高考数学复习压轴题专题讲解55 割补法与等积变换求解体积问题

高考数学复习压轴题专题讲解 专题55 割补法与等积变换求解体积问题
【方法点拨】
1. 利用等积变换求解三棱锥的体积问题，归根结底就是“换顶点（或换底面）”，换顶点的常用方
法有二.一是直接换，即从四个顶点选择一个点作为顶点，选择的基本原则是点面距易求，如出现线面垂直等；二是利用线面平行更换顶点，由于该直线上任意一点到平面的距离均相等，换完后依然是便于求出点面距.当然，有时还会遇到利用与平面相交的直线上的点换顶点等不一而足. 2. 利用求体积可以求点面距，其数学方法是“算两次”.
【典型题示例】
例1 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE =x ，A 1F =y ，则四面体O −AEF 的体积( )
A. 与x ，y 都有关
B. 与x ，y 都无关
C. 与x 有关，与y 无关
D. 与y 有关，与x 无关
【答案】B
【分析】利用线面平行换顶点，化动为静.
【解析】易知，11A C 平面AOE ，故四面体O AEF -即四面体F AOE -与四面体1A AOE -同底等高，即1=O AEF A AOE V V --四面体四面体
同理，1BB 平面1AAO ，故四面体1A AOE -即四面体1E AAO -与四面体1B AAO -同底等高，即11=A AOE B AA O V V --四面体四面体
所以11==O AEF B B AA O O AA V V V ---四面体四面体四面体，故与x ，y 都无关.
例2 如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ∆、
BCF ∆均为正三角形，//EF AB ，2EF =，则该多面体的体积为（）
A ．
3
B ．23D ．43
【答案】A
【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积. 【解析】在EF 上取点,M N 使1
2
EM FN ==
，连接,,,AM DM BN CN ， ABCD 是边长为1的正方形，且ADE 、BCF △均为正三角形，EF AB ∥，
所以四边形ABFE 为等腰梯形，2EF =，1MN =，
根据等腰梯形性质，,,,AM EF DM EF BN EF CN EF ⊥⊥⊥⊥，
,AM DM 是平面AMD 内两条相交直线，,BN CN 是平面BNC 内两条相交直线，
所以EF ⊥平面AMD ，EF ⊥平面BNC ，
2
MA MD NB NC ====
， 几何体体积为2E AMD AMD BNC V V V --=+
1111
121132
2
23=⨯⨯⨯+⨯=
故选：A
例3 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为cm 3. 【答案】3
6cm
【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，
因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥， 所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ， 根据题意3cm AB AD ==，所以2
2
3=
AO ， 又因为32cm BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为2
62cm ，
从而四棱锥D D BB A 11-的体积3132626cm 32
V =
⨯=. 例4 如下图，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，,2,1====AB BC DC PD
︒=∠90,//BCD DC AB ，则点A 到平面PBC 的距离为.
【答案】.2
【分析】先证明BC PC ⊥，而所求点A 到平面PBC 的距离，需利用“算两次”，求出三棱锥ABC P -的体积即可.
【解析】因为⊥PD 平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD , 所以BC PD ⊥.由
90=∠BCD ,得.DC BC ⊥
又D DC PD = ,⊂PD 平面PCD ,⊂DC 平面PCD ,所以⊥BC 平面PCD , 因为⊂PC 平面PCD ,所以BC PC ⊥. 连结AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .
因为DC AB //,
90=∠BCD ,所以.90
=∠ABC 从而由1,2==BC AB , 得ABC ∆的面积1=∆ABC S .由⊥PD 平面ABCD 及1=PD ,得三棱锥ABC P - 的体积⋅=⋅=
∆3
1
31PD S V ABC 因为⊥PD 平面⊂DC ABCD ,平面ABCD , 所以DC PD ⊥,又1==DC PD ,所以222=+=DC PD PC
由BC PC ⊥,1=BC ,得PBC ∆的面积2
2
=
∆PBC S ,
由h S V PBC ∆=
3
1
3122.31=⋅=h ,得.2=h 因此．点A 到平面PBC 的距离为.2
【巩固训练】
1.如下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为cm 3
2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2cm AB =，E 为11C D 的中点，则三棱锥1E A BC -的体积为cm 3．
3.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为．
B
A
C
D 1B
1A
1C 1D
E F
4．如图，三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积为．
5.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是．
6.如图，在三棱柱中，中点，设三棱锥的体积
分别是的为
，三棱柱
的体积为，则
．
ABC C B A -111F
E D ，，1AA AC AB ，，ADE
F -1
V ABC C B A -1112V =21:V V
F E
D
C
B
A
A
B
C
A 1
B 1
F
C 1
E
A
B
C
1A D
E F
1B
1C
7.在直三棱柱111 ABC A B C -中，1AB =，2BC =，3AC =，11AA =.则1 B 到面1 A BC 的距离
为.
【答案与提示】
1.【答案】1
【提示】直接使用等体积法. 2.【答案】
2
3
【提示】直接使用等体积法. 3.【答案】12
【解析一】特殊位置法，转化为求四棱锥1A ABCD -的体积；
【解析二】连接DE ，则三菱锥1A ADE -与三菱锥1A DEF -体积相等，所以1112=2A AEFD A ADE E A AD V V V ---=，因为111111=6E A AD ABCD A B C D V V --，所以
112A AEFD V -=.
【解析三】补体，如右图.
4．【答案】10
【解析】补体，转化为三菱锥BEF A -与三棱锥BCD A -的体积比，实施等积变换.
A BEF
B AEF AEF A BCD
B ACD
ACD
V V S V V S
----=
=
，
因为
1
sin 12
16
sin 2
AEF ACD
AE AF A
S S
AC AD A
⋅⋅==
⋅⋅，V =总612A BEF V -=，
则四棱锥B ECDF -的体积为10. 5.【答案】38
【提示】直接使用等体积法. 6. 【答案】1：24
【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥与三棱柱
的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24． 7.【答案】
7
. 【解析】因为三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A BB -的底面积相等(
)111A AB
A B B
S
S
=，
高也相等（点C 到平面11 ABB A 的距离）；
所以三棱锥1 C A AB -与三棱锥
11 C A
B B -的体积相等. 又11
1
11133C A AB A ABC ABC V V S AA --==⋅==， ADE F -ABC A -1ABC A -1ABC C B A -111ADE F -ABC C B A -111
所以1111
C A B B B A BC V V --==. 设1 B 到面1 A BC 的距离为H ，
则1
1113
B A B
C A BC
V S H -==
，解得H =。