2013年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖南，理1，5分】复数i (1i)z =?+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B

【解析】2i i 1i z =+=-+，对应点为()1,1-，故在第二象限，故选B ． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． （2）【2013年湖南，理2，5分】某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是

否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）

（A ）抽签法 （B ）随机数法 （C ）系统抽样法 （D ）分层抽样法 【答案】D

【解析】总体由男生和女生组成，比例为500:500=1:1，所抽取的比例也是1:1．故拟从全体学生中抽取100名学

生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法，故选D ．

【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．

（3）【2013年湖南，理3，5分】在锐角中ABC ?，角A ，B 所对的边长分别为,a b ．

若2sin a B ，则角A 等

于（ ）

（A ）12π

（B ）

6π （C ）4π （D ）3

π

【答案】D

【解析】∵在ABC ?

中，2sin a B ，∴由正弦定理

2sin sin a b

R A B

==

得：2sin sin A B B ，

∴sin A =，又ABC ?为锐角三角形，∴3

A π

=

，故选D ．

【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．

（4）【2013年湖南，理4，5分】若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤??

+≤??≥-?

，则2x y +的最大值是（ ）

（A ）52- （B ）0 （C ）53

（D ）5

2

【答案】B

【解析】约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令2x y d +=，即122

d

y x =-+，由线性规

划知识可得最优点为12,33??

???

，所以max 145333d =+=，故选B ．

【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和

简单的线性规划等知识，属于基础题．

（5）【2013年湖南，理5，5分】函数()2ln f x x =的图像与函数()2

45g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）

（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 【答案】B

【解析】解法一：

设()f x 与()g x 图象的交点坐标为()x y ，，则2ln y x =，245y x x =-+，联立得22ln 45x x x =-+，

令()2450()2ln h x x x x x =-+->，由()22

40h x x x

'=-=-

得11x =+

21x =-(舍)． 当()0h x '<，

即(0,1x ∈时，()h x 单调递减；当()0h x '>，

即()

1x ∈++∞时，()h x 单调递增．

又∵()120h =>，()212 20h ln =-<，()452 40h ln =->，∴()h x 与x 轴必有两个交点，故选B ． 解法二：

在同一坐标系下，画出函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象如

下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点，故选B ．

【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，

做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．

（6）【2013年湖南，理6，5分】已知,a b u r r 是单位向量，0a b ?=u r u r

．

若向量c u r 满足1c a b --=u r u r u r ， 则c r

的取值范围是（ ） （A

）

[

21,21]-+ （B ）[21,22]-+ （C ）[1,21]+ （D ）[1,22]+ 【答案】A

【解析】由题意，不妨令()0,1a =r ，()1,0b =r

，()c x y =r ，，由1||c a b --=得22()(11)1x y -+-=，

22

c x y =+r 可看做()x y ，到原点的距离，而点()x y ，在以()1,1为圆心，以1为半径的

圆上．如图所示，当点()x y ，在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，

21PO =-，21P O '=+，故选A ．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具． （7）【2013年湖南，理7，5分】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视

图的面积不可能．．．

等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）21- （D ）21

+ 【答案】C

【解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面

积为2cos 04S πθθ?

?≤≤ ???=，∴12S ≤≤，而21<1-，

故面积不可能等于21-，故选C ． 【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为1,2?

???

是解题的关键． （8）【2013年湖南，理8，5分】在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B

的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC ?的重心，则AP 等于（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）83

（D ）4

3

【答案】D

【解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则()0,0A ，()4,0B ，

()0,4C ．设ABC ?的重心为D ，则D 点坐标为44,33??

???

．设P 点坐标为(),0m ，则P 点

关于y 轴的对称点1P 为(),0m -，因为直线BC 方程为40x y +-=，所以P 点关于BC 的 对称点2P 为(4,4)m -，根据光线反射原理，1P ，2P 均在QR 所在直线上，∴12P D

P D k k =， 即4

4

43

344433

m

m -+=

+-，解得，43m =或0m =．当0m =时，P 点与A 点重合，舍去．∴43m =，故选D ． 【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11

三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分）（二）必做题（12~16题）．

（9）【2013年湖南，理9，5分】在平面直角坐标系xoy 中，若直线:x t l y t a

=??=-? (t 为参数) 过椭圆3cos :2sin x C y ?

?=??

