实数(二次根式)必考题型全梳理
二次根式考试题型汇总
二次根式考试题型汇总二次根式题型一：二次根式的定义例1、（1）求自然数n的值，使得18-n是整数。
2）当x≥-1时，求式子√(x+1)+√(1-x)的值。
题型二：二次根式有意义的条件例2、当x>-1时，二次根式√(x+1)有意义。
例3、已知x、y为实数，y=√(y^2+8y+16-3xy)，求y的值。
例4、已知y=√(x-3)+3-√(x+4)，求x的值使得有意义。
题型三：二次根式的性质与化简例5、已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：化简(1/(a+3))^2-(1/(b-23))^2.例6、计算(1/(x-1))-((1-x)/(x-1)(x+1))。
已知a、b、c为正数，d为负数，化简(ab-c^2d^2)/(ab+cd)^2.例7、化简求值：1）(a^2-a+b)/((c-a)^2+b+c)；2) 11/[(2-1)/(2+1)+(2-1-√2)/(2-1+√2)]；3）若x<y<z，则x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+xz；4）[(x-1)^2+4-(x+1)^2]/(x^2-1)；5）化简(a<0)得-1/(a)。
6）当a<0，b<0时，-a+2ab-b可变形为(a-b)^2.题型四：最简二次根式例8、下列式子中，属于最简二次根式的是9，而1/√3和√(9+x^2)都不是最简二次根式。
题型五：二次根式的乘除法例9、已知m=(3/3-2)(3/3+2-1)，则有-5<m<-4.例10、计算：1）(5-3+2)(5-3-2)；2) (a+3b)/(a+b)-(a-b)/(a+2b)；3）(a^2/n-m^2/mn+n)/(a^2b^2)；4）(a+b)/(ab+b-a)/(ab-a).a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013答案解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)20131.求解x的值：$$\frac{x+a}{x^2+a^2}+\frac{2x-x^2+a^2}{x^2-a^2}+\frac{1}{x^2+a^2/2}$$2.若x，y为实数，且$y=1-4x+4x^{-1}+x^{-2}$，求$\frac{x+y}{y+x^2}-2\frac{y}{yx^2}$的值。
二次根式考试题型汇总
题型一二次根式的定义例1、(1) Vf 斥是整数，求自然数n 的值.题型二二次根式有意义的条件例2、当x _________ 时，二次根式VTTT 有意义。
例3、已知x 、y 为实数，y=— ,求5x+6y 的值.x-3例 4、已知 y =厶-3 + 丁3-x + 4 ,求 +8y + 16-的值。
a bI 鼻 1 ] I 1 ! ] I * ；-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5题型三二次根式的性质与化简例5、已知实数“ b 在数轴上的位置如图所示:二次根式试化简-2ab + b 2时, 式子長 3有意义.例6、计算例7、化简求值(1)化简：-\a+b\ + yl^c-ay +|/? + c|力 G 0(3)若 x<y<0,则 yjx 2 - 2xy + y 2 + yjx 2 + 2xy + y 2 =() (A) 2x(B) 2y(C) —2x(D) ~2y(4)若 OW,则 j(x —£)2+4 —J(x + y — 4 等于()(1) (l-^)(>-|-2| + Vi8（3）已知/ b 、c 为正数，d 为负数,化简ab-c 2d 2 yfab + yjc 2d 1（2）先化简再求值:其中 X = yj2 + \,y = y/2-\6）当 a<0, b<0 时，-a+2^b~b 可变形为（ ）题型四最简二次根式例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（（2）届,J |, 7^7都不是最简二次根式.（）题型五二次根式的乘除法例10、计算(1) (- y/3 + ^2 ) ( y/5 - V3 - A /2 )2? (A) -(B)--xx(5)化简(a<0)得()a(A)(B) — 4ci(C) —2x (D) 2x(C) — J_a(D)需例 A.)一5 V m<~4D ・ 一6<mV一5(2)(需+代、作)- yja +yjb(“Hb)・（A ）（亦+亦）2 （B ） 一（亦一亦护(D)A ・79C. >/20(C) (V- a +(4)(扬+ 仗炸)-(丄「+_^ —程)(*.yja +\lb y/ab +b J ab — a yjab(5 ) yja5 +2xi y b2 +ab4( 6 )/ l \2O12 / l '2()13(8)(2屁3)・(2屁3)题型六分母有理化【已知""朋则。
二次根式常见题型总结
va +2 题型2最简二次根式、同类二次根式考查形式选择题或填空题4. 下列根式中是最简二次根式的是l2L(A )J 2(B )朽 35. 下列根式中,不能与合并的是ij1 二次根式常见题型总结题型1二次根式的概念(后面附答案)考查形式选择题或填空题1. 如果：二1是二次根式，那么x,y 应满足的条件是【】y(A )x ±l,y ±0(B )y (x -1,三0x €1(C )——±0(D )x ±1,y >0y2. 若代数式丄+<!有意义，则实数x 的取值范围是【】x -1(A )x …1(B )x ±0(C )x ...0(D )x ±0且x (1)3. 要使式子「「有意义，则a 的取值范围为. 【】 (C )3(D )<12【】(C )(D )<123 6.若最简二次根式3b -a +2与J 4b -a 是同类二次根式，则a =,b =.题型3二次根式的化简求值考查形式选择题、填空题、解答题i1n7.若y=r-2+Y2-x-6，则xy=8.'若y=Qx—3+&3—x+2,贝Ux y=.9.若彳x2+x€0侧x的取值范围是.10.若、：m一3+(n+1)2€0，求(m+2n)2020的值.11.先化简，再求值:仝二-_^，其中x€1+2勇,y€1…2訂・x-yx-y12.已知函数y=(m-3)x+n-2(m,n为常数)的图象如图所示,化简: |m-3一、：n2-4n+4.题型4二次根式的计算考查形式选择题、填空题、计算题13.下列等式不成立的是(A)3、辽…2运€6、.：6(B)J8一迈€4 (C)v8-迈€迈2_(2A&-1V3+1_\3 14.计算:15.计算:+2-J 5+(-1)2019-J_x V45;3(2)、18+ (.2-1)-、9+题型5探究活动考查形式解答题3|_T2 16.在进行二次根式的化简时,我们有时会遇到形如丄,厶的式子，其实J5\3<3+1我们还可以将其进一步化简:33x 叮53>/5二二;（口）■v'5v'5x -55vl 仝心）€2；3;(—,T⑴…近-2右+ 1） 込』=v3-1・（□）22…3-1 <3€1…<3+1①参照（III）式化简②参照（W）式化简以上这种化简的步骤叫做分母有理化.芋1还可以用以下方法化简:1）请用不同的方法化简(2)化简:丿€1..€.1€•••+・3+1v5€\：3V7€x5\：2n+1€\2n—1题型6定义新运算17.对于任意的正数m,n定义运算※为:观※n…]丫"-"，计算（3探2）<[xl m€Jn,m<n竹※12）的结果为.<3+1…m—3-\；(n-2)2二次根式常见题型总结答案1.C2.D3.a>—24.B5.C6.1,17.—38.99.x<010.解:°・°Y m一3+(n+1)2 0<m一3±0,(n+1)2±0m—3...0,n+1 0m…3,n…—1・：(m+2n)2020…(3—2)2020…1.11.解：旦—旦……,x…y)(x-y)…x+yx—yx—yx—y当x…1+2打,y…1—2<3时原式…1+2^3+1—2心3…2.12.解:由函数的图象可知:m—3>0,n—2<0m>3,n<2…m—3—|n—2…m—3—(2—n)…m+n—5. 13.BI1114.解：(1)3J12—2」—+6語—型+4石L2爲…I3丿解:(2)I、运—1+1)—(—2爲)…12—1—(—413+12)…11—13+4打…—2+4、.3.+12-+(—1)2019—1x<45一2•=1+v5—2—1€解:（2）<18+v9+<1)-1 <2丿=3<2+3—2•、辽—3+2=、辽+2.2=J5—^3亠上+覇）G-訂）=込—再<5+v'3 <5+<3（2）十.（过程略）。
初中数学实数(二次根式)重难点题型梳理归纳
实数章末重难点题型汇编【考点1 无理数的概念】【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：（135,2等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如13π等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 【例1】（2019春•博兴县期中）在3.14、√12、227、−√5、√273、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】解：3.14、227、√273、0.2020020002是有理数，√12、−√5、2π是无理数，无理数的个数是3，故选：C ．【变式1-1】（2018春•新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】①无限不循环小数都是无理数，故①错误；②无理数都是无限不循环小数，故②正确；③﹣2是4的平方根，故③正确；④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；故选：B ．【变式1-2】（2018秋•东台市期中）下列实数中，√12、√93、−17、π2、﹣3.14、√0.1、√−273、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】解：√12=2√3，√0.1=√1010，√−273=−3，则无理数有：√12、√93、π2、√0.1、0.3232232223…，共5个．故选：D ．【变式1-3】（2019秋•安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ）−√(−5)2、√36、17、0、﹣π、√113、3.1415、√15、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个故选：C ．【考点2 无理数的估算】【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算. 【例2】（2018春•巫山县期中）估计√13+12的值在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间【答案】解：∵3＜√13＜4，∴4＜√13+1＜5，∴√13+12的值在2到3之间．