高一数学阶段测试题(6)
人教B版高中数学必修二高一阶段性测试题
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）高一数学阶段性测试题一、选择题1.设错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
＝（）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
2.若错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上是减函数，则错误！未找到引用源。
的取值范围是（）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
3.下列函数中，既是奇函数，又在错误！未找到引用源。
上是增函数的是（）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
4.若错误！未找到引用源。
是偶函数，且当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的解集是（）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
5.设集合A、B为自然数集且错误！未找到引用源。
，映射错误！未找到引用源。
：错误！未找到引用源。
把A中元素错误！未找到引用源。
映射到B中元素错误！未找到引用源。
，则在映射错误！未找到引用源。
下，象20的原象为（）A.2B.3C.4D.56.已知函数错误！未找到引用源。
，若在区间错误！未找到引用源。
上存在零点错误！未找到引用源。
，则实数错误！未找到引用源。
的取值范围是（）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
7.已知圆台的上、下底面半径分别为2，6，母线长为5，则圆台的高为（）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.38.函数错误！未找到引用源。
的单增区间为（）A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
9.已知函数错误！未找到引用源。
河南省周口市郸城县第一高级中学2024-2025学年高一上学期期末数学阶段性测试卷
【详解】 m - n = x2 - x - ( x - 2) = x2 - 2x + 2 = ( x -1)2 +1 ³ 1，
所以 m - n > 0 ，即 m > n ， 故选：C 2．C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】当
x
>
0
时，
x
-1
+
4 x
³
2
x×
4 x
-1=
3 ，当且仅当
A． m < n
B． m = n
C． m > n
D．不能确定
2．已知
x
>
0
，则
x
-1
+
4 x
的最小值为（
）
A．4
B．5
C．3
D．2
3．设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
4．下列函数中与函数 y = x2 值域相同的是（ ）
A． y = log4 x
B． y = 2x
C．
y
=
1 x
D． y = x2 - 2x +1
5．已知函数
f
(x)
=
5
tan
(2x
+j
)
æ çè
0
<
j
<
p 2
ö ÷ø
，其函数图像的一个对称中心是
æ çè
2025年华师大版高一数学上册阶段测试试卷含答案
2025年华师大版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、把-1125°化为2kπ+α（k∈Z；0≤α＜2π）的形式是（）A.B.C.D.2、【题文】已知正方体的棱长为是上的点，则到面的距离为A.B.C.D.3、【题文】如图是一个几何体的三视图，若它的体积是则图中主视图所标=A. 1B.C.D.4、已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，且α是第三象限角，则=（）A.B. ﹣C.D. ﹣5、函数y=x2+bx-4在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，+∞）上是增函数，则（）A. b＜0B. b＞0C. b=0D. b的符号不定评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、设点P（2，-1），若点Q在直线y=2x上运动，则P，Q两点间的最短距离为____．7、函数的图象必经过定点 .8、已知向量满足则___________．9、【题文】已知球的表面积为是球面上的三点，点是的中点，则二面角的大小为____10、已知正项等比数列{an}中，a5a2n鈭�5=102n(n鈮�3,n隆脢N*)则当n鈮�1n隆脢N*时表达式lga1+lga2+lga3++lgan的值为 ______ ．评卷人得分三、计算题(共7题，共14分)11、（++ +）（+1）=____．12、如果从数字1、2、3、4中，任意取出两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是奇数的概率是____．13、在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8，sinA=，则b=____．14、在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，CD=2厘米，AD-BD=3厘米，那么BC=____厘米．15、要使关于x的方程-=的解为负数，则m的取值范围是____．16、已知t1、t2是二次函数s=-3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且x=10t1，y=10t2，那么y与x间的函数关系式为____，其函数图象在第____象限内．17、已知x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x1、x2（x1＜x2）．O 为坐标原点；P点在y轴上（P点异于原点）．设∠PAB=α，∠PBA=β．（1）若α；β都是锐角；求k的取值范围．（2）当α、β都是锐角，α和β能否相等？若能相等，请说明理由；若不能相等，请证明，并比较α、β的大小．评卷人得分四、证明题(共1题，共9分)18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．（1）求证：E为的中点；（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分五、作图题(共3题，共6分)19、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．20、作出下列函数图象：y=21、请画出如图几何体的三视图．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】∵-1125°=-3×=-4×2π=-8故答案选：D【解析】【答案】根据角的性质2kπ+α直接化解即可．2、B【分析】【解析】解：因为直线A1B1//平面ABC1D1,所以说点E到平面的距离就是，点A1到平面的距离，利用正方体的性质可知，点A1作A D1的垂线段，即为所求的距离选项B【解析】【答案】B3、C【分析】【解析】考点：由三视图求面积；体积．分析：由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个边长是 2，高为a的等腰三角形，侧棱长是3，根据它的体积是3 利用三棱柱的体积公式得到结果．解：由三视图知几何体是一个三棱柱；三棱柱的底面是一个一个边长是 2；高为a的等腰三角形；侧棱长是3；∴几何体的体积是V=1×a×3=3∴a=．故选C．【解析】4、B【分析】【解答】解：方程5x2﹣7x﹣6=0；分解因式得：（5x+3）（x﹣2）=0；解得：x=﹣或x=2；∵sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根；且α是第三象限角。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(6)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知正方形 ABCD 的中心为 O 且其边长为 1，则 (OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )= ( ) A ． √3 B ． 12C ． 2D ． 12. 已知 A (3,−6)，B (−5,2)．设 G (1,1) 是 △ABD 的重心，且 D (5,y )，则 x = ( ) A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 73. 已知 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c 且 acosC +√32c =b ，若 a =1，√3c −2b =1，则角 B 为 A ．π4B ．π6C ．π3D ．π124. 已知向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=5，∣∣b ⃗ ∣∣=6，a ⋅b ⃗ =−6，则 cos⟨a ,a +b ⃗ ⟩= ( ) A ． −3135B ． −1935C ．