最新初三九年级数学上册上册数学压轴题专题练习(解析版)

最新初三九年级数学上册上册数学压轴题专题练习（解析版）

一、压轴题

1．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，

4），一次函数2

3

y x b =-

+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；

（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．

2．问题提出

（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．

3．如图1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），试探索AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ．继续推理就可以使问题得到解决．

（1）请根据小明的思路，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结

论；

（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；

（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．

①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为；

②若AD+BD＝14，求

2

AD BD CD

2

??

?+

?

?

??

的最大值，并求出此时⊙O的半径．

4．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O 上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．

（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；

（2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O 于点E）；

（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．5．问题发现：

（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E 不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为．

问题探究：

（2）如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC ＝90°，且AD＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；

（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值． 6．数学概念

若点P 在ABC ?的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是

ABC ?的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ?的“强等角点”. 理解概念

（1）若点P 是ABC ?的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ?的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足

180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ?的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ?的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ?的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）

①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =

深入思考

（3）如图③，在ABC ?中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点

Q .（不写作法，保留作图痕迹）

（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；

④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；

⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）

7．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以

1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移

动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动

（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？

26cm？若存在，请求出此时t的（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2

值；若不存在，请说明理由．

8．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．

（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．

（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．

（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．

9．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（13D在x轴上，且点D在点A的右侧．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3

个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与AD 相切，且切点为AD 的中点时，连接AC ，求t 的值及∠MAC 的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M 与AC 所在的直线的距离为1时，求t 的值．

10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．

（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：

（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）； （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 11．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF

（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.

（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.

12．如图，抛物线2

y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，

．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．

（1）求这条抛物线对应函数的表达式；

（2）若P点在该抛物线上，求当PAB

△的面积为8时，求点P的坐标．

（3）点G是抛物线上一个动点，点E从点B出发，沿x轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F由点M出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t．

①若点G到AE和MF距离相等，直接写出点G的坐标．

②点C是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG和FC为边做矩形FGDC，直接写出点E 恰好为矩形FGDC的对角线交点时t的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）b=3；（2）点M坐标为

7

(1,)

3

；（3）

93

(,)

42

-或

3654

(,)

1313

【解析】

【分析】

（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；

（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；

（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；②四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直线DE上，设出M 的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据OD∥MN,且OD=MN即可求得N的坐标．

【详解】

（1）在

2

3

y x b

=-+中，令x=0，解得y=b，

则D的坐标是(0,b)，OD=b，

∵OD=BE，

∴BE=b，则点E坐标为（3,4-b），

将点E 代入2

3

y x b =-+中，得：4-b=2+b, 解得：b=3；

(2)如图，∵OAED S 四边形=

11

()(31)3622

OD AE OA +=?+?=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13

=42

ODM OAED S S ?=

四边形 设M 的横坐标是a ，则13

322

a ?=， 解得：1a =， 将1x a ==代入2

33

y x =-

+中，得： 27333

y =-?+=

则点M 坐标为7

(1,)3

；

（3）依题意，有两种情况：

①当四边形OMDN 是菱形时，如图(1),M 的纵坐标是32

， 把32y =

代入2

33

y x =-+中，得： 23332x -+=，解得：94

x =， ∴点M 坐标为93

(,)42

， 点N 坐标为93(,)42

-；

②当四边形OMND 是菱形时，如图(2)，OM =OD =3， 设M 的坐标2

(,3)3

m m -

+， 由OM=OD 得：2

22

(3)93

m m +-+=， 解得：36

13

m =

或m=0(舍去)， 则点M 坐标为3615(

,)1313， 又MN ∥OD ，MN=OD=3， ∴点N 的坐标为3654(

,)1313

， 综上，满足条件的点N 坐标为93(,)42

-或3654(

,)1313

．

【点睛】

本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识的联系点，运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 2．（1）12；（2）53；（3）202． 【解析】 【分析】

（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.

（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.

（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点

N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】

（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，

135BAC ∠=，

180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，

BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，

BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，

BD AD ∴=，

在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，

222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，

42AB =，

2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，

6AC =，

11

641222

ABC S AC BD ∴=?=??=．

（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，

D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，

PD PQ ∴=，

PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，

点P 为AB 上的动点，

PC PD CQ ∴+≥，

∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，

点C 为半圆AB 的中点，

90COB ∴∠=，

90BOD COD COB ∠+∠=∠=，

11

903033

BOD COB ∴∠=∠=?=，

10AB =，

11

10522

OD AB ∴=

=?=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，

155

,222DH OD QH DH ∴==∴==，

2

2

2

2

55352OH OD DH ??∴=-=-=

???

， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，

553,2OM QH MQ OH ∴==

==

， 515

522

CM OM OC ∴=+=+

=， 2

2

2215535322CQ CM MQ ??

??∴=+=+= ? ? ?????

， PC PD ∴+的最小值为53．

（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交

OB 于点F ，

PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，

,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，

．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，

SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，

E 为OA 上的点，

F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，

∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长

度，

45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，

454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．

扇形AOB 的半径为20，

20OS ON OP ∴===，

在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=

PE EF FP ∴++的长度的最小值为202．

【点睛】

本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.

