专题3：不等式问题的题型与方法(文科)

不等式的解题题型

不等式的解题题型多种多样，以下是一些常见的不等式题型：
1. 直接解不等式。

例如：3x+2>7，x-5<10等。

2. 求解集的题型。

例如：|x-3|<2，|x-5|>10等。

3. 含参不等式。

例如：ax+b>0(a,b不同时为0)等。

4. 不等式恒成立问题。

例如：求证对于任意的正整数n，2n+1总大于等于3n-1。

5. 不等式与不等式组综合题。

例如：求证对于任意正整数n，
n(n+1)+2n(n+2)+3n(n+3)+…+10n(n+10)总大于等于3335。

在解决不等式问题时，常用的方法包括利用函数的单调性、基本不等式、不等式的性质（如传递性、可加性、正值不等式的正值解法、正值不等式的解集的端点值不能为负值）等。

希望这些信息能帮助你理解和解答不等式问题。

高三冲刺高考(文科数学)不等式选讲

对点训练
已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．
考点三与绝对值不等式有关的恒成立问题
——弄清绝对值的几何意义
[例3] 已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>－a，求a的取值范围．
对点训练
已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝3.
(1)证明： 1 + 1 + 1 ≥3；
ab bc ac
(2)证明： 2 + 2 + 2 ≥3.
a+ bc b+ ac c+ ab
考点二含绝对值不等式的解法 ——掀起“绝对值”的盖头
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
归纳总结解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略
不等式恒不等式f(x)>A在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)min>A. 成立问题不等式f(x)<B在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)max<B.
在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，等价于在区间D上不等式能 f(x)max>A. 成立问题在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，等价于在区间D上
归纳总结绝对值不等式的常用解法

基本不等式题型及常用方法总结

基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。

1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。

- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。

2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。

- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。

3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。

- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。

4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。

- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。

常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。

2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。

3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。

4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。

5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。

同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。

不等式选讲专题(文科)

不等式选讲专题（文科）已知函数()23f x x x =-++．（1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若()2x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)[]87-，；(2)(]5-∞，．【解析】（1）因为()213532 212x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩≤≤，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -<-≤；当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤≤；当2x >时，由()15f x ≤得27x <≤，综上，()15f x ≤的解集为[]87-，；（2）【方法一】由()2x a f x -+≤得()2a x f x +≤，因为()()()235f x x x --+=≥，当且仅当32x -≤≤取等号，所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5．所以，当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(]5-∞，．【方法二】设()2g x x a =-+，则()()0max g x g a ==，当32x -≤≤时，()f x 的取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(]5-∞，．一、（优质试题广西高三下学期第二次模拟已知函数()22f x x =-，()g x x a =-．（1）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥；（2）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}1|0x x -≤≤．（2）9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】（1）若1a =，则不等式()()3f x g x +≥化为2213x x +--≥．当1x ≥时，2213x x +--≥，即220x x -+≤，217024x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤不成立；当1x <时，2213x x -+-≥，即20x x +≤，解得10x -≤≤．综上，不等式()()3f x g x +≥的解集为{}1|0x x -≤≤．（2）作出()y f x =的图象如图所示，当0a <时，()g x 的图象如折线①所示，由2 2y x ay x =-=-⎧⎨⎩得220x a x +--=，若相切，则()1420a ∆=++=，得94a =-，数形结合知，当94a ≤-时，不等式无负数解，则904a -＜＜．当0a =时，满足()()f x g x ＞至少有一个负数解．当0a >时，()g x 的图象如折线②所示，此时当2a =时恰好无负数解，数形结合知，当2a ≥时，不等式无负数解，则02a <<．综上所述，若不等式()()f x g x ＞至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．二、(优质试题四川广元高三下学期第二次统已知()211f x x x =++-．（1）求()f x 在[]1,1-上的最大值m 及最小值n ；（2）a ，b ∈R ，设1am bn +=，求22a b +的最小值．【答案】（1）3，32；（2）445．【解析】（1）∵()3112 1 2132x x f x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪-<-⎪⎩， ∴[]1,1x ∈-时，()max 3f x =，()min 32f x =．（2）3312am bn a b +=+=， ()222222223321494539342a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥；22a b +的最小值为445．三、(优质试题湖北八校高三第一次。

