运筹学第二章对偶理论灵敏度分析
运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
运筹学_第11讲 灵敏度分析1
第20页
例1-2 分析λi分别在什么范围变化时，最优基不变？
max z = 2x1 + 3x2
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>： Y*T= CBB-1
第7页
分析 cj 的变化 c j c j c j
基变量 基变量 基可
系数
行解
基变量 XB
CB
XB B-1b
I
非基变量
XN
Xs
B-1N
B-1
Y*T= CBB-1
最c j优值z j可 原问题 能对已偶变问题
0 CN－CBB-1N －CBB-1 Z*=CBB-1b 结论或继续计算的步骤
得最优解为：
cj zj
0 0 0 1/ 4 1/ 2
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且 zmax=8.5(百元)。
第14页
例2-1
产品Ⅰ利润降至1.5百元/单位，产品Ⅱ的利润 增至2百元/单位，生产计划如何变化？
解：(2) 将产品Ⅰ、Ⅱ的利润变化反映在最终单纯形表中，可得
max z = 21x.51x+1x+22x2 s.t. 5x2 ≤15
6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5
x1, x2 ≥0
因有非基变量的检验数大于零
需继续用单纯形法迭代计算，
cj CB 基 b
1.25 21 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 15/ 2 0 0 1 5/ 4 15/ 2
原问题 对偶问题值可能已变结论或继续计算的步骤
0 可行解 可行解 问题的最优解或最优基不变
可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解
运筹学第二章
OR1
27
对偶单纯形法的优点P64
（1）初始解可以是非可行解，当检验数都为负 数时，就可以进行基的变换，这时不需要加入 人工变量，因此可以直接计算。
（2）当变量多于约束条件，对这样的LP问题， 用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量。因 此，对变量较少，而约束条件很多的LP问题， 可以先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯 形法求解。
线是多少？
产品A 产品B 资源限制
劳动力
9
4
360
设备
4
5
200
原材料
3
10
300
单位利润 70
120
OR1
18
Cj
CB
XB
0
X3
0
X4
0
X5
σj
0
X3
0
X4
120 X2
σj
0
X3
70
X1
120 X2
σj
OR1
70 120 0 0 0
b
360 200 300 0
240 50 30 3600
X1 X2 X3 X4 X5 θj
24
0 1 0 -0.12 0.16
4280 0 0 0 -13.6 -5.2
y1 y2 y3
19
2.1.4对偶最优解的经济解释—影子价格P60
Z*= CBB-1b =Y* b= b1y1*+ b2y2* +…+ bm ym* (*)
Z= Z(b) b为资源
求偏导：
运筹学第2章
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
运筹学(第二版)课后答案
４０５
附录四习题参考答案
CB -M 0 -M σj -M 5 -M σj 1 0 -M σj
XB X6 X5 X7 X6 X2 X7 X3 X2 X7
4 X1 3 2 1 4+4M -1 2 -1 4-2M -1 2 -2 5-2M
5 X2 2 1 1 5+3M 0 1 0 0 0 1 0 0
（1） 、 （2）答案如下表所示，其中打三角符号的是基本可行解，打星 号的为最优解：
４０２
附录四习题参考答案
x1 x2 x3 x4 x5 z x1 x2 x3 △ 0 0 4 12 18 0 0 0 0 △ 4 0 0 12 6 12 3 0 0 6 0 -2 12 0 18 0 0 1 △ 4 3 0 6 0 27 -9/2 0 5/2 △ 0 6 4 0 6 30 0 5/2 0 *△ 2 6 2 0 0 36 0 3/2 1 4 6 0 0 -6 42 3 5/2 0 0 9 4 -6 0 45 0 0 5/2 1.3 (1)解：单纯形法 首先，将问题化为标准型。加松弛变量 x3，x4，得
1 0 1 0 0 （P 1，P 2，P 3，P 4，P 5）即 0 2 0 1 0 3 2 0 0 1 x1 x3 4 1 0 1 0 2 0 线性独立，故有 2 x 2 12 x 4 因（P 1，P 2，P 3） 3x 2 x 18 x 2 5 3 2 0 1 x1 x3 4 令非基变量 x4 , x5 0 得 2 x 2 12 → 3x 2 x 18 2 1
12400120300175max547543216543215443217654321?jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxzj第二章对偶理论和灵敏度分析21对偶问题为1????????????????02211042010min2121212121yyyyyyyystyys2????????????????????????无约束32131321213213210013312245minyyyyyyyyyyyyystyyys3???????????????????????????无约束32132132132131321001373323232253minyyyyyyyyyyyyyystyyys4?????????????????????????无约束3213213213213210071036655552015maxyyyyyyyyyyyystyyys附录四习题参考答案410221因为对偶变量ycbb1第k个约束条件乘上0即b1的k列将为变化前的1由此对偶问题变化后的解y1y2
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
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x2
10
x3
11 14
题
x1 0, x2符号不限 , x3 0
的
mW a 7 x y 1 1y2 1 1y3 4
写
4 y1 8y2 12y3 4 5y1 9 y2 13y3 2
出
6 y1 10y2
3
y1符号不限, y2 0, y3 0
a21x1
a22x2
a2n xn
(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2x2 amnxn (,)bm xj 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
规 划 问
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
a11y1 a21y2 am1ym (, )c1
对 偶 问 题
s.t.
a1 1 a2 1
am1
a1 2 a2 2
am2
a1n x1 b1
a2n
am n
x2 xn
b2 bm
x1, x2 ,, xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m 对
s.t.
a11 a12
9 x3
0
s
.t
.
