湖南省高考数学试卷及答案(理科)

2013年湖南省高考数学试卷及答案（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1．（5分）i是虚数单位，复数=（）

A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

2．（5分）若M={直线}，N={抛物线}，则M∩N的元素个数是（）

A．0B．1C．2D．不能确定

3．（5分）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（）

A．π+2 B．C．2π+2 D．2

4．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（）

A．16种B．18种C．20种D．22种

5．（5分）若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．

6．（5分）设直线l的方程为：x+ysinθ﹣2013=0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（）

A．[0，π）B．C．D．

7．（5分）下列命题正确的有

①用相关指数R2来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；

②命题p：“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定?p：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；

③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则；

④回归直线一定过样本中心（）．（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．（5分）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“理想距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；若C（x，y）到点A（2，3）、B（8，8）的“理想距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（）

A．3+B．C．10 D．5

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题0分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）

9．计算的值等于_________．

10．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且，，则圆O的面积等于_________．

11．（5分）若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，则曲线C的普通方程为_________．

12．（5分）看图程序运行后的输出结果s=_________．

13．（5分）已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p 是q的

_________条件．

14．（5分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文．现在加密密钥为y=log a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为_________．

15．（5分）已知a，b，c成等差数列，则直线ax﹣by+c=0被曲线x2+y2﹣2x﹣2y=0截得的弦长的最小值为

_________．

16．（5分）已知x，y∈N*，且1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1，当x=2时，y=_________；若把y表示成x的函数，其解析式是y=_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（12分）已知，设ω＞0，，

，若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．

（1）求ω的值；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．当f（A）=1时，求b，c的值．

18．（12分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；

（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．

19．（12分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．

（1）求证：A1C⊥面AEF；

（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．

20．（13分）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S（t）（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：

．

（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；

（2）求列车正常行驶的速度；

（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．

21．（13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．

（1）求这三条曲线的方程；

（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．

22．（13分）已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：

①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；

②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．

设数列{a n}的前n项和S n=f（n），

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）数列{b n}中，令，T n=，求T n；

（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i?c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令（n为正整数），求数列{c n}的变号数．

22．（13分）已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：

①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；

②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．

设数列{a n}的前n项和S n=f（n），

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）数列{b n}中，令，T n=，求T n；

（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i?c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令

（n为正整数），求数列{c n}的变号数．

考点：数列与函数的综合．

专题：综合题；等差数列与等比数列．

分析：（1）由f（x）≤0的解集有且只有一个元素可知△=a2﹣4a=0，从而可求得a值，又定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，对a进行检验取舍，可确定a值，利用S n与a n的关系即可求得a n．

（2）由（1）求得b n，根据其结构特征利用错位相减法即可求得T n；

（3）先求出C n，判断n≥3时数列的单调性，根据变号数的定义可得n≥3时的变号数，根据c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，可得此处变号数，从而可求得数列{c n}的变号数．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，

∴△=a2﹣4a=0?a=0或a=4，

当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，

故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，

当a=4时，函数f（x）=x2﹣4x+4在（0，2）上递减，

故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．

综上，得a=4，f（x）=x2﹣4x+4，

∴，

∴；

（2）∵=，

∴b n=n，

，①

，②

①﹣②得，﹣T n=2+22+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1，

∴；

（3）由题设

∵n≥3时，，

∴n≥3时，数列{c n}递增，

∵，由，

可知a4?a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；

又∵c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，

即c1?c2＜0，c2?c3＜0，

∴此处变号数有2个．

综上得数列{c n}共有3个变号数，即变号数为3；

点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，考查学生解决新问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求高．