最小二乘法曲线拟合原理
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘
最小二乘法基本原理
最小二乘法基本原理
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计数据中的未知参数。
其基本原理是通过最小化实际观测值与估计值之间的残差平方和，来找到一个最佳拟合曲线或者平面。
在进行最小二乘法拟合时，通常会假设观测误差服从正态分布。
具体而言，最小二乘法寻找到的估计值是使得实际观测值与拟合值之间的差的平方和最小的参数值。
也就是说，最小二乘法通过调整参数的取值，使得拟合曲线与实际观测值之间的误差最小化。
在回归分析中，通常会假设数据服从一个特定的函数形式，例如线性函数、多项式函数等。
根据这个假设，最小二乘法将找到最合适的函数参数，使得这个函数能够最好地拟合数据。
最小二乘法的步骤包括以下几个方面：
1. 根据数据和所假设的函数形式建立回归模型；
2. 计算模型的预测值；
3. 计算实际观测值与预测值之间的残差；
4. 将残差平方和最小化，求解最佳参数值；
5. 利用最佳参数值建立最优拟合曲线。
最小二乘法的优点是简单易用，并且在经济学、统计学和工程学等领域都有广泛应用。
但需要注意的是，最小二乘法所得到的估计值并不一定是真实参数的最优估计，它只是使得残差平方和最小的一组参数估计。
因此，在使用最小二乘法时，需要对模型的合理性进行评估，并考虑其他可能的回归分析方法。
最小二乘法拟合圆原理
最小二乘法拟合圆原理最小二乘法（least square method）是一种经典的曲线拟合方法，它可以用于各种不同的数据拟合问题，其中包括圆的拟合问题。
本文将介绍最小二乘法拟合圆的原理和应用步骤。
首先，我们需要确定拟合圆的数学模型。
给定一组离散的二维坐标点（$x_i, y_i$），拟合出一个圆（x-a）^2 + （y-b）^2=r^2，其中（a,b）是圆心坐标，r是半径。
我们需要找到这三个参数的最优值，使得拟合圆与原始数据点之间的误差最小。
其次，我们需要求出这三个参数的最优值。
最小二乘法的核心思想是，通过最小化误差平方和来寻找模型的最优参数。
对于圆的拟合问题，我们可以考虑将每个数据点到圆心的距离和半径之差的平方和作为误差平方和，即：$$ E(a,b,r)=\sum_{i=1}^n[(x_i-a)^2+(y_i-b)^2-r^2]^2 $$通过对误差平方和进行求导，可以得到参数的解析表达式。
我们不需要手动求解，只需要使用数值优化算法（例如Levenberg-Marquardt算法）来计算参数的数值解即可。
最后，我们需要对拟合圆的质量进行评估。
通常我们会计算拟合圆与原始数据点之间的平均距离作为误差指标，以及计算R2（拟合度）。
在实际应用中，我们可以通过MATLAB、Python等编程语言编写最小二乘法拟合圆的程序，快速高效地处理大量数据。
综上所述，最小二乘法是一种非常实用的数据拟合方法，可以应用于各种不同的拟合问题，包括圆的拟合问题。
通过搭配合适的数值优化算法，我们可以轻松求解拟合圆的最优参数，并评估拟合的质量。
这些方法在科学研究和工程应用中发挥着重要的作用。
最小二乘法(OLS)的原理解析
定义
最小二乘法（OLS），英文全称ordinary least squares，又称最小平方法，是回归分析 （regression analysis）最根本的一个形式,对模型条件要求最少，也就是使散点图上的所有观测值 到回归直线距离的平方和最小。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘 法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，最小二 乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
公式
在一元线性回归模型中，回归方程一般表示为
yi
=
β^0
+
β^ x 1 i
，所用到的是statmodels模块中
OLS（最小二乘法），通过实际值 yi 与拟合值 y^i 差的平方和Q最小，也就是残差平方和最小，来
确定拟合方程中的系数 β1 和截距 β0 ，公式如下：
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
xi
)2
i=1
i=1
n
n
n
n
(∑
xi2
)(
∑
yi
)
−
(∑
