数学物理方法第一章作业答案
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第一章 复变函数 §1.1 复数与复数运算
1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义? (1)2≤z
解:以原点为心,2为半径的圆内,包括圆周。 (2)b z a z −=−,(a 、b 为复常数)
解:点z 到定点a 和b 的距离相等的各点集合,即a 和b 点连线的垂直平分线。 (3)z Re >1/2
解:直线2/1=x 右半部分,不包括该直线。 (4)1Re ≤+z z
解:即122≤++x y x ,则1≤x , x y 212−≤,即抛物线x y 212−=及其内部。 (5)α<z arg <β,a <z Re <b ,(α、β、a 、b 为实常数) 解: (6)4
arg
0π
<+−
222)
1(21++−−+=+−y x x
i y x i z i z 因为4
arg
0π
<+−
1(1
)1(22
22
22
22
2222
2
<++−+++−<>++−+>++−y x y x y x x
y x y x y x x
,即0x 21,0x 22>+−+ ,11 z 1 -z ≤+ 解: ()()[] 2222 2 222 21411iy 111z 1-z y x y y x y x x iy x +++⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡++−+=+++−=+ 所以() ()[] 2 22 22 22141y x y y x ++≤+−+ 化简可得0≥x (8))/1Re(z =2 解:2e x 1e )/1Re(2222=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎟ ⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=y x x y x iy x R iy R z 即()16/14/122 =+−y x (9)22Re a Z = 解:2222Re a y x Z =−= (10)2 22 12 212 2122z z z z z z +=−++ 解:()()()()()() 2 22 22 12 12 212 212 212 2122y x y x y y x x y y x x +++=−+−++++ 可见,该公式任意时刻均成立。 2、 把下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出来。 (1)i =()()2/sin 2/cos ππi +=2/πi e (2)-1=ππsin cos i +=πi e (3)3 sin 3 cos 223i 13/π π πi e i +==+ (4)ααsin cos 1i +−(α是实常数)=2 cos 2 sin 22 sin 22α α α i + =2cos 2(sin 2 sin 2αα α i +=2 sin 2 (cos 2 sin 2α πα πα−+−i =2 2 sin 2α πα −i e (5)3z =i y y x xy x iy x )3(3)(32233−+−=+=()ϕϕρ3sin 3cos 3i +=ϕρ33i e (6)()1sin 1cos 1i e ee e i i +==+ (7)()()i i +−1/1=i −=()()2/3sin 2/3cos ππi +=2/3πi e 3、计算下列数值。(a 、b 、φ为实常数) (1)ib a + 解:由公式1.1.19知,原式等于 ()2/sin 2/cos 22θθi b a ++ ()()()[] πθθθθθθ2,02/sin 21cos 2/cos 2/sin 2sin 2 2 22 2∈+= −=+==b a a b a b ,因此可得 ()2 1)2/sin(212/cos 2222b a a b a a +− = ++ = θθ 原式= () () ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−++++a b a i a b a 2 /12 22 /12 222 (2)3i =)3/26/(3/122/()(ππππk i k i e e ++= (3)i i =)22/(22/()(ππππk i k i e e +−+= (4)i i =ππππ k i k i e e 22//1) 22 () (++= (5)ϕ5cos ,(6)ϕ5sin 解:5)sin (cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i +=+ =ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ5432234sin sin cos 5sin cos 10sin cos 10sin cos 55cos i i i ++−−+ =)sin sin cos 10sin cos 5()sin cos 5sin cos 105(cos 5324423 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+−++−i 因此,(5)=ϕϕϕϕϕ423 sin cos 5sin cos 105cos +−, (6)=ϕϕϕϕϕ5324 sin sin cos 10sin cos 5+− (7)ϕϕϕϕn cos ...3cos 2cos cos ++++,(8)ϕϕϕϕn sin ...3sin 2sin sin ++++ 解: )sin 2sin (sin )cos 2cos (cos ϕϕϕϕϕϕn i n +++++++L L =)sin (cos )2sin 2(cos )sin (cos ϕϕϕϕϕϕn i n i i ++++++L =ϕ ϕ ϕ in i i e e e +++L 2=[] ϕ ϕϕi i i e e e −−11n =[] )1)(1()1(1n ϕϕϕϕϕi i i i i e e e e e −−−−−−=()() ϕ ϕϕϕϕi i n i in i e e e e e −+−−−−+211 = ()()()() ϕϕ ϕϕϕϕϕϕcos 121sin sin sin cos 1211cos cos cos −+−++−−+−+n n i n n