高中物理必修二动能和动能定理

动能和动能定理

【学习目标】

1．通过设计实验探究功与物体速度的变化关系. 2．明确动能的表达式及含义． 3．能理解和推导动能定理． 4．掌握动能定理及其应用． 【要点梳理】

要点一、探究功与速度变化的关系 要点进阶： 1.探究思路

让小车在橡皮绳的弹力下弹出，沿木板滑行。由于橡皮绳对小车做功，小车可以获得速度，小车的速度可以通过打点计时器测出。这样进行若干次测量就可以得到多组数据，通过画图的方法得出功与速度的关系。 2. 操作技巧

（1）功的变化我们可以通过由一根橡皮绳逐渐增加到若干根的方法得到。

（2）要将木板倾斜一定角度，使小车在木板上沿斜面向下的重力的分力与其受的摩擦力相等，目的是让小车在木板上可以做匀速直线运动。 3.数据的处理

以单根橡皮绳做的功为横坐标，以速度的平方为纵坐标描点连线，画出图象。 4.实验结论

画出2

W v -图象，图象为直线，即2

W v ∝。

要点二、动能、动能的改变 要点进阶： 1.动能：

(1)概念：物体由于运动而具有的能叫动能．物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半．

(2)定义式：2

12

k E mv =

，v 是瞬时速度． (3)单位：焦(J )． (4)动能概念的理解．

①动能是标量，且只有正值．

②动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能．

③动能具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系研究物体的运动． 2.动能的变化：

动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负．“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量．动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功．

要点三、动能定理 要点进阶：

(1)内容表述：外力对物体所做的总功等于物体功能的变化．

(2)表达式：21k k W E E =-，W 是外力所做的总功，1k E 、2k E 分别为初、末状态的动能．若初、末速度分别为v 1、v 2，则12112k E mv =

，22

2

12

k E mv =． (3)物理意义：

动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化．变化的大小由做功的多少来量度．动能定理的实质说明了功和能之间的密切关系，即做功的过程是能量转化的过程．等号的意义是一种因果关系的数值上相等的符号，并不意味着“功就是动能增量”，也不是“功转变成动能”，而是“功引起物体动能的变化”． (4)动能定理的理解及应用要点．

动能定理虽然可根据牛顿定律和运动学方程推出，但定理本身的意义及应用却具有广泛性和普遍性．

①动能定理既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程．

②动能定理既适用于物体做直线运动情况，也适用于物体做曲线运动情况．

③动能定理的研究对象既可以是单个物体，也可以是几个物体所组成的一个系统．

④动能定理的研究过程既可以是针对运动过程中的某个具体过程，也可以是针对运动的全过程． ⑤动能定理的计算式为标量式，v 为相对同一参考系的速度．

⑥在21k k W E E =-中，W 为物体所受所有外力对物体所做功的代数和，正功取正值计算，负功取负值计算；21k k E E -为动能的增量，即为末状态的动能与初状态的动能之差，而与物体运动过程无关．

要点四、应用动能定理解题的基本思路和应用技巧 要点进阶：

1.应用动能定理解题的基本思路 （1）选取研究对象及运动过程；

（2）分析研究对象的受力情况及各力对物体的做功情况：受哪些力？哪些力做了功？正功还是负功？然后写出各力做功的表达式并求其代数和；

（3）明确研究对象所历经运动过程的初、末状态，并写出初、末状态的动能1K E 、2K E 的表达式； （4）列出动能定理的方程：21K K W E E =-合，且求解。

2.动能定理的应用技巧

（1）由于动能定理反映的是物体在两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制。

（2）一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而往往用动能定理求解简捷；可是有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解。可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识。

要点五、动能定理与牛顿第二定律的联系和区别

在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系．而对于不同的惯性参考系，虽然力对物体做的功、物体的动能、动能的变化都不相同，

但动能定理作为一个力学规律在不同的参考系中仍然成立．动能定理适用于在惯性参考系中运动的任何物体．

要理解动能定理与牛顿第二定律的联系与区别，应该从两者反映的物理规律的本质上加以认识．我们知道力的作用效果能够使物体的运动状态发生改变，即速度发生变化，而两者都是来描述力的这种作用效果的．前者对于一个力作用下物体的运动过程着重从空间积累的角度反映作用结果，而后者注重反映该过程中某一瞬时力的作用结果．

动能定理是从功的定义式出发，结合牛顿第二定律和动力学公式推导出来的，所以它不是独立于牛顿第二定律的运动方程，但它们有较大的区别：牛顿第二定律是矢量式，反映的是力与加速度的瞬时关系，即力与物体运动状态变化快慢之间的联系；动能定理是标量式，反映的是力对物体持续作用的空间累积效果，即对物体作用的外力所做功与物体运动状态变化之间的联系，因而它们是研究力和运动的关系的两条不同途径．把对一个物理现象每个瞬时的研究转变成对整个过程的研究，是研究方法上的一大进步．