1735D ．19355. 设 z 1，z 2 为复数，下列命题一定成立的是 ( ) A ．如果 z 12+z 22=0，那么 z 1=z 2=0B ．如果 ∣z 1∣=∣z 2∣，那么 z 1=±z 2C ．如果 ∣z 1∣≤a ，a 是正实数，那么 −a ≤z 1≤aD ．如果 ∣z 1∣=a ，a 是正实数，那么 z 1⋅z 1=a 26. 如图所示，在两个转盘中，指针落在每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( )A ． 49B ． 29C ． 23D ． 137. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a =2，B =30∘，△ABC 的面积为 √3，则 b = ( )A ．√22B ． 1C ． 2D ． 48. 如图，△ABC 的 AB 边长为 2，P ，Q 分别是 AC ，BC 中点，记 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ，则 ( )A ． m =3，n =1B ． m =2，n =4C ． m =2，n =6D ． m =3n ，但 m ，n 的值不确定9. 如图所示，在矩形 ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 2⃗⃗⃗ ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． 12(5e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ) B ． 12(5e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ ) C ． 12(3e 2⃗⃗⃗ −5e 1⃗⃗⃗ )D ． 12(5e 2⃗⃗⃗ −3e 1⃗⃗⃗ )10. 如图所示，在 △ABC 中，D ，E 分别为 BC ，AC 上的点，且 ∣BD ∣=∣DC ∣，∣AE∣∣EC∣=23，M 为 BE与 AD 的交点，则 ∣BM∣∣ME∣ 的值为 ( )A ． 32B ． 2C ． 52D ． 3二、填空题（共6题）11. 将底面直径为 8，高为 2√3 的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为 ．12. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，acosB =bcosA ，4S =2a 2−c 2，其中S 是 △ABC 的面积，则 C 的大小为 ．13. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为内角 A ，B ，C 的对边，a +c =4，(2−cosA )tan B2=sinA ，则△ABC 的面积的最大值为 ．14. 已知点 O 是 △ABC 的重心，内角 A ，B ，C 所对的边长分别为 a ，b ，c ，且 2a ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗ +b ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2√33c ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则角 C 的大小是 ．15. i 是虚数单位，复数 9+2i 2+i= ．16. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3，3，2 的三角形，则该圆锥的体积是 ．三、解答题（共6题）17. 某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户区建筑用地，测量可知边界 AB =AD =4 万米，BC =6 万米，CD =2 万米．(1) 请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及线段 AC 的长．(2) 因地理条件的限制，边界 AD ，DC 不能变更，而边界 AB ，BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点 P ，使得棚户区改造新建筑用地 APCD 的面积最大，并求最大值．18. 已知 a =(2,−1)，b⃗ =(m,m −1)． (1) 若 a ⊥b⃗ ，求实数 m 的值； (2) 若 a ，b ⃗ 的夹角为锐角，求实数 m 的取值范围．19. 写出下列复数的辐角的主值．(1) −√3−i ； (2) −ai (a ≠0)．20. 已知复数 z =12+2i −14(5−9i )．(1) 求复数 z 的模；(2) 若复数 z 是方程 2x 2+mx +n =0 的一个根，求实数 m ，n 的值．21. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 3 次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a ，b ，c ． (1) 求“抽取的卡片上的数字满足 a +b =c ”的概率； (2) 求“抽取的卡片上的数字 a ，b ，c 不完全相同”的概率．22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数． (1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】 (OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×√2×cos45∘=1． 【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】D【知识点】平面向量数乘的坐标运算3. 【答案】B【解析】因为 acosC +√32c =b ，由正弦定理得 sinAcosC +√32sinC =sinB =sin (B +C )，整理得cosA =√32，所以 A =π6，又因为 a =1，√3c −2b =1，所以 √3sinC −2sinB =sinA =12，即√3sin (5π6−B)−2sinB =12，整理得 cos (B +π6)=12，所以 B =π6． 【知识点】正弦定理4. 【答案】D【解析】向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=5，∣∣b ⃗ ∣∣=6，a ⋅b ⃗ =−6， 可得 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=√a2+2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√25−12+36=7，cos⟨a ,a +b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )∣∣a⃗ ∣∣∣∣a ⃗ +b ⃗ ∣∣=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ 5×7=25−65×7=1935.【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】D【知识点】复数的乘除运算6. 【答案】A【解析】“左边转盘指针落在奇数区域”记为事件 A ，则 P (A )=46=23， “右边转盘指针落在奇数区域”记为事件 B ，则 P (B )=23，因为事件 A ，B 相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为 23×23=49． 【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】因为 a =2，B =30∘，△ABC 的面积为 √3， 所以 √3=12acsinB =12×2×c ×12，所以 c =2√3，所以由余弦定理可得 b =√a 2+c 2−2accosB =√22+(2√3)2−2×2×2√3×√32=2．【知识点】余弦定理8. 【答案】C【解析】因为 P ，Q 分别是 AC ，BC 中点，所以根据平面向量的线性运算 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m 可得 m =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=2，所以 m =2，由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =n 可得 n =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −BP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=6，故选C ． 【知识点】平面向量的数量积与垂直9. 【答案】A【知识点】平面向量的分解10. 