九年级上册上册数学压轴题测试卷附答案
九年级数学上册上册数学压轴题测试卷(含答案解析)
九年级数学上册上册数学压轴题测试卷（含答案解析）一、压轴题1．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．2．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，T 3C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围，（3）已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围．3．如图1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），试探索AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ．继续推理就可以使问题得到解决．（1）请根据小明的思路，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为；②若AD+BD＝14，求2AD BD CD2⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭的最大值，并求出此时⊙O的半径．4．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形是点A，B，C的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为；②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为；（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；（3）如图3，已知点D（1，1）．E（，）是函数的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．5．已知，如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P为AC的中点，Q从点A 运动到B，点Q运动到点B停止，连接PQ，取PQ的中点O，连接OC，OB．(1)若△ABC∽△APQ，求BQ的长；(2)在整个运动过程中，点O的运动路径长_____；(3)以O为圆心，OQ长为半径作⊙O，当⊙O与AB相切时，求△COB的面积．6．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．7．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。
【期末专项复习】人教版数学九年级(上)第24章：圆 压轴题专项训练(附详细解答)
【期末专项复习】第24章:圆压轴题专项训练1．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝4，DE＝8,求AC的长．2．如图,AB是⊙O的直径,AC平分∠DAB交⊙O于点C，过点C的直线垂直于AD 交AB的延长线于点P，弦CE交AB于点F，连接BE．(1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若PC＝PF，试证明CE平分∠ACB．3．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°,∠BAC的平分线交BC于点D,且D在以A为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若DC＝4，AC＝6，求圆心O到AD的距离．4．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D，作AD的中垂线交AB于O，以O为圆心，OA为半径画圆，则BC与⊙O的位置关系为证明你的猜想．5．如图，AB为⊙O的直径,直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．（1)求证：CF＝DF；（2)连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．6．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，∠D ＝2∠A．(1）求证:CD是⊙O的切线；（2）求证:DE＝DC；(3）若OD＝5，CD＝3，求AC的长．7．如图，直角坐标系中,⊙M经过原点O（0，0)，点A（,0）与点B（0，﹣1）,点D在劣弧OA上,连接BD交x轴于点C,且∠COD＝∠CBO．(1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；（2)在线段BD的延长线上寻找一点E,使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E 的坐标．8．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D,连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝CD．（2）求证：DE为⊙O的切线．（3）若∠C＝60°，DE＝，求⊙O半径的长．9．如图，在△ABC中，AB＝AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．（1)若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；（2）求证:DF是⊙O的切线;（3）求证:∠EDF＝∠DAC．10．已知:△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA＝∠B,求证：（1）MC是⊙O的切线；（2）△DCF是等腰三角形．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F,且EG＝FG,连接CE．(1）求证：EG是⊙O的切线；(2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．12．如图,D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB 的延长线交于点P，且PC＝PB．（1）求证:BG∥CD；（2)设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．13．已知：AB为⊙O的直径,AB＝AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1)求证：DE为⊙O的切线；(2)连接BE交圆于F,连AF并延长ED于G，若GE＝2，AF＝3，求∠EAF的度数．14．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O 的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1)求证:CE＝EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形．15．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC＝2,求图中阴影部分的面积．16．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．17．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证： DE是⊙O的切线；（2）若AB＝2，BC＝，求DE的长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．（1)求证:AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积;（3）在（2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．参考答案1．（1)证明:连接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD,∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC,∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（8﹣r）2＝r2+42，∴r＝3，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝6,在Rt△ABC中，AC＝＝＝6．2．证明：（1）连接OC，如图，∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC,∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴PD是⊙O的切线;（2）∵OC⊥PC，∴∠PCB+∠BCO＝90°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠3+∠BCO,∴∠3＝∠PCB，而∠1＝∠3，∴∠1＝∠PCB，∵PC＝PF，∴∠PCF＝∠PFC,而∠PCF＝∠PCB+∠BCF，∠PFC＝∠1+∠ACF，∴∠BCF＝∠ACF，即CE平分∠ACB．3．（1）证明:连接OD，∵OA＝OD,∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD,∴∠ODA＝∠CAD,∴OD∥AC,又∵∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，（2）过O作OF⊥AD于F,由勾股定理得：AD＝＝2，∴DF＝AD＝，∵∠OFD＝∠C＝90°，∠ODA＝∠CAD,∴△ACD∽△DFO，∴，∴，∴FO＝，即圆心O到AD的距离是．4．解:BC与⊙O相切．理由如下：连接OD，如图,∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∵AD的中垂线交AB于O，∴OA＝OD，∴∠2＝∠3,∴∠1＝∠3,∴OD∥AC，∵AC⊥BC,∴OD⊥BC，故答案为相切．5．(1）证明:连接OC,如图，∵CF为切线,∴OC⊥CF，∴∠1+∠3＝90°,∵BM⊥AB，∴∠2+∠4＝90°，∵OC＝OB,∴∠1＝∠2,∴∠3＝∠4，∵AB为直径,∴∠ACB＝90°，∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠5，∴CF＝DF；（2)解：在Rt△ABC中，AC＝＝8，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ABD，∴＝，即＝，∴AD＝，∵∠3＝∠4，∴FC＝FB，而FC＝FD，而BO＝AO，∴OF为△ABD的中位线，∴OF＝AD＝．6．(1）证明:连接OC，如图,∵OA＝OC,∴∠ACO＝∠A，∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，又∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COB．又∵OD⊥AB，∴∠COB+∠COD＝90°．∴∠D+∠COD＝90°．即∠DCO＝90°,∴OC⊥DC，又点C在⊙O上,∴CD是⊙O的切线；(2）证明：∵∠DCO＝90°，∴∠DCE+∠ACO＝90°．又∵OD⊥AB，∴∠AEO+∠A＝90°,又∵∠A＝∠ACO,∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC；（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，∴AB＝2OC＝8，又DE＝DC＝3，∴OE＝OD﹣DE＝2，∵∠A＝∠A,∠AOE＝∠ACB＝90°，∴△AOE∽△ACB，∴＝，即＝＝＝，∴BC＝AC，在△ABC中,∵AC2+BC2＝AB2，∴AC2+AC2＝82，∴AC＝．7．解：∵点A（,0）与点B(0，﹣1）,∴OA＝,OB＝1,∴AB＝＝2,∵AB是⊙M的直径，∴⊙M的直径为2,∵∠COD＝∠CBO,∠COD＝∠CBA,∴∠CBO＝∠CBA，即BD平分∠ABO；（2)如图，过点A作AE⊥AB于E，交BD的延长线于点E，过E作EF⊥OA于F，即AE是切线，∵在Rt△ACB中,tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30°，∵∠ABO＝90°，∴∠OBA＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝＝30°，∴OC＝OB•tan30°＝1×＝，∴AC＝OA﹣OC＝,∴∠ACE＝∠ABC+∠OAB＝60°，∴∠EAC＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝，∴AF＝AE＝,EF＝＝1,∴OF＝OA﹣AF＝,∴点E的坐标为（,1）．8．（1)证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵BA＝BC，∴AD＝CD；(2）证明：连接OD，如图，∵AD＝CD,AO＝OB，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥BC，∴DE⊥BC,∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（3）解：在Rt△CDE中，∠C＝60°，DE＝，∴CE＝DE＝×2＝2，∴CD＝2CE＝4，∵∠A＝∠C＝60°,AD＝CD＝4，在Rt△ADB中,AB＝2AD＝8，即⊙O半径的长为4．9．（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°,∵∠FDC＝15°，∴∠C＝180°﹣90°﹣15°＝75°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°,∴OM＝OA＝＝,AM＝OM＝，∵OA＝OE，OM⊥AC,∴AE＝2AM＝3，∴∠BAC＝∠AEO＝30°,∴∠AOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝3π﹣；（2)证明:连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴AC∥OD,∵DF⊥AC，∴DF⊥OD,∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴BE∥DF,∴∠FDC＝∠EBC,∵∠EBC＝∠DAC，∴∠FDC＝∠DAC,∵A、B、D、E四点共圆，∴∠DEF＝∠ABC，∵∠ABC＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠EDF＝∠FDC，∴∠EDF＝∠DAC．10．证明：（1）连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠2+∠3＝90°,∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，而∠1＝∠B,∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝90°，即∠OCM＝90°,∴OC⊥CM,∴MC是⊙O的切线；（2）∵EG⊥AB,∴∠B+∠BFH＝90°，而∠BFH＝∠4，∴∠4+∠B＝90°,∵MD为切线，∴OC⊥CD,∴∠5+∠3＝90°，而∠3＝∠B，∴∠4＝∠5，∴△DCF是等腰三角形．11．解：（1）如图，连接OE，∵FG＝EG，∴∠GEF＝∠GFE＝∠AFH，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA,∵CD⊥AB，∴∠AFH+∠FAH＝90°,∴∠GEF+∠AEO＝90°,∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线；（2）连接OC,设⊙O的半径为r，∵AH＝3、CH＝4,∴OH＝r﹣3，OC＝r，则（r﹣3）2+42＝r2,解得：r＝，∵GM∥AC，∴∠CAH＝∠M，∵∠OEM＝∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴＝,即＝，解得：EM＝．12．（1）证明:如图1,∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠PCB＝180°，∴∠BAD＝∠PCB，∵∠BAD＝∠BFD，∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°,∴∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AD,∴∠AGB＝90°，∴∠ADC＝∠AGB，∴BG∥CD;(2）由(1）得：BC∥DF，BG∥CD,∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC＝DH,在Rt△ABC中，∵AB＝DH,∴tan∠ACB＝＝,∴∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，BC＝AC，∴DH＝AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM＝90°，∴∠AMD+∠ADM＝90°∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°,∴∠BDE+∠ABD＝90°，∵∠AMD＝∠ABD，∴∠ADM＝∠BDE，∵DH＝AC，∴DH＝OD，∴∠DOH＝∠OHD＝80°，∴∠ODH＝20°∵∠ADB＝60°，∴∠ADM+∠BDE＝40°，∴∠BDE＝∠ADM＝20°，②当点O在DE的右侧时,如图3，作直径DN，连接BN，由①得:∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，∴∠BDE＝∠BDN+∠ODH＝40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．13．（1）证明:连接OD，如图，∵OB＝OD,∴∠OBD＝∠ODB,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE,∴DE为⊙O的切线;(2）解：∵AB为直径,∴∠AFB＝90°，∵∠EGF＝∠AGF,∴Rt△GEF∽△Rt△GAE,∴＝，即＝，整理得GF2+3GF﹣4＝0,解得GF＝1或GF＝﹣4（舍去），在Rt△AEG中，sin∠EAG＝＝＝，∴∠EAG＝30°,即∠EAF的度数为30°．14．（1)证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°,即∠1+∠4＝90°，∵DO⊥AB，∴∠3+∠B＝90°，而∠2＝∠3，∴∠2+∠B＝90°，而OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝FE；（2)解：①当∠D＝30°时，∠DAO＝60°，而AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝30°,∴∠3＝∠2＝60°，而CE＝FE,∴△CEF为等边三角形，∴CE＝CF＝EF，同理可得∠GFE＝60°，利用对称得FG＝FC，∵FG＝EF，∴△FEG为等边三角形，∴EG＝FG，∴EF＝FG＝GE＝CE，∴四边形ECFG为菱形;②当∠D＝22.5°时，∠DAO＝67.5°,而OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝67.5°,∴∠AOC＝180°﹣67。
