高一数学上册(秋季)-第16讲-幂函数的图像与性质
高一数学上册 幂函数的图像与性质(一)课件 沪教
• 定义域：（0， +∞）值域:（0， +∞）
• 奇偶性:非奇非偶
• 单调性:单调递增;
•证Βιβλιοθήκη :略.• 图像如下:- 10
8 6 4 2 -5 -2 -4 -6 -8
5
10
思考:观察图象,总结幂函数的性质 a>0情况
-15
-10
-5
8 6 4 2
-2 -4 -6 -8
5
10
思考:观察图象,总结幂函数的性质 8
回顾
我们初中学过的函数
y
y
y
O
x
O
x
O
x
f (x)x
f (x) x2
f (x) x1
幂函数的定义
• 形如yx(为有理数 ) 的函数称为幂函数
• 比如： yx32和yx43
都是幂函数
• 下面研究几个幂函数的性质：
2
例1研究函数 y x 3 定义域，值域，奇偶
性，单调性，并画出函数的图象。
• 函数
谢谢！
2
y x3 3 x2
• 定义域 ：R
• 值域：[0，+∞）
• 奇偶性：偶函数
• 单调性：函数在（-∞，0]单调递减；
•
函数在[0， +∞）单调递增；
•
要给出证明过程（略）
• 最大值：无；最小值为1
8 6 4 2
-10
-5
-2
-4
-6
-8
5
10
例2研究函数y
x
1 2
的定义域，
值域，奇偶性，单调性，画图
6
a<0情况
4 2
-15
-10
高中数学常见幂函数、二次函数、三次函数的图象及其性质
（3）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的最大值为 或 ，最小值为 .
（1）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）当 时， 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 或 .
单调增区间为： 和 ；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为： 和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定 义
我们把形如 的函数，称为三次函数.
导 数
判别式
我们把 叫做三次函数的导函数 的判别式.
极值点
当 时，导函数 有两个零点，原函数 有两个极值点，不妨记为 、 ，且 .
拐 点
令三次函数 的二阶导数 ，即 ，解得 ，我们把点 叫做三次函数的拐点.
图 象
定义域
R
值 域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如 的函数（其中 是常数， 是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数 为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数 为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当 时，幂函数的图象都过 、 点，且在 上单调递增；
（3）当 时，幂函数的图象都过 点，不过 点，且在 上单调递减；
（4）在直线 的右侧，幂指数 越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质
沪教版高一数学上册知识点：幂函数的性质与图像
沪教版高一数学上册知识点：幂函数的性质与图像幂函数的图象最多只好同时出此刻两个象限内 ;假如幂函数图象与坐标轴订交，则交点必定是原点。
下文是沪教版高一数学上册幂函数的性质与图像知识点，欢迎阅读!定义 :形如 y=x^a(a 为常数 )的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域 :当 a 为不一样的数值时，幂函数的定义域的不一样状况以下：假如 a 为随意实数，则函数的定义域为大于0 的全部实数 ;假如 a 为负数，则 x 必定不可以为 0，可是这时函数的定义域还一定根 [ 据 q 的奇偶性来确立，即假如同时q 为偶数，则 x 不可以小于 0，这时函数的定义域为大于0 的全部实数 ;假如同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的全部实数。
当 x 为不一样的数值时，幂函数的值域的不一样状况以下：在 x 大于 0时，函数的值域老是大于0 的实数。
在 x 小于 0时，则只有同时 q 为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有 a 为正数， 0 才进入函数的值域性质 :关于 a 的取值为非零有理数，有必需分红几种状况来议论各第1页/共4页自的特征：第一我们知道假如 a=p/q，q 和 p 都是整数，则 x^(p/q)=q次根号 (x 的 p 次方 )，假如 q 是奇数，函数的定义域是 R，假如q 是偶数，函数的定义域是 [ 0,+ ∞)。
当指数 n 是负整数时，设a=-k ，则 x=1/(x^k) ，明显 x≠0，函数的定义域是 (-∞，0)∪ (0,+∞ ).所以能够看到 x 所遇到的限制根源于两点，一是有可能作为分母而不可以是 0，一是有可能在偶数次的根号下而不可以为负数，那么我们就能够知道：清除了为 0 与负数两种可能，即关于x>0，则 a 能够是随意实数 ;清除了为 0 这类可能，即关于 x0的全部实数， q 不可以是偶数 ;清除了为负数这类可能，即关于x 为大于且等于 0 的全部实数， a 就不可以是负数。
幂函数的性质与图像ppt
幂函数的性质与图像ppt于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
（6）显然幂函数无界。
篇二：幂函数的性质与图像(一) - 黄浦教研→首页幂函数的性质与图像（一）学校：储能中学执教：陈云青日期：2011-12-6教学目标1．知道幂函数的概念，会用有代表性的k的值，讨论幂函数的定义域、单调性、奇偶性及最值；2．在探究幂函数的性质与图像的过程中，体会研究函数性质的过程与方法； 3．在交流研究幂函数性质的活动中，感悟数学思想方法。
教学重点幂函数的性质与图像。
教学难点探索研究幂函数性质与图像的途径，熟悉由特殊到一般的数学思想。
情景引入建立下列问题的函数关系：（1）如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y?____________ ；（2）如果一个正方体容器的体积为x，那么该正方体容器的棱长y?____________ ；（3）如果某人在x秒内，骑自行车行了1km，那么他骑自行车的平均速度y?____________ 。
高中数学课件-幂函数图像与性质1
一、定义
说明:
1、 y x中 x 前面的系数是1； 2、指数为常数； 3、后面没有其它项。
1、判断下列函数是否为幂函数。
(1) y 1
是
x
(2) y=2x2 否
5y x 是
(3) y=x3-x 否
3
4y x4 是 6y x 1 否
2、若函数 y (a2 3a 3)x2为幂函 数，则a的值为 4或-1
∴m2－2m－3＜0，从而确定 m
1
值，再由函数 f ( x) x 3 的单调
性求 a 的值．
课堂互动讲练
