九年级上册上册数学压轴题测试卷附答案

九年级上册上册数学压轴题测试卷附答案

一、压轴题

1．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.

（1）求证：BE=FD ；

（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =，求四边形ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；

①求证：22?AB CD BC BD +=；②若2?12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 2．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以

1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移

动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．

（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？

（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．

3．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，tan B ＝3

4

，OB ＝8． （1）求OA 、AB 的长；

（2）点Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连结CD ，QC ．

①当t 为何值时，点Q 与点D 重合？

②若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．

4．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为()

5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；

()1求点C 的坐标；

()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；

()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一

时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．

5．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，0是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与BC 边交于点E 、F ，连接OD ，已知BD=3，tan ∠BOD=34

，CF=83．

（1）求⊙O 的半径OD ； （2）求证：AC 是⊙O 的切线； （3）求图中两阴影部分面积的和．

6．如图，在?ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，∠ABC ＝60°．点P 是边BC 上一动点，作△PAB 的外接圆⊙O 交BD 于E ．

（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；

（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；

（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．

7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．

（1）求m，n的值及抛物线的解析式；

（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度；

（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标．

9．抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交

于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；

②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求

c 的取值范围；

（3）若1c b =--，2727b -<<，设线段AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛物线绕原点逆时针旋转α，且1

tan 2

α=

，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．

10．如图，一次函数1

22

y x =-

+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．

（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．

11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （3，0）向终

点A匀速运动，同时，动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点D的坐标和抛物线的函数表达式．

（2）当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合．

①过点E作x轴的垂线交直线l于点F，当点N在线段FD上时，设EM = m，FN = n，求n 关于m的函数表达式．

②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值．

12．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，AC＝BD，点D在AB上，连接CO，并

延长CO交线段AB于点F，连接OA、OB，且OA＝5，tan∠OBA＝1

2

．

（1）求证：∠OBA＝∠OCD；

（2）当△AOF是直角三角形时，求EF的长；

（3）是否存在点F，使得S△CEF＝4S△BOF，若存在，请求EF的长，若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）见详解；（2）5326

【解析】

【分析】

（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；

（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=1

2?BD?AM+

1 2?BD?CM=

1

2

?BD?AC即可求解；

（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；

②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．

【详解】

（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．

∵OE=OF，OH⊥EF，

∴EH=HF，

∵OH⊥BD，

∴BH=HD，

∴BE=DF；

（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．

∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，

∴∠OEF=∠OAC=45°，

∴∠AME=90°，即AC⊥BD，

连接OB．设OH=a，

∵BE=EF，

∴BE=2EH=2OH=2a，

在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，

∴a2+（3a）2=（52，

∴2或2（舍弃），

∴BD=BE+EF+DF=6a=62，

在Rt △AOC 中，AC=2AO=210，

∴S 四边形ABCD =

12?BD?AM+12?BD?CM=12?BD?AC=1

2

×210×62=125； （3）①如图3中，连接OB ，作OH ⊥BD 于H ．

∵OE=OF ，OA=OC ，

∴∠EOH=

12∠EOF=12（∠EAC+∠ACO ）=1

2

×2∠OAC=∠OAC ， ∴AC ∥OH ， ∴AC ⊥BD ， ∵AD=BC ，

∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，

∴2BM ，2DM ，CM=DM ，

∴AB?CD+BC 222DM+BM 2+CM 2=（BM+DM ）2=BD 2； ②如图3中，连接OB ，设DM=CM=x ， ∵∠BOC=2∠BDC=90°， ∴26，

∵AB?CD+BC 2=BD 2，AB?CD=AO 2=12， ∴12+24=BD 2，

∴BD=6（负根已经舍弃）， 在Rt △BCM 中，∵BC 2=BM 2+CM 2， ∴（6）2=（6-x ）2+x 2， ∴3或3 ∴226． 【点睛】

本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 2．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析. 【解析】

【分析】

（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点

B 开始沿边B

C 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .

（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22

(5)(2)t t -+＝

25据此求出t 值.

（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形

ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值. 【详解】

解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.

（2）由题意得：22

(5)(2)t t -+＝25，

解得：1t ＝0，2t ＝2；

当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；

（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下： 长方形ABCD 的面积是：56?＝(

)2

30cm

，

使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝(

)2

4cm

，

()1

5242

t t -??