3．（1）CD 2+BD 2＝2AD 2，见解析；（2）BD 2＝CD 2+2AD 2，见解析；（3）①2，②最大值为

4414710

【解析】 【分析】

（1）先判断出∠BAD ＝CAE ，进而得出△ABD ≌△ACE ，得出BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ，再根据勾股定理得出DE 2＝CD 2+CE 2＝CD 2+BD 2，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2+AE 2＝2AD 2，即可得出结

论；

（2）同（1）的方法得，ABD ≌△ACE （SAS ），得出BD ＝CE ，再用勾股定理的出DE 2＝2AD 2，CE 2＝CD 2+DE 2＝CD 2+2AD 2，即可得出结论；

（3）先根据勾股定理的出DE 2＝CD 2+CE 2＝2CD 2，再判断出△ACE ≌△BCD （SAS ），得出AE ＝BD ，

①将AD ＝6，BD ＝8代入DE 2＝2CD 2中，即可得出结论；

②先求出CD ＝，再将AD+BD ＝14，CD ＝代入AD BD ??? ? ???

，化简得出﹣（AD ﹣

212）2+441

4

，进而求出AD ，最后用勾股定理求出AB 即可得出结论． 【详解】

解：（1）CD 2+BD 2＝2AD 2，

理由：由旋转知，AD ＝AE ，∠DAE ＝90°＝∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∵AB ＝AC ，

∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ， 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°， ∴∠ACE ＝45°，

∴∠DCE ＝∠ACB+∠ACE ＝90°，

根据勾股定理得，DE 2＝CD 2+CE 2＝CD 2+BD 2， 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2+AE 2＝2AD 2， ∴CD 2+BD 2＝2AD 2； （2）BD 2＝CD 2+2AD 2， 理由：如图2，

将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ， 同（1）的方法得，ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴BD ＝CE ，在Rt △ADE 中，AD ＝AE ， ∴∠ADE ＝45°， ∴DE 2＝2AD 2， ∵∠ADC ＝45°，

∴∠CDE ＝∠ADC+∠ADE ＝90°，

根据勾股定理得，CE 2＝CD 2+DE 2＝CD 2+2AD 2， 即：BD 2＝CD 2+2AD 2；

（3）如图3，过点C 作CE ⊥CD 交DA 的延长线于E ， ∴∠DCE ＝90°， ∵∠ADC ＝45°，

∴∠E ＝90°﹣∠ADC ＝45°＝∠ADC ，

∴CD＝CE，

根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，连接AC，BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵∠ADC＝45°，

∴∠BDC＝45°＝∠ADC，

∴AC＝BC，

∵∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，

①AD＝6，BD＝8，

∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，

∴2CD2＝142，

∴CD＝72，

故答案为72；

②∵AD+BD＝14，

∴CD＝72，

∴

2

AD BD CD

??

?+

?

?

??

＝AD?（BD+

2

×72）＝AD?（BD+7）

＝AD?BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣21

2

）2+

441

4

，

∴当AD＝21

2

时，

2

AD BD CD

??

?+

?

?

??

的最大值为

441

4

，

∵AD+BD＝14，

∴BD＝14﹣21

2

＝

7

2

，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝22710

AD BD

+=，

∴⊙O的半径为OA＝1

2

AB＝

710

．

【点睛】

本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟记圆的性质和三角形的性质.

4．（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，证明见解析；（3）3或23．

【解析】

【分析】

（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；

（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝

∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋

角”∠CPD的度数＝CD的度数；

（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD

＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝1

2

∠COD＝60°，结合圆的直径

为26可得出CD＝3PCD的周长为3DF＝24，过点O作

OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．

【详解】

（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠APD＝∠BPC，

∴∠DPC是直径AB的回旋角．

（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，理由如下：

如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE．

∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，

∴∠APE＝∠APD．

∵圆是轴对称图形，

∴∠E＝∠D．

∵OE＝OC，

∴∠E＝∠C，

∴∠D＝∠C．

由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，

∴“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数．

（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC．

同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上．

∵直径AB的“回旋角”为120°，

∴∠APD＝∠BPC＝30°，

∴∠CPF＝60°，

∴△PFC是等边三角形，

∴∠CFD＝60°．

连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，

∴CD＝2DG，∠DOG＝1

2

∠COD＝60°，

∵AB=26，∴OC=13，

∴

133 CG=

∴CD＝2×133

2

＝133

∵△PCD的周长为24+133，∴PD+PC+CD＝24+133，

∴PD+PC＝DF＝24．

过点O作OH⊥DF于点H，则DH＝FH＝1

2

DF＝12．

在Rt△OHD中，OH2222

13125

OD DH

--=,

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，

∴OP＝2OH＝10，

∴AP＝OA﹣OP＝13﹣10＝3；

②当点P在半径OB上时，

同①的方法，可得：BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝26﹣3＝23．

综上所述，AP的长为：3或23．

【点睛】

此题是圆的综合题，考查圆的对称性质，直角三角形、等腰三角形与圆的结合，（3）是此题的难点，线段AP的长度由点P所在的位置决定，因此必须分情况讨论.

