新人教高中数学必修2第四章圆与方程单元测试

第四章测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是()

A.(x-1)2+(y-2)2=2

B.(x+1)2+(y+2)2=2

C.(x-1)2+(y-2)2=5

D.(x+1)2+(y+2)2=5

,所求圆的半径为r=.

∴圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=5.故选C.

2.圆x2+y2-2x+4y+4=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为()

A.相离

B.相切

C.相交

D.以上都有可能

(x-1)2+(y+2)2=1,直线过定点P(1,-2),因为定点P(1,-2)在圆内,所以直线和圆相交.

3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为()

A.x+y-2=0

B.x+y-4=0

C.x-y+4=0

D.x-y+2=0

点P(1,)在圆x2+y2-4x=0上,

∴点P为切点.从而圆心与点P的连线应与切线垂直.

又圆心为(2,0),设切线斜率为k,

∴-

·k=-1,解得k=.

-

∴切线方程为x-y+2=0.

4.一束光线自点P(1,1,1)发出,被xOy平面反射,到达点Q(3,3,6)被吸收,则光线自点P到点Q所走的距离是() A. B.12 C. D.57

Q关于xOy平面的对称点为Q'(3,3,-6),

|PQ'|=----.

5.过点P(5,6)作圆C:(x-1)2+(y-2)2=36的弦,其中最短的弦长为()

A.2

B.4

C.4

D.8

,|PC|=--=4,此时

l=2-=2-=4.

6.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心C在x轴上,则圆C的方程为()

A.(x-2)2+y2=50

B.(x+2)2+y2=10

C.(x+2)2+y2=50

D.(x-2)2+y2=10

AB的垂直平分线为2x-y-4=0.因为圆心在此垂直平分线上,令y=0,得x=2, ∴圆心为(2,0),半径为--,∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.

7.方程(x2+y2-4)·=0的曲线形状是()

(x2+y2-4)=0可得-或x+y+1=0,它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分.

8.若圆C:x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为2,则c的取值范围是()

A.[-2,2]

B.(-2,2)

C.[-2,2]

D.(-2,2)

x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,

∴圆心坐标为(2,2),半径为3.

要求圆上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为2,则圆心到直线的距离,∴-2≤c≤2.故选C.

9.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差为()

A.36

B.18

C.6

D.5

2+y2-4x-4y-10=0?(x-2)2+(y-2)2=18,圆心(2,2),半径为3.圆心到直线x+y-14=0的距离为

=5,∴直线与圆相离.∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离之差为圆的直径,即6.

10.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()

A.21

B.19

C.9

D.-11

C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆C2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m<25),得圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=-(m<25).由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+-=5,解得m=9.故选C.

11.已知A、B为圆x2+(y-1)2=4上关于点P(1,2)对称的两点,则直线AB的方程为()

A.x+y-3=0

B.x-y+3=0

C.x+3y-7=0

D.3x-y-1=0

C(0,1),由题意CP⊥AB,k CP=-

=1,∴k AB=-1,又∵直线AB过点P(1,2),∴直线AB的方

-

程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0,故选A.

12.过点(,0)引直线l与曲线y=-相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()

A. B.- C.± D.-

y=-的图象如图所示:

若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率k<0,设l:y=k(x-),则点O到l的距离

d=.

又S△AOB=|AB|·d=×2-·d=--,当且仅当d2=时,S△AOB取得最大值.所以,

∴k2=,∴k=-.故选B.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.已知A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3,-4,5),则△ABC的边BC上的中线长为.

BC的中点为D,则D(1,-2,3),

故|AD|=---=2.

14.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线x-ay+1=0平行,则a=.

P在圆(x-1)2+y2=5上,所以过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切的切线方程为(2-1)(x-1)+2y=5,即x+2y-6=0,又该直线与直线x-ay+1=0平行,所以-a=2,a=-2.

2

15.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.

C方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离

d==r.①∵圆C过A(4,1),B(2,1),

∴(4-a)2+(1-b)2=r2,②(2-a)2+(1-b)2=r2.③由①②③,得a=3,b=0,r=,

∴圆的方程为(x-3)2+y2=2.

x-3)2+y2=2

16.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心,且与直线l垂直的直线的方程为.

(a,0)(a>0),

∴-+()2=|a-1|2.

∴a=3.

∴圆心(3,0).∴所求直线方程为x+y-3=0.

3=0

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点,B,C是这个圆上的两个动点,若BA⊥CA,求BC中点M的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线.

M(x,y).∵M是弦BC的中点,∴OM⊥BC.

又∠BAC=90°,∴|MA|=|BC|=|MB|.

