知识讲解_简单的幂函数_提高

简单的幂函数

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。 3.理解函数的奇偶性定义，会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】

要点一、幂函数概念

形如()y x R α

α=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释：

幂函数必须是形如()y x R α

α=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：

()2

423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：

(1)x y =；(2)2

1x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3

x y =．

要点诠释：

幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数()a f x k x =?是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a

f x x =． 4.幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：

（1）奇偶性是整体性质；

（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()

()()0,

1(()0)()

f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()

()()01(()0)()

f x f x f x f x f x -+-==-≠，

； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；

（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.

若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；

若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；

若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数

要点四、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.

（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()

1()

f x f x -=±是否成立即可.

（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

要点五、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.

【典型例题】

类型一、求函数解析式

例1.已知()

2

1

21

2223m y m m x n -=+-?+-是幂函数，求m 、n 的值．

【答案】33,2

m n =-=

【解析】由幂函数的概念易得关于m 、n 的方程组．

由题意得22221,10,230,m m m n ?+-=?-≠??-=?解得3,3.2m n =-??

?=??

3

3,2

m n ∴=-=

即为所求． 【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数α，且α为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．

举一反三：

【变式1】已知幂函数()y f x =的图象过点22,

2??

? ???

，则()f x = ． 【答案】12

x

-

【解析】设()f x x α

=，则由图象过点22,2?? ? ???

，可得22α

=，即1

222α-= ，所以12α=-，即1

2

()f x x -=．

类型二、幂函数的图象

例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)y x =；(2)2

y x =；(3)3

y x =；(4)1

y x -=；(5)12

y x =．请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（ ）． 【答案】⑤①②③④

举一反三：

【变式1】幂函数y x α

=在第一象限内的图象如图所示，已知α分别取-1，

1

,1,22

四个值，则相应图象依次为： ． 【答案】1432,,,C C C C 类型三、幂函数的性质

例3.比较下列各组数的大小. (1) 52

3.14-

与52

π-

； (2)35

(2)-

-与35

(3)

-

-，（3）2

25

3

4.1,3.8

-

和35

( 1.9)-.

【答案】(1)>；(2)<；(3)< <． 【解析】(1) 由于幂函数52

y x -

=(0x >)单调递减且3.14π<，∴552

2

3.14π

--

>.

(2)由于35y x -=这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)

因此，335

5

(2)(2)

-

-

-=-，335

5

(3)

(3)

-

-

-=-，而35

y x

-

=(x>0)单调递减，且23<

，

∴ 33335

5

5

5

(2)(3)

(2)

(3)

---->?-<-.即335

5

(2)

(3)

---<-.

（3）

222235

5

3

3

5

4.111,0 3.8

11,( 1.9)0-->=<<=-<，

3225

3

5

( 1.9) 3.8 4.1-∴-<<

【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.

(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.

(3)题中，引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 举一反三：

【变式1】比较0.50.8，0.5

0.9，0.5

0.9

-的大小.

【答案】0.5

0.50.50.8

0.90.9-<<

【解析】先利用幂函数0.5

y x =的增减性比较0.50.8与0.5

0.9

的大小，再根据幂函数的图象比较0.5

0.9

与

0.50.9-的大小.

0.5y x =在(0)+，∞上单调递增，且0.80.9<，

0.50.50.80.9∴<.

作出函数0.5

y x =与0.5

y x

-=在第一象限内的图象，

易知0.5

0.50.90.9-<.

故0.5

0.50.50.8

0.90.9-<<.

【高清课堂：幂函数及其图象变换 369074 例3】 例4. 设m ∈N *

，已知函数2

2234

()(2)m

m f x m m x +-=-?在(0,+∞)上是增函数．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）设22

[()]()(0)()

f x

g x f x λλ+=

≠是常数，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值．

【答案】（1）()f x x =；（2）[]max ()2||g x λ=-．

【解析】（1）依题意，2220,2340.m m m m ?->??+->??或2

220,

2340.

m m m m ?-

解得：

324m -+<<

或304m --<< 再由m ∈N * ，1m =，即()f x x =．

（2）任取12,(,0)x x ∈-∞且12x x <，则

2

12121211()()()g x g x x x x x λ-=-+-=2

121212

()x x x x x x λ--? …（*）

当2

12x x λ>，即12||x x λ<≤-时，

由于120x x -<，120x x >，得（*）<0，即12()()g x g x < 故()g x 在(),||λ-∞-上单调递增．

当2

12x x λ<，即12||x x λ-≤<时，得（*）>0，即12()()g x g x >

故()g x 在()||,0λ-上单调递增．

综上，在(),0-∞上，[]max ()(||)2||g x g λλ=-=-． 举一反三：

【变式1】已知幂函数2

1

*()()m

m

f x x m N +=∈

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

（2

）若该函数还经过点(，试确定m 的值，并求满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围．

【答案】（1）定义域[)0,+∞，单调递增；（2）31,

2??

????

． 【解析】解决此题的突破口就在于挖掘出隐含条件：2

m m +为偶数． （1）

2*(1),m m m m m N +=+∈，m ∴与1m +中必定有一个为偶数，

2

m m ∴+为偶数，

∴函数2

1

*()()m m

f x x m N +=∈的定义域为[)0,+∞，并且函数()f x 在其定义域上为

增函数．

（2）函数()f x

经过点(，

∴2

1

2m

m

+=，即2

1

1

2

22m

m

+=，∴22m m +=，即2

20m m +-=．

12m m ∴==-或

*,1m N m ∈∴=．

由(2)(1)f a f a ->-，得20,

10,21,

a a a a -≥??

-≥??->-?

解得312a ≤<．

故m 的值为1，满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围为31,2??

????

