二轮复习中的模块化教学_以一节解析几何复习课为例_陈贤清

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2 2 ʑ a2 = 18 ， b2 = 9 ． 又 ȵ a － b = 9，
0， b ＞ 0） ， 过 y 轴上点 P 的直线 l 与双曲线上支 B 两点（ A 在第一象限） ， 交于 A、 直线 AO 交双 曲线下支于点 C （ O 为坐标原点） ， 连结 CB． 若 ∠APO = 45 ʎ ， ∠ ABC = 15 ʎ ， 则该双曲线的离 心率为 点评 ． 变式 1 想到结论就不难， 难在联
想结论 ． 变式 2 有难度， 既是对结论中焦点在 y 轴上情形的一种补充（ 不能死记结论， 要注意 结论成立的条件） ， 又涉及到图形的转化 ． 四、 高考真题第二波 例3
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x2 y2 ʑ 椭圆 E 的方程为 + = 1 ． 故选 D． 18 9 （ 2 ） D． 设双曲线方程为 x2 y2 = 1（ a ＞ 2 － a b2
学复习如何用好课本例习题 ． 一、 一轮复习阶段基础例习题的过关检 测 ： “能把课本 葛军教授在很多场合都说过 你的高考数学成绩就 例习题反复做二到三遍， 不会低于 120 分． ” 这充分说明课本例习题对学 生打下良好基础， 形成基本能力作用巨大． 对于例题， 在编制一轮复习教学案时， 可 以有意识地选取或者适当变换， 加点难度， 让 学生不觉得陌生， 又能引起他们的试着征服 在教学案 的欲望 ． 对于每一小节的课后习题， 的课堂检测上不妨就可以选用， 价值大点的 习题还应该进行变式教学， 举一反三 ． 对于每 一大节或者章节习题，可以选取一些就放入
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反之也成立 ．
M 是线段 AB 中点， 点， 则有 k AB ·k OM = －

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第7 期
B 是双曲线 C ： 若点 A、 x2 y2 － = 1 上任意 a2 b2 b ． a
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高中数学教与学
M 是线段 AB 中点， 则有 k AB ·k OM = 两点，
（ 其中 k AB ， k OM 分别表示直线 AB ， OM 的斜 O 为坐标原点） 率， 和同学们一道探究发现两个结论之间实 质上是同一回事 ． 点评 从课本上 这 三 个 题 目 的 处 理 来 看， 由特殊到一般， 是希望同学们了解这个二 进 级结论 ． 以课本上题目为二级结论的起源， 一步促使学生回归课本 ． 将类似结论进行对 比、 拓展 、 合并， 不仅让同学们掌握知识之间 而且也有助于同学们应用结论 的内在联系， 更加集约高效 ． 二、 高考真题第一波 例1 （ 1 ） （ 2013 年全国高考题） 已知椭 y2 x2 圆 E ： 2 + 2 = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 的右焦点为 a b F（ 3 ， 0） ， B 两点 ． 若 AB 过点 F 的直线交 E 于 A， 的中点坐标为（ 1 ，－ 1 ） ， 则 E 的方程为（ （ A） （ C） x y + =1 45 36 y x + =1 27 18
为坐标语言， 即 x = 2xM ， 学生容易想到 ． 利用 韦达定理， 可以很容易得到点 M 横坐标， 但点 P 横坐标的求解涉及到直线 OM 方程的设法， 利用结论可以简化运算 ． 五、 变式拓展第二波 练习 1 ． （ 课本第 42 页练习 4 ） 点 A， B的 0） ， （1， 0） ， BM 相 坐标分别是（ － 1 ， 直线 AM ， 交于点 M ， 且直线 AM 与直线 BM 的斜率的商 是 2， 点 M 的轨迹是什么？为什么？
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（ 2 ） 若 l 过点 m ， 延长线段 OM 与 C m ， 3 交于点 P， 四边形 OAPB 能否平行四边形？ 若 求此时 l 的斜率；若不能， 说明理由 ． 能， 点评 本题难点在第（ 2 ） 问， 条件转化
P
(
A、 B 是椭圆 C 的左右顶点， 则有 k PA · k PB = － b2 ． a2 若 P 点是双曲线 C ： x2 y2 = 1 上任一 2 － a b2
A、 B 是双曲线 C 的左右顶点， 点， 则有 k PA ·k PB = b2 ． （ 其中 k PA ， k PB 分别直线 PA， PB 的斜率） a2 B 是椭圆上关于 这个结论可以推广为 A、 中心对称的两点， 结论都成立 ． 与这个结论还有类似的一个结论： B 是椭圆 C： 若点 A、 x2 y2 + = 1 上任意两 a2 b2 b ． a
（ 2015 年全国高考题） 已知椭圆 C：
9 x + y = m2 （ m ＞ 0 ） ， 直线 l 不过原点 O 且不 l 与 C 有两个交点 A， B， 平行于坐标轴， 线段 AB 的中点为 M． （ 1 ） 证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的 乘积为定值；