初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷 (word版,含解析)
初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷 （word 版，含解析）一、压轴题1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.2．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.（1）求证：BE=FD ；（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长.3．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB 3cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．（1）求证△AEF ∽△BCE ；（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．4．如图，Rt △ABC ，CA ⊥BC ，AC ＝4，在AB 边上取一点D ，使AD ＝BC ，作AD 的垂直平分线，交AC 边于点F ，交以AB 为直径的⊙O 于G ，H ，设BC ＝x ．（1）求证：四边形AGDH 为菱形；（2）若EF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）连结OF ，CG ．①若△AOF 为等腰三角形，求⊙O 的面积；②若BC ＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．5．已知抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 经过点A （4，3），顶点为B ，对称轴是直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标；（2）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，E 是线段AC 上的动点（点E 不与A ，C 两点重合）；（i ）若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1：3的两部分，求点E 的坐标；（ii ）如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由．6．如图 1，抛物线21:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于C ，且OB OC =．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________7．如图1,已知菱形ABCD 的边长为3A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为33),抛物线y=ax 2+b(a≠0)经过AB 、CD 两边的中点.(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<3．．．．．)①是否存在这样的t，使DF=7FB?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x．轴与．．抛物线在．．．．．(．包括边界．．．．)．时,求t的取值范围.(直接写出答案即可)．．．．．．．成的图形中．．．．x．轴上方的部分围8．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A，B，∠BAO = 30°．抛物线y = ax2 + bx + 1（a < 0）经过点A，B，过抛物线上一点C（点C在直线l上方）作CD∥BO 交直线l于点D，四边形OBCD是菱形．动点M在x轴上从点E（ -3，0）向终点A匀速运动，同时，动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D的坐标和抛物线的函数表达式．（2）当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合．①过点E作x轴的垂线交直线l于点F，当点N在线段FD上时，设EM = m，FN = n，求n 关于m的函数表达式．②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值．9．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C关于线段AB的视角．如图2，点Q在直线l上运动，当点Q关于线段AB的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于线段AB的“视角”．（1）如图3，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，2），点C坐标为（﹣2，2），点C 关于线段AB 的视角为 度，x 轴关于线段AB 的视角为 度；（2）如图4，点M 是在x 轴上，坐标为（2，0），过点M 作线段EF ⊥x 轴，且EM ＝MF ＝1，当直线y ＝kx （k ≠0）关于线段EF 的视角为90°，求k 的值；（3）如图5，在平面直角坐标系中，P （3，2），Q （3+1，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的夹角为60°，且关于线段PQ 的视角为45°，求这条直线的解析式．10．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．11．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．（1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）．①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．12．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF （其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应）．（1）如图1，当点G 落在AD 边上时，直接写出AG 的长为 ；（2）如图2，当点G 落在线段AE 上时，AD 与CG 交于点H ，求GH 的长；（3）如图3，记O 为矩形ABCD 对角线的交点，S 为△OGE 的面积，求S 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) ☉O 的半径是32；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】【分析】(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可．(2) 连接OA , OB , OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证.【详解】解：(1)连接AB ，在☉0中，o APQ BPQ 45∠=∠=，o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明：连接OA , OB , OQ ,在☉0中, AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ，交AB 于点C在☉0中，OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，NOQ90O∴∠=NOQ OCA180O∴∠+∠= .AB//ON∴【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．2．（1）见详解；（2）125；（3）①见详解，②32-6【解析】【分析】（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=12•BD•AM+1 2•BD•CM=12•BD•AC即可求解；（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．【详解】（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．∵OE=OF，OH⊥EF，∴EH=HF，∴BH=HD，∴BE=DF；（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，∴∠OEF=∠OAC=45°，∴∠AME=90°，即AC⊥BD，连接OB．设OH=a，∵BE=EF，∴BE=2EH=2OH=2a，在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，∴a2+（3a）2=（25）2，∴a=2或-2（舍弃），∴BD=BE+EF+DF=6a=62，在Rt△AOC中，AC=2AO=210，∴S四边形ABCD=12•BD•AM+12•BD•CM=12•BD•AC=12×210×62=125；（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．∵OE=OF，OA=OC，∴∠EOH=12∠EOF=12（∠EAC+∠ACO）=12×2∠OAC=∠OAC，∴AC∥OH，∴AC⊥BD，∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，∴BM ，DM ，CM=DM ，∴AB•CD+BC 2DM+BM 2+CM 2=（BM+DM ）2=BD 2；②如图3中，连接OB ，设DM=CM=x ，∵∠BOC=2∠BDC=90°，∴，∵AB•CD+BC 2=BD 2，AB•CD=AO 2=12，∴12+24=BD 2，∴BD=6（负根已经舍弃），在Rt △BCM 中，∵BC 2=BM 2+CM 2，∴（）2=（6-x ）2+x 2，∴或∴．【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．（1）详见解析；（2）21y 2x =-,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】【分析】（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得AF AEBE BC =，y x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，602AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，∴∠AEF +∠AFE =90°，∵EF ⊥CE ，∴∠AEF +∠BEC =90°，∴∠AFE =∠BEC ，∴△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =，232y x x -=， ∴2132y x x =-+， ∵2132y x x =-+=213(3)22x --+， 当3x =时，y 有最大值为32， ∴302AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，∴∠EHF =90°，∴ME =MF =MH ，在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，∴MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；如图2，连接AH ，∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，3602AH sin AB =︒=， ∵AB =23∴AH =3， 所以点H 移动的距离为3．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．4．（1）证明见解析；（2）y ＝18x 2（x ＞0）；（3）①163π或8π或（17）π；②21【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EFAC BC=解决问题；（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；②只要证明△CFG∽△HFA，可得GFAF=CGAH，求出相应的线段即可解决问题；【详解】（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，∵AB是直径，AB⊥GH，∴EG＝EH，∴DG＝DH，∴AG＝DG＝DH＝AH，∴四边形AGDH是菱形．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AE EFAC BC=，∴124x yx=，∴y＝18x2（x＞0）．（3）①解：如图1中，连接DF．∵GH垂直平分线段AD，∴FA＝FD，∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，∴AB＝833，∴⊙O的面积为163π．如图2中，当AF＝AO时，∵AB＝22AC BC+＝216x+，∴OA＝2 16x +，∵AF＝22EF AE+＝2221182x⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴216x+＝2221182x⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得x＝4（负根已经舍弃），∴AB＝42，∴⊙O的面积为8π．如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2164x+，∵△ACE∽△ABC，∴AC2＝AE•AB，∴16＝x•2164x+，解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），∴AB2＝16+4x2＝817+8，∴⊙O的面积＝π•14•AB2＝（217+2）π综上所述，满足条件的⊙O的面积为163π或8π或（217+2）π；②如图3中，连接CG．∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，∴OH＝OA＝52，∴AE＝32，∴OE＝OA﹣AE＝1，∴EG＝EH2512⎛⎫-⎪⎝⎭212，∵EF＝18x2＝98，∴FG 21﹣98，AF22AE EF+158，AH22AE EH+30，∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，∴△CFG∽△HFA，∴GF CG AF AH=，∴9281582-= ∴CG＝5﹣10，＝．故答案为【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．5．（1）y ＝﹣14x 2+x +3，顶点B 的坐标为（2，4）；（2）（i ）点E 的坐标为（85，3）或（125，3）；（ii ）存在；当点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上，此时AE 的长为43． 【解析】【分析】（1）由题意得出21441,43,124b c b ⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得1,3,b c =⎧⎨=⎩，得出抛物线的函数表达式为：y ＝﹣14x 2+x +3＝﹣14（x ﹣2）2+4，即可得出顶点B 的坐标为（2，4）； （2）（i ）求出C （0，3），设点E 的坐标为（m ，3），求出直线BE 的函数表达式为：y ＝12m --x +462m m --，则点M 的坐标为（4m ﹣6，0），由题意得出OC ＝3，AC ＝4，OM ＝4m ﹣6，CE ＝m ，则S 矩形ACOD ＝12，S 梯形ECOM ＝15182m -，分两种情况求出m 的值即可； （ii ）过点F 作FN ⊥AC 于N ，则NF ∥CG ，设点F 的坐标为：（a ，﹣14a 2+a +3），则NF ＝3﹣（﹣14a 2+a +3）＝14a 2﹣a ，NC ＝﹣a ，证△EFN ≌△DGO （ASA ），得出NE ＝OD ＝AC ＝4，则AE ＝NC ＝﹣a ，证△ENF ∽△DAE ，得出NF NE AE AD =，求出a ＝﹣43或0，当a ＝0时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a＝43，即可得出结论．【详解】（1）∵抛物线y＝﹣14x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，∴21441, 43,124b cb⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,3, bc=⎧⎨=⎩∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣14x2+x+3，∵y＝﹣14x2+x+3＝﹣14（x﹣2）2+4，∴顶点B的坐标为（2，4）；（2）（i）∵y＝﹣14x2+x+3，∴x＝0时，y＝3，则C点的坐标为（0，3），∵A（4，3），∴AC∥OD，∵AD⊥x，∴四边形ACOD是矩形，设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：则24,3, k nmk n+=⎧⎨+=⎩解得：1,246,2kmmnm-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，∴直线BE的函数表达式为：y＝12m--x+462mm--，令：y＝12m--x+462mm--＝0，则x＝4m﹣6，∴点M的坐标为（4m﹣6，0），∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，S梯形ECOM＝12（OM+EC）•OC＝12（4m﹣6+m）×3＝15182m-，分两种情况：①S ECOMS ACOD梯形矩形＝14，即1518212m-＝14，解得：m＝85，∴点E的坐标为：（85，3）；②S ECOMS ACOD梯形矩形＝34，即1518212m-＝34，解得：m＝125，∴点E的坐标为：（125，3）；综上所述，点E的坐标为：（85，3）或（125，3）；（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：设点F的坐标为：（a，﹣14a2+a+3），则NF＝3﹣（﹣14a2+a+3）＝14a2﹣a，NC＝﹣a，∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，∵NF∥CG，∴∠EMC＝∠EFN，∴∠EFN＝∠DGO，在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG，EF=DG,∠EFN=∠DGO，∴△EFN≌△DGO（ASA），∴NE＝OD＝AC＝4，∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，∴∠EFN＝∠DEA，∴△ENF∽△DAE，∴NE NFAD AE=，即43＝214a aa--，整理得：34a2+a＝0，解得：a＝﹣43或0，当a＝0时，点E与点A重合，∴a＝0舍去，∴AE＝NC＝﹣a＝43，∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为43．【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型．6．（1）()221y x=--；（2）1023n<<；（3）552Mx<<【解析】【分析】(1)由题意可得对称轴方程，有二次函数对称性，由A点坐标可求B点坐标，代入解析式可得；(2)根据函数图像平移可得新抛物线解析式，画出图像可得交点P，由题意可得ACB BCP∠>∠，过点C作//l x轴.