一元二次方程的实际应用教案

教学过程

一、复习预习

我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下：

1. 用直接开平方法解方程2

(3)8x -=，得方程的根为（ ）

A. 3x =+

B. 1233x x =+=-

C. 3x =-

D. 1233x x =+=-

2. 方程2(1)0x x -=的根是（ ）

A ．0

B ．1

C ．0，－1

D ．0，1

3. 设(1)(2)0x x --=的两根为12x x 、，且1x ＞2x ，则122x x -＝ 。

4. 已知关于x 的方程22440x kx k ++=的一个根是－2，那么k ＝ 。

5.243

x x ++ ＝2(________)x + 今天我们将继续学习列方程解应用题。大家先来看这样一道题：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均 每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:

解:设每件衬衫应降价x 元,则每件所获得的利润为 (40－x)元,但每天可多销出2x 件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程:

(40－x)(20+2x)=1200

x 2－30x+200=0

解得:x 2=20 x 2=10

答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.

当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗?

当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。

二、知识讲解

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答”．

(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；

(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；

(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；

(4)“解”就是求出所列方程的解；

(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．

2.数与数字的关系:

两位数=(十位数字)×10＋个位数字

三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字

3.翻一番

翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．

4.增长率问题

(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数

(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的m(1+x)2＝n (m＜n).

如果是下降率则为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的m(1－x)2＝n (m＞n).

5.经济问题常用的公式：

（1）利润=售价-进价；

（2）售价=标价×折扣；

（3）利润率=利润÷进价×100%.

6.列方程解应用题的关键

(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；

(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．

考点/易错点1

要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系.

考点/易错点2

由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的.

三、例题精析

【例题1】

【题干】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

【答案】解:设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.

答:这两个月的平均增长率是10%.

【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.

【变式练习】

【题干】某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率．

【答案】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10(12)2000(1)60000

x x

++=．

解这个方程，得

10.5

x=，

22

x=-（不合题意，舍去）．

答：南瓜亩产量的增长率为50％．

【解析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．

【例题2】

【题干】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

【答案】解:根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

解这个方程，得a1＝25，a2＝31.

因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.

所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.

答:需要进货100件，每件商品应定价25元.

【解析】商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点,根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价-每件进价,建立等量关系.

【例题3】

【题干】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）