矩阵的秩的性质
高等代数§3.5矩阵的秩与初等变换
4 3 9 12
1 1 7 8
41
1121
1 6 4 1 4 r33r2 0 4 3 1 1
r44r2
0 0
0 0
0 0
4 4
8 8
r4r0
4 3 0 0
1 1 4 0
0841.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知: R(A)=3.
以下求A的一个最高阶非零子式. 由于R(A)=3.
1 0
0 0
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
01 01
=B1
1 1 1 2
例6:设
A
3 5
3
1
62,已知R(A)=2, 求与的值.
解:
A
r2-3r1 r3–5r1
1 0 0
1
3
8
1 4
5
244
1 1 1 2
r3-r2
0 0
3 5
4
1
04,
由R(A)=2,
得
5 1
00,
即
B
1 2 2 3
2 4
4 6
2 8 2 0
1 0 3
6
21 43
r2–2r1 r3+2r1
r4–3r1
1 0
0 0
2 0 0 0
2 4 2 6
1 2 1
3
01 51
r22 1 2 2 1 1
r3–r2 r4+3r2
0
0 0
02 00 00
1 0 r35
0 0
51
r4–r3
所以, R(A)=2, R(B)=3.
即 A B, 则 R(A) = R(B).
秩知识点总结
秩知识点总结本文将就秩知识点进行总结，从不同角度来解释秩的概念、性质、应用及其相关定理。
秩是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵的研究中有着重要的作用。
秩的概念和性质是线性代数的基础知识，对于理解线性代数的其他内容具有重要意义。
一、秩的定义1.1 矩阵的行秩和列秩在矩阵的行空间中，秩的定义是行空间的维数。
同样，在矩阵的列空间中，秩的定义是列空间的维数。
行秩和列秩都是矩阵的秩。
矩阵的秩是行秩和列秩中的较小者。
1.2 符号表示矩阵A的秩记作r(A)。
在文中，通常会简单地称呼为矩阵A的秩。
1.3 矩阵A的秩等于行秩和列秩行空间和列空间是等价的。
因此，矩阵A的行秩和列秩是相等的，即秩。
这个定理是线性代数中的重要定理。
二、秩的性质2.1 零矩阵的秩为0对于任意大小的零矩阵，其秩都是0。
这是秩的一个重要性质。
2.2 矩阵的秩不会超过其行数和列数中的较小者对于一个m×n的矩阵A，其秩r(A)不会大于m和n中的较小者。
2.3 等价矩阵的秩相等对于等价矩阵A和B，它们的秩是相等的。
2.4 矩阵的秩与矩阵的变换无关对于一个矩阵A，将其进行线性变换后得到的新矩阵B，矩阵A和B的秩是相等的。
秩只与原矩阵A有关，与其变换无关。
2.5 矩阵的秩与初等行变换有关通过初等行变换，矩阵的行秩是它所对应的行阶梯形矩阵的行秩。
这个性质对于计算矩阵的秩非常重要。
三、秩的应用3.1 矩阵的秩与方程组的解的个数有关当矩阵A的秩与矩阵的增广形式的秩相等时，方程组有唯一解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组有无穷解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组无解。
3.2 矩阵的秩与矩阵的逆的存在性有关当矩阵A是一个n×n的方阵，并且其秩等于n时，矩阵A存在逆矩阵。
3.3 矩阵的秩与矩阵的特征值有关关于特征值和特征向量的理论可以用秩来进一步分析特征值和特征向量的性质。
3.4 矩阵的秩与矩阵的奇异性有关当矩阵A的秩小于n时，矩阵A被称为奇异矩阵。
第8讲矩阵的秩
则AT经过初等行变换变为BT. 故, R(AT)=R(BT). R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B). 因而有: 综上所述, 若A经过有限次初等变换变为B, 即 A B, 则 R(A) = R(B). 证毕
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成为行 阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0
显然, 非零行的行数为2. 所以, R(A)=2.