=?（?为参数）的右顶点，则常数a 的值为 ． 【答案】3

【解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y x a =-，椭圆的方程为22

194

x y +=，

所以其右顶点为()3,0．由

题意知03a =-，解得3a =．

【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题． （10）【2013年湖南，理10，5分】已知,,a b c R ∈，236a b c ++=，则22249a b c ++的最小值为 ． 【答案】12

【解析】由柯西不等式得()()()2

2222221114923a b c a b c

++++≥++，即2224912a b c ++≥，当232a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++的最小值为12．

【点评】本题给出等式236a b c ++=，求式子22249a b c ++的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯

西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题． （11）【2013年湖南，理11，5分】如图，在半径为7的O e 中，弦AB ，CD 相交于点P ，2PA PB ==，

，则圆心O 到弦CD 的距离为 ．

【答案】3

【解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知··PD PC PAPB =，

所以4PC =，5CD =，

则52CE =，7OC =．所以O 到CD 距离为2

25372OE ??

()-= ???

=． 【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热

点问题．

（二）必做题（12~16题）

（12）【2013年湖南，理12，5分】若2

09T

x dx =?，则常数T 的值为 ．

【答案】3

【解析】∵3213x 'x ??

= ???

，∴23300110933T T x dx x T ==-=?，∴3T =． 【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题． （13）【2013年湖南，理13，5分】执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2a b ==，则输出

的a 的值为 ． 【答案】9

【解析】输入1a =，2b =，不满足8a >，故3a =；3a =不满足8a >，故5a =；5a =不满

足8a >，故7a =；7a =不满足8a >，故9a =，满足8a >，终止循环．输出9a =．

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流

程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

（14）【2013年湖南，理14，5分】设12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若

126PF PF a +=，且12PF F ?的最小内角为30o

，则C 的离心率为 ．

【答案】3

【解析】不妨设12PF PF >，由1212||||6||||2PF PF a PF PF a +=??-=?，可得12

||4||2PF a

PF a =??=?．∵22a c <，∴1230PF F ∠=?，

∴22224 322402cos c a a a

()+()-()

=???，得222330c c a a +-=，即23023e e -+=，∴3e =．

【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．

（15）【2013年湖南，理15，5分】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

(1),2

n n n n S a n N *=--∈，

则（1）3a = ； （2）12100S S S ++???+= ．

【答案】(1)116-

(2)10011132??- ???

【解析】（1）由()112n n n n S a =--，*n N ∈，当1n =时，有()1

11112a a =--，得114a =-．

当2n ≥时，()()1111111122n

n n n n n n n n a S S a a ----=-=--

--+．即()()1

1112n n

n n n n

a a a -=-+-+． 若n 为偶数，则()1122n n a n -=-≥．所以11

2

n n a +=-（n 为正奇数）；

若n 为奇数，则()111111

122222

2n n n n n n a a -+-??=-+=-?-+= ???．所以12n n a =（n 为正偶数）．

所以3411

216a =-=-．

（2）112n n a +=-（n 为正奇数），所以12211

22

a ??-=--= ???，又12n n a =（n 为正偶数），所以2212a =．

则122122a a -+=?．34411

22

a ??-=--= ???，4412a =．则344122a a -+=?．…99100100122a a -+=?．

所以，()()()123491234991003190010011

122

2a a a a S S S a a S S S ++++?+??=-++-+++-+-+++ ???+L L

501001002100100111111111111114422221114162222321142

????

-- ? ???????

????=+++-+++=-=- ? ? ???????--L L ．

【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n 为偶数时能求出奇数项的通

项，当n 为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．

（16）【2013年湖南，理16，5分】设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．（1）记集合{(,,)|,,M a b c a b c =

不能构成三角形的三条边长，且}a b =，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为______ ．（2）若,,a b c 是ABC ?的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）

① ()(),1,0x f x ?∈-∞>；②x R ?∈，使,,x x x a b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若ABC ?为钝角三角形，则(1,2)x ?∈使()0f x =． 【答案】(1){}1|0x x <≤；(2)①②③

【解析】（1）c a >，2c a b a ≥+=，

所以2c a ≥，则ln ln 20c a ≥>．令2210x x x x x x x

a f x a

b

c a c c c ????=+=-=-=?? ???????

-（）． 得2x

c a ??

= ???，所以ln 2ln 21ln 2ln x c a

=≤=．所以01x <≤．

（2）因为1x x

x x x x a b f x a b c c c c ??????

=+=+-?? ? ??????-???

（），又1,1a b c c <<，所以对,1x ?∈

∞（-），1x x a b c c ????+- ? ????? 11

10a b a b c c c c +-????

>+-=> ? ?????

