有限射影平面
直线在平面内的射影
O
从平面内一点发出的 从平面外不同点发出 斜线段，长度虽然相等， 的斜线段，长度虽然相等， 但射影不一定相等。 但射影不一定相等。
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题
例1.如图，AO是平面π 的斜线，AB ⊥平面π于B， OD是π内不与OB重合的直 线，∠AOB= ，∠BOD= ，∠AOD= ，求证：cos =cos cos O
A
C
B D
OB＞OC AB ＞AC O
B
C
AB=AC OB=OC AB ＞AC OB＞OC
射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长
A
定理 从平面外一
B
O
点向这个平面所引的
C
垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
练 习
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
6
3
。
练习
A
4.已知斜线段的长是它 在平面β上射影的2倍， B O 求斜线和平面β所成的 β 角。 如图，斜线段AB是其射影OB的 两倍，求AB与平面β所成的角。 5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
1.点P是△ABC所在平 面外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离 相等，则P点在△ABC A 所在平面上的射影是 △ABC的 心。 外
射影几何公理
射影几何公理【实用版】目录1.射影几何的定义与基本概念2.射影几何公理的基本内容3.射影几何公理的应用4.射影几何的发展历程与意义正文射影几何是一种数学几何学，主要研究空间中直线、平面以及它们的射影。
射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
本文将从射影几何的定义与基本概念、射影几何公理的基本内容、射影几何公理的应用以及射影几何的发展历程与意义四个方面进行介绍。
首先，射影几何的定义与基本概念。
射影几何起源于光学和摄影测量学，它的基本概念包括射影、射影空间、射影直线、射影平面等。
射影是指从一个点向一个平面投射的过程，射影空间是指由射影和平面构成的空间。
射影几何的研究对象是射影空间中的直线、平面以及它们的射影。
其次，射影几何公理的基本内容。
射影几何公理包括以下三个基本原理：1）直线确定一个平面；2）两个不共线的点确定一条直线；3）三个不共线的点确定一个平面。
这些基本原理为射影几何的研究提供了理论基础。
接着，射影几何公理的应用。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，例如在计算机图形学、摄影测量学、空间探测等领域都有重要的应用。
射影几何公理在解决实际问题中起到了关键作用。
最后，射影几何的发展历程与意义。
射影几何公理的发展历程可以追溯到古希腊时期，欧几里得和阿里士多德等数学家都对射影几何做出了重要贡献。
随着科学技术的发展，射影几何在现代数学、物理学、工程学等领域发挥着越来越重要的作用，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
总之，射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
射影几何公理
射影几何是一种几何学分支，它涉及到射影空间中的几何性质和关系。
以下是射影几何中常用的一些公理：
存在公理：对于射影平面上的任意两条不重合的直线，它们必定有一个公共的交点。
唯一性公理：对于射影平面上的任意两条直线，它们的交点唯一。
三点共线公理：对于射影平面上的任意三个不共线的点，它们必定在一条直线上。
四边形外角和公理：对于射影平面上的任意四边形，其外角和为360度（或等于一周的角度）。
射影平行公理：对于射影平面上的任意一条直线和一点，不存在与该直线不相交且经过该点的直线。
这些公理构成了射影几何的基础，它们被用来定义射影空间中的几何对象和关系，以及进行推理和证明。
射影几何在计算机视觉、计算机图形学、无线通信等领域有着广泛的应用。
射影定理证明方法
射影定理证明方法1. 射影定理的定义射影定理是一个在几何学中的定理，它表明，如果将一个平面上的图形投射到另一个平面上，则投射图形的面积与原图形的面积相等。
射影定理也可以用来证明两个图形的面积是相等的，只要将其中一个图形投射到另一个图形上，并且保持其形状不变。
2. 射影定理的证明方法射影定理是指，如果两个平面相交，则它们的交线就是它们的射影。
射影定理的证明方法可以分为以下几步：1. 将两个平面投影到一个新的平面上，使得它们的法向量垂直。