例 求矩阵的秩
0 A 1 1
1 1 3
0 2 4
2 1 4
解:
1 2 B 2 3 r22 1 r3–r2 0 0 r4+3r2 0
2 2 1 1 r2–2r1 1 2 2 1 1 4 8 0 2 r3+2r1 0 0 4 2 0 4 2 3 3 r4–3r1 0 0 2 1 5 0 0 6 3 1 6 0 6 4 2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 2 1 0 r35 0 0 2 1 0 =B 0 0 0 5 r4–r3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
性质5: max{R(A), R(B)} R(A ¦ R(A) + R(B), 特别当B = b B) 时, R(A) R(A ¦ R(A) + 1. b) 证明: 由于A的最高阶非零子式当然是(A ¦ B)的非零子式, 故 R(A) R(A ¦ 同样R(B) R(A ¦ B). B), 故 max{R(A), R(B)} R(A ¦ . B) 设R(A)=r , R(B)=t . 对A和B分别做列变换, 化为列阶梯形矩 阵A1和B1, 则A1和B1中分别含有r 个和t 个非零列, 设为 A A1=(a1, a2, ·, ar , 0, ·, 0), · · · · B B1=(b1, b2, ·, bt , 0, ·, 0), · · · · 从而 (A ¦ (A1 ¦ 1), B) B 但是(A1 ¦ 1)中仅有r+t个非零列, B 因此, R(A ¦ = R(A1 ¦ 1) r + t = R(A) + R(B). B) B
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()T R A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵） 性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
矩阵的秩及求法
矩阵的秩及求法矩阵是线性代数中重要的概念，它有许多重要的性质和应用。
其中，矩阵的秩可以用来描述一个矩阵的性质，是矩阵理论中的重要概念之一。
本文将介绍矩阵的秩及求法。
1. 矩阵的秩矩阵的秩是描述矩阵线性无关的最大列数或行数，可以用来判断矩阵的特征和性质。
矩阵的秩可以分为列秩和行秩，两者是相等的。
当矩阵的行秩或列秩为r时，称该矩阵的秩为r，用rank(A)表示。
矩阵的秩可以看作是矩阵中某个部分的线性独立数量，它可以影响到方程组的解的数目，同时也可以影响到矩阵的行列式的值，因此矩阵的秩是矩阵理论中非常重要的一个概念。
求矩阵的秩是矩阵理论中常见的问题之一，有许多的求法。
下面我们将介绍几种常用的求法。
2.1 高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种常用方法。
具体操作步骤如下：1）将矩阵A转化为行阶梯形矩阵U。
2）计算矩阵U中非零行的数量，这个数量就是矩阵A的秩。
例如，对于如下的矩阵：$$\left[ \begin{matrix}1&2&1\\2&2&-1\\-1&-1&2\end{matrix} \right]$$非零行的数量为3，因此该矩阵的秩为3。
2.2 奇异矩阵判定法奇异矩阵是指矩阵的行列式为0的矩阵。
如果一个矩阵是奇异矩阵，则其秩为小于矩阵的维数。
因此，我们可以通过判断矩阵的行列式是否为0来快速判定矩阵是否是奇异矩阵。
其行列式可以计算得到：$det(A)=-1$，因此该矩阵不是奇异矩阵，秩为3。
2.3 矩阵的基变换法我们可以进行列基变换，将其转化为：3. 总结矩阵的秩是描述矩阵线性无关的最大列数或行数。
我们可以通过高斯消元法、奇异矩阵判定法、矩阵的基变换法等方法来求解矩阵的秩。
在实际问题中，矩阵的秩有着重要的应用价值，例如矩阵的逆矩阵等。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()TR A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
矩阵的秩与零空间
矩阵的秩与零空间矩阵是线性代数中的基本概念，广泛应用于多个学科领域。
在矩阵理论中，矩阵的秩和零空间是两个重要且密切相关的概念。
本文将深入探讨矩阵的秩以及与之相关联的零空间。
一、矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵的行向量或列向量线性无关的最大个数。
设矩阵A为m×n的矩阵，其秩记作rank(A)。
秩的定义有两种等价方式，一种是行秩与列秩的最小值，另一种是可化为行阶梯形的非零行的个数。
矩阵的秩具有以下重要性质：1. rank(A) ≤ min(m,n)，即矩阵的秩不会超过其行数和列数的最小值；2. 当rank(A) = m时，矩阵的行向量线性无关，可以表示整个解空间；3. 当rank(A) = n时，矩阵的列向量线性无关，可以表示整个值域。
二、矩阵的零空间矩阵的零空间，也称为核空间，是指满足线性方程组Ax=0的所有解构成的空间。
零空间可以用一个子空间来描述，即所有解向量构成的向量空间。
设矩阵A为m×n的矩阵，其零空间记作Null(A)。
对于任意给定的矩阵A，其零空间具有以下性质：1. 零空间中的向量都是矩阵A的特征向量，对应于特征值λ=0；2. 如果矩阵A的秩为r，则零空间的维度为n-r，即维度是自由变量的个数；3. 零空间与矩阵的秩之间存在着重要的关系：dim(Null(A)) = n - rank(A)。