作PD l⊥，可得ACO PCD∠=∠，设()2,43P t t t -+，由13tan ACD tan PCD ∠=∠=可得关于t 的方程，解得t, 再将P 代入2C 解析式中得n 的值，根据Q,P 在第一象限内得n 的取值范围；(3) 当MCB ∠为直角时，可求直线CB 的解析式为：y=-x+3,直线CM 的解析式为：y=x+3，运用直线与曲线联立，可求CM 与抛物线的交点M 横坐标为：x=5；当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN=，设M 点坐标为()2,43t t t -+，直线CB 解析式为y=-x+3,可求直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，将直线MN 与直线CB 解析式联立可得：N 221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， 由两点间距离公式可得2MN = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2CN =2215222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由3MN CN =可得：52t =，进而可得满足已知条件的点M 横坐标M x 的取值范围.【详解】解：()1对称轴为422a x a-=-= ()3,0B ∴()0,1C ∴代入()224321y x x x ∴=-+=-- ()()222:21C x n ---()2423x n x =-++CAP ∆的内心I 在CAB △内部,ACB BCP ∴∠>∠∴当ACB BCP ∠=∠时过C 作//l x 轴.作PD l ⊥,ACB BCP ∠=∠90,OCD ∠=45,DCB ∠=,ACO PCD ∴∠=∠13tan ACD tan PCD ∠=∠= 设()2,43P t t t -+ 13PD CD ∴= 3p y DP OC +==214333t t t ∴-++= 113t = 将P 代入2C 解析式中 103n ∴=又P 在第一象限内h AB ∴>2n ∴>1023n ∴<<(3) 552M x <<; 当MCB ∠为直角时，如下图所示：由(1)(2)可得：直线CB 的解析式为：y=-x+3,MCB ∠为直角，C(0,3)，∴直线CM 的解析式为：y=x+3，则CM 与抛物线的交点坐标M 横坐标为：2343x x x +=-+，解得：x=5或0(舍去)，所以，当MCB ∠为直角时，5M x =；当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，如下图所示：过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN =，设M 点坐标为()2,43t t t -+， MN CB ⊥，直线CB 解析式为y=-x+3,∴MN 解析式可设：y=x+b,将P ()2,43t t t -+代入解析式可得：b=253t t -+,则直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，将直线MN 与直线CB 解析式联立可得：N 点坐标为221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，∴2MN =2222215154332222t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 2CN = 222215152222t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2215222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 由3MN CN=可得： 2213221522t t t t --=3； 解得：52t =或0(舍去) ； ∴MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞时，点M 的横坐标M x 的取值范围为：552M x <<. 【点睛】本题综合考查了二次函数的图像和性质，题目较难，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合解决二次函数综合问题是解题的关键.7．（1）y=−x 2+3；（2）①或⩽t⩽2【解析】【分析】（1）根据已知条件求出AB 和CD 的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；（2）①由D （，3），则平移后坐标为D´（，3），F （t ，-t 2+3）；则有DF 2=（）2+（-t 2+3-3）2；FB 2=（-t 2+3）2，再根据FB ，即可求得t ；②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出的取值范围，确定限制条件是解题的关键【详解】(1)由题意得AB 的中点坐标为，0),CD 的中点坐标为(0，3)， 分别代入y=ax 2+b 得：3a b 0b 3+=⎧⎨=⎩，解得a 1b 3=-⎧⎨=⎩， ∴y=−x 2+3.（2）①D （3），则平移后坐标为D´（+t ，3），F （t ，-t 2+3）；DF2=（−3+t-t）2+（-t2+3-3）2；FB2=（-t2+3）2DF=7FB，则（−3+t-t）2+（-t2+3-3）2=7（-t2+3）2解得：t2=2或5，则t=2或t=5；②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N.观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足：EE′⩽BE且MN⩾C′N.∵F(t,3−t2),∴EF=3−(3−t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2，由EE′⩽BE,得2t2⩽3,解得t6∵3∴C′点的横坐标为3∴3)2,又C′N=BE′=BE−EE′=3−2t2由MN⩾C′N,得32⩾3−2t2,解得t63或t⩽63舍去).∴t63t⩽6 2【点睛】本题是动线型中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高，灵活应用所学知识是解答本题的关键..8．（1）点D的坐标为(32，12)，抛物线的解析式为243?1?3y x x=-++；（2）①313n m=+；②233124S m m=-+，S的最大值为316【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式为y = ax2 + bx + 1，得到OB=1，根据菱形的性质结合含30度的直角三角形的性质点A、D、C的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）①在Rt △FEA 中，FB=12FA=2，FD=FB+BD=3，根据题意设此一次函数解析式为：n km b =+，求得3m =时，2n FB ==，23m =时，3n FD ==，代入n km b =+，即可求解；②求得NA 33m =-，过N 作NQ ⊥EA ，得到NQ=12NA=332m -，利用面积公式得到S 关于m 的函数表达式，再利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）∵抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，∴OB=1，∵∠BAO=30︒，∠BOA=90︒，∴AB=2OB=2，OA=2222AB OB 213-=-=，∠ABO=60︒，∴点A 的坐标为(3，0)，又∵四边形OBCD 是菱形，且∠ABO=60︒，∴OD=CD=OB=1，∴△DOB 为等边三角形，∴∠BOD=60︒，∠DOA=30︒，BD=BO=OD=DA=1，延长CD 交OA 于H ，则CH ⊥OA ，∴DH=12OD=12，OH=32，CH=CD+DH=32， ∴点D 的坐标为(32，12)，点C 的坐标为(32，32)， 将A 30) ， C 的坐标为332)代入抛物线的解析式y = ax 2 + bx + 1， 得：33103331422a b a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得：43a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为24 ?1?3y x =-+； （2）①在Rt △FEA 中，∠FAE=30︒，FA=2AB=4，∴FB=12FA=2，FD=FB+BD=3， ∵动点M 、N 同时作匀速直线运动，∴n 关于m 成一次函数，故设此一次函数解析式为：n km b =+，当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合，∴m =2n FB ==，当点M 运动到点A 时，点N 恰好与点D 重合，∴m =3n FD ==，代入n km b =+，得：23b b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：31k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴此一次函数解析式为：1n =+； ②NA=FA-FN=4- 33n m =-， 过N 作NQ ⊥EA ，则NQ=12NA=32，∴2133226124S m m m m ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵012-<，当32m ==⎝⎭时，在0m ≤≤范围内，∴132226216S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭最大．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．9．（1）45，45；（2）k＝33±；（3）y＝3x+3﹣2【解析】【分析】（1）如图3，连接AC，则∠ABC=45°；设M是x轴的动点，当点M运动到点O时，∠AOB=45°，该视角最大，即可求解；（2）如图4，以点M为圆心，长度1为半径作圆M，当圆与直线y=kx相切时，直线y=kx （k≠0）关于线段EF的视角为90°，即∠EQF=90°，则MQ⊥直线OE，OQ=1，OM=2，故直线的倾斜角为30°，即可求解；（3）直线PQ的倾斜角为45°，分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R，RQ=RP=1，以点R为圆心以长度1为半径作圆R，由（1）知，设直线与圆交于点Q′，由（1）知，当PQ′Q为等腰三角形时，视角为45°，则QQ=2RQ=2，故点Q′（3-1，1），即可求解．【详解】（1）如图3，连接AC，则∠ABC＝45°；设M是x轴的动点，当点M运动到点O时，∠AOB＝45°，该视角最大，由此可见：当△ABC为等腰三角形时，视角最大；故答案为：45，45；（2）如图4，以点M为圆心，长度1为半径作圆M，当圆与直线y＝kx相切时，直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，即∠EQF＝90°，则MQ⊥直线OE，MQ＝1，OM＝2，故直线的倾斜角为30°，故k＝3±（3）直线PQ的倾斜角为45°，分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R，RQ＝RP＝1，以点R为圆心以长度1为半径作圆R，由（1）知，设直线与圆交于点Q′，由（1）知，当PQ′Q为等腰三角形时，视角为45°，则QQ＝2RQ＝2，故点Q′（3﹣1，1），直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，则直线的表达式为：y＝3x+b，将点Q′的坐标代入上式并解得：直线的表达式为：y＝3x+3﹣2【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序求解，一般比较容易．10．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222-或222x<<.【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C，2C，3C，4C即为所求．()2如图一，当190∠=时，符∠=时，符合()1中条件的点C有2个；如图二，当160合()1中条件的点C有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C都是在点B左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M与OB相切时，只有2个P点．此时OM22=，综上所述，当2x22<<3个P点．∴满足条件的x的值为0或222或2x22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．（1）35，5784y x=+；（2172r≤.【解析】【分析】（1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；②由定义可知，t=-3或6，即点C坐标为（-3，-2）或（6，-2），设AC表达式为y=kx+b，代入即可求出结果；（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙P的半径最小2，当点E的纵坐标为1时，⊙P的半径最大r=172，即可得出结果．【详解】（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，∴最优覆盖矩形的长为：2+5＝7，宽为3+2＝5，∴最优覆盖矩形的面积为：7×5＝35；②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，∴由定义可知，t＝﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），设AC表达式为y＝kx+b，∴3223k bk b=-+⎧⎨-=-+⎩或3226k bk b=-+⎧⎨-=+⎩∴513kb=⎧⎨=⎩或5874kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y＝5x+13或5784y x=-+；（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：∵点D（1，1），∴OD所在的直线表达式为y＝x，∴点E的坐标为（2，2），∴OE＝222+2=22，∴⊙P的半径最小r＝2，②当DE∥x轴时，即：点E的纵坐标为1，如图2所示：∵点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x （x ＞0）的图象上一点 ∴1＝4x ，解得x ＝4， ∴OE ═224+1=17， ∴⊙P 的半径最大r ＝17， ∴1722r ≤≤． 【点睛】 本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．12．（1）4﹣23；（2）32；（3）4﹣5≤S≤4+5 【解析】【分析】（1）在Rt △DCG 中，利用勾股定理求出DG 即可解决问题；（2）首先证明AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝m ，则DH ＝AD ﹣HD ＝4﹣m ，在Rt △DHC 中，根据CH 2＝CD 2+DH 2，构建方程求出m 即可解决问题；（3）如图，当点G 在对角线AC 上时，△OGE 的面积最小，当点G 在AC 的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝CG ＝4，∠D ＝90°，∵AB ＝CD ＝2，∴DG 22CD CG -2242-3，∴AG ＝AB ﹣BG ＝4﹣3故答案为:4﹣3．（2）如图2中，由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，∵点G在线段AE上，∴∠AGC＝90°，∵CA＝CA，CB＝CG，∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．∴∠ACB＝∠ACG，∵AB∥CD∴∠ACG＝∠DAC，∴∠ACH＝∠HAC，∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，∴m2＝22+（4﹣m）2，∴m＝52，∴AH＝52，GH22AH AG-22522⎛⎫-⎪⎝⎭32．（3）在Rt△ABC中，2225AC AB BC=+=,152OC AC，由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB 不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，即△OGE的面积最小，最小值＝12×OG×EG＝12×2×（4545当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE′G′的面积最大．最大值＝12×E′G′×OG′＝12×2×（55综上所述，455【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.（1）比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键；（2）能表示Rt△DHC三边，借助方程思想是解决此问的关键；（2）理解线段GE的运动轨迹，得出面积最小（大）时G点的位置是解决此问的关键.。
九年级数学上册数学压轴题练习(Word版 含答案)