新课标高考数学题型全归纳文科第七章不等式第3~4节精品PPT课件

2 1B
x-y=0
A
-1 O 1
x
l3 l2 l1
题型88 平面区域的面积
x 0 【例7.17】不等式组 x 3 y 4 所表示的平面区域的面积等于（）.
3 x y 4
3 A.
B. 2
4 C.
3 D.
2
334ຫໍສະໝຸດ 【解析】由x 3 3x
y y
4 4
0 0
，得 C 1,1 ，如图7-8所示，
故选A.
题型90 求解目标函数中参数的取值范围
x y 6
【例7.24】已知变量x ,
y
满足条件
x x
y 0
2
，若目标函数zaxy
y 0
（其中a 0）仅在点 4 , 2 处取得最大值，则a 的取值范围是．
【分析】求目标函数中参数的取值范围问题，先画出平面区域M ，确定最优解，从而求出a 的范围.
故 S △ A B C1 2A BxC1 2 44 3 14 3.
故选C.
图 7-8
【解析】
b a=1 a-b=0
其所对应的平面区域如图所示阴影部分，
O
【评注】本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻找平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的区域.
A(1,1)
1
a
B(1,-1)
a+b=0
题型89 求解目标函数的取值范围（或最值）
【例7.19】已知 1xy4且 2xy3，则z2x3y的取值范围
是．
a b 2
【解析】
令
z 2 x 3 y a ( x y ) b ( x y ) ，则
a
b
3

高中数学不等式题解题方法

高中数学不等式题解题方法高中数学中，不等式是一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑的一个难点。