【答案】C【解析】设 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为 ∣BD ∣=∣DC ∣， 所以 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ， 因为∣AE∣∣EC∣=23，所以 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +25b ⃗ ， 所以 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35λa +25λb ⃗ ， 又 A ，M ，D 三点共线，所以存在 μ∈R ，使得 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μa +1−μ2b⃗ ， 所以 {35λ=μ,25λ=1−μ2, 解得 {λ=57,μ=37,所以 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =57BE⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 ∣BM∣∣ME∣=52．【知识点】平面向量的分解二、填空题（共6题） 11. 【答案】 4√3π【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为 ℎ，底面半径为 r ， 则√3−ℎ2√3=r4，解得 ℎ＝2√3−√32r ； 所以 S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr (2√3−√32r)＝4√3π(r −14r 2)；当 r ＝2 时，S 圆柱侧 取得最大值为 4√3． 【知识点】圆柱的表面积与体积12. 【答案】 π4【解析】 △ABC 中，acosB =bcosA ， 所以 sinAcosB =sinBcosA ，所以 sinAcosB −cosAsinB =sin (A −B )=0， 所以 A =B ，所以 a =b ；又 △ABC 的面积为 S =12absinC ，且 4S =2a 2−c 2，所以 2absinC =2a 2−c 2=a 2+b 2−c 2， 所以 sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC ，所以 C =π4．【知识点】余弦定理、正弦定理13. 【答案】 √3【解析】在 △ABC 中，因为 (2−cosA )tan B2=sinA ，所以 (2−cosA )⋅sinB 1+cosB=sinA ，即 2sinB =sinA +sinAcosB +cosAsinB =sinA +sinC ， 所以 2b =a +c =4，所以 b =2． 因为 a +c =4，所以 a =4−c ．所以 S =√3(3−a )(3−b )(3−c )=√3(3−c )(c −1)， 因为 (3−c )(c −1)≤(3−c+c−12)2=1，所以 S ≤√3．【知识点】正弦定理14. 【答案】 π3【知识点】平面向量的数乘及其几何意义15. 【答案】 4−i【解析】复数9+2i 2+i=(9+2i )(5−i )(2+i )(2−i )=18+7+4i−9i52−i 2=4−i ．故答案为：4−i ． 【知识点】复数的乘除运算16. 【答案】2√23π【解析】因为一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3，3，2 的三角形， 所以该圆锥的底面是半径为 1 的圆，高 ℎ=√32−12=2√2， 所以该圆锥的体积 V =13Sℎ=13×π×12×2√2=2√23π． 【知识点】圆锥的表面积与体积、三视图三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 内接于圆， 所以 ∠ABC +∠ADC =180∘，在 △ABC 中，由余弦定理得 AC 2=42+62−2×4×6×cos∠ABC ， 在 △ADC 中，由余弦定理得 AC 2=42+22−2×2×4×cos∠ADC ， 又因为 cos∠ABC =−cos∠ADC ， 所以 cos∠ABC =12， 又因为 ∠ABC ∈(0,π)， 所以 ∠ABC =π3，所以 S 四边形ABCD =12×4×6×sin π3+12×2×4×sin2π3=8√3（平方万米）．在 △ABC 中，由余弦定理，得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos∠ABC =16+36−2×4×6×12=28， 所以 AC =2√7 万米．(2) S 四边形APCD =S △ADC +S △APC ， S △ADC =12AD ⋅CD ⋅sin2π3=2√3（平方万米），设 AP =x 万米，CP =y 万米，则 S △APC =12xysin π3=√34xy （平方万米）． 由余弦定理得 AC 2=x 2+y 2−2xycos π3=x 2+y 2−xy =28， 因为 x 2+y 2−xy ≥2xy −xy =xy ，当且仅当 x =y 时取等号， 所以 xy ≤28， 所以 S 四边形APCD =2√3+√34xy ≤2√3+√34×28=9√3，所以当点 P 在优弧 AC 的中点时，新建筑用地 APCD 的面积最大，为 9√3 平方万米． 【知识点】均值不等式的实际应用问题、解三角形的实际应用问题18. 【答案】(1) 因为 a ⊥b⃗ ， 所以 a ⋅b ⃗ =2m −(m −1)=m +1=0， 所以 m =−1． (2) {a ⋅b⃗ >0,a ∥b ⃗ ,所以 {m +1>0,−m ≠2(m −1),所以 {m >−1,m ≠23,所以 m ∈(−1,23)∪(23,+∞)．【知识点】平面向量数量积的坐标运算19. 【答案】(1) 因为 r =√(−√3)2+(−1)2=2， 所以 cosθ=−√32，sinθ=−12．又因为θ∈[0,2π),所以复数−√3−i的辐角的主值θ=7π6．(2) 当a>0时，r=a，cosθ=0，sinθ=−1，复数−ai(a≠0)的辐角的主值θ=3π2；当a<0时，r=−a，cosθ=0，sinθ=1，复数−ai(a≠0)的辐角的主值θ=π2．【知识点】复数的三角形式20. 【答案】(1) 因为z=12+2i −14(5−9i)=−1+2i，所以∣z∣=√5．(2) 因为复数z是方程2x2+mx+n=0的一个根，所以−6−m+n+(2m−8)i=0，由复数相等的定义，得{−6−m+n=0, 2m−8=0,解得{m=4, n=10,所以实数m，n的值分别是4，10．【知识点】复数的乘除运算、复数的四则运算21. 【答案】(1) 法一：画树形图表示(a,b,c)所有可能的结果：由树形图可知，共有27种等可能的结果．设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)=327=19．因此“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19．法二：(a,b,c)所有可能的结果有3×3×3=27（种），而满足a+b=c的有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为P=327=19．(2) 设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)=1−P(B)=1−327=89．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89．【知识点】事件的关系与运算、古典概型22. 【答案】(1) g(x)=√3sin(π+x)−sin(3π2−x) =−√3sinx+cosx,所以g(x)的伴随向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)．(2) 向量ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)的伴随函数为f(x)=sinx+√3cosx，因为f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)=85,所以sin(x+π3)=45，因为x∈(−π3,π6 )，所以x+π3∈(0,π2)，所以cos(x+π3)=35，所以sinx=sin[(x+π3)−π3]=12sin(x+π3)−√32cos(x+π3)=4−3√310.(3) 由（1）知g(x)=−√3sinx+cosx=−2sin(x−π6)，将函数g(x)的图象的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=−2sin(12x−π6)的图象，再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到ℎ(x)的图象，则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x)，因为 A (−2,3)，B (2,6)，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)，又因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0，即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0，所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2（*），因为 −2≤2cos 12x ≤2，所以 −132≤2cos 12x −92≤−52，所以 254≤(2cos 12x −92)2≤1694．又因为 254−x 2≤254，所以当且仅当 x =0，即 (2cos 12x −92)2 和 254−x 2 同时等于 254 时，（*）式成立．所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2)，使得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。