九年级数学上册数学压轴题练习（Word 版 含答案）一、压轴题1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.2．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，4），一次函数23y x b =-+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．3．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）； （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 5．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.6．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ 3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．7．已知抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 经过点A （4，3），顶点为B ，对称轴是直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标；（2）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，E 是线段AC 上的动点（点E 不与A ，C 两点重合）；（i ）若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1：3的两部分，求点E 的坐标； （ii ）如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线122y x =-经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是t ．①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．9．已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线2x =．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点(,1)M m -，点A 、B 为抛物线上不重合的两点（B 在A 的左侧），且直线MA 与抛物线仅有一个公共点．①如图1，当点M 在y 轴上时，过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ，BQ x ⊥轴于点Q ．若APM △与BQO △ 相似， 求直线AB 的解析式；②如图2，当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时，记A 、B 两点的横坐标分别为a 、b ．当点M 在y 轴上时，直接写出m am b--的值为 ；当点M 不在y 轴上时，求证：m am b--为一个定值，并求出这个值．10．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．11．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求tan ACB ∠；（3）若5tan 2CDE ∠=，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ； （1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) ☉O 的半径是32；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，在☉0中，o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .AB//ON ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．2．（1）b=3；（2）点M 坐标为7(1,)3；（3）93(,)42-或3654(,)1313【解析】 【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D 的坐标，则OD=b ，则E 的坐标即可利用b 表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b 的方程，求得b 的值；（2）首先求得四边形OAED 的面积，则△ODM 的面积即可求得，设出M 的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标，进而求得M 的坐标；（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN 是菱形时，M 是OD 的中垂线与DE 的交点，M 关于OD 的对称点就是N ；②四边形OMND 是菱形，OM=OD ，M 在直线DE 上，设出M 的坐标，根据OM=OD 即可求得M 的坐标，则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标． 【详解】（1）在23y x b =-+中，令x=0，解得y=b ， 则D 的坐标是(0,b)，OD=b ， ∵OD=BE ，∴BE=b ，则点E 坐标为（3,4-b ），将点E 代入23y x b =-+中，得：4-b=2+b,解得：b=3； (2)如图，∵OAED S 四边形=11()(31)3622OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13=42ODM OAED S S ∆=四边形 设M 的横坐标是a ，则13322a ⨯=， 解得：1a =， 将1x a ==代入233y x =-+中，得： 27333y =-⨯+=则点M 坐标为7(1,)3；（3）依题意，有两种情况：①当四边形OMDN 是菱形时，如图(1),M 的纵坐标是32，把32y =代入233y x =-+中，得： 23332x -+=，解得：94x =， ∴点M 坐标为93(,)42， 点N 坐标为93(,)42-；②当四边形OMND 是菱形时，如图(2)，OM =OD =3， 设M 的坐标2(,3)3m m -+， 由OM=OD 得：222(3)93m m +-+=， 解得：3613m =或m=0(舍去)， 则点M 坐标为3615(,)1313， 又MN ∥OD ，MN=OD=3， ∴点N 的坐标为3654(,)1313， 综上，满足条件的点N 坐标为93(,)42-或3654(,)1313．【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识的联系点，运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．3．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【解析】 【分析】（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ． 【详解】解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x = ∴4AB x =∴在Rt ABQ △中，5BQ x ==∵OD m ⊥，m l ⊥ ∴//OD l ∵OB OQ = ∴122AH BH AB x === ∴2CD x = ∴332FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q ∴3AP AQ x == ∵4PC = ∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：∵90BAQ ∠=︒∴//OM AB∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =①点P 在A 点的右侧时，如图：∴243x x +=∴4x =∴312AP x ==②点P 在A 点的左侧时I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时，如图：∵47DE x =-，3DF x =∴473x x -=∴25x = ∴635AP x x ==ii.当4273x ≤<时，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =（不合题意，舍去）II. 当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =∴33AP x ==∴综上所述，当12AP =或65AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．4．（1）30°；（2）EF=；（3）CO 的长为或时，△PEB 为等腰三角形．【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；（2）首先证明△HBO ≌△COD （AAS ），进而利用△COD ∽△CBF ，得出比例式求出EF 的长；（3）分别利用①当PB=PE ，不合题意舍去；②当BE=EP ，③当BE=BP ，求出即可． 试题解析：（1）如图1，连接EO ，∵∴∠BOE=∠EOD ，∵DO ∥BF ，∴∠DOE=∠BEO ，∵BO=EO，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°，∴∠F=30°；（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，∵在△HBO和△COD中，∴△HBO≌△COD（AAS），∴CO=BH=a，∴BE=2a，∵DO∥BF，∴△COD∽△CBF，∴∴，∴EF=；（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，∴∠COD=∠DOE，∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，∴EM=PE=，∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，∴△BEM∽△DOC，∴，∴，整理得：x2+x-4=0，解得：x=（负数舍去），综上所述：当CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．考点：圆的综合题．5．（1）45°+α；（2）证明见解析；（3）2BF+CF.【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥DF于G，由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD，∠BAP=∠EAF，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG，即可得∠FAG=12∠BAD=45°，∠DAG+∠BAP=45°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案；（2）由（1）可得∠FAG=12∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根据轴对称的性质可得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可证明BF⊥DF；（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH，根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH，由轴对称性质可得BF=EF，可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，2BF，即可证明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可证明四边形EFCH是平行四边形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代换可得CH=BF，利用SAS可证明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】（1）过点A作AG⊥DF于G，∵点B关于直线AF的对称点为E，四边形ABCD是正方形，∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF，∴AE=AD，∵AG⊥FD，∴∠EAG=∠DAG，∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG，∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°，∴∠DAG=45°-α，∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α.（2）由（1）得∠GAF=45°，∵AG⊥FD，∴∠AFG=45°，∵点E、B关于直线AF对称，∴∠AFB=∠AFE=45°，∴∠BFG=90°，∴BF⊥DF.（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，∵∠BFD=∠BCD=90°，∴B、F、C、D四点共圆，∴∠FDC=∠FBC，∠DFC=∠DBC=45°，∵CH//FD，∴∠DCH=∠FDC，∴∠FBC=∠DCH，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH，即∠ABF=∠BCH，∵点E、B关于直线AF对称，∴BF=EF，∵∠BFE=90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BEF=45°，2BF，∴∠BEF=∠DFC，∴FC//BH，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=FC，CH=BF，在△ABF和△BCH中，AB BCABF BCH BF CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴2BF+CF.【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质，正确得出B、F、C、D四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键.6．（1）637；（2）BE＝433；菱形与圆重叠部分的面积为833．【解析】【分析】（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：（1）如图：过点P作PT⊥BQ于点T，∵AB＝2，AD＝BC＝3，DQ3∴AQ3在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ7．又∵四边形BPDQ是平行四边形，∴BP＝DQ3，∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，∴△AQB∽△TBP，∴3,37 BT BDAQ BQ==即∴BT=33 7，∴BE＝2BT＝637．（2）设菱形BPDQ的边长为x，则AQ＝23﹣x，在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得AB2+AQ2＝BQ2，即4+（23﹣x）2＝x2，解得x＝43 3.∵四边形BPDQ为菱形，∴BP=DP=43 3,又CP=BC-BP=233,即DP=2CP,∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，∴连接PQ,易得△BPQ为等边三角形，∴PQ=BP,∴点Q也在圆P上，圆P经过点B,D,Q,如图.∴点E、Q重合，∴BE 43 3∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，∴S菱形833．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识．7．（1）y＝﹣14x2+x+3，顶点B的坐标为（2，4）；（2）（i）点E的坐标为（85，3）或（125，3）；（ii）存在；当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为43．【解析】【分析】（1）由题意得出21441,43,124b cb⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得1,3,bc=⎧⎨=⎩，得出抛物线的函数表达式为：y＝﹣14x2+x+3＝﹣14（x﹣2）2+4，即可得出顶点B的坐标为（2，4）；（2）（i）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为：y＝12m--x+462mm--，则点M的坐标为（4m﹣6，0），由题意得出OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，则S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM＝15182m-，分两种情况求出m的值即可；（ii）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：（a，﹣14a2+a+3），则NF＝3﹣（﹣14a2+a+3）＝14a2﹣a，NC＝﹣a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝4，则AE＝NC＝﹣a，证△ENF∽△DAE，得出NF NEAE AD=，求出a＝﹣43或0，当a＝0时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a＝43，即可得出结论．【详解】（1）∵抛物线y＝﹣14x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，∴21441, 43,124b cb⎧-⨯++=⎪⎪⎨-=⎪⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,3, bc=⎧⎨=⎩∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣14x2+x+3，∵y＝﹣14x2+x+3＝﹣14（x﹣2）2+4，∴顶点B的坐标为（2，4）；（2）（i）∵y＝﹣14x2+x+3，∴x＝0时，y＝3，则C点的坐标为（0，3），∵A（4，3），∴AC∥OD，∵AD⊥x，∴四边形ACOD是矩形，设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：则24,3, k nmk n+=⎧⎨+=⎩解得：1,246,2kmmnm-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，∴直线BE的函数表达式为：y＝12m--x+462mm--，令：y＝12m--x+462mm--＝0，则x＝4m﹣6，∴点M的坐标为（4m﹣6，0），∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，S梯形ECOM＝12（OM+EC）•OC＝12（4m﹣6+m）×3＝15182m-，分两种情况：①S ECOMS ACOD梯形矩形＝14，即1518212m-＝14，解得：m＝85，∴点E的坐标为：（85，3）；②S ECOMS ACOD梯形矩形＝34，即1518212m-＝34，解得：m＝125，∴点E的坐标为：（125，3）；综上所述，点E的坐标为：（85，3）或（125，3）；（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：设点F的坐标为：（a，﹣14a2+a+3），则NF＝3﹣（﹣14a2+a+3）＝14a2﹣a，NC＝﹣a，∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，∵NF∥CG，∴∠EMC＝∠EFN，∴∠EFN＝∠DGO，在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG，EF=DG,∠EFN=∠DGO，∴△EFN≌△DGO（ASA），∴NE＝OD＝AC＝4，∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，∴∠EFN＝∠DEA，∴△ENF∽△DAE，∴NE NFAD AE=，即43＝214a aa--，整理得：34a2+a＝0，解得：a＝﹣43或0，当a＝0时，点E与点A重合，∴a＝0舍去，∴AE ＝NC ＝﹣a ＝43， ∴当点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上，此时AE 的长为43．【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型．8．（1）211242y x x =--；（2）①P (2，−2)或(-6，10)，②1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++ 【解析】【分析】（1）利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ，C 的坐标，根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑： （i ）当∠MPC=90°时，PC //x 轴，利用二次函数可求出点P 的坐标；（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，易证△BOC ∽△COD ，利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标，根据点C ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线PC 的解析式，联立直线PC 和抛物线的解析式，通过解方程组可求出点P 的坐标；②在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线，分开求解三条中位线方程即可求解．