(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结引言：平面向量是解决几何问题中常用的数学工具之一。
在高中数学课程中，平面向量的概念和性质被广泛学习和应用。
下面将对高中平面向量的知识点进行总结，以加深对该内容的理解和应用。
一、平面向量的定义和表示法平面向量是有大小和方向的量，通常表示为带箭头的有向线段。
向量的大小称为模，表示为|v|，方向可以用角度或者与坐标轴的夹角表示。
在坐标系中，我们可以使用有序数对(x, y)来表示向量。
二、平面向量的运算1. 向量的加法和减法：向量的加法和减法可以分别用三角形法则和平行四边形法则进行计算。
具体来说，向量A + 向量B等于以向量A和向量B为边的三角形的第三边，而向量A - 向量B等于以向量A和向量B为对角线的平行四边形的对角线。
2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法指的是将向量的大小与一个实数相乘。
具体来说，给定向量A和实数k，kA等于以向量A的起点为端点，且长度为|k|倍的向量。
3. 向量的点积和叉积：向量的点积和叉积是向量运算中的两种重要形式。
向量的点积表示为A·B，计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。
向量的点积满足交换律和分配律。
向量的叉积表示为A×B，计算公式为A×B = |A||B|sinθn，其中θ为A和B之间的夹角，n为单位法向量。
向量的叉积具有反交换律和分配律。
三、向量的共线性和垂直性1. 向量的共线性：给定两个非零向量A和B，如果存在一个实数k，使得A=kB，那么向量A和向量B共线。
2. 向量的垂直性：给定两个非零向量A和B，如果A·B=0，那么向量A和向量B垂直。
该性质可以用来解决垂直向量的判断和运算问题。
四、向量在平面几何中的应用1. 平面向量与平移：平面向量的加法和减法可以用于描述平移过程。
给定向量a表示原点O到点A的位移向量，那么点B的坐标可以表示为B = A + a。
同样地，如果我们知道点A和点B的坐标，那么向量AB的坐标可以表示为AB = B - A。
高中数学《平面向量》知识点总结
高中数学《平面向量》知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容之一、它是描述平面上的有向线段的数学工具，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
以下是对平面向量知识点的总结。
1.平面向量的定义和表示法：平面向量是具有大小和方向的有向线段。
可以用有序数对(x,y)表示向量，也可以用字母加上箭头表示向量，如向量a用小写字母a加上箭头表示。
2.平面向量的运算：(1)向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”，即两个向量相加等于以它们为相邻边的平行四边形的对角线；(2)向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量，其大小等于原向量大小乘以实数，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）；(3)数乘的性质：数乘满足交换律、结合律和分配律；(4)向量的减法：向量减法即向量加上其负向量；(5)零向量：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身，与零向量的数乘等于零向量本身；(6)向量的线性组合：若有一组向量，每个向量乘以相应的实数再相加得到的向量称为向量的线性组合；(7)内积：内积是一种向量间的一种运算，定义为两个向量的大小之积乘以夹角的余弦值，用点乘符号表示，即向量a与向量b的内积为a·b；(8)内积的性质：内积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律，同时与向量的长度、夹角以及方向都有关系；(9)垂直：若两个非零向量的内积为0，则它们互相垂直。
3.平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示。
设平面上一个点的坐标为A(x1,y1)，则以原点O为起点的向量可以表示为向量a(x1,y1)，其中x1和y1分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。
4.平面向量的模和方向角：(1) 模：向量的模是指向量的长度，用，a，表示，计算公式为：，a，=sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度；(2) 方向角：向量的方向角是指向量与x轴正半轴之间的夹角，一般用θ表示，计算公式为：θ=tan^(-1)(y/x)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修 4 知识点总结平面向量知点一 .向量的基本看法与基本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向段的起点与uuur uuurxi yj ( x, y)点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a；坐表示法 a向uuur量的大小即向量的模（度），作 | AB | 即向量的大小，作｜a｜向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．②零向量：度 0 的向量，0，其方向是随意的，0与随意愿量平行零向量 a ＝0｜r ra ｜＝0因为0的方向是随意的，且定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共）的中必看清楚能否有“非零向量” 个条件．（注意与 0 的区）③ 位向量：模 1 个位度的向量向量 a0位向量｜ a0｜＝1④平行向量（共向量）：方向同样或相反的非零向量随意一平行向量都能够移到同一直上方向同样或相反的向量，称平行向量作a∥ b因为向量能够行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量能够平移到同向来上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点能够随意取，在必划分清楚共向量中的“共” 与几何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一的．⑤相等向量：度相等且方向同样的向量相等向量平移后能够重合， a b 大x1x2小相等，方向同样(x1, y1 )(x2 , y2 )y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuurAB a, BC b ，a+ b = AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法”与“平行四形法”：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法的特色是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首尾连结时，用三角形法例．向量加法的三角形法例可推行至多个向量相加：uuur AB uuurBCuuurCD LuuurPQuuurQRuuurAR ，但这时一定“首尾相连”．