故选：B ． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√13的取值范是解题关键． 【变式2-1】（2019春•北流市期中）设n 为正整数，且n ＜√83＜n +1，则n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】解：∵√81＜√83＜√100，∴9＜√83＜10，又∵n 为正整数，∴n ＝9．故选：D ．【变式2-2】（2019春•嘉陵区）已知a ，b 分别是6−√13的整数部分和小数部分，则2a ﹣b 的值是（ ）A ．√13−2B ．2−√13C ．√13D ．9−√13【答案】解：∵3＜√13＜4，∴6−√13的整数部分是2，即a ＝2，6−√13的小数部分是6−√13−2＝4−√13，即b ＝4−√13，∴2a ﹣b ＝4﹣4+√13=√13；故选：C ． 【变式2-3】（2019春•郯城县期中）若a 是√10−1的整数部分，b 是5+√5的小数部分，则a （√5−b ）的值为（ ） A ．6B ．4C ．9D ．3√5【答案】解：∵2＜√10−1＜3，∴a ＝2，又∵7＜5+√5＜8，∴5+√5的整数部分为7∴b ＝5+√5−7=√5−2； ∴a （√5−b ）＝2×（√5−√5+2）＝4．故选：B ．【考点3 实数的大小比较】【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.【例3】（2019秋•河北期中）已知a =√7−√5，b =√5−√3，c ＝3−√7，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b【答案】解：∵a =√7−√5，b =√5−√3，c ＝3−√7，∴1a=√7−√5=√7+√52， 1b=√5−√3=√5+√32，1c =3−√7=3+√72，∵√7＞√3，∴1a ＞1b ， ∵3＞√5，∴1a＜1c，∴1c＞1a＞1b，∴b ＞a ＞c ．故选：B ．【变式3-1】（2019春•洪山区期中）比较实数：2、√5、√73的大小，正确的是（ ）A ．√73＜2＜√5 B ．2＜√73＜√5 C ．√5＜√73＜2D ．2＜√5＜√73【答案】解：∵2=√4＜√5，∴2＜√5，∵√73＜√83=2，∴√73＜2，∴√73＜2＜√5．故选：A ．【变式3-2】（2019春•淮北期中）比较√3−1与√32的大小，结果是（ ） A ．前者大 B ．后者大C ．一样大D ．无法确定【答案】解：∵√3−1−√32=√32−1＜√42−1＝1﹣1＝0，∴√3−1−√32＜0，∴√3−1＜√32，∴比较√3−1与√32的大小，结果是后者大．故选：B ．【变式3-3】（2019秋•乐山校级期中）已知a =√2−1，b =√6−2，c =2√2−√6，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．.b ＜a ＜cD ．.c ＜a ＜b【答案】解：∵a ﹣c =√2−1﹣（2√2−√6）=√6−（1+√2）≈2.449﹣2.414＞0，∴a ＞c ；∵a ﹣b =√2−1﹣（√6−2）=√2+1−√6≈2.414﹣2.449＜0， ∴a ＜b ，∴c ＜a ＜b ．故选：D ．【考点4 二次根式相关概念】【方法点拨】（1a a ≥0)的式子叫做二次根式。
考点03 二次根式-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点03 二次根式数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；考向一、二次根式的相关概念；考向二、二次根式的性质与化简考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用考向一：二次根式的相关概念1.平方根与二次根式【易错警示】1．下列式子一定是二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；故选：C．2．12的平方根为 ± ．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（ ）A．5B．﹣5C．D．【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【解答】解：∵＝5，∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，则a +b 的值是（ ）A ．B ．+1C ．﹣1D ．1﹣【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，∴（a +）2+|b ﹣1|＝0，∴a +＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝﹣，b ＝1，∴a +b ＝+1．故选：B ．5．已知n 是一个正整数，且是整数，那么n 的最小值是（ ）A ．6B ．36C ．3D ．2【分析】先把＝2，从而判断出6n 是完全平方数，所以得出答案正整数n 的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n 是完全平方数，∴正整数n 的最小值是6，故选：A ．2..同类二次根式与最简二次根式【易错警示】、都是二次根式。
二次根式知识点归纳及题型总结
二次根式知识点及题型归纳1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．4. 二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
二次根式最新题型归纳总结
二次根式必考点归纳总结必考点一 二次根式的概念掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 例题1 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．√−x −2B ．√xC ．√a 2+1D ．√x 2−2【解析】根据二次根式的定义可得√a 2+1中得被开方数无论x 为何值都是非负数，选C ．变式1 在式子√x2（x ＞0），√2，√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0），√33，√x 2+1，x +y 中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】√x2（x ＞0），√2，√x 2+1符合二次根式的定义．√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0）无意义，不是二次根式．√33属于三次根式．x +y 不是根式．选B ． 变式2 在式子√π−3.14，√a 2+b 2，√a +5，√−3y 2，√m 2+1，√|ab|中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解析】在所列式子中是二次根式的有√π−3.14，√a 2+b 2，√m 2+1，√|ab|这4个，选B ． 变式3 下列各式中①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得． 【解析】①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的是③④⑤，选C ．必考点二 二次根式有意义的条件（求取值范围）对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．例题2 若式子√m−1m−2在实数范围内有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1且m ≠2C ．m ≥1且m ≠2D ．m ≠2【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 【解析】∵√m−1m−2在实数范围内有意义，∴{m −1≥0m −2≠0，解得m ≥1且m ≠2．选C ．变式4 要使√2x −113−x有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．12≤x ≤3B ．12＜x ≤3C ．12≤x ＜3D ．12＜x ＜3【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解析】要使√2x −11√3−x 有意义，则2x ﹣1≥0，3﹣x ＞0，解得：12≤x ＜3．选C ． 变式5 若使式子√2−x ≥√x −1成立，则x 的取值范围是（ ） A ．1.5≤x ≤2B ．x ≤1.5C ．1≤x ≤2D ．1≤x ≤1.5【解析】由题意可得：{2−x ≥0x −1≥02−x ≥x −1，解得：1≤x ≤1.5．选D ．变式6 等式√a−3a−1=√a−3a−1成立的条件是（ ）A ．a ≠1B ．a ≥3且a ≠﹣1C ．a ＞1D ．a ≥3【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a 的范围 【解析】∵等式√a−3a−1=√a−3a−1成立，∴{a −3≥0a −1＞0，∴a ≥3．选D ．必考点三 次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）对于解决此类型题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可. 例题3 已知，x 、y 是有理数，且y =√x −2+√2−x −4，则2x +3y 的立方根为 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x +3y 的值，进而得立方根． 【解析】由题意得：{x −2≥02−x ≥0，解得：x ＝2，则y ＝﹣4，2x +3y ＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以√−83=−2．【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 变式7 若a ，b 为实数，且b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，则a +b 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．1或7D ．7【解析】∵b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，∴a 2﹣9＝0且a +3≠0，解得a ＝3，b ＝0+4＝4，则a +b ＝3+4＝7．