∵|MB|2=|OB|2-|OM|2,

∴|OB|2=|MO|2+|MA|2,即42=(x2+y2)+[(x-0)2+(y-2)2],化简为x2+y2-2y-6=0,即x2+(y-1)2=7.

∴所求轨迹为以(0,1)为圆心,以为半径的圆.

18.(本小题满分12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.

C(a,a-1),半径为r,

则点C到直线l2的距离

d1=-.

点C到直线l3的距离

d2=-.

由题意,得

解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.

19.(本小题满分12分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l过定点A(1,0).

(1)若l与圆C相切,求l的方程;

(2)若l与圆C相交于P、Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.(其中点C是圆C 的圆心)

直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,此时直线l和圆C相切,直线l斜率存在时,设方程为

y=k(x-1),即kx-y-k=0,利用圆心到直线的距离等于半径得:d==2,解得k=,直线方程为y=x-,故所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.

(2)△CPQ面积最大时,∠PCQ=90°,S=×2×2=2,即△CPQ是等腰直角三角形,由半径r=2得:圆心到直线的距离为,设直线l的方程为:y=k(x-1),即kx-y-k=0,d=,解得k=7或1,所以所求

的直线方程为y=7x-7或y=x-1.

20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知圆心C在直线x-2y=0上的圆C经过点A(4,0),但不经过坐标原点,并且直线4x-3y=0与圆C相交所得的弦长为4.

(1)求圆C的一般方程;

(2)若从点M(-4,1)发出的光线经过x轴反射,反射光线刚好通过圆C的圆心,求反射光线所在的直线方程(用一般式表达).

设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

因为圆心C在直线x-2y=0上,所以有a-2b=0,①又因为圆C经过点A(4,0),所以有(4-a)2+b2=r2,

而圆心到直线4x-3y=0的距离为d=

--

,②

由弦长为4,所以弦心距d=-,所以--,③联立①②③,解得或

又因为(x-2)2+(y-1)2=5通过坐标原点,所以舍去.

所以所求圆的方程为:(x-6)2+(y-3)2=13,

化为一般方程为:x2+y2-12x-6y+32=0.

(2)点M(-4,1)关于x轴的对称点N的坐标为(-4,-1),

反射光线所在的直线即为NC,又因为点C的坐标为(6,3),

所以反射光线所在的直线方程为:,

所以反射光线所在的直线方程的一般式为2x-5y+3=0.

21.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),

(1)若点P(m,m+1)在圆C上,求直线PQ的斜率;

(2)若点M是圆C上任意一点,求|MQ|的最大值、最小值;

(3)若N(a,b)满足关系:a2+b2-4a-14b+45=0,求出t=-的最大值.

C:x2+y2-4x-14y+45=0可化为(x-2)2+(y-7)2=8.

(1)因为点P(m,m+1)在圆C上,

所以m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得m=4,

故点P(4,5).

所以直线PQ的斜率是k PQ=-.

(2)如图,点M是圆C上任意一点,Q(-2,3)在圆外,

所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r,|QC|-r.

易求|QC|=4,r=2,

所以|MQ|max=6,|MQ|min=2.

(3)易知点N在圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上,t=-表示的是定点Q(-2,3)与圆上的动点N连线l的斜率.

设l的方程为y-3=k(x+2),

即kx-y+2k+3=0.

当直线l和圆C相切时,d=r,

即=2,解得k=2±.

所以t=-的最大值为2+.

22.(本小题满分12分)已知点P(2,1)是圆O:x2+y2=8内一点,直线l:y=kx-4.

(1)若圆O的弦AB恰好被点P(2,1)平分,求弦AB所在直线的方程;

(2)若过点P(2,1)作圆O的两条互相垂直的弦EF,GH,求四边形EGFH的面积的最大值;

(3)若k=,Q是l上的动点,过Q作圆O的两条切线,切点分别为C,D.证明:直线CD过定点.

由题意知AB⊥OP,∴k AB·k OP=-1,

∵k OP=,∴k AB=-2,

因此弦AB所在直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.

(2)设点O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2,则

=|OP|2=5,

|EF|=2-=2-,

|GH|=2-=2-.

∴S四边形EGFH=|EF|·|GH|

=2--

=2-

=2-

=2--≤11,

当d1==d2时取等号.

所以四边形EGFH面积的最大值为11.

(3)证明:由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上,设Q t,-4,

则该圆的方程为x(x-t)+y y-t+4=0,

即:x2-tx+y2-t-4y=0.

又C、D在圆O:x2+y2=8上,

所以直线CD的方程为tx+t-4y-8=0,即t x+y-4(y+2)=0,

由得

-所以直线CD过定点(1,-2).