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做记作 a ,零向量的相反向量还是零向量a 的相反向量对于相反向量有：（ i）( a)= a；(ii) a +( a )=( a )+ a =0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a = b , b= a , a +b= 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与 b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是随意的②数乘向量知足互换律、联合律与分派律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：假如e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a1e1 2 e2 ，此中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底7特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合），而向量平行则包含共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关学习本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等 因为向量是一新的工具，它常常会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是知识的交汇点例 1 给出以下命题：① 若 | r r r ra | ＝ |b | ，则 a = b ；② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则uuur uuur AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r rr rr r ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ，rrrrr r④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；r r r r r r⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a //c，此中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不必定同样．uuur uuur uuur uuur uuur uuur ② 正确．∵AB DC ，∴ | AB| |DC |且 AB// DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCDuuuruuur uuur uuur 为平行四边形，则，AB//DC 且|AB| |DC |，uuur uuur所以， AB DC ．③ 正确．∵r r r ra =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向同样；r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向同样，r r r r ∴ a ， c 的长度相等且方向同样，故 a ＝ c ．r rr r r r r r ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即便 | a |=| b | ，也不可以获得 a =b ，故 | a |=| b | r r r r 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必需不充足条件．r r⑤ 不正确．考虑 b = 0 这类特别状况．综上所述，正确命题的序号是②③．评论：本例主要复习向量的基本看法．向量的基本看法许多，因此简单忘记．为此，复习一方面要建立优秀的知识构造， 另一方面要擅长与物理中、 生活中的模型进行类比和联想．例 2 设 A 、B 、 C 、 D 、 O 是平面上的随意五点，试化简：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD ③OAOCOBCO解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur uuur( AB BC ) CD AC CD AD ②原式 = uuur uuur uuur r uuur uuur ( DBBD) AC 0 AC AC③原式=uuur (OBuuurOA)uuur ( OC uuurCO)uuurAB uuur(OCuuurCO) uuurAB ruuurAB例 3 设非零向量rrrrrrrrrra 、b 不共线，c =k a + b ，d = a +k b(k R)，若 c ∥ d ，试求 kr r解：∵ c ∥ d∴由向量共线的充要条件得：r r (λ R) c =λ d r r r rr r r 即 k a +b =λ( a +k b ) ∴ (k λ ) a + (1 λ k) b = 0r r又∵ a 、 b 不共线∴由平面向量的基本定理k 0 k11 k二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： r r在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向同样的两个单位向量 i , j作为基底 由平面向量的基本定理知， 该平面内的任一直量 r r r rr a 可表示成 a xi yj ，因为 a 与r rr 数对 (x,y)是一一对应的，所以把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，此中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细地点没关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1) rx 1, y 1 rr rx 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,bx 2 , y 2 ，则 a b uuur(2) 若 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，则 ABx 2 x 1 , y 2 y 1 (3) r r x, y)若 a =(x,y)，则 a =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0若 a,b，则 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a,b，则 a br r y 1 y 2 0若 a b ，则 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算 类型向 1 平行四边形法例 r rx,y 21 y)2a bb a量 2 三角形法例a b (x 1的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法例r ra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur减ABBA法uuur uuur uuurOB OA AB 向a 是一个向量 ,a( x, y)(a)() a量 知足 :的>0 时, a 与 a 同向 ;()aaa 乘<0 时, a 与 a 异向 ;法=0 时,a = 0( a b ) a ba ∥ bab向 a ? b 是一个数r rx 1x 2 y 1y 2a ?b b ? a量a?b的a0 或 b 0时 ,( a) ba ( b)(a b)数???