分布求分布列和数学期望np EX =，()p np DX -=1.试题解析：（1）由列联表，得()()()()()()706.27937.04060703044142516100222<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K所以没有%90的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关. （2）由分层抽样知识知抽取了教师3人，学生7人，所以恰好抽取到持“反对使用新课标全国卷”态度的教师2人的概率14552330116214==CC C P . （3）①由22⨯列联表，知抽到持“支持使用新课标全国卷”态度的师生的频率为5310060=，将频率视为概率，即从A 校师生中任意抽取到一名持“支持使用新课标全国卷”态度的师生的概率为53.X 可视作服从二项分布，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,4B X ，所以()()4,3,2,1,0525344=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k X P kkkC②();512534=⨯==np X E ()().2524525341-⨯⨯=-=p np X D【考点】1.独立性检验；2.古典概型；3.二项分布.19．三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等边三角形，BC 的中点为O ，1AO ⊥底面ABC ，1AA 与底面ABC 所成的角为3π，点D 在棱1AA 上，且2AD AB ==.（1）求证：OD ⊥平面11BB C C ；（2）求二面角11B B C A --的平面角的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）1313-. 【解析】试题分析：（1）要证明⊥OD 平面C C BB 11,就要证明OD 与平面内的两条相交直线垂直，所以根据线面角和边长，以及余弦定理求OD 长，根据勾股定理证明1AA OD ⊥,再根据侧棱平行证明一组垂直，根据条件易证明⊥BC 平面O AA 1,即证明OD BC ⊥,这样就证明了OD 与平面内的两条相交直线垂直；（2）以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，分布求两个平面的法向量，根据公式><n m,cos 求解. 试题解析：（1）连接AO ，⊥O A 1 底面ABC ，⊂BC AO ,底面ABC ，AO O A O A BC ⊥⊥∴11,，且1AA 与底面ABC 所成的角为AO A 1∠，即31π=∠AO A .在等边ABC ∆中，易求得3=AO . 在AOD ∆中，由余弦定理，得32OD ==， 2223OA AD OD ==+∴，即1AA OD ⊥.又.,//111BB OD BB AA ⊥∴,,,BC AO OC OB AC AB ⊥∴==又O O A AO O A BC =⋂⊥11, ，⊥∴BC 平面O AA 1，又⊂OD 平面O AA 1，BC OD ⊥∴，又B BB BC =⋂1，⊥∴OD 平面C C BB 11.（2）如下图所示，以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则()()()()0,1,0,3,0,0,0,1,0,0,0,31B A C A -故()()111,0,1,3A B AB AC ===--由（1）可知11,4AD AA =∴可得点D 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛43,0,433，∴平面C C BB 11的一个法向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43,0,433.设平面C B A 11的法向量()z y x n ,,=，由11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得⎩⎨⎧=+=+-,03,03x y y x 令,3=x 则,1,3-==z y 则()1,3,3-=n ，cos ,OD n OD n OD n⋅∴== 易知所求的二面角为钝二面角 ，∴二面角11A C B B --的平面角的余弦角值是1313-【考点】1.线面垂直的判定定理；2.空间向量的应用.20．设点P 是圆224x y +=上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，动点M 满2MD =.过定点()0,2Q 的直线l 与动点M 的轨迹交于,A B 两点.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）在y 轴上是否存在点()0,E t ，使EA EB =？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 13422=+y x ；（2）存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）根据“求什么设什么”的原则，设()y x M ,，再根据条件2MD =，表示P 点的坐标，代入圆的方程，422=+y x ，就得到点M 的轨迹方程；（2）当斜率不存在时，易得点E 是原点，当斜率存在时，设直线l ：2+=kx y ，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系以及0>∆，若EB EA =则AB EB EA ⊥+,这样转化为向量数量积等于0，转化为坐标的关系得到实数t 的取值范围. 试题解析：（1）设点M 的坐标为()y x ,， 点P 的坐标为()yp xp ,，由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧==,332,y yp x xp点P 在圆上，433222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴y x ， 即13422=+y x ， ∴点M 的轨迹方程为13422=+y x . （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0=x ，当E 与原点重合，即0=t 时，满足EB EA =. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，代入22143x y +=，消去y ，得()2341640k k x +++=， 则由()()221616340k k ∆=-+>，得12k >. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12216,43k x x k +=-+122443x x k =+ (),0EA EB EA EB AB =∴+⋅=又()()1212,42EA EB x x k x x t +=+++-， ()()2121,AB x x k x x =--，()()()()21211212,,420x x k x x x x k x x t ∴--⋅+++-=展开化简，得()()2121420k x x k kt +++-=，（9分） 将1221643k x x k +=-+代入化简，得2243t k =-+ 又2121,,02432k t k ⎛⎫>∴=-∈- ⎪+⎝⎭. 综上，存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【考点】1.轨迹法；2.直线与椭圆的位置关系. 21．已知函数()3221cos 32h x x x a =++，()ln g x a x =，其中a 为正实数. （1）设函数()()f x h x x '=-，若不等式()()g x f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：333444ln 2ln 3ln 2+23n n e++<…（其中e 为自然对数的底数）.