1 1
1 4
x3
1 x 1 3
7
x2 x3
9
x 1 0
x2 0
x
3
0
A B C 拥有量
问 工时
111
3
题
材料 单件利润
147 233
9
的
导
假设有客户提出要求，购买工厂所拥有的 工时和材料，为客户加工别的产品，由客
出 户支付工时费和材料费。那么工厂给工时 和材料制订的最低价格应是多少，才值得
出卖工时和材料 ?
A B C 拥有量
问 工时
111
3
题
材料 单件利润
147 233
9
的
导
•出卖资源获利应不少于生产产品的获利;
出
约束
•价格应该尽量低，这样，才能有竞争力;
目标
•价格应该是非负的
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
问 单件利润 2 3 3
题 用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格
理
对偶理论就是研究线性规划及其对 偶问题的理论，是线性规划理论的
重要内容之一。
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
问 单件利润 2 3 3
题 的 导 出
mZ a2 x x 1 3 x2 3 x3
x1 max Z (2,3,3) x2
x1 x2 x3 3
s.t.x1 x1
4x2 7x3 0, x2 0,
s
.t
.
y y
1 1
4 y2 7 y2
3 3
y 1 0 , y 2 0
s
.t
.
1 1 1
1 4 7
y1 y2
2 2 3
y1 y2
0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
问 单件利润 2 3 3
题 的 导 出
x1 max Z (2,3,3) x2
x3
s
例1标准型对偶问题
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n
a11x1 a12x2 a1n xn b1
s.t.a21x1
a22x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amnxn bm x1, x2,, xn 0
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 的 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
对偶问题对应表
对 原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题）
偶
目标函数maxZ
问
约束条件： m个
第i个约束类型为“≤”
目标函数minZ
问然
题 •原问题的约束系数矩阵与对偶问 的 题的约束系数矩阵互为转置矩阵
定 •极大化问题的每个约束对应于极 义 小化问题的一个变量，其每个变
量对应于对偶问题的一个约束。
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n 一
对 偶
a11x1 a12x2 a1nxn (,)b1
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
a12y1
a22 y2
am2 ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym符号不限
例2
对
mZ i n 4 x 12 x2 3 x3
偶 问
4x1 5x2 6x3 7
182x1x191x32
变量数： m个
第i个变量≥0
题
第i个约束类型为“≥”
第i个变量≤0
第i个约束类型为“＝” 第i个变量是自由变量
的
定
变量数：n个
第j个变量≥0
约束条件：n个
第j个约束类型为“≥”
义
第j个变量≤0
第j个约束类型为“≤”
第j个变量是自由变量 第j个约束类型为“＝”
约束条件右端项
约束条件右端项
对 偶 问 题 的 写 出
的
总利润最小
min W=3y1+9y2
导
保证A产品利润
y1+y2≥2
出
保证B产品利润
y1+4y2≥3
保证C产品利润
y1+7y2≥3
售价非负
y1≥0 y2≥0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
问 单件利润 2 3 3
题 的 导 出
mW i n3y19y2
minW
(3,9)
y1 y2
y1 y2 2
a1n
a21 a22
a2n
am1 y1 c1
am2
amn
y2 ym
c2 cn
偶 问 题
y1, y2 ,, ym 0
maZxCX 对
对
AX b
称
偶
s.t.
X
0
形
问 题
式
mW inbTYT
的
对
的 定
s.t.YATT
YT 0
CT
偶 问
题
义
对偶问题的特点
对
偶
•若原问题目标是求极大化，则对 偶问题的目标是极小化，反之亦
.t
.
1 1
1 4
1 x 1 3
7x2 x39 Nhomakorabeax 1 0 x2 0 x 3 0
minW
(3,9)
y1 y2
s
.t
.
1 1 1
1 4 7
y1 y2
2 3 3
y1 y2
0
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n
线
对偶原理
性
规
对偶单纯形方法
划
灵敏度分析
进
一
步
研
究
对偶问题概念：
任何一个线性规划问题都有一个伴
生的线性规划问题，称为其“对偶”
问题。
对
对偶问题是对原问题从另一角度进
偶
行的描述，其最优解与原问题的最 优解有着密切的联系，在求得一个
原
线性规划最优解的同时也就得到对 偶线性规划的最优解，反之亦然。