量 a?b =0(ab) ?ca ?cb ?c积a 0且b 0 时 ,a 2 | a |2 , |a | x 2 y 2a?b |a||b|cos a,b| a ? b | | a || b | r r r r r r r r r r例 1 已知向量 a (1,2), b (x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，务实数 x 的值r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a br 2( x,1) (2 x 1,4) r 2(1,2) ( x,1) (2 x,3)所以 u (1,2) ， vr r又因为 u // v所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5解得 x12AC 和 OB （ O 为坐标原点）交例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线点 P 的坐标uuur uuur(x 4, y)解：设 P(x, y) ，则 OP ( x, y), AP因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上uuur uuur uuur uuur即得 OP // OB, AP // ACuuur uuur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4)6( x 4) 2 y 0得方程组4x 4 y 0x 3解之得y 3故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数目积1 两个向量的数目积：r rrrr r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a ·b =︱ a ︱ ·︱ b ︱ cosr r r r叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 0r r rr r2 = a b向量的投影： ︱ b ︱ cos r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射| a |影3 数目积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r r r 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式建立：r r r r r 2 r 2 r a b a b a bar r 2 r 2r r r 2 r a ba2a b b a2 r 2b ；2 r rr 22a bb6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： rrr r a b b a②对实数的联合律建立： r r r r r r Ra ba b a b③分派律建立：r r r r r r r rr r a bc a cb cca b特别注意 ：（ 1）联合律不建立： r r rr r r；a b ca b cr r r rr r（2）消去律不建立 a ba c不可以获得 b crr不可以获得r r r r （3） a b =0a = 0 或b =07 两个向量的数目积的坐标运算：rrrr已知两个向量a ( x 1 , y 1),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b = x 1x 2 y 1 y 2rr uuur ruuur r8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB=（ 000）叫做向量r r180 a 与b的夹角r rr rx1 x2y1 y2cos= cosa ?b=a, b r r2222? ba x1y1x2y2当且仅当两个非零向量r r r r r a 与b同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b反方向时θ=1800，同时0与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r900r r r r9 垂直：假如a与b的夹角为则称 a 与b垂直，记作 a ⊥b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20平面向量数目积的性质例 1判断以下各命题正确与否：r r r0 ；（1）0 a0 ；（2）0 ar r r r r r r（3）若a0, a b a c ，则 b c ；r r r r r r r r⑷若 a b a c ，则 b c当且仅当 a0 时建立；r r r r r r r r r（5）( a b )c a(b c ) 对随意 a,b , c 向量都建立；（6）对随意愿量r r2r2 a，有 a a解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸ 错；⑹对例 2 已知两单位向量r r120，若r r r r r r r r a 与b的夹角为c2a b, d3b a ，试求c 与d的夹角解：由题意，r r r r0，a b 1 ，且a与 b 的夹角为 120r r r r01，所以， a b a b cos1202r r r r r r r r2r r r 227 ，Q c c c(2 a b) (2 a b)4a4a b b r7 ，cr13同理可得dr r r r r r r r r 2r217，而 c d(2a b ) (3b a)7a b3b2a2 rr设为 c 与d的夹角，则 cos2 171317 91 arccos17917 182182评论：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例 3r4,3 r1,2 rr r r r r的已知 a， b， mab , n2a b ，按以下条件务实数值r r r r r r（ 1） m n ；（ 2） m // n ； (3) m nr r r4,32 r r r 7,8解： m a b, n 2a br r 47 3 28 052（ 1） m n；r r9483 27 01 ；（ 2） m// n2r r 423 227 28 25 2488 0(3) mn2 2 115评论：此例展现了向量在座标形式下的基本运算。
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2平面向量【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
3（6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
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r
uuur
r
uuur
r
,则∠AOB=
（0
0
180
0
）叫做向
29、已知两个非零向量a与b，作OA=a,
OB=b
r
r
量a与b的夹角
rr
r
?
r
x x
y y
b
2
2
cos =cos a,b
a
=
1
1
r
r
2
2
x2
22
（可用此公式求两向量夹角）
a ? b
x1
y1
y2
当x1x2
y1y2< 0，?（
??