【详解】解：（1）因为直线交抛物线于B 、C 两点，∴当x =0时，y =12x −2=−2， ∴点C 的坐标为(0，−2)；当y =0时，12x −2=0， 解得：x =4，∴点B 的坐标为(4，0)．将B 、C 的坐标分别代入抛物线，得： 2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为211242y x x =--． （2）①∵PM ⊥x 轴，M 在直线BC 上，∴∠PMC 为固定角且不等于90，∴可分两种情况考虑，如图1所示：（i ）当∠MPC=90时，PC //x 轴，∴点P 的纵坐标为﹣2，将y p =-2，代入抛物线方程可得：2112242x x --=-解得： x 1=2，x 2=0（为C 点坐标，故舍去），∴点P 的坐标为(2，−2)；（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，∵∠OBC+∠OCB=90°，∠OCB+∠OCD=90°，∴∠OBC=∠OCD ，又∵∠BOC=∠COD=90°，∴BOC ∽COD （AAA ），∴OD OC OC OB =，即OD=2OC OB， 由（1）知，OC=2，OB=4，∴OD=1，又∵D 点在X 的负半轴∴点D 的坐标为(-1，0)，设直线PC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 是常数)，将C(0，−2)，D(-1，0)代入直线PC 的解析式，得：20b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2，联立直线PC 和抛物线方程，得：22122142x x x -=---， 解得：x 1=0，y 1=−2，x 2=-6，y 2=10，点P 的坐标为(-6，10)，综上所述：当PCM 是直角三角形时，点P 的坐标为(2，−2)或(-6，10)； ②如图2所示，在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线；（a ）当以CM 为底时，过A 点做CM 的平行线AN ，直线AN 平行于CM 且过点A ，则斜率为12，AN 的方程为：1(+2)2y x =，则中位线方程式为：1122y x =-； （b ）当以AM 为底时，因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点，则M 的横坐标为t ，且在直线BC 上，则M 的坐标为：1,22M t t -（），其中4t >，则AM 的方程为：44+242t t y x t t --=++，过C 点做AM 的平行线CQ ，则CQ 的方程为：4224t y x t -=-+ ，则中位线方程式为：4412424t t y x t t --=+-++； （c ）当以AC 为底时，AC 的方程式为：2y x =--，由b 可知M 的坐标为：1,22M t t -（），过M 做AC 的平行线MR ，则MR 的方程为：322y x t =-+-，则中位线方程式为：324y x t =-+-； 综上所述：当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，直线解析式为：1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++．【点睛】本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等，解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等．9．（1）214y x x =-；（2）①122y x =-+，②1，见解析，定值为1 【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点(4,0)、(2,3)-代入解析式，再结合抛物线对称轴方程得到三元一次方程组，解方程组即可．（2）①先求出平移后的抛物线解析式，设出直线MA 的解析式1y kx =-，再联立抛物线解析式2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得到21104x kx -+=，令210k ∆=-=，求出k 的值，得出APM ∆为等腰直角三角形，运用APM ∆与BQO ∆相似得出90BQO APM ∠=∠=，故AB ：y mx n =+，则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩即可求出AB 函数关系式． ②当M 在y 轴上时，m=0，再根据图像对称性可得A 、B 两点关于y 轴对称，得出a ，b 的关系，即可求出答案；当M 不在与轴上时，设MA ：111y k x k m =--，联立抛物线解析式112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩，得出2114440x k x k m -++=，令212=16(1)0k k m ∆--=，同理设出MB ，令22216(1)0k k m ∆=--=，故1k ，2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根，得出12k k m +=，即可求出答案．【详解】解：（1）设2y=ax +bx+c a （≠0），把点(4,0)、(2,3)-代入 ∵对称轴为x=2 ∴164042322a b c a b c b a ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-=⎩解得1410a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴抛物线解析式214y x x =-． （2）①(0,1)M -，平移后抛物线214y x =设MA ：1y kx =- 则联立2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，21104x kx -+= 210k ∆=-=1k ∴=±又由图，A 在y 轴右侧故1k =，(2,1)A2AP PM ∴==，APM ∆为等腰直角三角形又APM ∆与BQO ∆相似∴△BQO 为等腰直角三角形，设B （﹣x ，x ），带入抛物线解析式得：214x x = 解得x=4或x=0(舍去)∴B （﹣4,4）设AB ：y mx n =+，把(2,1)A ，B （﹣4,4）带入得： 则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩，122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴AB 解析式为：122y x =-+． ②（i ）∵214y x =关于y 轴对称，M 在y 轴上，且MA ，MB 与抛物线只有一个交点 ∴A 、B 两点关于y 轴对称，∴a=﹣b ∴m a m b --=0+b 0b-=1， 故答案是：1；（ii ）设MA ：111y k x k m =--， 则联立112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩， 2114440x k x k m -++=，此方程仅一个根，故11422k a k ==， 且212=16(1)0k k m ∆--=，同理设MB ：221y k x k m =--，亦有22b k =，22216(1)0k k m ∆=--=，故1k ，2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根，12k k m +=，()111122122m k m k m a m b m m k k m---∴===----， 即m a m b --为一定值1， ∴当点M 不在y 轴上时，m a m b--为一个定值1． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题型，二次函数待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的综合应用，二次函数与相似三角形的综合应用，解题关键在于理解题意，正确分析题目，运用数形结合思想进行解题．10．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222-或222x <<.【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．此时OM 22=， 综上所述，当2x 22<<3个P 点．∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．(1)证明见解析；（2）①215（3）21029y x =【解析】【分析】 ()1由圆内接四边形性质知ABC CDE ∠∠=，由AB AC =知ABC ACB ∠∠=，从而得ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠===；()2①由BAD DCE ∠∠=，ADB CDE ∠∠=可证ADB ∽CDE.从而得AD DB CD DE =； ②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，证MAF ≌DAF 得MF DF =，据此知BM CM CD 3===，MF DF 2==，求得22CF CD DF 5=-=定义可得答案；()3证ABD ∽AEB 得2AB AD AE.=⋅证ABD ∽CED 得BD CD AD DE.⋅=⋅从而得2ABC BCD 111S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC x sin BAC 222∠∠∠-=⋅⋅-⋅⋅=，再由5tan ABC tan CDE 2∠∠==，可设BM 2a =，知AM 5a =，AB 29a =，由面积法可得BN a 29=，即20sin BAC 29∠=，据此得出答案． 【详解】解：()1四边形ABCD 是圆O 的内接四边形， ABC 180ADC CDE ∠∠∠∴=-=．AB AC =，ABC ACB ∠∠∴=．ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠∴===；()2①四边形ABCD 内接于圆，BAD 180BCD DCE ∠∠∠∴=-=．又ADB CDE ∠∠=，ADB ∴∽CDE ．AD DB CD DE∴=， AD DE BD CD 7321∴⋅=⋅=⨯=；②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，AM 平分BAC ∠，AM BC ∴⊥，CAD CBD 90ACB MAF ∠∠∠∠∴==-=． MAF ∴≌()DAF ASA ．MF DF ∴=，即AC 是线段MD 的中垂线．BM CM CD 3∴===，MF DF 2∴==，在Rt CDF 中，2222CF CD DF 325=--=， BF tan ACB 5CF 5∠∴===()3BAD EAB ∠∠=，ADB ACB ABE ∠∠∠==，ABD ∴∽AEB ，AB AD AE AB∴=，即2AB AD AE =⋅． CDE ADB ∠∠=，DCE BAD ∠∠=ABD ∴∽CED ， BD AD DE CD∴=，即BD CD AD DE ⋅=⋅． ABC BCD 11S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC 22∠∠-=⋅⋅-⋅⋅, ()1sin BAC AD AE AD DE 2∠=⋅-⋅. 21x sin BAC 2∠=，又5tan ABC tan CDE 2∠∠==， 如图2，设BM 2a =，则AM 5a =，AB 29a =， 由面积法可得BN 29=，即20sin BAC 29∠=， 22ABC BCD 12010S S x x 22929y ∴-==⨯=． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点．12．（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论；()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】()1证明：OD BC ⊥，BD CD ∴=，CBD DCB ∴∠=∠，90DFE EDF ∠+∠=，90EDF DFE ∴∠=-∠，OD OA =，()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902DFE AOD ∴-∠=-∠， 12DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，BE CE ∴=，BD CD =，BD CD ∴=，OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠，PA 切O 于点A ，90PAO ∴∠=， 90OAD DAP ∴∠+∠=， PFA DFE ∠=∠，90PFA ADO ∴∠+∠=，PAF PFA ∴∠=∠，PA PF ∴=．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。
2020年秋浙教版九年级数学上册期末压轴题训练(30道题 含答案)
2020年秋浙教版九年级数学上册期末压轴题训练（30道题含答案）一、解答题（共30题）1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC ，点D、E分别在边BC、DC上，AB2 =BE ·DC ，DE:EC=3:1 ，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G ．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；（3）如图，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．2.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2mx+4(m≠0)与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6.（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y轴上取点E（0,2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF、EF ，如果S四边形OEFB=10，求点F的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF 与y轴的夹角等于∠EBF ，求点P的坐标.3.已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A、B分别在直线CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB 于点F，AD=x，CE=y.（1）求证：∠DAB=∠DCF.（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.4.如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC ，AB＝DC ，且AB＝4cm，BC＝8cm，对角线AC＝4√5cm．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图，点Q是AC上一点，点P是BC上一点，点P不与点B重合，√5BP＝2CQ，连接BQ、AP ，若AP⊥BQ ，求BP的值；（3）如图，若动点Q从点C出发，以每秒√5cm的速度在对角线AC上运动至点A止，过点Q作BC 垂线于点P ，连接PQ ，将△PQC沿PQ折叠，使点C落在直线BC上的点E处，得△PQE ，是否存在某一时刻t，使得△EAQ为直角三角形？请求出所有可能的结果．5.我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB =ABAC.那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为√5−12.（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为________ cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG .试说明G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AE>DE)，连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P .他发现当PB与BC满足某种关系时E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.6.如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C,G,F,E按逆时针排列），连接BE,DG .（1）当点F在线段AD上时.①求证：BE=DG；②求证：CD−FD=√2BE；（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C,G,D,F为原点的四边形的面积为S3，当S2S1=1325时，请直接写出S3S1的值.7.已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD=∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°<α<180°）.（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD=∠B′A′D′=90°，求证：BB′=DD′；（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′=MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P；①如图2，当∠BAD=∠B′A′D′=90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数；②如图3，当∠BAD=∠B′A′D′=60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数；③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′=4，AB=2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长.8.如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN 分别与x轴相交于A、B两点.（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及AC的值；BC的值是否发生变化？请说明理由；（2）随着a的变化，ACBC（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F.若FB＝FE，求此时的二次函数表达式.9.如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC 延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；（2）若EC=2，求△CEF的面积；（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．