基变换与坐标变

{n βββ，，， 21}下的坐标是(n y y y ，，， 21)，则

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛==

∑

=n n

i n i i x x x x 21121)(ααααα，，，， (4)

=⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=∑=n n

i n i i y y y y 211

21)(ββββ，，

，． (5) 把(3)代入(5)，得

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=n n n n y y y A y y y A 21212121)()))((ααααααα，，，，，，．(6) 因此，再注意到(4)，则由坐标的唯一性得到 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n y y y A 21 ． (7) 因此有

定理6.4.2 设V 是数域F 上n (＞0)维向量空间，A 是由V 的基{n ααα ，，21}到基{n βββ，，， 21}的过渡矩阵，则V 中向量α在基{n ααα ，，21}下的坐标(n x x x ，，， 21)与在{n βββ，，， 21}下的坐标(n y y y ，，， 21)由等式(7)联系着．

例1 取V 2的两个彼此正交的单位向量21εε，，作成V 2的一个基．令2

1,εε''分别是由ε1和ε2旋转角θ 所得的向量(图6-1)，则21εε''，也是V 2的一个基，且有

ξ 1ε'

⎩⎨

⎧+-='+='θθθθcos sin sin cos 212

211

εεεεεε， 1ε

所以}{21εε，到{21

εε''，}的过渡矩阵是 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ． 设V 2的一个向量α在}{21εε，下的坐标是(x 1，x 2)，在{21

εε''，}下的坐图6-1

α