解不等式题需要掌握一定的方法和技巧，下面我将以具体的题目为例，详细介绍高中数学不等式题的解题方法。

一、一元一次不等式1. 题目：求解不等式2x + 3 > 5。

解析：这是一个一元一次不等式，我们可以通过移项和化简来求解。

首先，将不等式中的常数项移到一边，得到2x > 2。

然后，将不等式两边都除以2，得到x > 1。

所以，不等式的解集为{x | x > 1}。

2. 题目：求解不等式3x - 4 ≤ 7。

解析：这是一个一元一次不等式，我们可以通过移项和化简来求解。

首先，将不等式中的常数项移到一边，得到3x ≤ 11。

然后，将不等式两边都除以3，得到x ≤ 11/3。

所以，不等式的解集为{x | x ≤ 11/3}。

通过以上两个例子，我们可以总结出解一元一次不等式的方法：将不等式中的常数项移到一边，然后将不等式两边都除以系数，最后根据不等号的方向确定解集。

二、一元二次不等式1. 题目：求解不等式x^2 - 3x + 2 > 0。

解析：这是一个一元二次不等式，我们可以通过求解方程来确定不等式的解集。

首先，将不等式转化为方程x^2 - 3x + 2 = 0。

然后，求解方程得到x = 1或x = 2。

接下来，我们需要确定不等式在这两个解的两侧的取值情况。

取一个介于1和2之间的数，比如1.5，代入不等式中，得到1.5^2 - 3(1.5) + 2 = 0.25 > 0。

所以，不等式在x = 1和x = 2之间是大于0的。

综合起来，不等式的解集为{x | 1 < x < 2}。

通过以上例子，我们可以总结出解一元二次不等式的方法：先求解方程，然后确定不等式在解的两侧的取值情况，最后根据不等号的方向确定解集。

三、绝对值不等式1. 题目：求解不等式|2x - 1| > 3。

(完整版)不等式常见题型分析

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b a(2) 传达性： a b, b c a c(3) 加法法规： a ba cbc ； a b,c da c bd ( 同向可加 )(4) 乘法法规： ab, c 0 ac bc ；a b, c 0 ac bca b 0, c dacbd ( 同向同正可乘 )(5)倒数法则：a b, ab1 1(6)乘方法则：baa b 0a nb n (n N * 且 n 1)(7) 开方法规： abnanb (n N * 且 n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程ax 2 bx c0 a 0 的两根为 x 1、 x 2 且 x 1x 2 ，b 2 4ac ，则不等式的解的各种情况以下表：y ax 2bxcy ax 2bx cyax 2 bx c二次函数y ax 2bx c（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx cx 1 x 2b a 0 的根 x 1 , x 2 ( x 1 x 2 )无实根2aax 2bx c 0x xb(a 0)的解集 x x x 1或x x 2R2aax 2 bx c 0x x 1 x x 2(a0)的解集2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能够去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f (x)f ( x) f ( x) g(x) 0f ( x) g(x) 0;g(x)g ( x)g( x)3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转变成最值问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 f x minA若不等式 fxB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 fxmaxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面地域二元一次不等式 Ax +By +C ＞ 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax +By +C =0 某一侧所有点组成的平面地域 . （虚线表示地域不包括界线直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面地域的判断方法由于对在直线 Ax +By +C =0 同一侧的所有点 ( x, y ) ，把它的坐标（x, y ) 代入 Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特别点（ x 0, y 0) ，从 Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax +By +C ＞ 0 表示直线哪一侧的平面地域 . （特别地，当 C ≠ 0 时，常把原点作为此特别点） 3、线性规划的有关看法：①线性拘束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的拘束条件，这组拘束条件都是关于 x 、 y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．②线性目标函数：关于 x 、 y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、 y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性拘束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的会集叫做可行域．使目标函数获取最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解的步骤：（ 1）搜寻线性拘束条件，列出线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面地域做出可行域；（ 3）依照线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式ab ab21．若 a,b ∈ R ,则 a 2+b 2≥ 2ab,当且仅当 a=b 时取等号 .ab b 时取 " " 号).2．若是 a,b 是正数，那么ab(当且仅当 a2变形：有 :a+b ≥ 2 ab ；ab ≤a b2,当且仅当 a=b 时取等号 .23．若是 a,b ∈ R+,a ·b=P (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,a+b 有最小值 2 P ;若是 a,b ∈ R+,且 a+b=S (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,ab 有最大值S 2.4注：（ 1）当两个正数的积为定值时，能够求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式有：（1） a 2 b 2a bab2( 依照目标不等式左右的运算结构2211a b采纳 ) ；（ 2） a 、b 、 c R ， a 2 b 2 c 2 ab bc ca （当且仅当 ab c 时，取等号）；（ 3）若 a b 0, m 0 ，则bb m（糖水的浓度问题）。

高考数学题型总结：不等式题型及解题方法

高考数学题型总结：不等式题型及解题方法高考数学题型总结：不等式题型及解题方法不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。

因此不等式应用问题表达了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯穿，起到了专门好的促进作用。

在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。

不等式的应用范畴十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。

诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着紧密的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

知识整合1。

解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法紧密相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。

在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。

通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或差不多不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法能够使得分类标准明晰。

2。

整式不等式(要紧是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的差不多思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。

方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解紧密相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。

观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

2021届高考数学考点与题型全归纳(文科)第三章第四节利用导数研究不等式证明问题

第四节利用导数研究不等式证明问题考点一作差法构造函数证明不等式 [典例] (2018·广西柳州毕业班摸底)已知函数f(x)＝ax＋xln x在x＝e－2(e为自然对数的

底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)． [解] (1)因为f(x)＝ax＋xln x，

所以f′(x)＝a＋ln x＋1，因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值，所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0，所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2. 当f′(x)>0时，x>e－2；当f′(x)<0时，0所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋xln x. 令g(x)＝f(x)－3(x－1)，即g(x)＝xln x－2x＋3(x>0)． g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e. 由g′(x)>0，得x>e；由g′(x)<0，得0所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(1，＋∞)上的最小值为g(e)＝3－e>0. 于是在(1，＋∞)上，都有g(x)≥g(e)>0，所以f(x)>3(x－1)． [解题技法] (1)欲证函数不等式f(x)>g(x)(x>a)，只需证明f(x)－g(x)>0(x>a)，设h(x)＝f(x)－g(x)，即证h(x)>0(x>a)．若h(a)＝0，h(x)>h(a)(x>a)．接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可． (2)欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I，I是区间)，只需证明f(x)－g(x)>0(x∈I)．设h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证h(x)>0(x∈I)，也即证h(x)min>0(x∈I)(若h(x)min不存在，