动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功．力可以是各种性质的力，既可以是同时作用，也可以是分段作用，只要能够求出作用过程中各力做功的多少和正负即可．这些正是动能定理解题的优越性所在．

【典型例题】

类型一、对“探究功与速度变化的关系”实验的考查

例1、在“探究功与速度变化的关系”实验中，小车运动中会受到阻力作用，这样，在小车沿木板滑行的过程中，除橡皮筋对其做功外，还有阻力做功，这样便会给实验带来误差，我们在实验中想到的办法是使木板略微倾斜，对于木板的倾斜程度，下面说法正确的是( ) ①木板只要稍微倾斜一下即可，没有什么严格的要求。

②木板的倾斜角度在理论上应满足下面的条件：重力沿斜面的分力应等于小车受到的阻力． ③如果小车在倾斜的木板上能做匀速运动，则木板的倾斜程度是满足要求的． ④其实木板不倾斜，问题也不是很大，因为实验总是存在误差的． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④

类型二、对动能、动能变化的理解

例2、一辆汽车的速度从10/km h 增加到20/km h ，动能的增量为1k E ?；若速度从40/km h 增加到

50/km h ，动能的增量为2k E ?，则（ ）

A. 12k k E E ?=?

B. 12k k E E ?

C. 12k k E E ?>?

D.无法判断

举一反三

【变式】关于对动能的理解，下列说法中正确的是（ ） A.动能是能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能。

B.动能总为正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的

C.一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化。

D.动能不变的物体，一定处于平衡状态。

类型三、动能定理求匀变速直线运动问题

例3、如图所示，物体从高为h的斜面上的A点由静止滑下，恰好停在平面上的B点，若使其从B 点开始运动且能回到斜面上的A点，则物体在B点的初速度应为多大？

举一反三

【变式】如图所示，质量为m的物体从斜面上的A处由静止滑下,在由斜面底端进入水平面时速度大小不变,最后停在水平面上的B处。量得A、B两点间的水平距离为s，A高为h，已知物体与斜面及水平面的动摩擦因数相同，则此动摩擦因数μ= 。

类型四、动能定理求曲线运动问题

例4、如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )

A．

1

4

mgR B．

1

3

mgR C．

1

2

mgR D．

4

mgR

π

【变式】质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）S

h

B

Ａ

类型五、动能定理求多过程问题

例5、如图所示，用一块长L 1=1.0 m 的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H=0.8 m ，长L 2=1.5 m 。斜面与水平桌面的倾角θ可在0～60°间调节后固定。将质量m=0.2 kg 的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1=0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失（重力加速度取g =10 m/s 2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

（1）求θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；（用正切值表示） （2）当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数μ2；（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（3）继续增大θ角，发现θ=53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最高距离x m 。

举一反三

【变式】质量为m 的滑块与倾角为θ的斜面间的动摩擦因数为,tan <μμθ，斜面底端有一个和斜面垂直放置的弹性挡板,滑块滑到底端与它碰撞时没有机械能损失,如图所示．若滑块从斜面上高为h 处以速度v 0开始沿斜面下滑,设斜面足够长,求：滑块在斜面上滑行的总路程是多少?

类型六、应用动能定理求解变力做功的问题

例6、质量为5 t 的汽车，在平直公路上以60 kW 恒定的功率从静止开始启动，速度达到24m /s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200 m ．运动过程中汽车所受的阻力不变．求汽车运动的时间．

举一反三

【变式1】在光滑的水平面上，物体A以较大的速度v A向右运动，与较小速度v B向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时（）

A、 v A > v B

B、 v A < v B

C、 v A = v B

D、无法确定

【巩固练习】

一、选择题：

1.如图中ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一小段圆弧，其长度可以忽略不计。一质量为m的小滑块在A点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D点。现用一与轨道平行的力推滑块，使它缓慢地由D点回到A点。设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，则推力对滑块做的功等于（）

A．mgh B．2mgh C．(/sin)

mg l h

μθ

+ D．(cot)

mg l h

μθ

+

2.一个质量为0.3kg的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同。则碰撞前后小球速度变化量的大小v

?和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（）

A．0

v

?= B．12/

v m s

?= C．0

W= D．10.8

W J

=

h

A

B

C D

3．如图所示，板长为l ，板的B 端静放有质量为m 的小物块P ，物体与板动摩擦因数为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体保持与板相对静止，则这个过程中（ ） A ．摩擦力对P 做功为cos (1cos )mg l μαα- B ．摩擦力对P 做功为sin (1cos )mg l αα- C ．弹力对P 做功为cos sin mg l αα D ．板对P 做功为sin mgl α

4．速度为v 的子弹，恰好可以穿透一块固定着的木板，如果子弹速度为2v ，子穿透时阻力视为不变，则可穿透同样的木板（ ）

A ．2块

B ．3块

C ．4块

D ．1块

5．水平铁轨上停着一辆矿车，煤矿工人用水平力F 推动矿车从静止开始运动了位移S 后停止推车，矿车在轨道上又滑行了3S 后停了下来，那么矿车受到的阻力为（ ） A ．F B. /2F C. /3F D./4F