2021-2022学年浙江省台州市书生中学高一下学期3月阶段性测试数学试题(含答案解析)
2021-2022学年浙江省台州市书生中学高一下学期3月阶段性测试数学试题1. 下列命题中正确的是( )A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C. 0⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 在下列向量组中，可以把向量a ⃗ =(3,2)表示出来的是( )A. e ⃗ 1=(0,0)，e ⃗ 2=(1,2)B. e ⃗ 1=(−1,2)，e ⃗ 2=(5,−2)C. e ⃗ 1=(3,5)，e ⃗ 2=(6,10)D. e ⃗ 1=(2,−3)，e ⃗ 2=(−2,3)3. 已知△ABC 中，a =3,A =π6,B =π12，则c =( ) A. 1B. √2C. 3√2D. √34. 设a ⃗ 、b ⃗ 是非零向量，则“存在实数λ，使得a ⃗ =λb ⃗ ”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |”的 ( )A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |=4,b ⃗ =(√3,√6)，且(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(3a ⃗ −b ⃗ ).则向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角是( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π66. 对于任意两个向量a ⃗ 和b ⃗ ，下列命题正确的是( )A. 若a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |，且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗B. |a ⃗ −b ⃗ |≤|a ⃗ |+|b ⃗ |C. |a ⃗ ⋅b ⃗ |≥|a ⃗ ||b ⃗ |D. |a ⃗ −b ⃗ |≤|a ⃗ |−|b⃗ | 7. 若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.面积S =a 2+b 2−c 24=a 23sinA，则sinB =( )A. √63B. √22C. √32D.2√238. 给定两个长度为1的平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，它们的夹角为120∘.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上变动．若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中x,y ∈R ，则x +y 的最大值是( )A. 1B. √3C. 2D. 49. 在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，下列结论正确的是( ) A. sin(B +C)=sinAB. 若A:B:C =1:2:3，则a:b:c =1:2:3C. cos(B +C)=cosAD. 若sinA =sinB ，则A =B10. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−2,1)，则( )A. |a ⃗ |=|b⃗ | B. 与向量a ⃗ 共线的单位向量是(2√55,√55) C. (a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )D. 向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量是35b ⃗11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则下列结论正确的是( ) A. 若a >b ，则sinA >sinBB. 已知△ABC 中，A =π3,a =3,b =2√3，则△ABC 有两解 C. 若△ABC 是钝角三角形，则tanA ⋅tanC <1 D. 若A =60∘,a =2,则△ABC 面积的最大值为√312. 设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A. 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 是边BC 的中点 B. 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 在边BC 的延长线上 C. 若AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 是△ABC 的重心 D. 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y =12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 13. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =__________.14. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 是两个非零向量，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为__________.15. △ABC 外接圆半径为√3，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A =60∘，b =2，则c 的值为__________.16. 如图所示，三个边长为4的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有100个不同的点D 1,D 2,D 3,.....D 100，记T i =AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，i =1,2,⋯,100，则∑100i=1 T i =__________.17. 已知向量a ⃗ =(1,2sinθ)，b ⃗ =(cosθ,1)，θ∈R.(1)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，求tanθ的值；(2)若a ⃗ //b ⃗ ，且θ∈(0,π2)，求θ的值．18. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1，AD =2，∠BAD =60∘，BD ，AC 相交于点O ，M 为BO 中点．设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .(1)求|a ⃗ −b ⃗ |的值； (2)用a ⃗ ，b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (3)求cos⟨BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩的值．19. 已知海岛B 在海岛A 北偏东45∘，A ，B 相距10海里，游船甲从海岛B 以1海里/小时的速度沿直线向海岛A 行驶，同时游船乙从海岛A 沿着北偏西15∘方向以2海里/小时的速度行驶.(1)问经过多长时间，游船甲在游船乙的正东方向；(2)求游船甲从海岛B 驶向海岛A 的过程中，甲、乙两船间距离的最小值.20. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C =sin 2A +2√33sinA ⋅sinBsinC.(1)若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； (2)若sinB +sinC =√62，求C.21. 已知向量a⃗=(cos3x2,sin3x2)，b⃗ =(cos x2,−sin x2)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −m|a⃗+b⃗ |+1，x∈[−π3,π4],m∈R.(1)若f(x)的最小值为−1，求实数m的值；(2)是否存在实数m，使函数g(x)=f(x)+2449m2，x∈[−π3,π4]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查向量的加法运算、减法运算，属于基础题．根据向量的减法运算，可判断A;根据相反向量的和应为零向量可判断B;根据向量的数乘判断C;根据向量的加法判断D. 【解答】解：起点相同的向量相减，则其结果应是指向被减向量，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 错； AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故B 错； 0与向量的数乘应是零向量，即0⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故C 错； 根据向量的加法法则，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 正确. 