xi)(∑
xiyi
)
β^ = i=1
0
i=1 n
i=1
i=1
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
第三章 最小二乘法与曲线拟合
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录:
编 号 拉伸倍数 1 1.9 2 2 3 2.1 4 2.5 5 2.7 6 2.7 7 3.5 8 3.5 9 4 10 4 11 4.5 12 4.6
xi
强 度 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5
n n 即 aij aik x j aik bi j 1 i 1 i 1 m
2
(k 1, 2,, m)
——（2）
称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）。 （2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法。
例：利用最小二乘法求矛盾方程组： 2x +4y =11 3 x 5 y 3 x 2 y 6 4 x 2 y 14
曲线拟合问题：
要求近似曲线严格通过所给定的点——插值法 作近似曲线，考虑初值误差——最小二乘法
一、最小二乘原则：
1. 偏差：一般的，对给定的一组数据，不能要求 y = f(x)严格通过所有数据点( xi，yi )。若拟合曲线 为y ( x)，称 i ( xi ) yi为偏差(i =1,2, n)。
2 （3） 使偏差平方和最小，即 i 2 ( xi ) yi］ ［ 最小。 i 1 i 1 m m
※常用第三种方法，称为最小二乘原则。
二、矛盾方程组：
1、 a11 x1 a12 x2 a1m xm b1
a x a x a x b 21 1 22 2 2m m 2 ——（1） an1 x1 an 2 x2 anm xm bn
最小二乘法多项式拟合原理
最小二乘法多项式拟合原理最小二乘法多项式拟合原理最小二乘法是一种数学方法，用于寻找一个函数，使得该函数与已知数据点的残差平方和最小化。
尤其在数据分析和统计学中广泛应用，其中特别重要的应用是曲线拟合。
本文将介绍最小二乘法在多项式拟合中的原理。
多项式拟合多项式拟合是一种常见的曲线拟合方法，它将数据点逼近为一个固定次数的多项式。
假设有N个数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN)，希望找到一个关于x的M次多项式函数y=a0+a1x+a2x^2+...+aMx^M，最小化拟合曲线与数据点之间的残差平方和，即S(a0,a1,…,aM)=∑i=1N(yi−P(x))2其中P(x)=a0+a1x+a2x^2+...+aMx^M。
最小二乘法最小二乘法是一种优化方法，通过最小化残差平方和，寻找最优的拟合函数参数。
在多项式拟合中，残差平方和的最小值可以通过相应的求导数为零来计算拟合函数参数。
设残差平方和S的导数为零得到的方程组为∑xi0,…,xiMaM=∑yi⋅xi0,…,xiM，其中M+1个未知量为a0,a1,…,aM，共有M+1个方程，可以使用线性代数解决。
拟合错误与选择问题使用较高次数的多项式进行拟合，可能会导致过度拟合，使得拟合函数更接近每个数据点，因此更难以预测它们之间的关系。
另一方面，使用过低次数的多项式无法反映出数据点之间的较细节的关系。
因此，在实践中，我们需要权衡多项式次数和误差，以找到一个最合适的拟合结果。
总结最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，在多项式拟合中广泛应用。
通过最小化残差平方和，可以找到最优的拟合函数参数，权衡多项式次数和误差，可以得出最合适的拟合结果。
最小二乘法与曲线拟合(共24张PPT)
j 1
n
aNj
xj
bN
j1
2a1k
a2k
aNk
(
Ax
b)
Q
故 x1
Q
x2
Q
2
AT
(
Ax
b)
2(
AT
Ax
AT b )
xn
令
Q 0
(k 1,2,, n)
即
ATxAk x
AT b
〔*〕
因为rankA=n，故由引理2知，上式有唯一解。设
解为x1=a1, x2=a2,…, xn=an，记为点P0(a1,a2,…,an)，
或写为
其矩阵形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2