5．（1）4；（2）52；（3）600（2+1）．

【解析】

【分析】

（1）如图①中，证明△EOB≌△FOC即可解决问题；

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．利用四点共圆，证明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，首先证明AB+BC+BD＝

（2+1）BD，当BD最大时，AB+BC+BD的值最大．

【详解】

解：（1）如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，

∵∠EOF＝90°，

∴∠EOF＝∠BOC，

∴∠EOB＝∠FOC，

∴△EOB≌△FOC（SAS），

∴S△EOB＝S△OFC，

∴S四边形OEBF＝S△OBC＝1

4

?S正方形ABCD＝4，

故答案为：4；

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．

∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠DBC＝∠DAC，

∵DA＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∴∠DBQ＝45°，

根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝2

BQ＝52．

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠BCD+∠BAD＝∠EAD+BAD＝180°，

∴B，A，E三点共线，

∵DE＝DB，∠EDB＝90°，

∴BE2BD，

∴AB+BC＝AB+AE＝BE2BD，

∴BC+BC+BD2+1）BD，

∴当BD最大时，AB+BC+BD的值最大，

∵A，B，C，D四点共圆，

∴当BD 为直径时，BD 的值最大， ∵∠ADC ＝90°， ∴AC 是直径，

∴BD ＝AC 时，AB +BC +BD 的值最大，最大值＝600+1）． 【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

6．（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤ 【解析】 【分析】

（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；

（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明； ②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；

（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；

（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可． 【详解】

（1）（i ）若APB ∠=BPC ∠时， ∴BPC ∠=APB ∠=100° （ii ）若BPC CPA ∠=∠时，

∴1

2

BPC CPA ∠=∠=

（360°－APB ∠）=130°； （iii ）若APB ∠=CPA ∠时，

BPC ∠=360°－APB ∠－CPA ∠=160°，

综上所述：BPC ∠=100°、130°或160° 故答案为：100、130或160． （2）选择①： 连接,PB PC ∵DB DC = ∴=DB DC ∴BPD CPD ∠=∠

∵180APB BPD ∠+∠=，180APC CPD ∠+∠= ∴APB APC ∠=∠ ∴P 是ABC ?的等角点． 选择② 连接,PB PC ∵BC BD =

∴BC BD = ∴BDC BPD ∠=∠

∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形， ∴180BDC BPC ∠+∠= ∵180BPD APB ∠+∠= ∴BPC APB ∠=∠ ∴P 是ABC ?的等角点

（3）作BC 的中垂线MN ，以C 为圆心，BC 的长为半径作弧交MN 与点D ，连接BD ， 根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC ∴△BCD 为等边三角形 ∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60° 作CD 的垂直平分线交MN 于点O

以O 为圆心OB 为半径作圆，交AD 于点Q ，圆O 即为△BCD 的外接圆 ∴∠BQC=180°－∠BDC=120° ∵BD=CD ∴∠BQD=∠CQD

∴∠BQA=∠CQA=1

2

（360°－∠BQC ）=120° ∴∠BQA=∠CQA=∠BQC 如图③，点Q 即为所求．

（4）③⑤．

①如下图所示，在RtABC 中，∠ABC=90°，O 为△ABC 的内心

假设∠BAC=60°，∠ACB=30° ∵点O 是△ABC 的内心 ∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=1

2

∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=

1

2

∠ACB=15° ∴∠AOC=180°－∠CAO －∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO －∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO －∠BCO=120° 显然∠AOC ≠∠AOB ≠∠BOC ，故①错误；

②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误； ③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；

④由（3）可知，点Q 为△ABC 的强等角，但Q 不在BC 的中垂线上，故QB ≠QC ，故④错误；

⑤由（3）可知，当ABC ?的三个内角都小于120时，ABC ?必存在强等角点Q ．

如图④，在三个内角都小于120的ABC ?内任取一点'Q ，连接'

Q A 、'

Q B 、'

Q C ，将

'Q AC ?绕点A 逆时针旋转60到MAD ?，连接'Q M ，

∵由旋转得'

Q A MA =，'

Q C MD =，'

60Q AM ∠= ∴'

AQ M ?是等边三角形．

∴'

'Q M Q A =

∴'

'

'

'

'

Q A Q B Q C Q M Q B MD ++=++ ∵B 、D 是定点，

∴当B 、'

Q 、M 、D 四点共线时，'

'

Q M Q B MD ++最小，即'

'

'

Q A Q B Q C ++最小． 而当'

Q 为ABC ?的强等角点时，'

'

'

120AQ B BQ C CQ A AMD ∠=∠=∠==∠，

此时便能保证B 、'Q 、M 、D 四点共线，进而使'''

Q A Q B Q C ++最小． 故答案为：③⑤．

【点睛】

此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公