选D ．变式8 已知√2x +y −3+√x −2y −4=√a +b −2020×√2020−a −b ， （1）求a +b 的值；（2）求7x +y 2020的值． 【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x 与y 的值即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：{a +b −2020≥02020−a −b ≥0，解得：a +b ＝2020．（2）由于√a +b −2020×√2020−a −b =0，∴{2x +y −3=0x −2y −4=0，∴解得：{x =2y =−1∴7x +y 2020＝14+1＝15．变式9 已知√3x +y −z −8+√x +y −z =√x +y −2019+√2019−x −y ，求（z ﹣y ）2的值． 【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x 、y 、z 的值；然后代入求值．【解析】由题中方程等号右边知：√x +y −2019有意义，则x +y ﹣2019≥0，即x +y ≥2019，√2019−x −y 有意义，则2019﹣x ﹣y ≥0，即x +y ≤2019，即{x +y ≤2019x +y ≤2019，∴x +y ＝2019．∴√x +y −2019=0，√2019−x −y =0． ∴原题中方程右边为0．∴原题中方程左边也为0，即√3x +y −z −8+√x +y −z =0． ∵√≥0，√x +y −z ≥0．∴3x +y ﹣z ﹣8＝0，x +y ﹣z ＝0． 又x +y ＝2019，∴{3x +y −z −8=0x +y −z =0x +y =2019，∴{x =4y =2015z =2019．∴（z ﹣y ）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．必考点四 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简. 例题4 已知a ≠0且a ＜b ，化简二次根式√−a 3b 的正确结果是（ ） A ．a √abB ．﹣a √abC ．a √−abD ．﹣a √−ab【解析】由题意：﹣a 3b ≥0，即ab ≤0，∵a ＜b ，∴a ＜0＜b ， 所以原式＝|a |√−ab =−a √−ab ，选D ．变式10 与根式﹣x √−1x 的值相等的是（ ）A ．−√xB ．﹣x 2√−xC ．−√−xD ．√−x【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．【解析】∵√−1x 有意义，∴x ＜0，∴﹣x √−1x ＞0，∴﹣x √−1x =−x •√−x−x=√−x ，选D ．【小结】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x 的取值范围，难度不大．变式11化简﹣a√1a的结果是（）A．√a B．−√a C．−√−a D．√−a【解析】∵1a≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a√1a=−√a，选B．变式12把代数式（a﹣1）√11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．−√1−a B．√a−1C．√1−a D．−√a−1【解析】（a﹣1）√1(1−a)=−（1﹣a）√11−a=−√1−a．选A．必考点五二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）例题5若1≤x≤4，则|1−x|−√(x−4)2化简的结果为（）A．2x﹣5B．3C．3﹣2x D．﹣3【解析】∵1≤x≤4，∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，选A．变式13实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2的结果是（）A．﹣2B．0C．﹣2a D．2b【解析】由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴√(a2+√(b−1)2−√(a−b)2|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣2，选A．变式14若a、b、c为三角形的三条边，则√(a+b−c)2+|b﹣a﹣c|＝（）A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c【解析】∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．选B．变式15已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简√a2+|a﹣c|+√(b−c)2−|b|．【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．必考点六最简二次根式的概念最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．例题6 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．√8B ．√2x 2yC ．√ab 2D ．√3x 2+y 2【解析】A .√8=2√2，可化简；B .√2x 2y =|x |√2y ，可化简；C .√ab 2=√2ab 2，可化简； D .√3x 2+y 2不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；选D ． 变式16 在根式√xy 、√12、√ab2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】根式√xy 、√12、√ab 2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有√xy 、√ab2、√x −y ，共3个，选C ． 变式17 若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为 2 ． 【解析】若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为2， 变式18 若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m +n ＝ ﹣6 ． 【解析】由题意可得：{m +3=12m −n +1=1，解得：{m =−2n =−4，∴m +n ＝﹣6必考点七 同类二次根式的概念同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．例题7 下列二次根式：√32，√18，√43，−√125，√0.48，其中不能与√12合并的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】∵√12=2√3，√18=3√2，√43=2√33，−√125=−5√5，√0.48=2√35， ∴不能与√12合并的是√18、−√125这2个，选B ．变式19 若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝3【解析】∵最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，∴x +3＝2x ，解得：x ＝3，选D ． 变式20 若最简二次根式√3m +n ，2√4m −2可以合并，则m ﹣n 的值为 ．【分析】由题意可知，√3m +n 与2√4m −2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解． 【解析】根据题意3m +n ＝4m ﹣2，即﹣m +n ＝﹣2，所以m ﹣n ＝2．【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．变式21 若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式． （1）求x ，y 的值；（2）求√x 2+y 2的值．【解析】（1）根据题意知{3x −10=22x +y −5=x −3y +11，解得：{x =4y =3；（2）当x ＝4、y ＝3时，√x 2+y 2=√42+32=√25=5．必考点八 二次根式的加减运算二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答． 例题8 计算：（1）3√3−√8+√2−√27 （2）7a √7a −4a 2√18a+7a √2a 【解析】（1）原式=3√3−2√2+√2−3√3=−√2， （2）原式=7a √7a −a √2a +7a √2a =7a √7a +6a √2a ． 变式22 计算：（1）2√12−6√13+3√48 （2）5√x 5+52√4x 5−x √20x【解析】（1）原式＝4√3−2√3+12√3＝14√3．（2）原式=√5x +√5x −2√5x ＝0 变式23 计算：（1）2√3+3√12−√48 （2）32√4x −（15√x25−2√x 2）（x ＞0） 【解析】（1）原式＝2√3+6√3−4√3＝4√3；（2）原式=32×2√x −（15×√x5−2x ）＝3√x −3√x +2x ＝2x ． 变式24 计算（1）√27−√45−√20+√75（2）2√a −3√a 2b +5√4a −2b √a 2b (a ≥0，b ＞0) 【解析】（1）原式＝3√3−3√5−2√5+5√3＝8√3−5√5； （2）原式＝2√a −3a √b +10√a −2a √b ＝12√a −5a √b ．必考点九 二次根式的乘除运算掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例题9 计算：√313÷(25√213)×(4√125)．【解析】√313÷(25√213)×(4√125)＝（1÷25×4）√103÷73×75＝（1×52×4）√103×37×75＝10√2．变式25 计算：n m √n 3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3． 【解析】n m √n3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3=n m×（−1m）÷1√n 3m 3×n 3m 3×2m 3n=−n m 2√2n 33m 3 =−n m 2×|n|3m 2√6mn ＝±n 23m4√6mn ．