故选：D.2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查向量的坐标运算，根据a ⃗ =λe 1⃗⃗⃗ +μe 2⃗⃗⃗ 列出方程解方程是关键，属于基础题． 根据向量的坐标运算及a ⃗ =λe 1⃗⃗⃗ +μe 2⃗⃗⃗ ，计算判断即可． 【解答】解：根据a ⃗ =λe 1⃗⃗⃗ +μe 2⃗⃗⃗ ，选项A ：(3,2)=λ(0,0)+μ(1,2)，则3=μ，2=2μ，无解，故A 不能；选项B ：(3,2)=λ(−1,2)+μ(5,−2)，则3=−λ+5μ，2=2λ−2μ，解得，λ=2，μ=1，故B 能；选项C ：(3,2)=λ(3,5)+μ(6,10)，则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故C 不能； 选项D ：(3,2)=λ(2,−3)+μ(−2,3)，则3=2λ−2μ，2=−3λ+3μ，无解，故D 不能． 故答案选：B.3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题. 根据三角形内角和求出C ，再根据正弦定理求出c. 【解答】解：因为a =3,A =π6,B =π12，所以C =π−π6−π12=3π4， 由正弦定理可得c =asinC sinA =3×√2212=3√2，故选：C.4.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于中档题． 根据向量平行的应用，考查充分条件和必要条件的判断. 【解答】解：若“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |”，则平方得|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ |⋅|b ⃗ |， 即a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |，即a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|a ⃗ |⋅|b ⃗ |， 则cos <a ⃗ ,b ⃗ >=1，又a ⃗ ，b ⃗ 夹角范围为[0,π]，即<a ⃗ ,b ⃗ >=0，即a ⃗ ，b ⃗ 同向共线， 则存在实数λ，使得a ⃗ =λb ⃗ ，故“存在实数λ，使得a ⃗ =λb ⃗ ”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |”的必要条件； 反之当 <a ⃗ ,b ⃗ >=π时，满足a ⃗ =λb ⃗ ，但<a ⃗ ,b ⃗ >=0不成立，故“存在实数λ，使得a ⃗ =λb ⃗ ”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |”的必要不充分条件， 故选C.5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于一般题.求向量夹角通常用夹角公式：cos ⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩=a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ ||b ⃗ |，还要注意角的范围⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩∈[0,π].先求出|b ⃗ |=3，再根据a ⃗ ⋅b ⃗ 求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角. 【解答】解：∵b ⃗ =(√3,√6),∴|b ⃗ |=3.∵(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(3a ⃗ −b ⃗ ),∴3a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ +6a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=0，设向量a ⃗ 与向量b⃗ 的夹角是θ， 则3×42+5×4×3cos θ−2×32=0，∴cosθ=−12，∵θ∈[0,π],∴θ=2π3，即向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角是2π3.故选：C.6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查向量的减法法则，数量积，属于基础题.根据向量的定义判断A ，根据向量减法的三角形法则判断BD ，根据向量数量积公式判断C. 【解答】解：A.向量不能比较大小，所以A 不正确；B .根据向量减法法则可知，|a ⃗ −b ⃗ |≤|a ⃗ |+|b ⃗ |，当a ⃗ 与b ⃗ 反向时，等号成立，故B 正确；C .|a ⃗ ⋅b ⃗ |=|a ⃗ ||b ⃗ ||cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩|≤|a ⃗ ||b ⃗ |，当a ⃗ 与b ⃗ 共线时，等号成立，故C 不正确；D .当向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线时，根据向量减法法则可知|a ⃗ −b ⃗ |>|a ⃗ |−|b ⃗ |，故D 不正确. 故选B.7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，属于基础题．取S =12bcsinA =12absinC ，a 2+b 2−c 2=2abcosC 代入已知式子化简变形即可． 【解答】 解：∵S =a 2+b 2−c 24， ∴12absinC =2abcosC 4， ∴sinC =cosC ， 又∵C ∈(0,π)， ∴ C =π4，又由S =a 23sinA 得，12bcsinA =a 23sinA， 由正弦定理得12sinBsinCsinA=sin 2A3sinA， 即sinBsinC =23，∴sinB =2√23. 故选：D.8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查利用向量的数量积求向量的模，属于一般题.由题意可得x >0,y >0，对OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方化简可得1=x 2−xy +y 2，然后利用基本不等式可求出x +y 的最大值. 【解答】解：由题意可得x >0,y >0，因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,⟨OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=120∘，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=x 2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2xy OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y 2|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 1=x 2−xy +y 2， 所以(x +y)2−1=3xy ，因为x >0,y >0，所以x +y ≥2√xy ，所以xy ≤(x+y)24，当且仅当x =y 时取等号，所以(x +y)2−1=3xy ≤34(x +y)2，当且仅当x =y 时取等号， 所以(x +y)2≤4，当且仅当x =y 时取等号， 所以0<x +y ≤2，当且仅当x =y 时取等号， 所以x +y 的最大值是2， 故选：C.9.【答案】AD【解析】 【分析】本题考查三角函数的诱导公式、正弦定理及变形，属于基础题.结合三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识逐一判断即可确定正确选项. 【解答】解：sin (B +C )=sin (π−A )=sinA ，故A 选项正确. cos (B +C )=cos (π−A )=−cosA ，故C 选项错误.若A:B:C =1:2:3，则A =π6,B =π3,C =π2，所以a:b:c =1:√3:2，故B 选项错误. 对于D 选项，在△ABC 中，因为A ，B ，C ∈(0,π)，A +B +C =π， 若sinA =sinB ，则A =B 或A +B =π.而A +B =π与A +B +C =π矛盾，所以A =B ，所以D 选项正确. 故选：AD.10.【答案】AC【解析】 【分析】本题考查了向量坐标的减法、加法、数乘和数量积的运算，单位向量的定义及求法，投影及投影向量的求法，向量垂直的判定，考查了计算能力，属于基础题． 根据题意对各选项逐项判定，即可求出结果. 