aN1x1 aN 2 x2 aNn xn bN
n
aij x j bi ( j 1,2,, N )
j 1
Ax b
当方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于 rankA＝n〔A的秩为n〕的矛盾方程组〔N>n〕，我 们寻求其最小二乘意义下的解。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表 达式y= (x)，要求近似表达式能够反映数据的根本趋势 而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合问题，函 数的近似表达式y= (x)称为拟合曲线。本章介绍用最小 二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
一、矛盾方程组的定义
设线性方程组
3.最小二乘法解矛盾方程组
计算步骤：
〔1〕判断方程组的秩是否满足rankA=n？
〔2〕写出正那么方程组；
〔3〕求解正那么方程组，其解就是矛盾方程组 的最小二乘解。
最小二乘法拟合原理及代码的实现
最小二乘法拟合原理及代码的实现最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的统计分析方法，用于拟合数学模型和找到数据间的最佳逼近曲线。
其核心原理是通过最小化观测值与预测值之间的误差平方和来确定模型的参数。
在本文中，我将介绍最小二乘法的基本原理，并提供一个简单的Python代码实现。
最小二乘法的基本原理是基于以下假设：观测值与预测值之间的误差是服从均值为零的正态分布。
这意味着误差有一个平均值为零的正态分布，并且其方差是常数。
基于这一假设，我们可以使用误差的平方和来评估模型的拟合度，并通过最小化这个平方和来确定模型的参数。
假设我们有一组观测数据，表示为(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们希望找到一个最佳拟合曲线，使得这些数据点到曲线的垂直距离的平方和最小。
这个最佳拟合曲线可以表示为一个函数，例如y =f(x)。
最小二乘法通过最小化误差平方和来确定函数f(x)的参数。
min Σ(yi - f(xi))²其中，Σ表示求和符号，yi表示观测值，f(xi)表示预测值。
为了实现最小二乘法的拟合，我们需要选择一个适当的拟合函数f(x)。
这个函数可以是线性的、多项式的、指数的或者其他类型的函数。
具体选择取决于实际的数据和拟合需求。
下面是一个简单的Python代码实现最小二乘法拟合的示例：```pythonimport numpy as npfrom scipy.optimize import curve_fit#定义拟合函数，例如线性函数def linear_func(x, a, b):return a * x + b#生成模拟数据x = np.linspace(0, 10, 100)y = 2 * x + 1 + np.random.randn(100)#使用最小二乘法进行拟合params, _ = curve_fit(linear_func, x, y)#输出拟合参数a, b = paramsprint("拟合参数：a = {}, b = {}".format(a, b))```在这个示例中，我们使用线性函数y = a*x + b来拟合数据。
最小二乘法的原理
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种统计学中常用的参数估计方法，用于拟合数据并找到最适合数据的数学模型。
其原理是通过最小化实际观测值与预测值之间的误差平方和，来确定模型参数的取值。
具体而言，假设有一组数据点，其中每个数据点包括自变量（即输入值）和因变量（即输出值）的配对。
我们要找到一条最佳拟合曲线（或者直线），使得曲线上的预测值尽可能接近实际观测值。
而最小二乘法的目标就是使得残差的平方和最小化。
假设要拟合的模型为一个一次多项式：y = β0 + β1*x，其中β0和β1是待估计的参数，x是自变量，y是因变量。
我们要找到
最优的β0和β1，使得拟合曲线的误差最小。
为了使用最小二乘法，我们首先需要构建一个误差函数。
对于每个数据点，误差函数定义为实际观测值与预测值之间的差，即e = y - (β0 + β1*x)。
我们的目标是最小化所有误差的平方和，即最小化Sum(e^2)。