变式26 化简：2x3y√2x3y 3⋅(4x √÷(4x 2y √3x 2y)【解析】原式=2x 3y •√2x y 3y •4x •3√xy ÷（4x 2y x √3√y）=√2x 33y 2•√y 4√3x 3y =2√2y 3y 3变式27 计算：2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√ba （a ＞0） 【解析】2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√b a （a ＞0）=−3b •a 2b ÷13√b a ＝﹣9a 2√a b =−9a 2b √ab ． 必考点十 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；例题10 （1）计算：√3×√12+√6÷√2−√27；（2）化简：√18x +2x √x 32+x ÷√x2．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【解析】（1）原式=√3×12+√6÷2−3√3＝6+√3−3√3＝6﹣2√3； （2）原式＝3√2x +√2x +x •√2√x＝3√2x +√2x +√2x ＝5√2x ． 【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．变式28 （1）计算：√12×√34+√24÷√6．（2）计算：(√5+√3)2−(√5+√2)(√5−√2)．【解答】（1）原式=14×√12×3+√24÷6=32+2 =72； （2）原式=5+2√15+3−(5−2)=8+2√15−3 =5+2√15．变式29 计算：（1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）；（2）√48÷2√3−√27×√63+4√12．【解析】（1）原式＝12﹣4√3+1+3﹣4＝12﹣4√3；（2）原式=12√48÷3−13√27×6+2√2＝2﹣3√2+2√2＝2−√2．变式30 计算：（1）（√3−2）（√3+2）﹣（√3−1）2+5； （2）（2√2x3−√10x •√15）÷√6x 3．【解析】（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣2√3+1）+5＝﹣1﹣3+2√3−1+5＝2√3； （2）原式＝（23√6x −5√6x ）÷√6x3=−13√6x 3•√6x＝﹣13． 必考点十一 二次根式的化简求值例题11 若x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，求（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）的值．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，求出y 的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．【解析】∵x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，∴4x ﹣1≥0且1﹣4x ≥0，解得：x =14，∴y =13， ∴（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）＝2x √x +2√xy −x √x −5√xy ＝x √x −3√xy=14√14−3√14×13=18−12√3． 变式31 已知x =1√5−√3y =1√5+√3，求下列各式的值： （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x+x y． 【解析】（1）∵x =1√5−3=√5+√32，y =1√5+3=√5−√32，∴x +y =√5，xy =12，则x 2﹣xy +y 2＝（x +y ）2﹣3xy ＝5−32=72； （2）yx +x y=x 2+y 2xy =(x+y)2−2xy xy =5−112＝8． 变式32 已知x =12(√5+√3)，x =12(√5−√3)，求x 2﹣3xy +y 2的值．【分析】先由x 、y 的值计算出x ﹣y 、xy 的值，再代入原式＝（x ﹣y ）2﹣xy 计算可得．【解析】∵x =12(√5+√3)，y =12(√5−√3)， ∴x ﹣y =12(√5+√3)−12(√5−√3)=√52+√32−√52+√32=√3，xy =12(√5+√3)×12(√5−√3)=14×（5﹣3）=14×2=12， 则原式＝（x ﹣y ）2﹣xy ＝（√3）2−12＝3−12=52． 变式33 已知x =b 2a+b−2a−b ，y =b2a+b+2a−b，求x 2﹣xy +y 2的值．【分析】根据分母有理化化简x 与y ，然后求出x +y 与xy 的表达式即可求出答案． 【解析】∵x =√2a+b−√2a−b ，y =√2a+b+√2a−b，∴x =√2a+b+√2a−b2，y =√2a+b−√2a−b2，∴x +y =√2a +b ，xy =b2，∴原式＝x 2+2xy +y 2﹣3xy ＝（x +y ）2﹣3xy ＝2a +b −3b2＝2a −b2必考点十二 分母有理化二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的． 例题12 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33√23=√2×33×3=√63√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简√27（2）化简√5+√3．（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．【分析】（1）分子分母分别乘√3即可；（2）分子分母分别乘√5−√3即可； （3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；【解析】（1）√27=√3√27×√3=√33（2）化简√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1=12（√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√2n +1−√2n −1）=12（√2n +1−1） 变式34 阅读下面计算过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√5+2=√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2．求：（1）√7+√6的值．（2）√n+1+√n （n 为正整数）的值．（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99的值．【分析】（1）根据给定算式，在分式√7+√6的分母和分子上分别相乘（√7−√6），计算后即可得出结论；（2）根据给定算式，在分式√n+1+√n的分母和分子上分别相乘（√n +1−√n ），计算后即可得出结论； （3）根据（2）的结论即可得出√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99），由此即可算出结论． 【解析】（1）√7+√6=√7−√6)(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6； （2）√n+1+√n=√n+1−√n)(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n +1−√n ；（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99）＝10﹣1＝9．【小结】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键． 变式35 观察下列格式，√5−12−√5−1，√8−22−√8−2，√13−32−√13−3，√20−42−√20−4⋯ （1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果 （3）用含n （n ≥1的整数）的式子写出第n 个式子及结果，并给出证明的过程． 【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果； （2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果； （3）根据（1）的规律可得√n 2+4−n2−√n 2+4−n，然后分母有理化，求出结果即可．【解析】（1）√5−12−√5−1=√5−12−√5+1)(√5−1)(√5+1)=√5−12−√5+12=−1， √8−22−√8−2=√8−22−√8+22=−2， √13−32−√13−3=√13−32−√13+32=−3， √20−42−√20−4=√20−42−√20+42=−4， （2）√29−52−√29−5=−5，（3）√n 2+4−n2−√n 2+4−n=√n 2+4−n2−√n 2+4+n2=−n ．变式36 【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化 通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的 例如：化简√3+√2【解析】√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a ±2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn =√b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n 例如：化简√3±2√2【解析】√3±2√2=√(√2)2+12±2√2=√(√2±1)2=√2±1 【理解应用】 （1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ；（2）计算： ①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2018+√2017+√2019+√2018．【解析】（1）原式=√5+√3)(√5+√3)(5+3)(5−3)=8+2√152=4+√15，（2）①√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2√10=√(√5−√2)2=√5−√2；②原式=√2−1+√3−√2+4−√3+⋯+√2019−√2018=√2019−1．必考点十三复合二次根式的化简例题13阅读理解题，下面我们观察：（√2−1）2＝（√2）2﹣2×1×√2+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2．