【解】 ∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1或m＝2..........3分 又函数f(x)的图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m＝1......................................5分
第一象 限单调 性
定点
0,0 1,1
0,0 1,1
0,0 1,1
0,0 1,1
1,1
二、五个常用幂函数的图象：
y x2 y x3
(-2,4)
4
(2,4)
3
y=x
1
y x2
2
(-1,1) 1
(1,1)
-4
-2
2
y=x-1
4
6
(-1,-1) -1
-2
从图象能得出它 们的性质吗?
-3
幂函数一般形式的图象特征
三、幂函数的性质:
幂函数的定义域、单调性，因函数式中α的不同 而各异.
Hale Waihona Puke 1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象
高一数学上册幂函数的性质与图像知识点
高一数学上册幂函数的性质与图像知识点高一数学上册幂函数的性质与图像知识点幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
下文是高一数学上册幂函数的性质与图像知识点，欢迎阅读!定义:形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域:当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质:对于a的.取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
幂函数图像及性质 幂函数的含义
幂函数图像及性质幂函数的含义
幂函数是高中数学中比较重要的知识点之一，下文是母函数的图像和性质，大家可以查阅下文，温习相关内容。
幂函数图像及性质一、正值性质当α0时，幂函数y=xα有下列性质：1、图像都经过点（1,1）（0,0）；2、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；3、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0α1时，导数值逐渐减小，趋近于0。
二、负值性质当α0时，幂函数y=xα有下列性质：1、图像都通过点（1,1）；2、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）。
3、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
三、零值性质当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：1、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。
它的图像不是直线。
什么是幂函数幂函数属于基本初等函数之一，一般y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质
总结归纳
及时总结归纳学习过程中 的重点和难点，形成自己 的学习笔记和心得体会， 便于回顾和复习。
保持良好作息和心态，积极备战高考
合理安排时间
保证充足的睡眠和合理的饮食， 保持良好的身体状态和精神状态
。
调整心态
保持积极乐观的心态，相信自己 能够通过努力取得好成绩。遇到 困难时，及时调整情绪，寻求帮
助和支持。
高中数学一轮复习课件 幂函数的图像和性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 幂函数基本概念与性质 • 幂函数图像特征与绘制方法 • 幂函数在解决实际问题中应用 • 幂函数与其他类型函数关系研究 • 高考真题回顾与解题技巧总结 • 复习策略与备考建议
幂函数基本概念与
01
性质
幂函数定义及表达式
加强练习和反思总结是提高解题能力的关键。通过大量的练习可以加深对知识点的 理解和记忆；通过反思总结可以发现自己的不足之处并加以改进。
复习策略与备考建
06
议
制定个性化复习计划，明确目标
分析自身情况
根据自己的数学基础、学习能力 和时间安排，制定适合自己的复
习计划。
明确复习目标
确定自己在幂函数的图像和性质方 面的学习目标，例如掌握基本概念 、理解图像特征、熟练运用性质等 。
03
幂函数与一次、二次函数的比较
虽然幂函数、一次函数和二次函数在形式上有所不同，但它们之间有着
密切的联系。在解决某些问题时，可以通过转化思想将它们相互转化，
从而简化问题的求解过程。
幂函数与指数、对数函数关系探讨
幂函数与指数函数
指数函数的底数a可以看作是幂函数的指数n，而指数函数的指数x则可以看作是幂函数的 自变量。因此，指数函数和幂函数在形式上具有一定的相似性。
高中数学：幂函数的概念、图象和性质
⾼中数学：幂函数的概念、图象和性质1、幂函数的概念⼀般地，函数叫做幂函数，其中是⾃变量，是常数；其定义域是使有意义的值的集合。
例1、已知幂函数，且当时为减函数。
求幂函数的解析式。
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。
求幂函数的解析式，⼀般⽤待定系数法，弄明⽩幂函数的定义是解题的关键。
解答：由于为幂函数，所以，解得，或。
当时，，在上为减函数；当时，，在上为常函数，不合题意，舍去。
故所求幂函数的解析式为。
2、幂函数的图象和性质图象：性质：定义域值域奇偶性奇偶奇⾮奇⾮偶奇单调性上增上减，上增上增上增，上分别减定点，（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；（2）如果，则幂函数的图象过点和，并且在区间上是增函数；（3）如果，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。
在第⼀象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右⽅⽆限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上⽅⽆限地逼近轴；（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。
例2、⽐较，，的⼤⼩。
分析：先利⽤幂函数的增减性⽐较与的⼤⼩，再根据幂函数的图象⽐较与的⼤⼩。
解答：⽽在上单调递增，且，。
故。
例3、若函数在区间上是递减函数，求实数m的取值范围。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。
函数是⼀个⽐较常⽤的幂函数，它也叫做反⽐例函数，其定义域是，是⼀个奇函数，对称中⼼为（0，0），在和上都是递减函数。
⼀般地，形如的函数都可以通过对的图象进⾏变换⽽得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。
解答：由于，所以函数的图象是由幂函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所⽰。
其单调递减区间是和，⽽函数在区间上是递减函数，所以应有。
例4、若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最⼤值及其单调区间。