通过对误差函数求导，并令导数为0，可以得到最小二乘法的
正规方程组。
解这个方程组可以得到最优的参数估计值，即
β0和β1的取值。
最终，通过最小二乘法，我们可以得到一条最佳拟合曲线（或直线），使得曲线的预测值与实际观测值的误差最小。
这条拟
合曲线可以用于预测新的因变量值，或者理解自变量与因变量之间的关系。
最小二乘法
x
yabx
y 1 y
ybax
y 1 y
y x y
yax2bxc
yax2bxc
（ n m 且 0 (x),1(x),L ,n (x) 线性无关）中，存
在唯一的函数
* (x) a0*0 (x) a1*1(x) L an*n (x)
使得关系式（3.2.5）成立，并且其系数 a0*, a1*,L , an可*
以通过解法方程组得到。
三、特例：（代数多项式拟合）
如取 i (x) xi 就得到代数多项式 ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 L a n x n
M
(n
,0
)
(n ,1)
L
(0,n ) 0 (0, f )
(1,n )
1
(1,
f
)
M M M
(n
,n
)
n
(n ,
f
)
(3.3.2)
法方程组(或正规方程组)
由于向量组 0 ,1,,n 是线性无关, 故式(3.3.2)的系数行列式 G(0,1,,n ) 0,
故式(3.3.2)存在唯一解
曲线拟合的最小二乘法
1 曲线拟合的问题： 2 什么是最小二乘法 3 最小二乘法的求法
1 曲线拟合的问题
一、问题的提法 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值yi,便可
根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。 但在科学实验和生产实践中，往往节点上的函数值是由
实验或观测得到的数据，这些函数值不可避免地带有测量 误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有 的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。
n(xi)f(xi)]0
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最小二乘法曲线拟合原理
最小二乘法曲线拟合原理是指用曲线来拟合已知数据点的一种
优化算法，也叫“误差最小化法”，更多的称之为“最小二乘法”，简称LSM。
最小二乘法曲线拟合的应用范围很广，拟合分析复杂数据的应用越来越多。
最小二乘法曲线拟合的原理
最小二乘曲线拟合的基本原理是构造一个最适合拟合给定数据
点的函数，使拟合后函数拟合数据点和真实数据点之间的均方误差（SSE）最小。
均方误差是指观测值和拟合函数值之间的差的平方（SSE = SΣ(Yi - Xk)^2）。
均方误差最小，表明拟合函数就是最适合拟合数据的函数，而最小二乘法的基本思想就是求均方误差最小，即求解最优解的函数，这个函数就是最合适拟合给定数据点的曲线函数，即最小二乘法曲线拟合函数。
最小二乘法曲线拟合的应用
最小二乘法曲线拟合最常见的应用是拟合曲线，以解决未知函数形式的问题。
拟合曲线可以使用曲线来估计一组数据，曲线拟合可以使得模型更准确地拟合数据，并且可以获得该曲线的未知参数。
如果数据不符合一个函数，可以使用自定义函数进行拟合，比如指数函数、sin函数、双曲线等。
最小二乘法也可以用于拟合回归模型，这是一种统计学中常用的方法，它可以用来推断大量随机变量的变化趋势，或者用来分析一个
可能受其他变量影响的变量之间的关系。
最小二乘法也可以用于数值估计，比如最小二乘法用于数值拟合，用于数值拟合可以求出未知函数的参数，用于回归分析中，可以估计因变量受自变量影响的参数。
最小二乘法曲线拟合的缺点
最小二乘法曲线拟合的最大缺点是其依赖性强：由于拟合的曲线函数有固定形式，因此无法拟合数据点的异常值，也无法拟合数据不具有规律性的情况；另外，最小二乘法曲线拟合也可能因过拟合导致拟合出的函数复杂度较高，从而影响精度。
总结
最小二乘法曲线拟合原理指用曲线来拟合已知数据点的一种优
化算法，它的基本原理是构造一个最适合拟合给定数据点的函数，使拟合后函数拟合数据点和真实数据点之间的均方误差最小。
最小二乘法曲线拟合的应用范围很广，拟合分析复杂数据的应用越来越多。
最小二乘法曲线拟合的最大缺点是其依赖性强，也可能因过拟合导致拟合出的函数复杂度较高，从而影响精度。