反之3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2，所以3﹣2√2=（√2−1）2，所以√3−2√2=√2−1．完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解3+2√2；（2）化简：√4+2√3；（3）化简：√5−2√6．【解析】（1）3+2√2=12+2√2+(√2)2=(1+√2)2；（2）√4+2√3=√(√3+1)2=√3+1；（3）√5−2√6=√(√3−√2)2=√3−√2．变式37观察下式：（√2−1）2＝（√2）2﹣2•√2•1+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2反之，3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2根据以上可求：√3−2√2=√2−2√2+1=√(√2−1)2=√2−1求：（1）√5+2√6；（2）你会算√4−√12吗？【解析】（1）原式=√2+2√6+3=√(√2+√3)2=√2+√3．（2）原式=√3−2√3+1=√(√3−1)2=√3−1变式38阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将√a+2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=√b，则a+2√b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得√a+2√b，化简：例如：∵5+2√6=3+2+2√6=（√3）2+（√2）2+2√6=（√3+√2）2．∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2．请你仿照上例将下列各式化简：（1）√4+2√3；（2）√7−2√10．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2√3化为（1+√3）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2√10化为（√5−√2）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解析】（1）∵4+2√3=1+3+2√3=12+(√3)2+2√3=（1+√3）2，∴√4+2√3=√(1+√3)2=1+√3；（2）√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2×√5×√2=√(√5−√2)2=√5−√2．变式39先阅读下列解答过程，然后再解答：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(√a)2+(√b)2=m，√a×√b=√n，那么便有：√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b）例如：化简√7+4√3：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3．问题：①填空：√4+2√3=，√9+4√5=；②化简：√19−4√15（请写出计算过程）．【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．【解析】①√4+2√3=√(√3)2+2√3+12=√(√3+1)2=√3+1，√9+4√5=√(√5)2+4√5+22=√(√5+2)2=√5+2，②√19−4√15=√(√15)2−4√15+22=√(√15−2)2=√15−2．必考点十四含二次根式的数式规律题例题14观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=1120（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）【解析】（1）√1+142+152=1+14−15=1120；故答案为：1120；（2）√1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1n(n+1)；故答案为：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）√5049+164=√1+172+182=1156．变式40观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，…请利用你所发现的规律，（1）计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+192+1102（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．【解析】（1）原式＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯⋯+1+19×10＝1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋯⋯+1+19−110＝9+1−110＝9910；（2）第n个等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)．变式41观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；（2）根据规律写出含n的式子即可；（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．【解析】（1）√4+16=5√16；（2）√n+1n+2=（n+1）√1n+2；（3）√n+1n+2=√n2+2nn+2+1n+2=√n2+2n+1n+2=√(n+1)2n+2＝（n+1）√1n+2．变式42观察下列各式及其验算过程：√2+23=2√23，验证：√2+23=√2×3+23=√233=2√23；√3+38=3√38，验证：√3+38=√3×8+38=√338=3√38（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想√4+415的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【解析】（1）∵√2+23=2√23，√3+38=3√38，∴√4+415=4√415=4√15=8√1515，验证：√4+415=√6415=8√1515，正确；（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴√n+n2=n√n2，验证：√n+n2=√n32=n√n2；正确；二次根式章节巩固练习1．下列式子是二次根式的是（）A．√−7B．√83C．√a D．√x2+1【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．【解析】A、√−7无意义，故本选项不符合题意；B、√83的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；选D．【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如√a （a ≥0）的代数式叫做二次根式．当a ≥0时，√a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B ．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C ．同类二次根式一定都是最简二次根式D ．两个最简二次根式不一定是同类二次根式【解析】A 、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意； B 、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意； C 、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意； D 、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；选D ． 3．代数式√x+4x−2中，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣4 B ．x ＞2 C ．x ≥﹣4且x ≠2 D ．x ＞﹣4且x ≠2【解析】由题意得：x +4≥0，且x ﹣2≠0， 解得：x ≥﹣4且x ≠2，选C ．4．下列各式中，互为有理化因式的是（ ） A ．√a +b ，√a −bB ．√5−√2，√5−√2C ．√x −1，√x −1D ．−√a +√b ，√a −√b【解析】√x −1与√x −1互为有理化因式，选C ．5．已知n 是一个正整数，√45n 是整数，则n 的最小值是（ ） A ．3B ．5C ．15D ．45【解析】由于45n ＝32×5n ，∴√45n =3√5n ，由于√45n 是整数，∴n 的最小值为5，选B ． 6．实数a 在数轴上的位置如图所示，则√(a −3)2+√(a −10)2化简后为（ ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定【解析】由数轴上点的位置，得4＜a ＜8．√(a −3)2+√(a −10)2=a ﹣3+10﹣a ＝7，选A ． 7．若x +1x =7，则√x 1√x 的值是（ ）A ．3B ．±3C ．√5D ．±√5【解析】∵x +1x =7，∴（√x +√x ）2＝x +2+1x =7+2＝9，∵√x x 0，∴√x x =3，选A ．8．我们把形如a √x +b （a ，b 为有理数，√x 为最简二次根式）的数叫做√x 型无理数，如2√5+3是√5型无理数，则(√2+√6)2是（ ） A ．√2型无理数B ．√3型无理数C ．√6型无理数D ．√12型无理数【解析】(√2+√6)2=2+2√12+6＝4√3+8，所以(√2+√6)2是√3型无理数．选B ．9．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）A ．16√6cm 2B ．40 cm 2C ．8√6cm 2D ．（2√6+4）cm 2【解析】从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2两个小正方形，大正方形的边长是√16+√24=4+2√6，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2√6）2﹣16﹣24＝16+16√6+24﹣16﹣24＝16√6（cm 2）．选A ． 10．