2
，π];
当x1x2
则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标。
（2）坐标表示
在向量a的直角坐标中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y）
叫做向量的坐标表示。
（3）在向量的直角坐标中，
i=（1,0）j=（0,1）
0=（0,0）
r
r
x2, y2
20、若a
x1, y1,b
和实数 λ
rr
x2, y1
y2
（1）a bx1
L1：A1x+B1y+C1=0
与直线L2：A2x+B2y+C2=0
的夹角，则只要求与两直线平
行的向量的夹角， 再取这两个向量的夹角或补角，
即与直线L1
、
2
分别平行的向量
1
，
L
m=（A
??·??
??·??+??·??
1
2
2
=︱??︱·︱??︱
(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型(2),推荐文档
平面向量一.向量的基本概念与基本运算向量的概念：①向量：向量一般用……来表示，或用有向线段c b a,,，；坐标表示法AB a向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大AB 小，记作｜｜a向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零0 0向量＝a 0 ⇔｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量a0 0 平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1向量为单位向量｜｜＝10a ⇔0a④平行向量（共线向量）：任意一组平行向量都可方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥a 量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故⑤相等向量：相等向量经过平移后总可以重合，记向量加法设，则+==,AB a BC b == a b AB BC +（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；a a a=+=+00向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”．AB BC CD PQ QR AR +++++=向量的减法① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量a a记作,零向量的相反向量仍是零向量a-关于相反向量有： （i ）=； (ii) +()=()+=；)(a --aa a -a -a 0 (iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=ab a b -b a -a b ②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，a b ab 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起b a -b a ab 实数与向量的积：①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：a a（Ⅰ）；a a⋅=λλ（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与0>λa a 0<λa的方向相反；当时，，方向是任意的a0=λ0 =a λ两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=b a⇔λb 平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量21,e e ，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做a21,λλ2211e e a λλ+=21,e e 特别注意:（1（2（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与二.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基,i j由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由a a xi yj =+于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，a a a其中x 叫作在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标a(1)(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只平面向量的坐标运算：(1)若，则()()1122,,,a x y b x y == ()1212,a b x x y y ±=±±(2)若，则()()2211,,,y x B y x A ()2121,AB x x y y =--(3)若=(x,y)，则=(x, y)a λaλλ(4)若，则()()1122,,,a x y b x y == 1221//0a b x y x y ⇔-=(5)若，则()()1122,,,a x y b x y ==1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ 若，则a b ⊥2121=⋅+⋅y y x x 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫a b θa b ab θ做与的数量积（或内积） a b向量的投影：︱︱cos =∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝b θ||a b a ⋅ b a数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积a b a b a向量的模与平方的关系：乘法公式成立：；()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- ()2222a ba ab b ±=±⋅+ 222a a b b=±⋅+ 平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅ ()c a b=⋅±特别注意：（1）结合律不成立：；()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅（2）消去律不成立不能得到a b a c ⋅=⋅b c =⋅（3）=0不能得到=或=a b ⋅a 