0， b ＞ 0） ， | AB | = | BM | ， 如图 3 所示， ∠ ABM = 120 ʎ ， BM 倾斜角分别为 30 ʎ ， 则直线 AM 、 60 ʎ． 因此 b = 1， 所以选 D． a2
)
2 ． （ 课本第 74 页习题 B3 ） 已知点 A， B的 0） ， （1， 0） ， BM 相 直线 AM ， 坐标分别是（ － 1 ， 交于点 M ， 且直线 AM 与直线 BM 的斜率的差 是 2， 求点 M 的轨迹方程 ． 3 ． （ 课本第 81 页复习参考题 B5 ） 已知点 A， B 的坐标分别是（ － 1 ， 0） ， （1， 0） ， 直线 AM ， BM 相交于点 M ， 且直线 AM 与直线 BM 的斜率 之和是 2 ， 求点 M 的轨迹方程 ． 点评 从课本再到课本， 从斜率的积为 常数， 到斜率的商 、 差、 和是常数， 拓展的不仅 仅是学生的思维， 更有知识的系统化与方法 的连续性 ． 这样， 从圆锥曲线的一个性质到求 模块得到重组 ． 轨迹方程及定点定值问题，
高中数学教与学
2018 年
二轮复习中的模块化教学
— — —以一节解析几何复习课为例
陈贤清
（ 安徽省安庆一中， 246004 ）
在高考二轮复习中， 学生对基本知识的 掌握已比较清晰， 对基本技能的掌握也比较 熟练 ． 但由于第一轮复习时间较长， 复习任务 学生学得快也忘得快， 因此我们有必 比较重， 要对重要的基础知识与基本技能进行模块化 以提高解题效率 ． 与模块重组， 对一些常见题型 、 出现频率较高的步骤 或方法选择一种更加便捷和高效的方式， 使 之结论化 、 程序化， 以缩短解题时间， 提高解 这种方法称之为模块化 ． 主要有结论 题效率， 模块与过程模块 ． 结论模块是指： 在思考和解题过程中直 接利用教材中没有明确指出可作为结论用的 习题或在解题过程中发现的价 题目；在练习 、 值较高的结论； 甚至在学习资料或自己解题 ： “吾尝跂 过程中出现的结论 ． 正如荀子所说 而望矣， 不如登高之博见也 ． ” 下面以一节解析几何复习课为例谈谈二 轮复习中的模块化教学 ． 一、 模块来源 （ 1 ） （ 课本（ 人教 A 版选修 2 － 1 ， 下同） 第 41 页例 3 ） 如图 1 ， B 的坐标分别为（ － 设点 A、 5， 0） ， （5， 0） ， BM 相交于点 M ， 直线 AM ， 且它 4 求点 M 的轨迹方程 ． 们的斜率之积是 － ， 9 （ 2 ） （ 课本第 55 页探究） 如图 2 ， B 设点 A、 0） ， （5， 0） ， BM 的坐标分别为 （ － 5 ， 直线 AM ， 4 相交于点 M ， 且它们的斜率之积是 ， 求点 M 9 的轨迹方程 ． 并由点 M 的轨迹方程判断轨迹
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点评
两道高考真题虽然解法多样， 但
利用结论更便捷 ． 三、 变式拓展第一波 例2
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（ 1 ） 变式 1 ：如图 4 ， A， B 是双曲线
C：x － y = a2 （ a ＞ 0 ） 的左、 P 是双曲 右顶点， 线 C 右 支 上 除 顶 点 外 的 任 一 点， ∠APB = 2 ∠ PAB， 则 ∠ APB = （ （ A） 15ʎ （ B） 30ʎ ） （ C ） 45ʎ （ D） 60ʎ
） y2 x2 = 1（ a ＞ 2 － a b2
（ B） （ D）
x y + =1 36 27 y x + =1 18 9
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（ 2 ） 变式 2 ：已知双曲线
（ 2 ） （ 2015 年全国高考题） 已知 A， B 为双 曲线 E 的左， 右顶点， 点 M 在 E 上， ABM 为等 且顶角为 120 ʎ ， 则 E 的离心率为 腰三角形， （ ） （ A） 槡 5 （ B） 2 （ C） 槡 3 （ D） 槡 2 b2 1 ． 答案：（ 1 ） D． 直接利用结论， 得 2 = 2 a
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高中数学教与学
2018 年
在高三复习中如何运用好 课本中的例题与习题
吴俊香 范习昱
（ 江苏省镇江市丹徒高级中学， 212143 ）
据笔者了解， 现在很多学校高三数学复 照搬复习资料的误区 ． 习依然存在忽视课本 、 我们很难相信， 没有课本教材的指引， 高三备 考复习能少走弯路而有效展开 ． 众所周知， 课本中的例习题， 有着丰富的 内涵和外延， 对理解和巩固知识 、 训练和培养 能力都具有典型示范作用和探究价值 ． 如果 不加以开发重视， 我们 我们的讲解过于草率， 的学生便与这样的好题擦肩而过 ． 研究各省 市历年的高考题， 不难发现， 很多高考题都源 有的甚至就是教材里的原题， 我们又 自教材， 为什么放弃教材这一宝贵资源呢？ 尤其是高 三复习更应该重视课本例习题 ． 本文结合笔者的教学实践， 探讨高三数
与第 41 页的例 3 比较， 你有什么发现？ 的形状，
（ 3 ） （ 课本第 80 页复习参考题 A10 ） 已知 B 的坐标分别为 （ － 5 ， ABC 的两个顶点 A、 0） ， （5， 0） ， BC 的斜率之积等于 m（ m ≠ 且 AC ， 0） ， 求顶点 C 的轨迹 ． 让同学们讲出结论并叙述证明思路： 若 P 点是椭圆 C： y2 x2 + = 1 上任一点， a2 b2