三、矩阵秩与零空间的关系矩阵的秩与零空间密切相关，两者之间存在着重要的联系。
根据矩阵秩的定义和零空间的性质，我们可以得到以下结论：1. 如果矩阵A的秩为r，则零空间的维度为n-r。
这意味着矩阵A中自由变量的个数与零空间的维度相等；2. 当矩阵A的秩小于n时，零空间不为空。
这意味着矩阵A存在非零解，也就是说矩阵A的列向量不是线性无关的；3. 当矩阵A的秩等于n时，零空间只包含零向量。
这意味着矩阵A 的列向量是线性无关的。
总结：矩阵的秩与零空间是线性代数中重要的概念。
秩描述了矩阵的线性无关性以及能够表示的解空间的维度，而零空间则表示了矩阵的零解向量所构成的向量空间。
线性代数：矩阵的秩
例4
3 2 0
设
A
3
2
3
5 0 6 1, 求矩阵 A的
2 0 1 5 3
1
6
4 1
4
秩．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
11/44
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶 非零子式, R(B) r.
7/44
若Dˆ r 0, 则 Dr Dr 0,也有 R(B) r. 若A经一次初等行变换变为B，则 R( A) R(B).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) R( A).
定理1 若 A ~ B,则 RA RB.
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
5/44
当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
15/44
例
设A
1 2 2 3
解
~ A
rr32
22rr11
r4 3r1
1 0
0 0
2 4 1 3
1 2 0 3
矩阵的秩的性质
矩阵的秩的性质和矩阵秩与矩阵运算之间的关系要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。
进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。
”那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。
自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。
矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质：1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。
2、秩为r 的n 级矩阵（n r ≥），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r 阶子式不为0.3、)}(),(min{)(B rank A rank AB rank ≤ )'()(A rank A rank =，)()()(B rank A rank B A rank ±=± )()(A rank kA rank =4、设A 是n s ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则+)(A rank)}(),(min{)()(B rank A rank AB rank n B rank ≤≤-5、设A 是n s ⨯矩阵，P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵，则)()()(A rank AQ rank PA rank ==6、设A 是n s ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，且AB=0，则n B rank A rank ≤+)()(7、设A 是n s ⨯矩阵，则)()'()'(A rank A A rank AA rank ==其中，也涉及到线性方程组解得问题：8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A ，n A rank =)( 则方程组有惟一非零解，n A rank <)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则，非齐次线性方程组有解时，n A rank =)(惟一解，n A rank <)( 有无穷多解。
线性代数中的秩与矩阵变换解读
线性代数中的秩与矩阵变换解读在线性代数中，秩是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解矩阵的性质和变换的本质。
本文将探讨线性代数中的秩与矩阵变换的关系，并解读其背后的数学原理和几何意义。
一、秩的定义与性质在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数。
我们用r(A)表示矩阵A的秩。
秩的定义可以通过高斯消元法得到，即将矩阵A进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，秩就是矩阵中非零行的个数。
秩具有以下性质：1. 对于任意矩阵A，秩满足0 ≤ r(A) ≤ min(m, n)，其中m和n分别是矩阵A的行数和列数。
