高一函数的图像知识点+例题+练习 含答案

1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )―――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变 0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变②y ＝f (x )――――――――――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( × )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( √ ) (5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( × )1．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是________．(填序号)答案 ④解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除①、②.f ′(x )＝2－4cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得x ＝±π3，所以④正确．2．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为__________________________． 答案 f (x )＝e－x －1解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1. 3．为了得到函数y ＝4×(12)x 的图象，可以把函数y ＝(12)x 的图象向________平移________个答案 右 24．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (0，＋∞) 解析 由题意a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x <0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解则a >0.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是________． 答案 (0,1] 解析当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.题型一 作函数的图象例1 作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x ＋2x －1；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1，作出图象如图1.(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图3.引申探究作函数y ＝|x 2－2x －1|的图象．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥1＋2或x ≤1－2)，－x 2＋2x ＋1 (1－2<x <1＋2)，如下图思维升华 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋mx(m >0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝x ＋2x ＋3.解 (1)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝(x －12)2－94；当x <2，即x －2<0时， y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2 ＝－(x －12)2＋94.∴y ＝⎩⎨⎧(x －12)2－94，x ≥2，－(x －12)2＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图所示．题型二 识图与辨图例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ改编)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号)．(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为________(填序号)．答案 (1)② (2)②解析 (1)当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，PB ＝OB tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △P AB 中， P A ＝AB 2＋PB 2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝P A ＋PB ＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除①和③；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝⎛⎭⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD的中点重合，即x ＝π2时，△P AO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝⎛⎭⎫π2＝P A＋PB ＝2＋2＝22，知f ⎝⎛⎭⎫π2＜f ⎝⎛⎭⎫π4，故又可排除④.综上，故②正确． (2)方法一 由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2).当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).图象应为②.方法二 当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各图，可知②正确．思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(1)(2015·浙江 改编)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为______．(填序号)(2)现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列应为________．答案 (1)④ (2)①④②③解析 (1)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除①，②；当x ＝π时，f (x )＝1π－π＜0，排除③.故④正确．(2)由于函数y ＝x sin x 是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y ＝x cos x 是奇函数，且当x ＝π时，y ＝－π<0，故函数②对应第三个图象；函数y ＝x |cos x |为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，正确排序为①④②③.题型三 函数图象的应用例3 (1)(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 015x ，x >1.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c的取值范围是____________． 答案 (1)－12(2)(2,2 016)解析 (1)∵|x －a |≥0恒成立，∴要使y ＝2a 与y ＝|x －a |－1只有一个交点，必有2a ＝－1，解得a ＝－12.(2)作出函数的图象，直线y ＝m 交函数图象如图，不妨设a <b <c ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 015x ＝1，解得x ＝2 015.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 015，因此可得2<a ＋b ＋c <2 016，即a ＋b ＋c ∈(2,2 016)．思维升华 (1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则．(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图象位于g (x )图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．(1)设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则关于函数y ＝1f (x )的单调区间表述正确的是________．①在[－1,1]上单调递增；②在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增； ③在[5,7]上单调递增； ④在[3,5]上单调递增．(2)若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)② (2)⎝⎛⎭⎫－94，2 解析 (1)由题图可知，f (0)＝f (3)＝f (6)＝0，所以函数y ＝1f (x )在x ＝0，x ＝3，x ＝6处无定义，故排除①、③、④，故②正确．(2)在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示．若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切．由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－94，2.3．高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例 函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是________．思维点拨 根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图象． 解析 方法一 ∵f (－x )＝－2x －sin x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除②、③，又0<x <π2时，f (x )>0，排除④，故①正确．方法二 ∵f ′(x )＝2＋cos x >0， ∴f (x )为增函数，故①正确． 答案 ①温馨提醒 (1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想． (2)对于给出图象的选择性题目，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除． 二、函数图象的变换问题典例 若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为________．(填序号)思维点拨 从y ＝f (x )的图象可先得到y ＝－f (x )的图象，再得y ＝－f (x ＋1)的图象． 解析 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确． 答案 ③温馨提醒 (1)对图象的变换问题，从f (x )到f (ax ＋b )，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别． (2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定． 三、函数图象的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列有关f (x )的性质正确的是________． ①f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)； ②f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)； ③f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)； ④f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)画出函数f (x )的图象观察．(2)利用函数f (x )，g (x )图象的位置确定a 的范围． 解析 (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察得到，f (x )为奇函数，递减区间是(－1,1)．(2)如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)． 答案 (1)③ (2)[－1，＋∞)温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质．(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．[方法与技巧]1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等．2．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．[失误与防范]1．函数图象平移的方向和大小：函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移1个单位．22．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图象大致是________．答案 ②解析 当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可．故②正确．2．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度． 答案 右 3 下 1解析 y ＝2x ――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――――――――――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x (－1≤x ≤0)，x (0<x ≤1)，则下列函数的图象正确的为________．(填序号)答案 ①②③解析 先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此①正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此②正确； y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，③正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0<x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确． 综上所述，①②③正确．4．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)．5．(2015·北京改编)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是__________． 答案 {x |－1＜x ≤1}解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 6.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．答案 (2,8]解析 当f (x )>0时， 函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．7．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为__________________________________． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值， f (4)＝6.8．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________． 答案 (4，＋∞)解析 由于函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b )，所以ab >4. 9．已知函数f (x )＝x1＋x .(1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图象如图所示． (2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)，作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0<m <1， ∴M ＝{m |0<m <1}．B组专项能力提升(时间：15分钟)11．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝log12f(x)的图象大致是________．答案③解析由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以log12f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝log12f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各图象知，③正确．12．(2015·安徽改编)函数f(x)＝ax＋b(x＋c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是________．①a>0，b>0，c<0；②a<0，b>0，c>0；③a<0，b>0，c<0；④a<0，b<0，c<0.答案③解析函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0.令x＝0，得f(0)＝bc2，又由图象知f(0)>0，∴b>0.令f(x)＝0，得x＝－ba ，结合图象知－ba>0，∴a<0.13．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为____________________． 答案 (－∞，0]∪(1,2]解析 y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎨⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎨⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1,2]．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，故k 的取值范围为(0,1)．15．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f (x )＝3x －2x －3，则方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确的命题是________． 答案 ②③④解析 对于①，在区间(0，＋∞)上，只有y ＝x 12，y ＝x 3是增函数，所以①错误．对于②，由log m 3<log n 3<0，可得1log 3m <1log 3n<0，即log 3n <log 3m <0，所以0<n <m <1，所以②正确．易知③正确．对于④，方程f (x )＝0即为3x －2x －3＝0，变形得3x ＝2x ＋3，令y 1＝3x ，y 2＝2x＋3，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．。