2. 将投影后的两个平面的交线投影到原来的两个平面上，使得它们的交线在两个平面上的投影重合。
3. 将投影后的两个平面的交线投影到原来的两个平面上，使得它们的法向量垂直。
4. 证明原来的两个平面的交线就是它们的射影。
5. 将投影后的两个平面的交线投影到原来的两个平面上，使得它们的法向量垂直。
6. 证明原来的两个平面的交线就是它们的射影。
7. 将投影后的两个平面的交线投影到原来的两个平面上，使得它们的法向量垂直。
8. 证明原来的两个平面的交线就是它们的射影。
9. 将投影后的两个平面的交线投影到原来的两个平面上，使得它们的法向量垂直。
10. 证明原来的两个平面的交线就是它们的射影。
3. 射影定理的应用射影定理的应用包括几何学、物理学和工程学等多个领域。
在几何学中，射影定理可以用来求解平面几何图形的形状和位置，以及投影变换的参数。
在物理学中，射影定理可以用来求解光线的反射和折射，以及粒子在电磁场中的行为。
在工程学中，射影定理可以用来计算物体在不同视角下的投影，以及实现三维物体的投影变换。
4. 射影定理的定理证明：4. 射影定理的定理证明设置三角形ABC，以AD为边，延长AD至F，使得∠FAD=∠BAC，令E为AF与BC的交点，则有：（1）∠AED=∠BAC；（2）AD=AE；（3）AE=EC；（4）AF=FC。
由（1），（2），（3），（4）可知，AD是AE、EC、FC的公切线，即AE∥FC，证毕。
组合数学讲义(南基洙 大连理工大学应用数学系)
相传在四千多年前的中国,大禹为了治理好滔天的洪水,领导人民日夜奔忙,三过家门而不入.在大禹 治好那汹涌澎湃的洪水之后,就有一龙马自河中跃出,献给大禹一幅河图,另外在洛河里也有一神龟背驮了 洛书献给大禹.据传这两部书都包含了治国安邦、平治天下的大道理.以至于在《论语》中,圣人孔子因为 当时的世风日下,人心不古,而感叹“河不出图”.
在中国古代,由于 3 阶幻方中配置的 9 个数是如此的均衡和完美,它产生了极大的美学冲击,以至使我 们的先人认为其中包含了某种至高无上的真理.如我们的先人把 3 阶幻方和“九宫说”等同起来、把 3 阶 幻方用来占卜吉凶,以及把它视为举行国事大典的建筑格局等等.自从幻方从中国传到世界其他地区之后, 引起了人们的广泛兴趣和重视,一代又一代的学者对它进行了不懈的研究,取得了非常丰富的成果,有关的 文献资料不胜枚举---“单单是关于幻方的著作就足够办一个规模可观的图书馆了”(J.R.Newman).虽然 关于幻方的研究开展的很早,但是目前还没有一般的普遍适用的方法.有些想知道的结论也不是十分清楚,
如 n 阶幻方的个数等.在此我们仅就幻方的构造问题作一简单的介绍.
容易验证下面的图构成 4 阶幻方
16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
注记,在上图中将对角线及斜对角线上的数字对称换位后,我们可以得到按顺序添成的下面图:
- 2-
1234 5678 9 10 11 12 13 14 15 16
注记：在上图中将主对角线及斜对角线上的元素对称换位,短线上的元素逆时针方向移动 8 个格,则可 以得到按数字顺序添画的图:
12345678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
中考射影定理及其运用
中考射影定理及其运用射影定理（Projection Theorem）是解析几何中一个重要的定理，在中考中也经常会涉及到，下面将对射影定理以及其运用进行详细讲解。
射影定理是解析几何中的一个基本定理，它主要用来解决平面几何中的一些问题。
它的核心思想是将平面上的一个点，通过一个平行于另一个平面的直线（即射影线）投影到另一个平面上，找到被投影点在另一个平面上的对应点。
射影定理的表述如下：对于空间中的直线l和平面P，如果直线l与平面P平行，那么空间中任一点A与平面P所成的投影点B，都在直线l 上。
根据射影定理可以得到一个重要的结论：两个平行的平面在任意一条和它们平行的射影线上的投影点两两共线。
射影定理在中考中的运用主要有以下几个方面：1.证明直线与平面平行：通过使用射影定理，可以证明一个直线与一个平面平行。
具体方法是，通过给定的直线和平面，取直线上任意一点作为A点，求A点在平面上的投影点B，然后通过连接AB，再连接B点与平面外的任一点C，如果BC与给定的直线平行，则可证明该直线与平面平行。
2.求平面上的点关于另一平面的投影点：已知平面上的一个点A和一个平面P，直线l与平面P平行，要求点A关于平面P的投影点B。
通过连接A和l的交点C，然后连接B与C点，连接AC与PB的交点D，可以得到点A关于平面P的投影点B。
3.空间中的图形投影：对于空间中的一个几何图形，可以通过射影定理将其投影到另一个平面上，从而得到一个相似的平面图形。