【解答】解：A 选项，a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−2,1)，|a ⃗ |=√22+12=√5，|b ⃗ |=√(−2)2+12=√5=|a ⃗ |，A 选项正确；B 选项，设与向量a ⃗ 共线的单位向量e ⃗ =(x,y )，则{x −2y =0x 2+y 2=1，解得{x =2√55y =√55，或{x =−2√55y =−√55，故e ⃗ =(2√55,√55)或e ⃗ =(−2√55,−√55)，B 选项错误；C 选项，a ⃗ +b ⃗ =(0,2)，a ⃗ −b ⃗ =(4,0)，则(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=0×4+2×0=0，故(a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )，C 选项正确；D 选项，向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量是|a ⃗ |⋅cos ⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩⋅b ⃗ |b ⃗ |=|a ⃗ |a ⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |⋅|b ⃗ |⋅b ⃗ |b ⃗|=2×(−2)+1×1(√5)2b ⃗ =−35b ⃗ ，D 选项错误； 故选：AC.11.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，基本不等式的应用，三角形面积公式，正切函数的单调性，属于一般题.利用正弦定理，可判定A 正确；结合正弦定理求得sinB =1，可判定B 错误；不妨设A 为锐角，分C 为钝角和C 为锐角两种情况，结合正切函数的性质，可判定C 正确；利用余弦定理和基本不等式，以及面积公式，可判定D 正确.【解答】解：对于A 选项，由a >b ，可得2RsinA >2RsinB(R 为△ABC 外接圆半径)，可得sinA >sinB ，所以A 正确；对于B 选项，在△ABC 中，A =π3,a =3,b =2√3 ，由正弦定理知asinA=b sinB ，即sinB =bsinAa =2√3×sin π33=1， 因为B ∈(0,π)，可得B =π2，所以△ABC 只有一解，所以B 错误；对于C 选项，由△ABC 是钝角三角形，不妨设A ∈(0,π2)， 当C 为钝角时，可得tanC <0,tanA >0，此时tanA ⋅tanC <0，符合题意； 当C 为锐角时，可得A +C <π2，即A <π2−C ，且π2−C ∈(0,π2)，由函数y =tanx 在(0,π2)上为单调递增函数，可得tanA <tan(π2−C)，即tan A <1tan C ，所以tanA ⋅tanC <1，所以C 正确；对于D 选项，因为A =60∘,a =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 即4=b 2+c 2−2bccos60∘=b 2+c 2−bc ≥2bc −bc =bc ， 当且仅当b =c 时，等号成立，所以bc ≤4，即bc 的最大值为4， 所以△ABC 面积的最大值为12×4×sin 60∘=√3，所以D 正确. 故选ACD.12.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查向量在平面几何中的应用、向量的加减与数乘混合运算，属于中档题．利用向量的加法与数乘混合运算即可判断A ；利用向量的减法运算即可判断B ；利用向量的加法运算结合重心的性质即可判断C ；利用向量的加法与数乘混合运算结合图形即可判断D. 【解答】解：若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以点M 在边CB 的延长线上，故B 错误； 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以点M 是△ABC 的重心，故C 正确； 如图所示，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y =12，则2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 为线段AN 的中点， 所以△MBC 的面积是△ABC 面积的12，故D 正确． 故选：ACD.13.【答案】(−1,−1)【解析】 【分析】本题考查向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 根据向量的坐标运算，得到BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求解. 【解答】解：由题意，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)， 根据向量的坐标运算，可得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)−(2,4)=(−1,−1). 故答案为：(−1,−1).14.【答案】2π3【解析】 【分析】本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．设出两向量的夹角，利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解. 【解答】解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，设|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=t >0，所以|a ⃗ +b ⃗ |2=t 2， 则|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos θ=t 2， 即t 2+t 2+2t 2cosθ=t 2， 即cosθ=−12，又因为0≤θ≤π，所以θ=2π3，即a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3.故答案为：2π3.15.【答案】√6+1【解析】 【分析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.根据正弦定理可求得a =3；利用余弦定理构造关于c 的方程，解方程可求得结果. 【解答】解：已知△ABC 外接圆半径R =√3，A =60∘， 由正弦定理可得a =2RsinA =2√3×√32=3，又因为b =2，所以利用余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccos A 可得c 2−2c −5=0， 解得c =1+√6或1−√6(舍去). 故答案为√6+1.16.【答案】7200【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.以A 为原点，AC 1所在直线为x 轴，建立直角坐标系，得到B 2,B 3,C 3的坐标，然后求得直线B 3C 3的方程，根据D i (x i ,y i )在直线上，得到√3x i +y i =12√3，运用向量的数量积的坐标运算即可. 【解答】 解：如图所示：以A 为原点，AC 1所在直线为x 轴，建立直角坐标系， 则B 2(6,2√3),B 3(10,2√3),C 3(12,0)， 直线B 3C 3的方程为y =−√3(x −12)，设D i (x i ,y i )，则y i =−√3(x i −12)，即√3x i +y i =12√3， 所以T i =AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6x i +2√3y i =2√3(√3x i +y i )=72， 所以∑100i=1 T i =100×72=7200.故答案为：7200.17.【答案】解：(1)因为a ⃗ ⊥b ⃗ ，所以cosθ+2sinθ=0， 即cosθ=−2sinθ，则tanθ=sinθcosθ=−12；(2)因为a ⃗ //b ⃗ ，所以2sinθcosθ=1，即sin2θ=1，因为θ∈(0,π2)，所以2θ∈(0,π)， 所以2θ=π2，即θ=π4.【解析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量平行(共线)关系的坐标表示，属于基础题．(1)先利用向量垂直的条件得到cosθ+2sinθ=0，再利用同角三角函数基本关系进行求解； (2)先利用向量平行的条件得到2sinθcosθ=1，再利用二倍角公式结合角的范围进行求解.18.【答案】解：(1)由题意，得|a ⃗ −b ⃗ |√(a ⃗ −b ⃗ )2=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√|a ⃗ |2−2|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos 60∘+|b ⃗ |2=√1−2×1×2×12+4=√3；(2)由平面向量加法的平行四边形法则， 且BD ，AC 相交于点O ，M 为BO 中点，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ；(3)由(1)，得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ， 且|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b ⃗ −a ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |=√3，由(2)，得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(34a ⃗ +14b ⃗ )2=√916a ⃗ 2+38a ⃗ ⋅b ⃗ +116b ⃗ 2=√916a ⃗ 2+38|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos 60∘+116b ⃗ 2√916+38+14√194，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(b ⃗ −a ⃗ )⋅(34a ⃗ +14b ⃗ )=−34a ⃗ 2+12a ⃗ ⋅b ⃗ +14b ⃗ 2 =−34a ⃗ 2+12|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos 60∘+14b ⃗ 2=−34+12+1=34，所以cos⟨BD →,AM →⟩BD →⋅AM →|BD →|⋅|AM →|=34√3×√194=√5719.