【答案】（1）(]0,4e ;（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先求()x h '，再求()x f ，令()()()x g x f x u -=，()0>x ，根据导数求函数在定义域内的最小值，令最小值大于等于0，即求得a 的取值范围；（2）根据第一问当(]e a 4,0∈时，x a x ln 22≥，观察所证明的不等式，令e a 3=，化简为2432ln exx x ≤，令2,3,x =…,n,再将所得的1n -个不等式相加，最后采用放缩法，利用裂项相消法求和，即证明不等式. 试题解析：（1）因为()22h x x x '=+,所以()()22f x h x x x '=-=.因为()()g x f x ≤恒成立，所以()()0f x g x -≥在区间()0,+∞内恒成立. 令()()()()22ln 0u x f x g x x a x x =-=->，因为0a >，所以()44x x a u x x x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=-=，令()0u x '<，解得02x <<； 令()0u x '>，解得x >. 所以()u x在区间⎛ ⎝⎭内单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增， 所以()u x在x =处取得唯一的极小值，即为最小值，（3分） 因此()2min20u x u a ==-≥⎝⎭⎝⎭，即1ln22≤，所以4a e ≤. 故实数a 的取值范围为(]0,4e .（2）由（1），知当3a e =时，()0u x ≥，即223ln x e x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，即2432ln exx x ≤在()0,x ∈+∞时恒成立.在2432ln exx x ≤的两边，分别令2,3,x =…,n,再将所得的1n -个不等式相加，得()333444222ln 2ln 3ln 23211123211112231211111122312121,n n e n e n n e n n e n e++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭⎡⎤<++⎢⎥⨯⨯-⎣⎦⎛⎫=-+-+- ⎪-⎝⎭⎛⎫=-< ⎪⎝⎭…+…+…+…+故333444ln 2ln 3ln 223n n e++<…+.【考点】1.导数与不等式的证明；2.导数与不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考察了导数与证明不等式问题以及根据不等式恒成立，求参数的取值范围，对于第一问恒成立的问题，除了本题所选择的方法外，也可以根据0ln 22≥-x a x 恒成立，转化为参变分离的问题，但需要分()∞+，1和()1,0两种情况下的参变分离，对于本题第二问，需要观察所证明的不等式，需要用累加法，通项是43ln xx ，而第一问得到x a x ln 22>，0>a 时，整理为a xx 12ln 2<，根据通项进行整理为24316ln x a xx ⨯<，这样就可设e a 3=，采用累加，放缩法证明不等式. 22．已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且180ADB ADC ∠+∠=，CT 切圆O 于点C 且交AB 的延长线于点T .（1）求证：AB AC =；（2）若4CT =，8AT =，135ADC ∠=，试求圆O 的半径的长.【答案】（1）详见解析；（2）R =【解析】试题分析：（1）根据圆内接四边形的对角互补0180=∠+∠ADC ABC ，和同弧多对的圆周角相等ACB ADB ∠=∠,再结合条件，就可得到ABC ACB =∠,即证得边长相等；（2）切割线定理，得TB TA CT ⨯=2,在ADC ∆中，由正弦定理，得0062sin135sin 45AC R ===,即得到圆的半径. 试题解析：（1）,,,A B C D 四点共圆，0180ABC ADC ∴∠+∠=，又0180,ADB ADC ADB ABC ∠+∠=∴∠=∠. 又,ACB ADB ACB ABC ∠=∠∴∠=∠，AB AC ∴=，（2）由切割线定理，得TB TA CT ⨯=2，即168TB =，2,6TB AB AC ∴===.设圆O 的半径为R ，在ADC ∆中，由正弦定理，得0062sin135sin 45AC R ===，∴圆O 的半径R =【考点】1.圆内接四边形的性质；2.切割线定理.23．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程是12x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为()1,2，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，试求AB 及PA PB ⋅的值.【答案】（1） 直线l 的普通方程为30x y +-=；所以曲线C 的直角坐标系方程为()()22228x y -+-=;（2）30=AB ;7=PB PA .【解析】试题分析：（1）参数方程消参后就是直线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式222y x +=ρ，θρθρsin ,cos ==y x 进行转化；（2）首先将直线的参数方程转化为直线参数方程的标准形式，代入曲线的直线坐标方程，转化为关于t '的二次方程，根据公式21t t AB '-'=()212214t t t t ''-'+'=，21t t PB PA ''=.试题解析：（1）直线l 的普通方程为30x y +-=；由4sin 4cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得24sin 4cos ρρθρθ=+. 所以曲线C 的直角坐标系方程为22440x y x y +--=（或()()22228x y -+-=）（5分） （2）直线l 的参数方程化为标准型为12,22x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩（t '为参数） 把l 的参数方程代入22440x y x y +--=，得270t ''-=设,A B 对应参数分别为12,t t ''，则12,t t ''为方程的两个根.所以1212,7t t t t ''''+==-，点()1,2P 显然在l 上，由直线l 中参数t '的几何意义，知12AB t t ''=-==127PA PB t t ''==.【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.直线参数方程t 的几何意义.【方法点睛】主要考察了参数方程与极坐标方程，属于基础题型，当直线方程的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，()00,y x P ，当其与曲线的直角坐标方程联立后得到关于t 的一元二次方程，那么21t t AB -=，21t t PB PA =，但如果所给方程不是直线的标准参数方程形式，则可采用化为标准形式，αtan 0=--x x y y ，根据αtan 分别求αsin 和αcos ，得到直线的参数方程的标准形式.24．已知函数()11f x x x =-++，记()f x 的最小值为m . （1）解不等式()6f x ≤； （2）已知正数a ，b 满足11m a b+=，且()233a b a b -≥，试求ab 的值.【答案】（1）[]3,3-；（2）2=ab .【解析】试题分析：（1）形如：d cx b ax +++形不等式可采用零点分段法求不等式的解集，绝对值的两个零点将数轴分为三个区间，三个区间分别去绝对值解不等式，最后求并集；（2）首先根据三角形不等式()()21111=+--≥++-x x x x ，先求得函数的最小值，然后根据条件()233a b a b -≥，两边同时除以22b a ，得到44ab ab+≤。