10.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点物线对称轴为直线x＝12F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．11.如图，抛物线y=−1x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(4,0)，与y轴交于点C，连接2BC，点P是线段BC上的动点（与点B,C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ,BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，PQ是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．AP12.如图（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；②在①中所画图形中，∠AB′B＝________°．（2）（问题解决）如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．13.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将ΔBCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B 到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值．14.如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是________；（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.15.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0< t<4），过点P作PN/x轴，分别交AO,AB于点M，N.（1）填空：AO的长为________，AB的长为________（2）当t=1时，求点N的坐标：（3）请直接写出MN的长为________（用含t的代数式表示）；（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M,N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t=43时，请直接写出S1⋅S2（即S1与S2的积）的最大值为________.16.如图（1）（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：AE EB = DECB.（2）（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EFEG = AEEB，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.（3）（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且AEEB = DEEC，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.17.矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求APDE的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A,B，与y轴交于点C ，且直线y=x−6过点B ，与y轴交于点D ，点C与点D关于x轴对称．点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q ，使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．19.如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．（1）求证：AM=BN；（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系，请直接写出AK长．式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为11020.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA 、S△OBCS△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME=1，求正方形ABCD的面积．21.如图所示，抛物线y=x2−2x−3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A ，M（3，0）且与抛物线交于另一点B ，与y轴交于点C ，求证：MC22＝MA•MB；（3）若点P ，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O ，C ，P ，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．23.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G.（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长.24.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC 的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB=8.（1）求证：四边形AEFD为菱形.（2）求四边形AEFD的面积.（3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由.25.[探索规律]如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DF//BC，EF//AB.设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2.=________；（1）若△ADF、△EFC的面积分别为4和1，则h1h2（2）某校数学兴趣小组的同学对△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积关系进行了研究设△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积分别为S1、S2、S，EC的长为a，则S2=________ (用含a和h2的式子表示)；S1=________ (用含a、h1和h2的式子表示)；S=________(用含a、h1的式子表示)；从而得出S=2 √s1s2 .（3）[解决问题]如图②，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，点F、G在BC上，且DE//BC，DF//EG.若△ADE、△DBF.△EGC的面积分别为2、3、5，求△ABC的面积.26.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线EG与⊙O相切于点E,EG//BC，连接AE交BC于点D．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，且DE=3，DF=2，求AF的长．27.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E ，连接AD、BC．（1）求证：∠BCE=∠CAD；（2）若AB=10,AD=6，求CE的长．28.如图，AB为⊙O的直径，D是BC的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F.（1）求证：OD∥AC；（2）求证：DC2＝DE•DA；（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长.29.四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC．BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝√5PD，AB+CD＝2（√5+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．30.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C 的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF。
北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)
期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N 的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点B（﹣1，0），A（0，1），∴D（1，0），C（0，﹣1）；过N作NH⊥BD于h，∴∠NHB＝90°，∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠NBH＝60°，BM＝BN，∴NH＝BN＝t，∵0＜t≤2，∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形，∴MN＝BM，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝BA，∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM＝EN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，∴∠EBH＝30°，∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，∴BH＝＝＝，∴CH＝2+，∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．（1）如图1，若AE＝，求DF的长；（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC∵△ADE是等边三角形∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°∴CD＝AD＝，OD＝OB＝∵AE＝DE，OD＝OA∴OE垂直平分AD即OE⊥AD，DH＝AH∴OE＝OH+EH＝+＝，∵∠ADC＝∠DHE＝90°∴CD∥OE∴△CDF∽△EOF∴＝，即DF＝OF∵DF+OF＝OD＝∴OF＝﹣DF∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°易证OE⊥AD∴OE＝a，OD＝a，由（1）知△CDF∽△EOF∴＝，即a•DF＝a•OF∵DF+OF＝a∴OF＝a﹣DF∴a•DF＝a（a﹣DF）∴DF＝a，∵△DPF是等腰直角三角形∴DP＝PF＝DF＝a，∴FQ＝a﹣a＝a＝CP，∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF在△MCF和△MTF中∴△MCF≌△MTF（SAS）∴CF＝FT∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL）∴QT＝PF＝a，∵AQ＝DP∴AQ＝QT∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM∴CM﹣BM＝AB﹣AT＝a﹣2×a＝a，CM+BM＝MT+BM＝BT+2BM＝a﹣2×a+2BM＝a+2BM∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝a（a+2BM）∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2，∴a（a+2BM）＝a2，∴BM＝a在Rt△BCM中，tan∠BMC＝＝＝，∴∠BMC＝60°∴∠AMF＝30°∴＝cos∠AMF＝cos30°＝∴2MQ＝MF∵2MQ＝2BM+2BQ＝2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM ∴CM+AM＝MF即CM＝MF﹣AM．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，若EF＝2，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，M为菱形ABCD外一点，过A作AN⊥BM交BM的延长线于点N，连接AM，DM，AG⊥DM于点G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+AM．（1）解：如图1中，∵四边形ABC都是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°，∵EF＝2，∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°，∵∠BFE＝∠ABF+∠F AB，∴∠ABF＝∠F AB＝30°，∴BF＝AF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，∴AB＝＝4，∴BC＝AB＝4，∴S＝BC•AE＝24．菱形ABCD（2）证明：如图2中，∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，∴AN＝AG，∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG，∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL），∴NM＝MG，∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD，∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL），∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG，∴∠BMD＝△BAD＝120°，∴∠NMG＝60°，∴∠AMN＝∠AMG＝30°，∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝AM，∴DM＝BM+AM．5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝6时，四边形BFCE是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程．）（1）证明：∵在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE＝EC，∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6，∵∠EBD＝60°，EB＝EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝6．故答案为：6．6．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°．点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB ＝90°，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝＝3；③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．在Rt△ATB中：AT＝＝3．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；（2）证明：如图③所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4，∵tan∠1＝，tan∠3＝，∴＝，∵AE＝AF，AB＝BC，∴＝，∴△PBC∽△P AF，∴∠5＝∠6．∵∠6+∠7＝90°，∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．8．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GDE＝∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，∴∠GED＝∠BFH，∴EG∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，∵∠FBH＝∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴＝，由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH＝AB＝5，∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，∴＝，解得：BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF＝，∴BD＝BF+DF＝+＝．9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，， ∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ；故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ， ∴S △BOE ＝S △AOG ， ∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB ＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB ＝S四边形AEOG，∴S△BOE ＝S△AOG，∵S△BOE ＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q 的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．13．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．15．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。
人教版数学九年级上册 第二十四章 《圆》 压轴题综合培优训练(含答案)