2. 对于任意矩阵A，其秩与其转置矩阵的秩相等，即r(A) = r(A^T)。
3. 对于任意矩阵A和B，r(AB) ≤ min(r(A), r(B))。
当r(A) = r(B) = n时，r(AB) = r(A) = r(B) = n。
二、秩与矩阵变换的关系矩阵变换是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个向量空间中的向量在某种变换下的映射关系。
而秩则是描述矩阵的性质的一个指标。
秩与矩阵变换之间有着密切的联系。
1. 矩阵变换的线性性质矩阵变换必须满足线性性质，即对于任意向量x和y以及标量c，有T(x + y) = T(x) + T(y)和T(cx) = cT(x)。
线性性质保证了矩阵变换的可加性和标量倍乘性。
2. 矩阵变换的表示对于一个线性变换T，我们可以用一个矩阵A来表示它。
具体而言，对于任意向量x，有T(x) = Ax。
其中，A是一个m×n的矩阵，m是变换后向量的维度，n是变换前向量的维度。
3. 矩阵变换与秩的关系矩阵变换与秩的关系可以通过矩阵的列空间和零空间来解释。
对于一个m×n的矩阵A，其列空间是所有由A的列向量线性组合而成的向量的集合，记作Col(A)；其零空间是所有满足Ax = 0的向量x的集合，记作Nul(A)。
根据秩的定义，我们可以得到以下结论：- 矩阵A的列空间的维度等于A的秩，即dim(Col(A)) = r(A)。
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矩阵的秩的性质和之宇文皓月创作
矩阵秩与矩阵运算之间的关系
要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简
而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程
组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方
程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的
秩。”
那么无妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，
一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自
然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化
为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算
了，包含数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩
阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如
下性质：
1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。
2、
秩为r的n级矩阵（nr），任意r+1阶行列式为0，
而且至少有一个r阶子式不为0.
3、
)}(),(min{)(BrankArankABrank
)'()(ArankArank
，
)()()(BrankArankBArank
4、设A是ns矩阵，B为sn矩阵，则)(Arank
5、设A是ns矩阵，P,Q分别是s,n阶可逆矩阵，则
6、设A是ns矩阵，B为sn矩阵，且AB=0，则
7、设A是ns矩阵，则)()'()'(ArankAArankAArank
其中，也涉及到线性方程组解得问题：
8、
对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A，
nArank)(
则方程组有惟一非零解，nArank)(则有无穷多解，换言之，
即为克莱姆法则，
非齐次线性方程组有解时，nArank)(惟一解，
nArank)(
有无穷多解。
还有满秩矩阵：
9、可逆满秩
10、
行（列）向量组线性无关，即n级矩阵化为阶梯形矩
阵后非零行数目为n。
扩展到矩阵的分块后：
证明：
1、先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。
设矩阵A的行向量组是12s，，设A经过1初等变换j+i*k
酿成矩阵B，则B的行向量组是1,,,,,,iijsk，显然，
1,,,,,,iijs
k
可由12s，线性表出，由于
1()jijikk
，因此12s，也可由1,,,,,,iijsk线
性表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此A的
行秩等于B的列秩。
容易证明，2型和3型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原
矩阵等价，从而不改变矩阵的行秩。
进而列秩也可以得到证明，又已知阶梯形矩阵的行秩与列秩相
同，那么，讲一个矩阵通过初等变换得到阶梯形矩阵，行秩等
于列秩的性质便得证。
2、
设sn矩阵A的秩为r，则A的行向量组中有r个线性无关
的向量，设A的第1,,rii行向量线性无关，它们组成一个矩阵
A1（称A1是A的子矩阵），由于A1的行向量组线性无关，因此
A1的行秩为r，列秩也为r。于是A1又r列线性无关。设A1的第
1,,r
jj
列线性无关，它们组成A1的一个子矩阵A2的列向量组线
性无关，因此2||0A。即