=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．

即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ． 【点睛】

本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值. 3．（1）OA ＝6，AB ＝10；（2）3011；（3）0

30

11

（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝

3

4

，OB ＝8，即可求解； （2）利用△ACD ∽△ABO 、AD +OQ ＝OA ，即可求解； （3）分QC 与圆P 相切、QC ⊥OA 两种情况，求解即可． 【详解】

解：（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝3

4

，OB ＝8， ∴

3

4

OA OB = ，∴OA ＝6，则AB ＝10；

（2）OP ＝AP ﹣t ，AC ＝2t ，

∵AC 是圆直径，∴∠CDA ＝90°，∴CD ∥OB ， ∴△ACD ∽△ABO ，∴AC AD AB AO = ，即： 2,106

t AD

= ∴AD ＝

6

5

t ， 当Q 与D 重合时，AD +OQ ＝OA ， ∴

66,5t t += 30.11

t ∴= （3）当QC 与圆P 相切时，∠QAC ＝90°， ∵OQ ＝AP ＝t ，∴AQ ＝6﹣t ，AC ＝2t ， ∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠ABO ， ∴△AQC ∽△ABO ，∴,AQ AC

AB AO

= 即：

62106t t -= ，18

.13

t ∴= ∴当18

013

t <≤

时，圆P 与QC 只有一个交点， 当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由（1）知： 30.11

t = ∴

30

511

t <≤时，圆P 与线段QC 只有一个交点， 故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：18013t <≤或

30

511

t <≤. 【点睛】

本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，（3）是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解．

4．（1）(C 8,；（2）t=18s ；（3）t 15= 【解析】 【分析】

（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出CH ，OH 即可．

（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．求出OH 的长即可解决问题．

（3）设M （﹣5+t ，），EF 1

2

=AB =8，由∠EMF =90°，可得EM 2+MF 2=EF 2，由此构建方程即可解决问题． 【详解】

（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．

∵A（20，0），AB=16，∴OA=20，OB=4．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=16，

∠CAB=30°，∴BC

1

2

=AB=8，CH=BC?sin60°=43，BH=BC?cos60°=4，∴OH=8，∴C

（8，43）．

（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．

∵MN=MH3MN⊥BC，MH⊥BA，∴∠MBH=∠MBN=30°，∴BH3

==9，∴点M的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s．

（3）∵C（8，3B（4，0），A（20，0）．

∵CE=EB，CF=FA，∴E（6，3），F（14，3），设M（﹣5+t，3），

EF

1

2

=AB=8．

∵∠EMF=90°，∴EM2+MF2=EF2，∴（6+5﹣t）2+32+（14+5﹣t）2+32=82，整理得：t2﹣30t+212=0，解得：t=1513

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

5．（1）OD=4,

（2）证明过程见详解

（3）50

4 3

π

-

【解析】【分析】

（1）根据AB与圆O相切,在Rt△OBD中运用tan∠BOD=3

4

,即可求出OD的长,

（2）作辅助线证明四边形ADOG是矩形,得DO∥AC,sin∠OCG=3

5

,在Rt△OCG中,求出OG

的长等于半径即可解题,

（3）利用S阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-1

4

S圆O,求出AC长度即可解题.

【详解】

解：（1）∵AB与圆O相切,∴OD⊥AB,

在R t△OBD中,BD=3,tan∠BOD=BD

OD

=

3

4

,

∴OD=4,

（2）过点O作OG垂直AC于点G,∵∠A=90°，AB与圆O相切,

∴四边形ADOG是矩形,

∴DO∥AC,

∴∠BOD=∠OCG,

∵tan∠BOD=BD

OD

=

3

4

,

∴sin∠OCG=3 5 ,

∵CF=8

3

,OF=4,

∴OG=OGsin∠OCG=4=r,

∴AC是⊙O的切线

（3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形,扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积,

在R t△ABC中,tan∠C=3

4

,AB=4+3=7,

∴AC=

AB

tan C

∠

=

7

3

4

=

28

3

,

∴S

阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-1

4

S圆O=2

1281

7444

234

π

??-?-=

50

4

3

π

-

【点睛】

本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键.

6．（1）PA O 的半径为

3

；（2）见解析；（3）⊙O 的半径为2或

【解析】 【分析】

（1）过点A 作BP 的垂线，作直径AM ，先在Rt △ABH 中求出BH ，AH 的长，再在Rt △AHP 中用勾股定理求出AP 的长，在Rt △AMP 中通过锐角三角函数求出直径AM 的长，即求出半径的值；

（2）证∠APB ＝∠PAD ＝2∠PAE ，即可推出结论；

（3）分三种情况：当AE ⊥BD 时，AB 是⊙O 的直径，可直接求出半径；当AE ⊥AD 时，连接OB ，OE ，延长AE 交BC 于F ，通过证△BFE ∽△DAE ，求出BE 的长，再证△OBE 是等边三角形，即得到半径的值；当AE ⊥AB 时，过点D 作BC 的垂线，通过证△BPE ∽△BND ，求出PE ，AE 的长，再利用勾股定理求出直径BE 的长，即可得到半径的值． 【详解】

（1）如图1，过点A 作BP 的垂线，垂足为H ，作直径AM ，连接MP ， 在Rt △ABH 中，∠ABH ＝60°， ∴∠BAH ＝30°，

∴BH ＝

1

2

AB ＝2，AH ＝AB ?sin60°＝ ∴HP ＝BP ﹣BH ＝1， ∴在Rt △AHP 中，

AP ∵AB 是直径， ∴∠APM ＝90°，

在Rt △AMP 中，∠M ＝∠ABP ＝60°，

∴AM ＝AP

sin 60

?