《圆》压轴题综合培优训练1．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC 交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．2．如图，在△ABC中，CA＝CB，E是边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB 于点D，连结ED．（1）判断△BDE的形状并证明．（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE＝CE＝3，求AF的长．3．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：∠BDC＝∠A；（2）若CE＝2，DE＝2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．6．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．7．如图，AH是圆O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直径．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交⊙O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中∠EDB＝30°，∠CDE的平分线DN交CE于点G，交⊙O于点N，延长CE至点F，使FG＝FD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．9．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长10．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．11．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果OA＝3，求AE•AB的值．12．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，O是BC上一点，⊙O交AB于点D，交BC 延长线于点E．连接ED，交AC于点G，且AG＝AD．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）设⊙O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的长．13．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．14．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB是圆O的直径，C是圆上的一点，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是圆O的切线．（2）若AB＝6，AE＝4.8，求BD和BC的长．15．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．参考答案一．解答题1．解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O 的面积：12π＝（AB ）2π，则AB ＝4，∠CAB ＝30°，∴BD ＝2，BC ＝4，AC ＝8，而OE ＝AC ＝4，四边形OBED 的外接圆面积S 2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC 边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC 的内切圆面积S 1和四边形OBED 的外接圆面积S 2的比为：． 2．（1）证明：△BDE 是等腰直角三角形．∵AE 是⊙O 的直径∴∠ACB ＝∠ADE ＝90°，∴∠BDE ＝180°﹣90°＝90°．∵CA ＝CB ，∴∠B ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形．（2）过点F 作FG ⊥AC 于点G ，则△AFG 是等腰直角三角形，且AG ＝FG ．∵OA ＝OC ，∴∠EAC ＝∠FCG ．∵BE ＝CE ＝3，∴AC ＝BC ＝2CE ＝6，∴tan ∠FCG ＝tan ∠EAC ＝．∴CG ＝2FG ＝2AG ．∴FG ＝AG ＝2，∴AF ＝2． 3．【解答】（1）证明：∵⊙O 切BC 于D ，∴OD ⊥BC ，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，∴S△AEM ＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．4．（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴＝，∴EC2＝DE•AE，∴（2）2＝2（2+AD），∴AD＝4．（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE＝＝＝，∴∠DCE＝30°，又∵△AEC∽△CED，∴∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，BD＝AD•tan A＝4×＝，∴△OBD是等边三角形，则OD＝BD＝，则弧BD的长是＝．5．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）证明：∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD＝＝2．6．证明：（1）连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．7．解：（1）如图1，连接OE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF＝180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE＝∠OEF＝90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线．（2）设AB＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝x，BC＝AD＝8，∴CE＝BC﹣BE＝3，∵AE是∠BAF的角平分线，BE⊥AB，EF⊥AF，∴EF＝BE＝5，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CF＝4，∴DF＝CD﹣CF＝x﹣4，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB＝x，在Rt△ADF中，x2﹣（x﹣4）2＝64，∴x＝10，∴AB＝10，设⊙O的半径为r，∴OB＝10﹣r，在Rt△BOE中，r2﹣（10﹣r）2＝25，∴r＝，∴⊙O的直径为．8．（1）证明：连接OD，∵CD垂直平分OA，∴OM＝OA＝OD，∴∠ODC＝30°，∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∵DN平分∠CDE，∴∠CDN＝45°，∴∠ODN＝45°﹣30°＝15°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠ODC＝30°，∴∠FGD＝45°+30°＝75°，∵FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝75°，∴∠ODF＝∠ODN+∠FDG＝15°+75°＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠EDB＝30°，∴∠EOB＝60°，Rt△CDE中，∠DEC＝60°，∴∠DEC＝∠EOB＝60°，∴DE∥AB，∴S△DOE ＝S△ODE，∴S阴影＝S扇形ODE＝＝；答：线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积是，9．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，∴DB＝DE；（2）解：连接CD，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠1＝∠2，∴DB＝BC，∴△DBC为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝4，∴△ABC外接圆的半径为2；（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，∴△DBF∽△ADB，∴＝，即＝，∴AD＝9．10．解：（I）如图①，连接OB，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF＝90°，∵OA⊥CD，∴∠OED＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°，∵OA＝OB，∴∠1＝∠A＝（180°﹣130°）＝25°，∴∠2＝90°﹣∠1＝65°，∴∠BGF＝180°﹣∠2﹣∠F＝180°﹣65°﹣50°＝65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵AC∥BF，∴BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣36°＝144°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝（180°﹣144°）＝18°，∵∠AOB＝∠OHA+∠OAH，∴∠OAH＝144°﹣90°＝54°，∴∠BAC＝∠OAH+∠OAB＝54°+18°＝72°，∴∠BDG＝∠BAC＝72°．11．（1）证明：连接OB．∵CD⊥OA，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC．（2）解：连接OF．∵AD＝OD，FD⊥OA，∴FA＝FO＝AO，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠ABF＝∠AOF＝30°．（3）解：延长AO交⊙O于H，连接BH．∵AH是直径，∴∠ABH＝∠ADE＝90°，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，∴＝，∴AE•AB＝AD•AH＝×6＝9．12．（1）证明：连结OD，∵∠ACB＝90°，∴∠OED+∠EGC＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGD＝∠EGC，∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，∴OD⊥AB，∵OD为半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OF，∵EF∥AB，AC：BC＝4：3，∴CF：CE＝4：3，又∵EF＝5，∴CF＝4，CE＝3，设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r﹣3．在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，∵∠ECF＝∠ODB＝90°，∴△CEF∽△DBO，∴＝，∴＝，∴BD＝．13．证明：（Ⅰ）连接OE，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∵E点是BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE＝∠OBE，∵∠ABC＝90°，∴∠ODE＝90°；（Ⅱ）∵CF＝OF，CE＝EB，∴FE是△COB的中位线，∴FE∥OB，∴∠AOD＝∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE＝90°，∴∠AOD＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝．14．解：（1）如图，连接OC，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠BA C；又在圆中OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，由AE⊥DC知OC⊥DC，∴DE是⊙O的切线．（2）∵∠D＝∠D，∠E＝∠OCD＝90°，∴△DCO∽△DEA，∴＝，∴＝，∴＝，∴BD＝2；∵Rt△EAC∽Rt△CAB，∴＝，∴＝∴AC2＝，由勾股定理得：BC＝＝．15．解：（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，∴∠M＝90°，在Rt△AMB中，AB＝，∴AB＝10．∴OB＝5，∵OB＝ON，又∵∠NOB＝60°，∴△NOB是等边三角形，∴NB＝OB＝5．（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．理由：方法一：如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．∵MC⊥AB，又∵OM＝OQ，∴MC＝CQ，即C是MQ的中点，又∵P是MQ的中点，∴CP是△MQN的中位线，∴CP∥QN，∴∠MCP＝∠MQN，∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON，∴∠MQN＝∠MBN，∴∠MCP＝∠MBN，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠MBN+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．∵P是MN中点，又∵OM＝ON，∴OP⊥MN，且∠MOP＝∠MON，∵MC⊥AB，∴∠MCO＝∠MPO＝90°，∴设OM的中点为Q，则QM＝QO＝QC＝QP，∴点C，P在以OM为直径的圆上，在该圆中，∠MCP＝∠MOP＝∠MQP，又∵∠MOP＝∠MON，∴∠MCP＝∠MON，在半圆O中，∠NBM＝∠MON，∴∠MCP＝∠NBM，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠NBM+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．。
九年级上册压轴题数学考试试卷含详细答案
九年级上册压轴题数学考试试卷含详细答案一、压轴题1．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ．(1)求证：AH=BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；(3)若OG ⊥CG ，BG=32，求△OGC 的面积．2．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为()3,0，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ；M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+，以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．（1）求b 的值．（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．4．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．5．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点，与x 轴相交于点F ，直线132y x =+与抛物线交于()()2266A B -，，，两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点E 是线段OC 上的一个动点(不与端点重合)，过点E 作//EG BC 交BF 于点C ，连接DE DG ，．（1）求抛物线的解析式及点F 的坐标；（2）当DEG ∆的面积最大时，求线段EF 的长；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点()4H n ，和点P ，使EHP ∆为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．6．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-+与抛物线交于B ，D 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求m 的值和D 点坐标；（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标；（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．8．如图1，抛物线221y x x =-+-的顶点A 在x 轴上，交y 轴于B ，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x 轴交于,C D ，顶点为()1,4E ．（1）求点B 的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点M 在原抛物线上，平移后的对应点为N ，若OM ON =，求点M 的坐标； （3）如图2，直线CB 与平移后的抛物线交于F ．在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以,,C F P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB SS =，求直线CE 的解析式 （3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；（4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC ，交折线段BA-AD 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，点N 在射线BC 上，当Q 点到达D 点时，运动结束．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当正方形PQMN 的边MN 恰好经过点D 时，求运动时间t 的值；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN 与△BCD 的重合部分面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）如图2，当点Q 在线段AD 上运动时，线段PQ 与对角线BD 交于点E ，将△DEQ 沿BD 翻折，得到△DEF ，连接PF ．是否存在这样的t ，使△PEF 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与33y x =-平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标；（3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．①试求点N 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数关系式；②直接写出N 点的运动轨迹长度为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21y x bx c 3=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3∠=． ()1求b 、c 的值；()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直接判断点P 是否在该抛物线上；()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若DBE 2DEH ∠∠=，求EG EF的值．13．