0b 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=1122(,),(,)a x y b x y ==a b 向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （a bOA a OB b θ）叫做向量与的夹角1800≤≤θa bcos =θ当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时a b a bθ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥a b a b a 两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝a b ⇔a b题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是.AB CD =（5）若，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.AB CD =（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若与共线， 与共线，则与共线.a b b c a c（8）若，则.ma mb = a b =（9）若，则.ma na =m n =（10）若与不共线，则与都不是零向量.a b a b（11）若，则.||||a b a b ⋅=⋅//a b （12）若，则.||||a b a b +=-a b ⊥ 题型2.向量的加减运算1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 .a b ||a b +=2.化简 .()()AB MB BO BC OM ++++=3.已知,,则的最大值和最小值分别为 、 .||5OA = ||3OB = ||AB 4.已知的和向量，且，则 ， .AC AB AD 为与,AC a BD b ==AB = AD = 5.已知点C 在线段AB 上，且,则 ， .35AC AB = AC = BC AB =BC 题型3.向量的数乘运算1.计算：（1） （2）3()2()a b a b +-+=2(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知，则 .(1,4),(3,8)a b =-=-132a b -= 题型4.作图法球向量的和已知向量，如下图，请做出向量和.,a b132a b + 322a b -题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中点，请用向量表示.ABC ∆D BC AB AC ，AD2.在平行四边形中，已知，求.ABCD ,AC a BD b ==AB AD 和题型6.向量的坐标运算1.已知，，则点的坐标是 .(4,5)AB =(2,3)A B2.已知，，则点的坐标是 .(3,5)PQ =--(3,7)P Q 3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为 .1(1,2)F = 2(2,3)F =- 3(1,4)F =--4.已知，，求，，.(3,4)a =-(5,2)b = a b + a b - 32a b - 5.已知,向量与相等，求的值.(1,2),(3,2)A B (2,32)a x x y =+--AB ,x y 6.已知，，，则 .(2,3)AB = (,)BC m n = (1,4)CD =-DA = 7.已知是坐标原点，，且，求的坐标.O (2,1),(4,8)A B --30AB BC += OC题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：12,e eA. B. C. D.1212e e e e +- 和1221326e e e e -- 和4122133e e e e +- 和221e e e - 和2.已知，能与构成基底的是（ ）(3,4)a =a A. B. C. D.34(,)5543(,)5534(,)55--4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐O A ||2OA = 150xOA ∠=OA 标.2.已知是原点，点在第一象限，，求的坐标.O A 60xOA ∠=OA 题型9.求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），||3,||4a b == a b 60a b ⋅ ()a a b ⋅+ （3），（4）.1()2a b b -⋅ (2)(3)a b a b -⋅+2.已知，求（1），（2），（3），(2,6),(8,10)a b =-=- ||,||a b a b ⋅ (2)a a b ⋅+（4）.(2)(3)a b a b -⋅+题型10.求向量的夹角1.已知，，求与的夹角.||8,||3a b ==12a b ⋅= a b 2.，求与的夹角.a b 3.已知，，，求.(1,0)A (0,1)B (2,5)C cos BAC ∠题型11.求向量的模1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）.||3,||4a b == a b 60||a b + |23|a b -2.已知，求（1），（5），（6）.(2,6),(8,10)a b =-=- ||,||a b ||a b + 1||2a b - 3.已知，，求.||1||2a b == ，|32|3a b -= |3|a b + 题型12.求单位向量 【与平行的单位向量：】a ||a e a =± 1.与平行的单位向量是 .(12,5)a = 2.与平行的单位向量是 .1(1,)2m =- 题型13.向量的平行与垂直1.已知，，当为何值时，（1）？（2）？(6,2)a = (3,)b m =- m //a b a b ⊥ 2.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？(1,2)a = (3,2)b =- k ka b + 3a b - （2）为何值时，向量与平行？k ka b + 3a b - 3.已知是非零向量，，且，求证：.a ab ac ⋅=⋅ b c ≠ ()a b c ⊥-题型14.三点共线问题1.已知，，，求证：三点共线.(0,2)A -(2,2)B (3,4)C ,,A B C 2.，求证：三点共线.A B D 、、3.已知，则一定共线的三点是 .2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=- 4.已知，，若点在直线上，求的值.(1,3)A -(8,1)B -(21,2)C a a -+AB a 5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使(0,0)O (3,4)A (1,2)B -(1,1)C t 成立？