．所以命题①正确；令1x =，1a b ==，2c =．

则1x x a b ==，2x c =．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则2220a b c -+<．

2221020f a b c f a b c =+->-=+<（），（）．所以12x ?∈（,），使0f x =（）．所以命题③正确．

【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的

关键是对题意的正确理解，此题是中档题．

三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（17）【2013年湖南，理17，12分】已知函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-，2()2sin 2

x

g x =．

（1）若α

是第一象限角，且()f α=，求()g α的值；

（2）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合． 解：()sin()cos()63f x x x ππ=-+

-11cos cos 22x x x x =-+

x =，2()2sin 1cos 2

x

g x x ==-．

（1）由33()f α=

得3

sin 5

α=．又α是第一象限角，所以cos 0α>．从而 241

()1cos 11sin 155

g ααα=-=--=-=．

（2）()()f x g x ≥等价于3sin 1cos x x ≥-，即3sin cos 1x x +≥．于是1

sin()62

x π+≥．

从而522,666k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，即222,3

k x k k πππ≤≤+∈Z ， 故使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合为2{|22,}3

x k x k k πππ≤≤+∈Z}． 【点评】本题给出含有三角函数的两个函数()f x 、()g x ，求特殊函数值并讨论使()()f x g x ≥成立的x 的取值

集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．

（18）【2013年湖南，理18，12分】某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指

纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，

X 1 2 3 4 Y

51

48

45

42

（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “相近” 的概率； （2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望． 解：（1）所种作物总株数1234515N =++++=，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为

12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11

31236C C =种，选取的两株作物恰好 “相近”的不同结果有3328++=种，故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好

“相近”的概率为82

369

=．

（2）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列，

因为：(51)(1),(48)(2)P Y P X P Y P X ======；(45)(3),(42)(4)P Y P X P Y P X ======；

所以只需求出()(1,2,3,4)P X k k ==即可，记k n 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数（1,2,3,4k =）则

12342,4,6,3n n n n ====由()k n P X k N ==

得：2(1)15P X ==；4(2)15P X ==；62(3)155

P X ===； 31

(4)155

P X ==

=，故所求的分布列为 Y 51 48 45 42 P

215 415 25 15

所求的数学期望为： ()5148454246151555

E Y =?+?+?+?=．

【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题． （19）【2013年湖南，理19，13分】如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，

190,,1,3BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===o ．

（1）证明：1AC B D ⊥；

（2）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值．

解：（1）如图，因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，又因为AC BD ⊥，

所以AC ⊥平面1BB D ，而1B D ?面1BB D ，所以1AC B D ⊥． （2）因为11//B C AD ，所以直线11B C 与平面1ACD 所成的角等于直线AD 与平面1ACD 所成的角

（记为θ），如图，连接1A D ，因为棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱，且011190B A D BAD ∠=∠=，

所以11A B ⊥平面11ADD A ，从而111A B AD ⊥，又13AD AA ==，所以四边形11ADD A 是正方

形，于是11A D AD ⊥，故1AD ⊥平面11A B D ，于是11AD B D ⊥，由（1）知，1AC B D ⊥，

所以1B D ⊥平面1ACD ，故0190ADB θ∠=-，在直角梯形ABCD 中，因为AC BD ⊥，所以

BAC ADB ∠=∠，

从而Rt ABC Rt DAB ??:，

故AB BC

DA AB

=，即3AB DA BC =?=，连接1AB ，易知1AB D ? 是直角三角形，且22222211121B D B B BD B B AB AD =+=++=，即121B D =， 在1Rt AB D ?中，1121cos 21AD ADB B D ∠=

==，即021cos(90)θ-=，从而21

sin θ=， 即直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值为

21

． 解法二：

（1）易知，1AB AD AA ，，两两垂直．如图，以A 为坐标原点，1AB AD AA ，，所在直线分别为

x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB t =，则相关各点的坐标为：()000A ，，，

111()()(00)()()031013030)033(B t B t C t C t D D ，，，，，，，，，，，，，，，，，．1(33)B D t =∴--u u u u r ，，，(1)0A t C =u u u r

，，，

(3)0D t B =-u u u r ，，．因为AC BD ⊥，所以2300AC BD t =-++=?u u u r u u u r ．解得3t =或3t =-(舍去)．

于是()13,3,3B D =--u u u u r ，()

3,1,0AC =u u u r

．因为13300AC B D -++=?=u u u r u u u u r ，所以1AC B D ⊥u u u r u u u u r ，即1AC B D ⊥．

（2）由（1）知，10()33AD =，

，，()

3,1,0AC =u u u r

，11()010B C =u u u u r ，，．设()n x y z =r ，，是平面1ACD 的一个法向 量，则1

0n AC n AD ??=???=??r u u u r

r u u u u r

即30330x y y z ?+=??+=??，令1x =，则()

1,3,3n =-r ．设直线11B C 与平面1ACD 所成角为θ， 则11111

1321

7sin cos ,B C n B B C C θ?=

=?==r u u u u u r

u u u u u r u ur n n ．即直线B 1C 1与平面1ACD 所成角的正弦值为21． 【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、

线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题．

（20）【2013年湖南，理20，13分】在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到

达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处．现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心．

（1）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

（2）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，

使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．

解：设点P 的坐标为()x y ，．

（1）设点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|3||20|,,[0,)x y x R y -+-∈∈+∞．