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、4．则化简|2k ﹣5|−√k 2−12k +36的结果是（ ） A ．3k ﹣11B ．k +1C ．1D ．11﹣3k【解析】∵三角形的三边长分别为1、k 、4，∴{1+4＞k4−1＜k ，解得，3＜k ＜5，所以，2k ﹣5＞0，k ﹣6＜0，∴|2k ﹣5|−√k 2−12k +36=2k ﹣5−√(k −6)2=2k ﹣5﹣[﹣（k ﹣6）]＝3k ﹣11．选A ．11．在根式√3，√4x ，√35，√0.25，√20，最简二次根式的个数有 1 个．【解析】最简二次根式有√3这1个，12．如果最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，那么使√5a −2x 有意义的x 的取值范围是 x ≤252． 【解析】∵最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，∴3a ﹣4＝16﹣a ，解得：a ＝5， ∴√5a −2x =√25−2x ，要使√25−2x 有意义，必须25﹣2x ≥0，解得：x ≤252，13．若式子√(x −2)2=2﹣x 成立，则x 的取值范围为 x ≤2 ． 【解析】由题意得：x ﹣2≤0，解得：x ≤2，14．若y =√x 2−4+√4−x 2+3，则y x ＝ 9或19 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可求x ＝±2，进一步求得y 的值，再代值计算即可求解． 15．已知x +y ＝﹣5，xy ＝4，则√y x+√x y=52．【解析】∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴x ＜0，y ＜0，√yx +√xy =−（√xy x +√xy y）=−√xy(x+y)xy ， ∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴原式=−√xy(x+y)xy=−√4×(−5)4=52．16．若m 满足等式√m −2020+|2019﹣m |＝m ，则m ﹣20192的值为 2020 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得m ≥2020，再利用绝对值的性质计算√m −2020+|2019﹣m |＝m 即可．【解析】∵m ﹣2020≥0，∴m ≥2020，∴√m −2020+|2019﹣m |＝m ，√m −2020+m ﹣2019＝m ，√m −2020=2019，∴m ﹣2020＝20192，m ﹣20192＝2020， 17．计算题：（1）2√12÷12√50×12√34−35√2；（2）先化简，再求值．（6x √yx +3y √xy 3）﹣（4x √xy +√36xy ），其中x =32，y ＝27． 【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可； （2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．【解析】（1）原式＝2×2×12√12÷50×34−35√2＝2×310√2−35√2=35√2−35√2 ＝0；（2）原式＝6x √y x +3y √xy 3−4x √x y −√36xy ＝6√xy +3√xy −4x y √xy −6√xy ＝（3−4xy ）√xy =3y−4x y √xy ，当x =32，y ＝27时，原式=81−627√812=252√2． 18．计算 （1）√18−√92√3+√63（√3−2）0+√(1−√2)2；（2）（2√3+√6）（2√3−√6）．【解析】（1）原式=3√2−32√2−1−√2+1+√2−1=32√2−1； （2）原式＝（2√3）2﹣（√6）2＝6．【小结】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 19．已知√x−3y+|x 2−9|(x+3)=0，求√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y的值；【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x ，y 的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．【解析】∵√x−3y+|x 2−9|(x+3)2=0，∴x ﹣3y ＝0，x 2﹣9＝0，且x +3≠0，解得：x ＝3，y ＝1，故√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y=√3+1√3−1−√3−1√3+1=(√3+1)22−(√3−1)22 ＝2+√3−（2−√3）＝2√3．20．已知a ，b ，c 满足等式|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b （1）求a ，b ，c 的值．（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b 的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a 和c 的值．（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a ，b ，c 为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可． 【解析】（1）∵|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b∴b ﹣5≥0，5﹣b ≥0，∴b ＝5∴|a −√7|+（c ﹣4√2）2＝0∴a −√7=0，c ﹣4√2=0 ∴a =√7，b ＝5，c ＝4√2．（2）∵a =√7，b ＝5，c ＝4√2．∴a +b =√7+5＞4√2．∴以a ，b ，c 为边能构成三角形； ∵a 2+b 2＝7+25＝32，c 2=(4√2)2=32，∴a 2+b 2＝c 2 ∴此三角形是直角三角形． 此三角形的面积为：12×√7×5=5√72．21．阅读材料：把根式√x ±2√y 进行化简，若能找到两个数m 、n ，是m 2+n 2＝x 且mn =√y ，则把x ±2√y 变成m 2+n 2±2mn ＝（m ±n ）2开方，从而使得√x ±2√y 化简． 例如：化简√3+2√2解析：∵3+2√2=1+2+2√2=12+（√2）2+2×1×√2=（1+√2）2 ∴√3+2√2=√(1+√2)2=1+√2； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1）√5+2√6；（2）√7−4√3．【解析】（1）∵5+2√6=3+2+2√6＝（√3）2+（√2）2+2×√3×√2＝（√3+√2）2， ∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2；（2）∵7﹣4√3=4+3﹣4√3=22+（√3）2﹣2×2×√3＝（2−√3）2，∴√7−4√3=√(2−√3)2=2−√3．【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．22．材料阅读： 在二次根式的运算中，经常会出现诸如√2，√3−√2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”√2=√2(√2)2=√22；√3−√2=√3+√2)(√3−√2)×(√3+√2)=√3+2√2(√3)2−(√2)2=2√3+2√23−2=2√3+2√2． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：√2=√21=√2)22=2√3−1√3=√3−1)×(√3+1)√3×(√3+1)=√3)22(√3)2+√3=3+√3=3+√3．根据上述知识，请你完成下列问题：（1）运用分母有理化，化简：√5−2−√5；（2）运用分子有理化，比较√7−√6与√6−√5的大小，并说明理由；（3）计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+√4+√5+⋯+√99+√100的值． 【解析】（1）原式=√5+2(5−2)(5+2)√55×5=√5+2−√5 ＝2；（2）√7−√6＜√6−√5．理由如下：∵√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5，而√7+√6＞√6+√5，∵√7−√6√6−√5，∴√7−√6＜√6−√5； （3）原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1＝10﹣1＝9．。
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
二次根式知识点梳理及经典练习(超详细)
二次根式知识点梳理及经典练习知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． [练一练]：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、)0(≥a a2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______题型二：二次根式有意义【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ．[练一练]：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限题型三：二次根式定义的运用[练一练]：A．－1 B．1 C．2 D．3题型四：二次根式的整数部分与小数知识点2：二次根式的性质常用到．注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．题型一：二次根式的双重非负性【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．[练一练]：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