OA tOB OC += 题型15.判断多边形的形状1.若，，且,则四边形的形状是 .3AB e = 5CD e =- ||||AD BC = 2.已知，，，，证明四边形是梯形.(1,0)A (4,3)B (2,4)C (0,2)D ABCD3.已知，，，求证：是直角三角形.(2,1)A -(6,3)B -(0,5)C ABC ∆4.在平面直角坐标系内，,求证：是等(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-= ABC ∆腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知，，当为何值时，向量与平行？(1,0)a = (2,1)b = k ka b - 3a b +2.，，求的坐标.a b ⊥ ||2b = b 3.已知同向，，则，求的坐标.a b 与(1,2)b = 10a b ⋅= a 3.已知，，，则 .(1,2)a = (3,1)b = (5,4)c = c = a + b 4.已知，，，请将用向量表示向量.(5,10)a = (3,4)b =-- (5,0)c = ,a b c 5.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；(,3)a m = (2,1)b =- a b m （2）若与的夹角为锐角，求的范围.a b m 6.已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？(6,2)a = (3,)b m =- m a b（2）与的夹角为锐角？a b 7.已知梯形的顶点坐标分别为，，，且，ABCD (1,2)A -(3,4)B (2,1)D //AB DC ，求点的坐标.2AB CD =C 8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，ABCD (2,1)A (1,3)B -(3,4)C 求第四个顶点的坐标.D 9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度与船的实际速度.30 10.已知三个顶点的坐标分别为，，，ABC ∆(3,4)A (0,0)B (,0)C c （1）若，求的值；（2）若，求的值.0AB AC ⋅= c 5c =sin A 【备用】1.已知，求和向量的夹角.||3,||4,||5a b a b ==+= ||a b - ,a b 2.已知，，且，，求的夹角的余弦.x a b =+ 2y a b =+ ||||1a b == a b ⊥ ,x y 1.已知，则 .(1,3),(2,1)a b ==-- (32)(25)a b a b +⋅-=4.已知两向量，求当垂直时的x 的值.(3,4),(2,1)a b ==- a xb a b +- 与5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围.(1,3),(2,)a b λ== a b 与θλ变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围.(,2),(3,5)a b λ==- a b 与θλ选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量，则（ ）(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=-- c = A. B. C. D.1322a b -- 1322a b -+ 3122a b - 3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是的重心，则下列向量与共线的是（ ）ABC ∆AB A. B. C. D.AM MB BC ++ 3AM AC + AB BC AC ++ AM BM CM++。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结高中平面向量知识点总结一、基本概念和基本性质：1. 平面向量的定义：平面向量是有大小有方向的量，可以用有向线段来表示。
2. 平面向量的表示：一般表示为AB(或→AB)，其中A为向量的起点，B为向量的终点。
可以用坐标表示或分量表示。
3. 向量的相等：当且仅当它们的大小相等且方向相同。
4. 零向量：大小为0的向量，所有向量都与零向量相等，用0或→0表示。
5. 向量的负向量：一个向量的负向量大小相等，方向相反，用−→AB表示。
6. 平面向量的加法：向量相加的结果称为向量的和，可以用平行四边形法则或三角形法则进行计算。
7. 平行向量的性质：平行向量的大小相等或成比例，方向相同或相反。
8. 平面向量的数乘：一个向量乘以一个实数得到的向量。
即向量AB乘以实数k得到的向量为k→AB，大小为|k||→AB|，方向与→AB相同或相反。
二、坐标表示和分量表示：1. 平面向量的坐标表示：设A(x1, y1)和B(x2, y2)为平面上两点的坐标，向量→AB的坐标表示为(x2-x1, y2-y1)。
2. 平面向量的分量表示：向量→AB的x轴和y轴的分量分别为→AB的坐标中的x分量和y分量，分别记作comp_x(→AB)和comp_y(→AB)。
三、数量积：1. 定义：设有两个向量→A和→B，它们的数量积（又称内积、点乘）为一个实数，记作→A·→B(或A·B)，表示为|→A||→B|cosθ，其中θ为两个向量的夹角。
2. 性质：a. 交换律：→A·→B = →B·→Ab. 分配律：(→A + →B)·→C = →A·→C + →B·→Cc. 结合律：(k→A)·→B = k(→A·→B)，其中k为实数d. |→A·→B| ≤ |→A||→B|，当且仅当两个向量平行时取等号四、平面向量的夹角和正交：1. 夹角：两个非零向量→A和→B之间的夹角θ的余弦值为→A·→B/|→A||→B|，θ的范围为[0,π]。
高中数学必修4平面向量知识点及典型例题总结
"数学"必会根底题型——"平面向量"【根本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小〔或长度〕，记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
假设e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量〔共线向量〕：方向一样或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都一样的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=〔指向被减数〕9.平行四边形法则：以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：假设(,)a x y =，则2||a x y =+22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅；cos ||||a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型1.根本概念判断正误：〔1〕共线向量就是在同一条直线上的向量。