． 类型四、判断函数的奇偶性 例5. 判断下列函数的奇偶性：

(1)()(f x x =+ (2)f(x)=x 2

-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x-3|；

(4)()f x =

(5)22

-(0)

()(0)

x x x f x x x x ?+≥?=?+

【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.

【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数． 【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2

-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2

-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22

≤≤?≥?∴∴∈???≠≠≠±??且

()(2)-2f x x x

∴==

+

(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数；

(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)

11

(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22

f x

g x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.

【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是

函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性：

(1)23()3

x

f x x =+；

(2)()|1||1|f x x x =++-；

(3)222()1

x x

f x x +=+；

(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0

(x 0)x 2x 1(x 0)?+-

==??-++>?

. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数． 【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33

x x

f x f x x x --=

=-=--++，()f x ∴是奇函数．

（2）()f x 的定义域是R ，

又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数．

（3）22

()()()11f x x x x x -=-+-+=-+

()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．

（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2

+2(-x)-1=x 2

-2x-1=-(-x 2

+2x+1)=-f(x)

任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2

+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】 【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.

A ．()f x +|g(x)|是偶函数

B ．()f x -|g(x)|是奇函数

C ．|()f x | +g(x)是偶函数

D ．|()f x |- g(x)是奇函数 【答案】A

例6.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性. 【答案】奇函数

【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出

()()f x f x -=-.

设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，

()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.

【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.

举一反三：

【变式1】 已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=?，判断函数()f x 的奇偶性.

【答案】偶函数 【解析】令

120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得

()()2(0)()f x f x f f x +=

由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=

∴()f x 是偶函数.

类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

例7. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为 ． 【答案】 -1

【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．

()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+

()(),()()f x f x g x g x -=--=-，

()()4H x H x ∴+-=．

当0x <时，()4()H x H x =--， 而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．

【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：

0x >时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时

()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为

-3+2=-1．

举一反三：

【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3

-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26

【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3

a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23

a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.

【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3

-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，

从而问题(2)g 便能迎刃而解.

例8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2

()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．

【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ?+->?

==??-++

【解析】

()f x 是定义在R 上的奇函数，

()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，

2

()()()3()1f x f x x x ??∴=--=--+--??

=2

31x x -++

又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．

2231,0,

()0,0,31,0.x x x f x x x x x ?+->?

∴==??-++

【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）． 举一反三：

【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】 【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，

求

()f x 的解析式.

（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，

求()g x 的解析式.

【答案】（1）2

231(0)

()31(0)

x x x f x x x x ?+->?=?--≤??；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ?+->?==??-++

（）

例9. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．

【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．

【答案】1[1,)2

-． 【解析】

由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，

故|1|||

(1)()(|1|)(||)|1|2||2

m m g m g m g m g m m m ->??

-?-≤-≤??-≤≤?

，解得112m -≤<．

故m 的取值范围是1[1,)2

-．

【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单

调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．

类型六、函数奇偶性的综合问题

例10. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2

(1)f x -的单调递增区间． 【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】[0，1]和（―∞，―1]

【解析】 ∵()f x 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴()f x 在（－∞，0]上是增函数． 设u=1―x 2，则函数2

(1)f x -是函数()f u 与函数u=1―x 2的复合函数．

∵当0≤x ≤1时，u 是减函数，且u ≥0，而u ≥0时，()f u 是减函数，根据复合函数的性质，可得2

(1)f x -是增函数．

∵当x ≤－1时，u 是增函数，且u ≤0，而u ≤0时，()f u 是增函数，根据复合函数的性质，可得2(1)f x -是增函数．

同理可得当－1≤x ≤0或x ≥1时，2

(1)f x -是减函数．

∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]． 【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．

（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x 的取值范围时，必须考虑相应的u 的取值范围．本例中，x ≥1时，u 仍是减函数，但此时u ≤0，不属于()f u 的减区间，所以不能取x ≥1，这是应当特别注意的．

例11. 设a 为实数，函数f(x)=x 2

+|x-a|+1，x ∈R ，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 【思路点拨】对a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。 【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a ≠0时，函数为非奇非偶函数.

当min min 1313-()|-;()|;2424a f x a a f x a ≤=

>=+时，时，2min 11

-()|122

a f x a <≤=+时，. 【解析】当a=0时，f(x)=x 2

+|x|+1，此时函数为偶函数； 当a ≠0时，f(x)=x 2

+|x-a|+1，为非奇非偶函数. (1)当x a ≥时，2

13()()-2

4

f x x a =++

①[)1

13

()(-)-,224

a f x a f a ≤-+∞=

时，函数在，上的最小值为 且1

f(-

)f(a).2≤ ②[)1

(),2

a f x a >-+∞时，函数在上单调递增，

[)(),f x a ∴+∞在上的最小值为f(a)=a 2+1.

(2)当x a <时，2

2

13()-1()2

4

f x x x a x a =++=-++ ①(]1

()-,2

a f x a ≤

∞时，函数在上单调递减， (]()-f x a ∴∞在，上的最小值为2()1f a a =+

②(]1()-2a f x a >∞时，在，上的最小值为131

()()().242

f a f f a =+≤，且 综上：min min 1313

-()|-;()|;2424

a f x a a f x a ≤=>=+时，时，

2min 11

-()|122

a f x a <≤=+时，. 举一反三：

【变式1】 判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性．

【答案】当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，函数()f x 是奇函数． 【解析】对a 进行分类讨论． 若0a =，则()||||0f x x x =-=．

x R ∈，∴定义域R 关于原点对称，∴函数()f x 既是奇函数，又是偶函数．

当0a ≠时，

()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数．

综上，当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数； 当0a ≠时，函数()f x 是奇函数．