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(0)4，，直线CM x ∥轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若60180MPN ︒︒≤∠<，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在123(1,0),(1,1),(0,2)P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以3,(0)3m m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝32-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC 是“近直角三角形”，∠B ＞90°，∠C ＝50°，则∠A ＝ 度；（2）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4．若BD 是∠ABC 的平分线， ①求证：△BDC 是“近直角三角形”；②在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得△BCE 也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为AC 边上一点，以BD 为直径的圆交BC 于点E ，连结AE 交BD 于点F ，若△BCD 为“近直角三角形”，且AB ＝5，AF ＝3，求tan ∠C 的值．17．如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式；（2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111AO C △，再将111AO C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60︒的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，270A C ∠+∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =，求证：四边形ABCD 是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”ABCD 中，AB AD =，60BAC BCD ∠=∠=︒，4BC =，3CD =，求AC 的长；（3）如图3，在ABC 中，45A ∠=︒，120ABC ∠=︒，33AB =-D 是ABC 所在平面内一点，当四边形ABCD 是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD 的面积．20．（问题发现）（1）如图①，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1)见解析；(2)45°；(3)9.【解析】【分析】（1）利用正方形性质，证△ABH ≌△BCE.可得AH=BE .（2）证△AOH∽△BGH，OH AHGH BH=，OH GHAH BH=，再证△OHG∽△AHB.，得∠AGO=∠ABO=45°；（3）先证△ABG ∽△BFG.得AG BGBG GF=,所以，AG·GF=BG 2=（322=18. 再证△AGO ∽△CGF.得GO AGGF CG=,所以，GO·CG =AG·GF=18.所以，S△OGC =12 CG·GO.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB =45°∵AF⊥BE,∴∠BAG+∠ABG =∠CBE +∠ABG =90°. ∴∠BAH =∠CBE .∴△ABH ≌△BCE .∴AH =BE .（2）∵∠AOH =∠BGH =90°, ∠AHO =∠BHG , ∴△AOH ∽△BGH ∴OH AH GH BH = ∴OH GH AH BH= ∵∠OHG =∠AHB .∴△OHG ∽△AHB .∴∠AGO =∠ABO =45°,即∠AGO 的度数为定值 （3）∵∠ABC =90°,AF ⊥BE , ∴∠BAG =∠FBG ,∠AGB =∠BGF =90°, ∴△ABG ∽△BFG . ∴AG BG BG GF=,∴AG ·GF =BG 2 =（2=18. ∵△AHB ∽△OHG ，∴∠BAH =∠GOH =∠GBF .∵∠AOB =∠BGF =90°, ∴∠AOG =∠GFC .∵∠AGO =45°,CG ⊥GO , ∴∠AGO =∠FGC =45°. ∴△AGO ∽△CGF . ∴GO AG GF CG=, ∴GO ·CG =AG ·GF =18. ∴S △OGC =12CG ·GO =9. 【点睛】此题为综合题，要熟练掌握正方形性质和相似三角形判定方法还有相似三角形的性质.2．（1）2134y x x =-++；（2）（32，0）；（3）①见解析；②CM =1或CM =123+ 【解析】 【分析】 （1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m 的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由2PC =及旋转的性质，证明△EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长．【详解】（1）∵点()6,0C 在抛物线上，∴103664b c =-⨯++， 得到6=9b c +，又∵对称轴2x =，∴2122()4b b x a =-=-=⨯-， 解得1b =，∴3c =，∴二次函数的解析式为2134y x x =-++； （2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：∵抛物线的解析式为2134y x x =-++，对称轴为2x =，()6,0C∴点A （2，0），顶点B （2，4），∴AB=AC=4，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1=45°；∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴FM=CM ，∠2=∠1=45°，设点M 的坐标为（m ，0），∴点F （m ，6-m ），又∵∠2=45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°，∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ，直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，∵直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点， ∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 整理得：213204x m +-=， ∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=32， 点M 的坐标为（32，0）． 当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2134y x x =-++不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为（32，0）． （3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ， ∵2PC 2）知∠BCA=45°，∴PG=GC=1，∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴EM=PM ，∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，∴∠HEM=∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1，∴点H （m-1，0），∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；∴22(12)(50)m m --+--221634m m -+又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴22(14)(52)m m --+--221634m m -+∴EA= ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线2134y x x =-++上时， 把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0，解得：m=523+m=523-，∴CM =231或CM =123+．【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．3．（1）1b =；（2）120,4m m ；（3）71m =-；（4）03m <<或4m >． 【解析】【分析】（1）将A 点坐标代入函数解析式即可求得b 的值；（2）分别表示出P 、Q 、M 的坐标，根据Q 、M 的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；（3）分别表示出PQ 和MQ 的长度，根据矩形PQMN 是正方形时PQ MQ =，即可求得m 的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m 的值；（4）分1m ，13m <<，3m =，3m >四种情况讨论，结合图形分析即可．【详解】解：（1）将点()3,0A 代入21322y x bx =-++ 得21303322b =-⨯++， 解得b=1,； （2）由（1）可得函数的解析式为21322y x x =-++， ∴213,22P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,∵PQ l ⊥于点Q ， ∴233,122m m Q ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭+, ∵M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+， ∴3(3,)2m M -+，若点Q 与点M 重合，则 2133222m m m -++=-+， 解得120,4m m ；（3）由（2）可得|3|PQ m ，223131)2222|(()||2|MQ m m m m m ，当矩形PQMN 是正方形时，PQ MQ = 即212|2||3|m m m ， 即22123m m m 或22123m m m ， 解22123m m m 得1271,71m m ， 解22123m m m 得3233,33m m ，又2131(1)2222y x x x =-++=--+， ∴抛物线的顶点为(1，2)，∵抛物线的顶点在该正方形内部，∴P 点在抛物线对称轴左侧，即1m <，且M 点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即322m ，解得12m <-，故m 的值为71；（4）①如下图当1m 时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，且P 点应该在x 轴上侧， 即2313222m m m 且213022m m -++>， 解2313222mm m 得04m <<， 解213022m m -++>得13m -<<， ∴01m <≤，②如下图当13m <<时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，即2313222m m m ，解得04m <<， ∴13m <<；③当3m =时，P 点和M 点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；④如下图当3m >时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该大于P 点纵坐标， 即2313222m m m ，解得0m <或4m >， 故4m >，综上所述03m <<或4m >．【点睛】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M 、P 、Q 的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论． 4．（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】 【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可； （2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可； （3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+， 即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m ）， 当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得：23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ， 当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4； 当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．5．（1）抛物线的解析式为21142y x x =-，点F 的坐标为()20，；（2）4EF =；（3）点P 的坐标为()()()466121456---，，，，，或()22.-， 【解析】【分析】（1）因为抛物线经过原点，A,B 点，利用待定系数法求得抛物物线的解析式，再令y=0，求得与x 轴的交点F 点的坐标。
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7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．
（1）求m，n的值及抛物线的解析式；
（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度；
（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接AC，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一时刻，使 ？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD= ，CF= ．
（1）求证：∠OBA＝∠OCD；
（2）当△AOF是直角三角形时，求EF的长；
（3）是否存在点F，使得S△CEF＝4S△BOF，若存在，请求EF的长，若不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）见详解；（2）12 ；（3）①见详解，②3 -
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；
（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD= •BD•AM+
九年级上册上册数学压轴题测试卷附答案
一、压轴题
1．已知，如图1，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OC交对角线BD于点F，延长AO交BD于点E，OE=OF.
（1）求证：BE=FD；
（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF，⊙O的半径 ，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，若AD=BC；
①求证： ；②若 ，直接写出CD的长.
（2）当 为何值时， 的长度等于 ？
（3）是否存在 的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tanB＝ ，OB＝8．
（1）求OA、AB的长；
（2）点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．
①当t为何值时，点Q与点D重合？
②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．
4．如图1，有一块直角三角板，其中 ， ， ，A、B在x轴上，点A的坐标为 ，圆M的半径为 ，圆心M的坐标为 ，圆M以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒；
求点C的坐标；
当点M在 的内部且 与直线BC相切时，求t的值；
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）求图中两阴影部分面积的和．
6．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．
（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；
（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；
（1）求点D的坐标和抛物线的函数表达式．
（2）当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合．
①过点E作x轴的垂线交直线l于点F，当点N在线段FD上时，设EM= m，FN=n，求n关于m的函数表达式．
②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值．
12．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E， ＝ ，点D在 上，连接CO，并延长CO交线段AB于点F，连接OA、OB，且OA＝ ，tan∠OBA＝ ．
2．在长方形 中， ＝ ， ＝ ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如果 、 分别从 、 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 秒．
（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；
（3）如图2，点P为抛物线上一动点，且足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标．
9．抛物线 的顶点为 ，作 轴的平行线 与抛物线交于点 、 ，无论 、 为何值， 的长度都为4．
（1）请直接写出 的值____________；
（2）若抛物线当 和 时的函数值相等，
①求 的值；
②过点 作直线 平行 轴，交抛物线于 、 两点，且 ，求 的取值范围；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A，B，∠BAO= 30°．抛物线y=ax2+bx+ 1（a< 0）经过点A，B，过抛物线上一点C（点C在直线l上方）作CD∥BO交直线l于点D，四边形OBCD是菱形．动点M在x轴上从点E（- ，0）向终点A匀速运动，同时，动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动，它们同时到达终点．
（3）若 ， ，设线段 与抛物线所夹的封闭区域为 ，将抛物线绕原点逆时针旋转 ，且 ，此时区域 的边界与 轴的交点为 、 两点，若点 在点 上方，请判断点 在抛物线上还是在线段 上，并求 的最大值．
10．如图，一次函数 的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，抛物线 过A、B两点．
（1）求A，B两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；