〔2〕假设两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
〔3〕与向量共线的单位向量是唯一的。
〔4〕四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
〔5〕假设AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
〔6〕因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
〔7〕假设a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线。
完备版版高中数学4平面向量知识点与典型例题总结生.doc
高中数学必修 4 平面向量知识点与典型例题总结( 生)1 《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量既有大小又有方向的量。
记作AB或a。
2. 向量的模向量的大小或长度记作| |AB或| |a。
3. 单位向量长度为1的向量。
若e是单位向量则| | 1e。
4. 零向量长度为 0 的向量。
记作 0。
【0 方向是任意的且与任意向量平行】5. 平行向量共线向量方向相同或相反的向量。
6.相等向量长度和方向都相同的向量。
7.相反向量长度相等方向相反的向量。
AB BA。
8. 三角形法则AB BC ACAB BC CD DE AE AB AC CB指向被减数9.平行四边形法则以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b a b。
10.共线定理 / /a b a b。
当0时 a b 与同向当0时 a b 与反向。
11.基底任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模若( , )a x y 则 2 2| |a x y 22| |a a 2| | ( )ab a b13.数量积与夹角公式| | | |cosa b a b cos| | | |a ba b14. 平行与垂直 1 2 2 1/ /a b a b x y x y 1 2 1 20 0a b a b x x y y 题型 1. 基本概念判断正误1共线向量就是在同一条直线上的向量。
2若两个向量不相等则它们的终点不可能是同一点。
3与已知向量共线的单位向量是唯一的。
4四边形 ABCD是平行四边形的条件是 AB CD。
5若 AB CD则A、B、C、D四点构成平行四边形。
6因为向量就是有向线段所以数轴是向量。
7若a 与b 共线 b 与c 共线则a与c共线。
8 若 ma mb则 a b。
29若ma na则m n。
10若a 与b 不共线则a与b都不是零向量。
11若| | | |a b a b则/ /a b 。
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1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ，（2） ，
（3） ，（4） .
2.已知 ，求（1） ，（2） ，（3） ，
（4） .
题型10.求向量的夹角
1.已知 ， ，求 与 的夹角.
2.已知 ，求 与 的夹角.
3.已知 ， ， ，求 .
题型11.求向量的模
1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ，（2） .
9 垂直：如果 与 的夹角为900则称 与 垂直，记作 ⊥
10 两个非零向量垂直的充要条件：
⊥ · ＝O 平面向量数量积的性质
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.
（3））四边形ABCD是平行四边形的条件是 .
2 向量的投影：︱ ︱cos = ∈R，称为向量 在 方向上的投影 投影的绝对值称为射影
3 数量积的几何意义： · 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积
4 向量的模与平方的关系：
5 乘法公式成立：
；
6 平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立： ；
③作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点）
4 实数与向量的积：
①实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ）当 时，λ 的方向与 的方向相同；当 时，λ 的方向与 的方向相反；当 时， ，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
4.已知 ， ， ，请将用向量 表示向量 .
5.已知 ， ，（1）若 与 的夹角为钝角，求 的范围；
（2）若 与 的夹角为锐角，求 的范围.
6.已知 ， ，当 为何值时，（1） 与 的夹角为钝角？（2） 与 的夹角为锐角？
7.已知梯形 的顶点坐标分别为 ， ， ，且 ， ，求点 的坐标.
8.已知平行四边形 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，求第四个顶点 的坐标.
2.在平行四边形 中，已知 ，求 .
题型6.向量的坐标运算
1.已知 ， ，则点 的坐标是.
2.已知 ， ，则点 的坐标是.
3.若物体受三个力 , , ,则合力的坐标为.
4.已知 ， ，求 ， ， .
5.已知 ,向量 与 相等，求 的值.
6.已知 ， ， ，则 .
7.已知 是坐标原点， ，且 ，求 的坐标.
2.已知 ，求（1） ，（5） ，（6） .
3.已知 ， ，求 .
题型12.求单位向量【与 平行的单位向量： 】
1.与 平行的单位向量是.
2.与 平行的单位向量是.
题型13.向量的平行与垂直
1.已知 ， ，当 为何值时，（1） ？（2） ？
2.已知 ， ，（1） 为何值时，向量 与 垂直？
（2） 为何值时，向量 与 平行？
9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 角，求水流速度与船的实际速度.
10.已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，
（1）若 ，求 的值；（2）若 ，求 的值.
【备用】
1.已知 ，求 和向量 的夹角.