【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的夹角、利用向量的数量积求向量的模、用基底表示平面向量，属于中档题.(1)利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解；(2)利用平面向量加法的平行四边形法则和数乘运算进行求解；(3)先利用模长公式、数量积运算求出|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用夹角公式进行求解.19.【答案】解：(1)设经过t (0<t <10)小时，游船甲在游船乙的正东方向．如图所示：游船甲与海岛A 的距离为AE =(10−t )海里，游船乙与海岛A 距离为AF =2t 海里， ∠EAF =60∘，∠AFE =75∘，∠AEF =45∘.在△AEF 中，由正弦定理得AEsin∠AFE =AFsin∠AEF ，即10−tsin75∘=2tsin45∘，解得t =20−10√3.故经过(20−10√3)小时，游船甲在游船乙的正东方向． (2)由(1)题设，AE =10−t ，AF =2t ，由余弦定理得：EF 2=AE 2+AF 2−2AE ⋅AFcos∠EAF ，即EF 2=(10−t)2+(2t)2−2×(10−t)×2t ×12=7t 2−40t +100. ∵0<t <10， ∴当t =207时，EF min =10√217(海里). 故甲、乙两船间距离的最小值为10√217海里．【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题，属于一般题.(1)设经过t (0<t <10)小时，游船甲在游船乙的正东方向，分别到达E ，F 点，然后在△AEF 中，利用正弦定理求解；(2)由(1)得AE =10−t ，AF =2t ，然后在△AEF 中利用余弦定理求解.20.【答案】解：(1)由sin 2B +sin 2C =sin 2A +2√33sinA ⋅sinBsinC ， 得b 2+c 2−a 2=2√33bcsinA =2bccosA ，故√33sinA =cosA ，即tanA =√3， 由A 为三角形内角得A =π3， 因为b =√3c ，△ABC 的面积为S =3=12bc ×√32=√34×√3c 2， 故c =2，b =2√3； (2)因为A =π3，故sinB +sinC =sinC +sin(2π3−C)=32sinC +√32cosC =√62， 即√32sinC +12cosC =√22，所以sin(C +π6)=√22，因为0<C <2π3，π6<C +π6<5π6， 则C +π6=π4或C +π6=3π4， 故C =π12或C =7π12.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式及三角形面积公式的综合应用，属于中档题．(1)由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求A ，然后结合三角形的面积公式即可求解b ，c ； (2)由已知结合两角和与差的三角函数公式进行化简可求sin(C +π6)，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．21.【答案】解(1)∵a ⃗ ⋅b ⃗ =cos3x 2⋅cos x 2+sin 3x 2⋅(−sin x2)=cos2x ，a ⃗ +b ⃗ =(cos 3x 2+cos x 2,sin 3x 2−sin x2)，∴|a ⃗ +b ⃗ |=√(cos 3x 2+cos x 2)2+(sin 3x 2−sin x 2)2 =√2+2cos2x =√4cos 2x ， ∵x ∈[−π3,π4]，∴|a ⃗ +b ⃗ |=√4cos 2x =2cosx ，f (x )=cos2x −2mcosx +1 =2cos 2x −2mcosx ，令t =cosx ∈[12,1]，∴y =2t 2−2mt ，∵y min =−1，对称轴为t =m 2，①当m 2<12即m <1时，当t =12时，y min =12−m =−1，∴m =32舍，②当12≤m 2≤1即1≤m ≤2时，当t =m2时，y min =−m 22=−1，∴m =√2，③当m 2>1即m >2时，当t =1时，y min =2−2m =−1，∴m =32舍， 综上，m =√2.(2)令g (x )=f (x )+24m 249=0，即2cos 2x −2mcosx +24m 249=0， ∴cosx =3m 7或4m 7，∵y =g (x )，x ∈[−π3,π4]有四个不同的零点， ∴方程cosx =3m7和cosx =4m7在x ∈[−π3,π4]上共有四个不同的实根，∴{ √22≤3m7<1√22≤4m 7<13m 7≠4m 7，∴{ 7√26≤m <737√28≤m <74m ≠0，∴7√26≤m <74.【解析】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.(1)求出函数f (x )的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可； (2)由g (x )=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成y =asin 2x +bsinx +c 的形式利用配方法求最值；②形如y =asinx+bcsinx+d的可化为sinx =φ(y )的形式求最值；③y =asinx +bcosx 型，可化为y =√a 2+b 2sin (x +φ)求最值；④形如y =a (sinx ±cosx )+bsinxcosx +c 可设sinx ±cos =t,换元后利用配方法求最值.。
河南省部分名校2022-2023学年上学期高一第一次阶段测试卷数学试题(含答案)
2022—2023学年第一学期第一次阶段测试卷高一数学考试说明：1.本试卷共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组对象不能构成集合的是（ ） A.1~10之间的所有奇数 B.北方学院2022级大学一年级学生 C.滑雪速度较快的人D.直线21y x =+上的所有的点2.集合{},,M a b c =的真子集的个数为（ ） A.5B.6C.7D.83.设a ，b R ∈，则“7a b +>”是“3a >且4b >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4.已知3x ≠且2y ≠-，2264M x y x y =+-+，13N =-，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N > B.M N <C.M N =D.不能确定5.若113A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，112B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B.403x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C.{}02x x <≤D.223x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭6.若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A.若a b >，则22ac bc > B.若0a b >>，则11a b a b+>+ C.若0a b <<，则22a ab b >>D.若0a b <<，则22a b <7.已知全集为U ，集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}4B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}3B.{}2C.{}1,2D.{}1,2,38.已知0x >，0y >，且满足66x y +=，则xy 有（ ）A.最大值32B.最小值32C.最大值1D.最小值1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省信阳市2022-2023学年高一下学期阶段性测试(开学考)数学试题(解析版)
所以 的取值范围为 ；
小问2详解】
由（1）知， 且 ， 为减函数，
要使函数 在 上为增函数，
根据复合函数的单调性可知， ，且
则 ，解得 ，
所以存在 使得函数 在 上为增函数，并且在此区间的最小值为 .