八年级数学下册第十六章二次根式必考知识点归纳(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式必考知识点归纳单选题1、下列各式是二次根式的是（ ）A ．√3B ．√−1C ．√53D ．√π−4答案：A分析：根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．解：A 、符合二次根式有意义条件，符合题意；B 、-1＜0，所以√−1无意义，故B 选项不符合题意；C 、是三次根式，所以C 选项不符合题意；D 、π-4＜0，所以√π−4无意义，故D 选项不符合题意．故选：A ．小提示：本题考查二次根式的定义及有意义的条件：√a 是二次根式，必须有a≥0．2、估计(2√30−√24)⋅√16的值应在（ ） A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间答案：B分析：先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围. (2√30−√24)⋅√16=2√30×√16−√24×√16，=2√5−2，而2√5=√4×5=√20，4<√20<5，所以2<2√5−2<3，所以估计(2√30−√24)⋅√16的值应在2和3之间，故选B.小提示：本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.3、下列等式正确的是（）A．（√3）2=3B．√(−3)2=﹣3C．√33=3D．（﹣√3）2=﹣3答案：A分析：根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．解：（√3）2=3，A正确,符合题意；√(−3)2=3，B错误，不符合题意；√33=√27=3√3，C错误，不符合题意；（-√3）2=3，D错误，不符合题意；故选A．小提示：本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：√a2=|a|是解题的关键．4、下列计算正确的是（）A．√5+√2=√7B．√a2−b2=a−bC．a√x−b√x=(a−b)√x D．√6+√10=√3+√52答案：C分析：根据二次根式的加减法法则、二次根式的化简逐项判断即可得．解：A、√5与√2不是同类二次根式，不能合并，则此项错误，不符合题意；B、√a2−b2=√(a+b)(a−b)≠a−b，则此项错误，不符合题意；C、a√x−b√x=(a−b)√x，则此项正确，符合题意；≠√3+√5，则此项错误，不符合题意；D、因为2√3+2√5=√12+√20，所以√6+√102故选：C．小提示：本题考查了二次根式的加减法、二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．5、计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−12答案：B分析：先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．解：(√5+12−1)⋅√5+12=√5−12⋅√5+12=5−14=1．故选：B．小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．6、已知a=√2022−√2021，b=√2021−√2020，c=√2020−√2019，那么a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a答案：A分析：先把a,b,c化为√2022+√2021,√2021+√2020,√2020+√2019,√2022+√2021>√2021+√2020>√2020+√2019,从而可得答案．解：∵a=√2022−√2021=√2022+√2021,，b=√2021−√2020=√2021+√2020,c=√2020−√2019=√2020+√2019,，而√2022+√2021>√2021+√2020>√2020+√2019,∴a<b<c.故选A．小提示：本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．7、估计(2√3+3√2)×√13的值应在 （ ） A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间答案：A分析：根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小. (2√3+3√2)×√13=2√3×√13+3√2×√13 =2+√6，∵4<6<9，∵2<√6<3，∴4<2+√6<5，故选：A.小提示：此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.8、已知(4+√3)⋅a =b ，若b 是整数，则a 的值可能是（ ）A ．√3B ．4+√3C ．4−√3D ．2−√3答案：C分析：找出括号中式子的有理化因式即可．解：(4+√3)×(4−√3)=16-3=13，则a 的值可能是4−√3，故选C ．小提示：此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9、下列计算正确的是（ ）A ．√3+√3=√6B ．2−√2=√2C ．√3×√3=√6D ．2÷√2=√2答案：D分析：利用二次根式的运算法则计算．A ．应是合并同类二次根式，计算错误；B ．这两个数不是同类二次根式不能加减；C ．√3×√3=(√3)2计算错误；D ．先把分母有理化再计算．解：A 、合并同类二次根式应是√3+√3=2√3，故选项错误，不符合题意；；B 、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；；C 、要注意根式与根式相乘，应等于3，故选项错误，不符合题意；；D 、2÷√2=√2√2×√2=2√22=√2，故选项正确，符合题意；； 故选：D ．小提示：本题考查了二次根式的运算：解题的关键是先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，再合并即可．10、下列哪一个选项中的等式不成立？（ ）A ．√38=34B ．√(−5)6=(−5)6C ．√34×510=32×55D ．√(−3)4×(−5)8=(−3)2×(−5)4答案：B分析：根据二次根式化简的方法计算，即可．A ．√38=√(34)2=34，正确，不符合题意；B ．√(−5)6=√56=√(53)2=53，故此选项错误，符合题意；C ．√34×510=√(32×55)2=32×55，正确，不符合题意；D ．√(−3)4×(−5)8=(−3)2×(−5)4，正确，不符合题意．故答案选：B ． 小提示：本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的概念以及化简方法，是解决本题的关键． 填空题11、已知最简二次根式√2a +1a−b−1和√a +3是同类二次根式，则a b =______．答案：12分析：根据同类二次根式定义：两个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根，列出方程组{a −b −1=22a +1=a +3求解，得出a 、b 值，再代入计算即可． 银，根据题意，得{a −b −1=22a +1=a +3，解得：{a =2b =−1， ∴ab =2-1=12， 所以答案是：12．小提示：本题考查同类二次根式概念，代数式求值，负整理指数幂的运算，解二元一次方程组，熟练掌握同类二次根式概念是解题的关键．12、计算：√3×√5＝_____．答案：√15分析：根据二次根式乘法运算法则进行运算即可得出答案．解： √3×√5=√3×5=√15，所以答案是：√15．小提示：本次考查二次根式乘法运算，熟练二次根式乘法运算法则即可．13、若式子x ＋√x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______．答案：x ≥－1分析：由题意根据二次根式的被开方数是非负数，进行分析计算可得答案．解：由题意得x +1≥0，解得x ≥-1.所以答案是：x ≥-1．小提示：本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握并利用被开方数是非负数得出不等式是解题的关键．14、若|x-2y|+√y +2=0,则xy 的值为_______.答案：8试题解析:根据题意可得：{x −2y =0y +2=0, 解得：{x =−4y =−2.∴xy =8.故答案为8.15、若式子√1−x |x|−2有意义，则实数x 的取值范围是 _____．答案：x ≤1且x ≠-2分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，1−x ≥0且|x |-2≠0，解得x ≤1且x ≠-2．所以答案是：x ≤1且x ≠-2．小提示：本题考查了代数式有意义：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是明确什么情况下代数式有意义．解答题16、计算：（13）﹣1﹣√18×（﹣√3）﹣|√6﹣3|．答案：4√6分析：根据负整数幂运算公式，二次根式的运算，绝对值的运算进行化简运算即可.(13)−1﹣√18×（﹣√3）﹣|√6﹣3|＝3+3√6+√6﹣3＝4√6．小提示：本题主要考查了负整数指数幂、实数的运算，熟练掌握运算公式和法则是解题的关键.17、已知a =2+√5，b =2−√5，求代数式a 2b +ab 2的值．答案：－4分析：先将代数式因式分解，再代入求值．a 2b +ab 2=ab(a +b)=(2+√5)(2−√5)(2+√5+2−√5)=−1×4=−4.故代数式的值为−4．小提示：本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．18、先化简再求值：a2−b2a2+ab ÷(a−2ab−b2a)，其中a=1+√2，b=1−√2．答案：√24分析：先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．解：a2−b2a2+ab ÷(a−2ab−b2a)=(a+b)(a−b)a(a+b)÷a2−2ab+b2a=(a+b)(a−b)a(a+b)⋅a(a−b)2=1a−b，当a=1+√2，b=1−√2时，原式=1+√2−1+√2=2√2=√24．小提示：本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．。
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实数章节涉及的20个必考点 考点1平方根与立方根的定义 解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方 根有2个；任意一个数的立方根只有1个.
例题1 下列说法中，正确的是（ ） A. -5是（-5）2的算术平方根 B. 16的平方根是±4 C. 2是-4的算术平方根 D. 27的立方根是±3 【分析】利用平方根、立方根的性质判断即可. 【解析】』、5是（-5） 2的算术平方根，不符合题意； B、 16的平方根是±4,符合题意;
C、 2是4的算术平方根，不符合题意： D、 27的立方根是3,不符合题意.