＝3

，

∴⊙O ，

即PA ⊙O 的半径为3

； （2）当∠APB ＝2∠PBE 时， ∵∠PBE ＝∠PAE ， ∴∠APB ＝2∠PAE ，

在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠APB ＝∠PAD ，

∴∠PAD＝2∠PAE，

∴∠PAE＝∠DAE，

∴AE平分∠PAD；

（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，

∴AB是⊙O的直径，

∴r＝1

2

AB＝2；

②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，

∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，

∴BF

AD ＝

EF

AE

，

在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，

∴AF＝AB?sin60°＝BF＝1

2

AB＝2，

∴2

8

，

∴EF，

在Rt△BFE中，

BE，

∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，

∴△OBE是等边三角形，

∴r＝

5

；

③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，

∴AE为⊙O的直径，

∴∠BPE＝90°，

如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，

∴DN＝DC?sin60°＝CN＝1

2

CD＝2，

∴PQ

＝DN＝

设QE＝x，则PE＝x，

在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，

∴AE＝2QE＝2x，

∵PE∥DN，

∴△BPE ∽△BND ， ∴PE DN ＝BP

BN

， ∴

2323

x -＝BP

10， ∴BP ＝10﹣

53

3

x ， 在Rt △ABE 与Rt △BPE 中， AB 2+AE 2＝BP 2+PE 2， ∴16+4x 2＝（10﹣

53

x ）2+（23﹣x ）2， 解得，x 1＝63（舍），x 2＝3， ∴AE ＝23，

∴BE ＝22AB AE +＝224(23)+＝27， ∴r ＝7， ∴⊙O 的半径为2或

47

或7．

【点睛】

此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.

7．（1）y＝x2+2x﹣3，m＝﹣3，n＝5；（2）17413）存在；Q点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5），理由见解析

【解析】

【分析】

（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线解析式即可求解；

（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3），M（t+3，t2+2t﹣6），根据点M在直线y＝x+3上，即可求解；

（3）存在．设：直线AB交y轴于D（0，3），点C关于点D的对称点为C′（0，9）按照△QAB和△Q′AB和△ABC的面积相同即可求解．

【详解】

解：（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，

∴A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线解析式，解得：a＝1，b＝2，

∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3…①，

则C（0，﹣3）；

（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，

设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3），

∴M（t+3，t2+2t﹣6），∵点M在直线y＝x+3上，

∴t2+2t﹣6＝t+3+3，解得：t＝3或﹣4，

∴P点坐标为（3，12）或（﹣4，5），

则线段OP的长度为：1741；

（3）存在．

设：直线AB交y轴于D（0，3），点C关于点D的对称点为C′（0，9）

过点C 和C ′分别做AB 的平行线，交抛物线于点Q 、Q ′， 则：△QAB 和△Q ′AB 和△ABC 的面积相同，

直线QC 和Q ′C 的方程分别为：y ＝x ﹣3和y ＝x +9…②， 将①、②联立，解得：x ＝﹣1或x ＝3或x ＝﹣4， ∴Q 点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）． 【点睛】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

8．（1）2

23y x x =+-；（2）是，定值为8；（3）1557,416??-

???或939,416??

-- ???

【解析】 【分析】

（1）把点A 、C 坐标代入抛物线解析式即可求得b 、c 的值．

（2）设点Q 横坐标为t ，用t 表示直线AQ 、BN 的解析式，把x ＝1-分别代入即求得点M 、N 的纵坐标，再求DM 、DN 的长，即得到DM +DN 为定值．

（3）点P 可以在x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点P 在x 轴下方，延长AP 到H ，使AH ＝AB 构造等腰△ABH ，作BH 中点G ，即有∠PAB ＝2∠BAG ＝2∠ACO ，利用∠ACO 的三角函数值，求BG 、BH 的长，进而求得H 的坐标，求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．②若点P 在x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点H 关于x 轴的对称点H '，求得直线AH '的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标． 【详解】

解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （1，0），C （0，－3），

∴10003b c c ++=??++=-?解得：23b c =??=-?

，

∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3． （2）结论：DM +DN 为定值．

理由：∵抛物线y ＝x 2＋2x －3的对称轴为：直线x ＝－1， ∴D （﹣1，0），x M ＝x N ＝﹣1， 设Q （t ，t 2+2t ﹣3）（﹣3＜t ＜1），

设直线AQ 解析式为y ＝dx +e ∴2

23

d e dt e t t +=??

