人教版高中数学必修四 1.3的诱导公式一导学案

1.3 三角函数的诱导公式（一）学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α).知识点一诱导公式二思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二知识点二诱导公式三思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三思考角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函之间有什么关系？答案角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.类型一 利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°； (2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)； (4)cos(－1 920°). 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin(2π＋3π4) ＝sin 3π4＝sin(π－π4) ＝sin π4＝22. (3)sin(－43π6)＝－sin(6π＋7π6) ＝－sin 7π6＝－sin(π＋π6)＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12. 反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°). 解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6 D.π3答案 D解析 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2， 可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π2， 即tan θ＝3，|θ|<π2，∴θ＝π3. 反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.解 由题意，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵0<α<π，∴sin α＝22，∴α＝π4或α＝34π. 把α＝π4，α＝34π分别代入②，得cos β＝32或cos β＝－32. 又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝56π. ∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π. 类型二 利用诱导公式化简例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70° ＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 引申探究若本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简. 解 当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α； 当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α. 反思与感悟 三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练3 化简下列各式.(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). 解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1. (2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)] ＝－sin 30°－tan 45°＝12.1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A.－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋12答案 C解析 原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12. 3.已知cos(π－α)＝32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( ) A.12 B.33 C.－ 3 D.－33答案 D解析 方法一 cos(π－α)＝－cos α＝32， ∴cos α＝－32. ∵π2<α<π，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－34＝12， ∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－33. 方法二 由cos α＝－32，π2<α<π，得α＝56π， ∴tan α＝－33，∴tan(π＋α)＝tan α＝－33. 4.sin 750°＝ .答案 12解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，k ∈Z ，∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°) ＝sin 30°＝12. 5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α). 解 原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α) ＝－cos α－sin α·sin α·cos α＝cos 2α.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”课时作业一、选择题1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12C.－32 D.－12答案 D解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2.若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(α－2π)等于() A.12 B.±32 C.32 D.－32答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－(12)2＝－32(α为第四象限角).3.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B.－1－k 2k C.k1－k 2 D.－k1－k 2答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2，则tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .4.已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A.tan nαB.－tan nαC.tan αD.－tan α答案 C解析 当n ＝2k ，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α.故选C.5.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C.－1D.1答案 A解析 ∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.6.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈(－π2，0)，则cos(π＋α)的值为() A.53 B.－53C.±53 D.以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 32 2－2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－ 1－49＝－53.二、填空题7.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是 . 答案2－2 解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°) ＝cos 225°sin 135°－sin 210° ＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 8.已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是 .并比较值的大小 答案 b ＞a ＞c解析 ∵a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .9.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝ . 答案 15解析 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35， ∴cos α＝35， 又∵π<α<2π，∴3π2<α<2π， ∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15. 10.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 . 答案 －3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.11.已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为 . 答案 25512.已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝ . 答案 1213三、解答题13.化简下列各式.(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°).解 (1)sin(－193π)cos 76π ＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.四、探究与拓展14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f (－116)＋f (116)的值为 . 答案 －2解析 因为f (－116)＝sin(－11π6)＝sin(－2π＋π6)＝sin π6＝12； f (116)＝f (56)－1＝f (－16)－2 ＝sin(－π6)－2＝－12－2＝－52， 所以f (－116)＋f (116)＝－2. 15.已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值. 解 (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15.又α是第三象限角， ∴cos α＝－265.∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12.。