20.已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若当 时，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
2022—2023学年（下）高一年级阶段性测试（开学考）
数学（答案在最后）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
又 ， ， ， ，
则 ．
故答案为： .
16.已知函数 ，若 有三个零点，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算出 的零点，再根据 零点的个数求得 的值.
【详解】依题意 ， 的开口向下，对称轴为 ， ，
由 解得 ， ，
由于 有三个零点，
所以 ，解得 （负根舍去）.
故答案为：
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案.
【详解】当 时， 不能推出 ，
当 时， 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
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高一数学阶段测试题（六）
班级 姓名
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．四个选项中只有一个是正确的）
1．若直线l经过原点和点A（－2，－2），则它的斜率为（ ）
A．－1 B．1 C．1或－1 D．0
2．等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，那么它的公差是( )．
A．4B．5C．6D．7
3．如果a＜b＜0，那么( )．
A．a－b＞0B．ac＜bcC．a1＞b1D．a2＜b2
4．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，
则c的值等于( )．
A．5B．13 C．13D．37
5．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N+)，那么a4的值为( )．
A．4B．8C．15D．31
6．
fxaxax()21
在R上满足fx()0，则a的取值范围是 （ ）
A．a0 B．a4
C．40a D．40a
7．如果a＞b＞0，t＞0，设M＝ba，N＝tbta，那么( )．
A．M＞NB．M＜N
C．M＝ND．M与N的大小关系随t的变化而变化
8．已知圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（ ）
A．22(6)(5)10xy B．22(6)(5)10xy
C．22(5)(6)10xy D．22(5)(6)10xy
9．点),(00yxP在圆222ryx内，则直线200ryyxx和已知圆的公共点的个数
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
10．设集合A＝{(x,y)｜x，y，1―x―y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不
含边界的阴影部分)是( )．
Ox0.50.5yx0.50.5yx0.50.5yx0.50.5yOO
O
AB CD
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11．已知原点O（0，0），则点O到直线x+y+2=0的距离等于 ．
12．一元二次不等式x2＜x＋6的解集为 ．
13．经过两圆922yx和8)3()4(22yx的交点的直线方程
14．在数列{an}中，其前n项和Sn＝3·2n＋k，若数列{an}是等比数列，则常数k的值
为 ．
15．已知实数x、y满足约束条件311xyyx≤≥≥，则22zxy的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．写出必要的过程和步骤）
16．（本大题12分）△ABC中，BC＝7，AB＝3，且BCsinsin＝53．
(1)求AC； (2)求∠A．
17．（本大题12分）在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为012yx，∠A
的平分线所在直线的方程为0y，若点B的坐标为（1，2），求点 A和点 C的坐标．
18．（本大题12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度
为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长
为x米．(1)求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
19．（本大题12分）设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且
111ab，3521ab，53
13ab
,
（1）求{}na，{}nb的通项公式.（2）求数列3(1)nnnab的前n项和nS.
20．（本大题13分）已知方程04222myxyx.
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线042yx相交于M，N两点，且OMON（O为坐标
原点）求m的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
21．（本大题14分）已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn．如果a4＝－12，a8＝－
4．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值及其相应的n的值；
(3)从数列{an}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，12n－a，…，构成一个新的数列{bn}，
求{bn}的前n项和．
17．解:（1）设{}na公差为d, 设{}nb公差为q,依题意得
4
2
12dq21d2q214dq13
则n1nna2n1,b2
（2）13(1)(21)3(2)nnnnabn，则
121[13521]3[1(2)(2)(2)]n
n
Sn…＋…＋
221(2)31(2)1(2)nn
nn
19．解：（1）由正弦定理得
BACsin＝CABsinACAB＝BCsin
sin
＝53AC＝335＝5．
（2）由余弦定理得
cos A＝ACABBCACAB2222＝53249259＝21，所以∠A＝120°．
17．解：832543yxyx解得21yx--------2分
所以交点（-1，2）
（1）2k-----3分
直线方程为02yx--------5分
（2）21k---------6分
直线方程为052yx--------8分
21．由 0120yxy得01yx，即A的坐标为 )0,1(，
∴ 1102ABk， 又∵ x轴为∠BAC的平分线，∴ 1ABACkk，
又∵ 直线 012yx为 BC边上的高， ∴ 2BCk．
设 C的坐标为),(ba，则11ab，212ab，
解得 5a，6b，即 C的坐标为)6,5(．
20．解：（1）04222myxyx
D=-2，E=-4，F=m
FED422
=20-m40
5m
…………2分
（2）04204222myxyxyx yx24代入得
081652myy
………..3分
5
16
21
yy
，5821myy ……………4分
∵OMON
得出：02121yyxx……………5分
∴016)(852121yyyy
∴58m …………….7分
（3）设圆心为),(ba
582,542
1121
yybxxa
…………….8分
半径554r…………9分
圆的方程516)58()54(22yx ……………10分
20．解：（1）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有S1＝38004 ＝1 600(平方米)．
池底长方形宽为x 6001米，则
S2＝6x＋6×x 6001＝6(x＋x 6001)．
（2）设总造价为y，则
y＝150×1 600＋120×6(x＋x 6001)≥240 000＋57 600＝297 600．
当且仅当x＝x 6001,即x＝40时取等号．
所以x＝40时,总造价最低为297 600元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为297 600元．
21．解：（1）设公差为d，由题意，
解得
所以an＝2n－20．
（2）由数列{an}的通项公式可知，
当n≤9时，an＜0，
当n＝10时，an＝0，
当n≥11时，an＞0．
所以当n＝9或n＝10时，Sn取得最小值为S9＝S10＝－90．
（3）记数列{bn}的前n项和为Tn，由题意可知
bn＝12na＝2×2n－1－20＝2n－20．
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n－20)
＝(21＋22＋23＋…＋2n)－20n
＝21221n－20n
＝2n+1－20n－2．
a4＝－12
a8＝－4
a1＋3d＝－12
a1＋7d＝－4
d＝2
a1＝－18