+=+-?解得：3

3

d t

e t =+??

=--?，

∴直线AQ ：y ＝（t +3）x ﹣t ﹣3，

当x ＝﹣1时，y M ＝﹣t ﹣3﹣t ﹣3＝﹣2t ﹣6， ∴DM ＝0﹣（﹣2t ﹣6）＝2t +6， 设直线BQ 解析式为y ＝mx +n ，

∴2

3023m n mt n t t -+=??+=+-?解得：133m t n t =-??=-?， ∴直线BQ ：y ＝（t ﹣1）x +3t ﹣3，

当x ＝﹣1时，y N ＝﹣t +1+3t ﹣3＝2t ﹣2， ∴DN ＝0﹣（2t ﹣2）＝﹣2t +2，

∴DM +DN ＝2t +6+（﹣2t +2）＝8，为定值．

（3）①若点P 在x 轴下方，如图1，延长AP 到H ，使AH ＝AB ，过点B 作BI ⊥x 轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI ⊥BI 于点I ．

∵当x 2+2x ﹣3＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1， ∴B （﹣3，0），

∵A （1，0），C （0，﹣3），

∴OA ＝1，OC ＝3，AC 221310+=AB ＝4， ∴Rt △AOC 中，sin ∠ACO ＝

010A AC =，cos ∠ACO ＝310

OC AC =

， ∵AB ＝AH ，G 为BH 中点， ∴AG ⊥BH ，BG ＝GH ，

∴∠BAG ＝∠HAG ，即∠PAB ＝2∠BAG ， ∵∠PAB ＝2∠ACO ， ∴∠BAG ＝∠ACO ，

∴Rt △ABG 中，∠AGB ＝90°，sin ∠BAG ＝

10

BG AB =

，

∴BG ＝

10210

105

AB =

， ∴BH ＝2BG

＝

410

， ∵∠HBI +∠ABG ＝∠ABG +∠BAG ＝90°， ∴∠HBI ＝∠BAG ＝∠ACO ， ∴Rt △BHI 中，∠BIH ＝90°，sin ∠HBI ＝

HI BH ＝10，cos ∠HBI ＝310

BI BH =， ∴HI ＝

10BH ＝43，BI ＝310

BH ＝125，

∴x H ＝411355-+

=-，y H ＝125-，即1112,5

5H ??-- ???，

设直线AH 解析式为y ＝kx +a ，

∴01112

55k a k a +=???-+=-??，解得：34

34k a ?

=????=-??

， ∴直线AH ：33

44

y x =

-， ∵2334423y x y x x ?=-???=+-?解得：10x y =??

=?（即点A ）或94

3916x y ?=-????=-??

， ∴939,416P ??

-

- ???

． ②若点P 在x 轴上方，如图2，在AP 上截取AH '＝AH ，则H '与H 关于x 轴对称．

∴1112,55H ?'?

-

??

?， 设直线AH '解析式为y k x a ='+'，

∴01112

55k a k a +='''?-'??+=??，解得：34

34k a ?=-???''?=??

， ∴直线AH '：33

44

y x =-

+， ∵2334423y x y x x ?=-+???=+-?解得：10x y =??

=?（即点A ）或154

5716x y ?

=-????=??

， ∴1557,416P ??

-

???

． 综上所述，点P 的坐标为939,416??-- ??

?或1557,416??

- ???． 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．运用到分类讨论的数学思想，理清线段之间的关系为解题关键．

9．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB

上，

=

CD 【解析】 【分析】

（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2

y a x k h =-+，又

4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值；

（2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，

②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；

（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立直线方程与抛物线方程运算求解． 【详解】

解：（1）根据题意可知1二次函数2

y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），

故二次函数顶点式为()2

y a x k h =-+，

又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，

∴a=1； 故答案为：a=1．

（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等

∴222

b b

x a =-

=-= ∴4b =-

故答案为：4b =-．

②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R 当2c =时，2

42y x x =-+ 令2y =，则2242x x =-+ 解得14x =，20x =

此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR == ∵4QM QN +=∵QM NR = ∴4QN NR QR +==

∴N 在线段QR 上，同理M 在线段QR 上 设(),2M m ，则02m ≤<，224m m c =-+

2242(2)6c m m m =-++=--+

∵10-<，对称轴为2m =，02m ≤< ∴c 随着m 的增大而增大 ∴26c ≤<

故答案为：26c ≤<．

（3）∵1c b =--∴2

1y x bx b =+--

将抛物线绕原点逆时针旋转α，且tan 2α=，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线

l ，且tan 2α=，

∴l 的解析式为2y x =

2

21

y x y x bx b =??=+--?∴2

(2)10x b x b +---= ∴2

2

2

4(2)448b ac b b b ?=-=-++=+

∴x =

∴12D b -++??

22244124442444

AB

ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++