6．一木块静止在光滑水平面上，有一子弹水平射入木块2 cm 而相对静止，同时间内木块被带动前移了1cm ，则子弹损失的动能、木块获得的动能以及子弹与木块共同损失的动能三者之比为( )

A ．3:l :2

B ．3:2:l

C ．2:l :3

D ．2:3:1

7、如图，质量为m 的小球用轻绳悬挂在O 点，在水平恒力tan F mg θ=作用下，小球从静止开始由A 经B 向C 运动。则小球( )

A ．先加速后减速

B ．在B 点加速度为零

C ．在C 点速度为零

D ．在C 点加速度为gtan θ

α

A B

l

二、解答题：

1．如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K，一条不可伸长的轻绳绕过K分别与物块A、B相连，A、B的质量分别为m A、m B．开始时系统处于静止状态．现用一水平恒力F拉物块A，使物块B上升．已知当B上升距离为h时，B的速度为v．求此过程中物块A克服摩擦力所做的功．(重力加速度为g)

2、如图，汽车在平直路面上匀速运动，用跨过光滑定滑轮的轻绳牵引轮船，汽车与滑轮间的绳保持水平。当牵引轮船的绳与水平方向成θ角时，轮船速度为v，绳的拉力对船做功的功率为P，(1)此时绳对船的拉力为多少？（2）若汽车还受到恒定阻力f则汽车发动机的输出功率为多少？

3．杂技演员在进行“顶杆”表演时，用的是一根质量可忽略不计的长竹竿，质量为30 kg的演员自杆顶由静止开始下滑，滑到杆底时速度正好为零。已知竹竿底部与下面顶杆人肩部之间有一传感器，传感器显示顶杆人肩部的受力情况如图所示，取g= 10 m/s2。求：

(1)杆上的人下滑过程中的最大速度；

(2)竹竿的长度。

4．一辆汽车的质量是3

510kg ?，发动机的额定功率为60kW ，汽车所受阻力恒为5000 N ，如果汽车从静止开始以2

0.5/m s 的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离后汽车达到了最大速度，在整个过程中，汽车运动了125 m ．问在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功多少？

下面是甲、乙两位同学的解法：

甲同学：22125

22.360.5

s t s a ?=

== 46

61022.361.3410W Pt J J

==??=?

乙同学：F=ma ＋f=7500 N

575001259.37510W Fl J ==?=?

请对上述两位同学的解法做出评价，若都不同意请给出你的解法。

5．如图所示，静止在水平桌面的纸带上有一质量为0.1kg 的小铁块，它离纸带的右端距离为0.5 m ，铁

块与纸带间动摩擦因数为0.1．现用力向左以2m/s 2

的加速度将纸带从铁块下抽出，不计铁块大小，铁块不滚动，求：

(1)将纸带从铁块下抽出需要多长时间？ (2)纸带对铁块做多少功？

6、如图甲所示，物块与质量为m的小球通过不可伸长的轻质细绳跨过两等高定滑轮连接。物块置于左侧滑轮正下方的表面水平的压力传感装置上，小球与右侧滑轮的距离为l。开始时物块和小球均静止，将此时传感装置的示数记为初始值。现给小球施加一始终垂直于l段细绳的力，将小球缓慢拉起至细绳与竖直方向成60°角，如图乙所示，此时传感装置的示数为初始值的1.25倍；再将小球由静止释放，当运动至最低位置时，传感装置的示数为初始值的0.6倍。不计滑轮的大小和摩擦，重力加速度的大小为g。求：

(1)物块的质量；

(2)从释放到运动至最低位置的过程中，小球克服空气阻力所做的功。

7．现有下列器材：电火花打点计时器、重物、纸带、铁架台、直尺、铅笔等．试设计一个实验，研究合外力做的功与物体速度的关系．

要求：(1)构思实验方案；

(2)说明操作方法、测量方法和测量数据；

(3)说明探究功与速度关系的方法．

8.某实验小组采用如图所示的装置探究“功与速度变化的关系”，图中小车中可放置砝码，实验中，小车碰到制动装置时，钩砝尚未到达地面，打点计时器工作频率为25 Hz．

(1)实验的部分步骤如下：

①在小车中放入砝码，把纸带穿过打点计时器，连在小车后端，用细线连接小车和钩码；

②将小车停在打点计时器附近，_______，________，小车拖动纸带，打点计时器在纸带上打下列点，________；

③改变钩码或小车中砝码的数量，更换纸带，重复②的操作．

(2)如图所示是钩码质量为0.03 kg，砝码质量为0.02 kg时得到的一条纸带，在纸带上选择起始点O及A、B、C、D和E五个计数点，可获得各计数点到D的距离x及对应时刻小车的瞬时速度v，请将C点的测量结果填在表中的相应位置．