（2）有题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最

小值之和（记为d ）的最小值．

①当1y ≥时，|10||14||3|2|||20|d x x x y y =++-+-++-，因为1()|10||14||3|

d x x x x =++-+-

|10||14|x x ≥++-（*）

当且仅当3x =时，不等式（*）中的等号成立．又因为|10||14|24x x ++-≥（**）当且仅当[10,14]x ∈-时，不等式（**）中的等号成立．所以1()24d x ≥，当且仅当3x =时，

等号成立．2()2|20|21d y y y =+-≥，当且仅当1y =时，等号成立．

故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45． ②当01y ≤≤时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以

|10||14||3|1|1||||20|d x x x y y y =++-+-++-++-，此时，1()|10||14||3|d x x x x =++-+-， 2()1|1||||20|2221d y y y y y =+-++-=-≥，由①知，1()24d x ≥，故12()()45d x d y +≥，当且仅

当3,1x y ==时等号成立．

综上所述，在点(3,1)P 出修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．

【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难

题．

（21）【2013年湖南，理21，13分】过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线

12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D ．以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N

（M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l ．

（1）若120,0k k >>，证明：22FM FN p ?

；

（2）若点M 到直线l

，求抛物线E 的方程． 解：（1）由题意，抛物线E 的焦点为(0,)2p F ，直线1l 的方程为12p y k x =+由12

22p y k x x py

?

=+???=?得22

120x pk x p --=

设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12,x x 是上述方程的两个实数根，从而1212x x pk +=，

212121()2y y k x x p pk p +=++=+，所以点M 的坐标为2

11(,)

2

p pk pk +，211(,)FM pk pk =u u u u r ， 同理可得点N 的坐标为2

22(,)2

p pk pk +，222(,)FN pk pk =u u u r ，于是2221212()FM FN p k k k k ?=+u u u u r u u u r

由题设，122k k +=，12120,0,k k k k >>≠，所以21212012k k k k +??<<= ?

??

，故222

(11)2FM FN p p ?<+=u u u u r u u u r ． （2）由抛物线的定义得12p FA y =+，22

p

FB y =+，所以212122AB y y p pk p =++=+，从而圆M 的半径

211r pk p =+，故圆M 的方程为22222111()()()2

p

x pk y pk pk p -+--=+，化简得：

22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=，同理可得圆N 方程为：222

22232(21)04

x y pk x p k y p +--+-=

于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为22

2121()()0k k x k k y -+-=，又21210,2k k k k -≠+=，则l

的方程为20x y +=，因为0p >，所以点M 到直线l

的距离2117

[2()]p k d ++=

故当11

4k =-时，d

=

8p =，故所求的抛物线E 的方程为216x y =． 【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与

圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．

（22）【2013年湖南，理22，13分】已知0a >，函数()2x a

f x x a

-=+．

（1）记()f x 在区间[0,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式；

（2）是否存在a ，使函数()y f x =在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存

在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．

解：（1）当0x a ≤≤时，()2a x f x x a -=+；当x a >时，()2x a

f x x a

-=+，因此，当(0,)x a ∈时，2

3'()0(2)a f x x a -=<+， ()f x 在(0,)a 上单调递减；当(,)x a ∈+∞时，2

3'()0(2)a

f x x a =>+，()f x 在(,)a +∞上单调递增；

①若4a ≥，则()f x 在(0,4)上单调递减，1

()(0)2

g a f ==；

②若04a <<，则()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,4)a 上单调递增．所以()max{(0),(4)}g a f f =，而

141(0)(4)2422a a f f a a ---=-=++，当01a <≤时，4()(4)42a

g a f a

-==

+；当14a <<时，1()(0)2g a f ==．

综上所述，4,0142()1,12

a

a a g a a -?<≤?

?+=?

?>??．

（2）由（1）知，当4a ≥时，()f x 在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当04a <<时，()f x 在(0,)a 上单调

递减，在(,4)a 上单调递增，若存在1212,(0,4)()x x x x ∈<，使曲线()y f x =在1122(,()),(,())x f x x f x 两点处

的切线互相垂直，则12(0,),(,4)x a x a ∈∈，且12'()'()1f x f x ?=-，即

22

12331(2)(2)

a a

x a x a -?=-++， 亦即12322a x a x a +=+ （*）由12(0,),(,4)x a x a ∈∈得12(2,3)x a a a +∈，233(,1)242a a x a a

∈++，

故（*）成立等价于集合{|23}A x a x a =<<与集合3{|1}42a

B x x a =<<+的交集非空．

因为3342a

a a

<+，所以当且仅当021a <<，即102a <<时，A B ≠?I ．

综上所述，存在a 使函数()f x 在区间(0,4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的

取值范围是1

(0,)2

．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．