分析：⾸先根据幂函数的定义求出，然后在同⼀坐标系下画出函数和的图象，得出的函数图象，最后根据图象求出最⼤值和单调区间。
沪教版高一数学上册知识点：幂函数的性质与图像
沪教版高一数学上册知识点：幂函数的性质与图像幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
下文是沪教版高一数学上册幂函数的性质与图像知识点，欢迎阅读!定义:形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域:当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质:对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
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高一数学上册（秋季）辅导教案
学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日
时 间
A /
B /
C /
D /
E /
F 段
主 题
幂函数的图像与性质
教学内容
1. 了解幂函数的概念，会应用概念解题；
2. 掌握幂函数的图像与性质。
（以提问的形式回顾）
1. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
2. 性质：
（1）幂函数的图像都过点 ；任何幂函数都不过 象限；
（2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上单调性是 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上单调性是 ； （3）当2,2a =-时，幂函数奇偶性是 ；当1
1,1,3,3
a =-时，幂函数的奇偶性是 ． 3. 图像：
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 已知函数()()
2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2
5
m =-（5）1m =-
试一试：已知函数()()
22
23
m m f x m m x
--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
简解：2
20230
m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：()(),13,m ∈-∞-+∞U
小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。
例2. 比较大小：
（1）11
221.5,1.7 （2）33
( 1.2),( 1.25)--
解：（1）∵12
y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11
221.5 1.7<
（2）∵3
y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-
试一试：比较大小：112
5.25,5.26,5.26---
解：∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->； ∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；
例3. 已知幂函数()()213
22
p p Z f x x
p -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p 的值，并
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1．用“<”或”>”连结下列各式：0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8- 0.40.6-．
2．函数132
2
(1)(4)y x x --=-+-的定义域是
3．9
42--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . 4．已知
3
53
2x x >
，x 的取值范围为
5．若幂函数a
y x =的图像在0<x <1时位于直线y =x 的下方，则实数a 的取值范围是
6．若幂函数()f x 与函数g (x )的图像关于直线y =x 对称，且函数g (x )的图像经过3(33,)3,则()f x 的表达式为
7. 函数2
()3
x f x x +=
+的对称中心是 ，在区间 是 函数（填“增、减”） 8．比较下列各组中两个值的大小
33221.3
1.3
0.30.355
3
3
(1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15----与与与与0
9．若3
13
1)
23()2(-
-
-<+a a ，求a 的取值范围。
10．已知函数y ＝42
215x x －－．
（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．
1．0.6
0.5
0.5
0.320.320.34<<，22
5
5
0.8
0.6-
-
<
10．这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ， （1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．
（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
本节课主要知识点： 幂函数的概念，幂函数的图像及性质
【巩固练习】
1．幂函数()y f x =的图像过点1
(4,)2
，则(8)f 的值为 .
2．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32
a ； 22
3
(5)a -
+ 23
5-
； 0.50.4 0.40.5. 3．幂函数的图像过点(2,
14
), 则它的单调递增区间是 ．
4．设x ∈(0, 1)，幂函数a
y x =的图像在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ． 5．函数34
y x
-=在区间上 是减函数．
6．一个幂函数y ＝f (x )的图像过点(3, 4
27),另一个幂函数y ＝g (x )的图像过点(－8, －2),
（1）求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图像，观察得f (x )< g (x )的解集. 1、
2
4
2、.> ,≤, <,
3、(－∞, 0);
4、(－∞, 1);
5、（0，＋∞）;
6、（1）设f (x )＝x a
, 将x ＝3, y ＝4
27代入，得a ＝4
3
, 3
4()f x x =；
设g (x )＝x b , 将x ＝－8, y ＝－2代入，得b ＝3
1
,1
3()g x x =；
（2）f (x )既不是奇函数，也不是偶函数；g (x )是奇函数；（3） (0,1)。