2.已知 ， ，且 ， ，求 的夹角的余弦.
1.已知 ，则 .
（5）若 ，则A、B、C、D四点构成平行四边形.
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.
（7）若 与 共线， 与 共线，则 与 共线.
（8）若 ，则 .
（9）若 ，则 .
（10）若 与 不共线，则 与 都不是零向量.
（11）若 ，则 .
（12）若 ，则 .
题型2.向量的加减运算
1.设 表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 .
（2）消去律不成立 不能得到
（3） =0 不能得到 = 或 =
7 两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量 ，则 · =
8 向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则∠AOB= （ ）叫做向量 与 的夹角
cos = =
当且仅当两个非零向量 与 同方向时，θ=00，当且仅当 与 反方向时θ=1800，同时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
5 两个向量共线定理：
向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 =
6 平面向量的基本定理：
如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
｜ ｜＝0 由于 的方向是任意的，且规定 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量 为单位向量 ｜ ｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量 记作 ∥ 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
3.已知 是非零向量， ，且 ，求证： .
题型14.三点共线问题
1.已知 ， ， ，求证： 三点共线.
2.设 ，求证： 三点共线.
3.已知 ，则一定共线的三点是.
4.已知 ， ，若点 在直线 上，求 的值.
5.已知四个点的坐标 ， ， ， ，是否存在常数 ，使 成立？
题型15.判断多边形的形状
1.若 ， ，且 ,则四边形的形状是.
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A. B. C. D.
2.已知 ，能与 构成基底的是（）
A. B. C. D.
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知 是坐标原点，点 在第二象限， ， ，求 的坐标.
2.已知 是原点，点 在第一象限， ， ，求 的坐标.
bcrr2消去律不成立rracrrrrrrx1x2y1y2uuuuu180叫做向量coscosrr反方向时180同时的夹角为9010两个非零向量垂直的充要条件y1y2平面向量数量积的性质题型基本概念判断正误1共线向量就是在同一条直线上的向量3与已知向量共线的单位向量是唯一的4四边形abcd是平行四边形的条件是2若两个向量不相等则它们的终点不可能是同一点abuururuuabuu6因为向量就是有向线段所以数轴是向量rrrrrrrrrr10若rr11若表示向东走8km表示向北走6kmabuubouuuuruuubc的最大值和最小值分别为uuuuuuuuruu已知ac为ab与ad的和向量且acuuu已知点c在线段ab上且ac题型abuuuruuuu3uuuuuuuabuuu3a1r作图法球向量的和rr已知向量已知在abcbc的中点请用向量uuuabcd中已知acbduuruuuuruuuab表示adab和ad在平行四边形题型向量的坐标运算uruu已知aburuu已知pq45rrrr3a2bab相等求uruu已知abuuuuruucduruuuuuurab3bcoc的坐标urrue2是平面内的一组基底判断下列每组向量是否能构成一组基底
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为 大小相等，方向相同
2 向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设 ，则 + = =
（1） ；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
4.已知两向量 ，求当 垂直时的x的值.
5.已知两向量 ， 的夹角 为锐角，求 的范围.
变式：若 ， 的夹角 为钝角，求 的取值范围.
选择、填空题的特殊方法：
1.代入验证法
例：已知向量 ，则 （）
A. B. C. D.
2.排除法
例：已知M是 的重心，则下列向量与 共线的是（）
A. B. C. D.
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
二.平面向量的坐标表示
1 平面向量的坐标表示：
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 可表示成 ，由于 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量 的坐标，记作 =(x,y)，其中x叫作 在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标
2.已知 ， ， ， ，证明四边形 是梯形.
3.已知 ， ， ，求证： 是直角三角形.
4.在平面直角坐标系内， ,求证： 是等腰直角三角形.
题型16.平面向量的综合应用
1.已知 ， ，当 为何值时，向量 与 平行？
2.已知 ，且 ， ，求 的坐标.
3.已知 同向， ，则 ，求 的坐标.
3.已知 ， ， ，则 .
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向
量
的
加
法
1 平行四边形法则
2 三角形法则
向
量
的
减
法
三角形法则
向
量
的
乘
法
是一个向量,
满足:
>0时, 与 同向;
<0时, 与 异向;
=0时, =
∥