故选：B. 【小结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟掌握各自的性质是解本题的关键. 变式1 下列结论中，貝中正确的是（ ） A. √81的平方根是±9 B. √100 =±10C.立方根等于本身的数只有0.1 D. Vz6 = -√6 【分析】根据平方根，立方根的左义逐项汁算可判断求解• 【解析∙.∙阿：=9, 9的平方根为±3, .∙.√H的平方根为±3,故原说法错误； 5.√100 = 10,故原说法错误； C.立方根等于本身的数只有0, -1, 1,故原说法错误： DyrZ6 = -∖z6,故原说法正确.故选：D.
变式2下列说法：①±3都是27的立方根；②:⅛的算术平方根是±7 （3）-Vz8=2;④后的平方根是 16 4
±4： ®-9是81的算术平方根，貝中正确的有（ ）
A・1个 B. 2个 C・3个 D. 4个 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的左义找到错误选项即可. 【解析】①3是27的立方根，原来的说法错误： ②:⅛的算术平方根是;原来的说法错误；(3)-V≡8=2是正确的： 16 4
(4)√16=4, 4的平方根是±2,原来的说法错误： ⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误.故其中正确的有1个.故选：/. 【小结】考查立方根，平方根，算术平方根的知识：用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数 的算术平方根：一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个. 变式3 下列说法正确的是( ) A.若 ∖^^=-α,则 Λ<0 B.若 Va2=a,贝 ∣] Λ>0
C. √a4⅛8 =CrbA D. 3的平方根是齿 【分析】根据平方根和算术平方根的左义分别对每一项进行分析，即可得岀答案. 【解析】/、若-a,则aM0,故本选项错误；B、若Va≡ =a,则a20,故本选项错误； C、=a1b∖故本选项正确；D、3的平方根是±√5,故本选项错误：故选：C. 【小结】此题考査了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义是解本题的关键.
考点2算术平方根的小数点移动规律 解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地 向左或向右移动1位：
例题2 由√3 ≈1.732,得√300 ≈17.32,则∖O3≈ __________ , √30000 ≈ ____ .从以上结果可以发现，被 开方数的小数点向左或向右移动 ______ 位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位. 【分析】根据算术平方根的立义进行解答即可. 【解析】丁 約7.32, Λ √0^3 ≈0.1732, √30000 ≈173.2, 从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或 向右移动1位： 故答案为:0.1732, 173.2,两. 【小结】此题考查了算术平方根的怎义，掌握算术平方根的定义是本题的关键. 变式4 如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根匹的小数点位置移动规律符合一肚的 规律，若Va =180,且-√3.24 = -1.8,则被开方数a的值为 ______________ . a … OOOOOOI 0.01 1 100 IOOOO IOOOOOO …
… 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得d的值. 【解析】=180,且一√324 = -l,δ. .∖√^24=1.& Λ√32400 =180, .∙.α=32400,故答案为：32400・ 【小结】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确算术平方根的泄义，求出相应的α的值. 变式5 若√2536 =5.036, √253^ =15.906,则√253600 =( ) A. 50.36 B. 503.6 C・ 159.06 D・ 1.5906 【分析】根据已知等式，利用算术平方根泄义判断即可得到结果. 【解析】V√2536 =5.036, Λ√253600 = √2536 × √10000 =5.036× 100=503.6,故选：B. 【小结】本题考查了算术平方根.解题的关键是掌握算术平方根的左义以及算术平方根的被开方数小数点 移动的规律. 变式6 设V5 = m t ∖∣7 = n ∣则Vθ.056可以表示为( ) mn mn mn mn A. --- B. ------------------ C. --------------- D. ---------------- 25 20 15 10
【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式 的性质与化简，即可求得结论. r as>ici /c C“ I 56 I 560 √⅛60 JI.6x5X7 4×∕^^×√7 Tnn 【解析】v0.056 = AJyQQQ = JIOOOO = ^ιoo^ = —100— = -100— = ^25' 故选：
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝 试怎样拆分数据可简便运算. 考点3算术平方根的非负性 解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.
例题3若实数X, y满足∣χ-3∣+√T=T=0,则(七)3的平方根为() A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出X，y的值，进而利用平方根的左义得出答案. 【解析】∙∙∙∣x∙ 3∣+√y≡T =0, .∙.x-3 = 0,1 = 0, Λx=3, y=l, 则(E，) 3= (3+1) 3 = 64, 64 的平方根是：±8.故选：D. 【小结】此题主要考査了算术平方根以及绝对值的性质，正确把握相关上义是解题的关键. 变式7 已知实数X和;V满足√^→+ (?+8) 2=0,则x+y的值为( ) A. 0 B. -4 C. 0 或-4 D. ±4 【分析】根据非负数的性质即可求出答案. 【解析】由题意可知："-4=0, /+8=o, ∙'∙x=±2, y= - 2∣ .9.x+y =O 或故选：C.
【小结】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型. 变式8 已知(2α+b) 2与√3b + 12互为相反数,则2/= _______ . 【分析】根据相反数的槪念列岀算式，根据非负数的性质求出b的值，计算即可. 【解析】由题意得，(2α+b) 2+√3b + 12 =0,贝IJ 2a+b=Q, 36+12=0,解得，α=2, b= -4, 则戸=(-4) 2=16,故答案为：16. 变式9 已知：实数a、b满足关系式(a-2) ⅛+√3∣+√2009 - C =0,求：ba+c+S的值. 【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解a, b, C的值，再代入计算即可求解. 【解析】由题意得a-2 = 0, b+√3 = 0, 2009- c = 0, 解得 a=2, b= -√3, c=2009, Λba+c+8= (-√3)2 +2009-8=2020. 考点4平方根与立方根性质的运用 解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根.立 方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0.
例题4 已知4a+l的平方根是±3, b - 1的算术平方根为2. (1) 求a与b的值：(2)求2a+b - 1的立方根. 【解析】(1)∙∙∙4a+l的平方根是土3, ∙∙.4a+l=9,解得a=2; •：b- 1的算术平方根为2, .∙∙b-l=4,解得b = 5.
(2) Ta=2, b=5, ：.2a+b- l=2×2+5- 1 = 8, .∖2a+b - 1 的立方根是：√8=2. 【小结】此题主要考査了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握. 变式10已知4a+7的立方根是3, 2a+2b+2的算术平方根是4. (1) 求a，b的值；(2)求6a÷3b的平方根. 【解析】＜1)∙.∙4a÷7的立方根是3, 2a+2fr+2的算术平方根是4, .∙.4a+7=27, 2a+2b+2=16, .∙.a=5, b=2; (2) 由(1)知 a=5, b=2, .∙.6a+3b=6X5+3X2=36, .∖6a+3b 的平方根为±6. 变式11已知2a+l的平方根是±3, 3a÷2b - 4的立方根是-2,求4a - 56+8的立方根. 【分析】先根据平方根，立方根的左义列出关于a、b的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a-5b+8 的值，然后根据立方根的立义求解. 【解析】T2a+1的平方根是土3, 3a+2b - 4的立方根是-2, .∙.2a+l=9, 3a+2b-4=-8,解得 a=4, b= - 8, .∙.4a - 56+8=4X4 - 5× ( - 8) +8=64, :Aa - 5b+8 的立方根是 4.