这在中考中经常会遇到，通常要求学生在解题时利用射影定理将一个空间中的几何图形投影到平面上，进行计算。
需要注意的是，射影定理虽然在解析几何中十分有用，但在一些实际问题中的应用却是具有一定的局限性的。
因为射影定理只在平行的直线和平面之间才成立。
总结起来，射影定理作为解析几何中的重要定理，在中考中经常会涉及到。
通过深入理解其定义与应用，加强练习，掌握其运用方法，能够在中考中取得较好的成绩。
射影定理立体几何
射影定理立体几何射影定理是立体几何中非常重要的定理之一，它在许多问题的解决中起着关键的作用。
本文将介绍射影定理的概念、应用和证明过程。
射影定理是指：在平行于某一平面的平面上，被这个平面所截的直线的射影线段互相相等。
也就是说，如果一条直线与平面相交，它在这个平面上的两个截点到射影平面上的两个射影点的距离相等。
射影定理是由古希腊数学家欧几里得最早提出的。
射影定理在几何学中的应用非常广泛。
例如，在计算空间中两条直线之间的夹角时，可以利用射影定理将直线投影到一个平行于另一条直线的平面，然后计算投影线段的夹角。
此外，在解决立体几何问题中，常常需要利用射影定理来分析和推导各种关系。
下面，我们来证明射影定理。
假设有一条直线AB与平面CD相交，BC平行于平面CD。
取点E、F分别在直线AB上，使得AE=BF。
现要证明CE=DF。
首先，连接CF和DE，并设它们的交点为G。
由于BC平行于平面CD，所以CE平行于平面BCD。
而根据射影定理，射影线段CG与DE相等。
所以CG=DE。
同样的，根据射影定理，射影线段CG与CF相等。
所以CG=CF。
另一方面，由于AE=BF，所以射影线段AG与BF相等。
根据射影定理，射影线段AG与EF相等。
所以AG=EF。
由于CG=CF，而CG=DE，所以DE=CF。
又由于AG=EF，所以CE=DF。
因此，我们证明了射影定理。
通过射影定理，我们可以更方便地解决一些立体几何问题。
例如，在平行四边形中，如果一对对角线互相平行，则这个平行四边形是一个梯形。
利用射影定理，我们可以证明对角线的交点到平行边的距离相等，从而推导出对角线平行的结论。
总而言之，射影定理在立体几何中有着广泛的应用。
它的概念简单易懂，应用广泛且实用。
通过射影定理，我们可以更加方便地解决各种立体几何问题，推导和证明各种几何关系，为我们的几何学习和研究提供了一个重要的工具。
射影定理是立体几何中不可或缺的一环，我们应该充分理解其概念，掌握其应用，以提升我们的数学水平。
高等几何复习
［课外训练方案］部分第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念：射影直线与射影平面；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素基本定理：德萨格定理：如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。
德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共占八、、对偶原理：在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。
二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P一，平面内原有的点叫做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，弓I 入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为I::，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题：1、求直线x -1 = 0与直线x - 3y • 4 = 0上无穷远点的齐次坐标解：（1）直线x-1 =0即x =1它与y轴平行所以位y轴上的无穷远点（0,1,0）1 4 1（2）由直线x-3y，4=0 得y x •—故无穷远点为（1厂,0）或（3, 1, 0）3 3 32、求证：两直线为• x2 - x3 = 0 和2x.^ - x2 2x3 = 0 的交点C与两点A（ 3 , 1, E2 ） , （三点共线X x,屜 - x3 = 0证明：解方程组：的交点C（1,-4,-3）、2为-x2 +2x3 =01-4 —3因为行列式 3 1 2 =0 所以三点共线2 5 53、试证：两共轭复点的连线是一实直线证明.设a=(u1,u2, u3),与a =(u-\, u2,u3)是共轭复点，两点连线为丨由定理a在丨上,a在丨上，又a在丨上，所以a的共轭a也在直线丨上丨与丨重合，故叭巴旦.出卫=巨)q u2u3u2u2u2而两点确定一条直线所以，土二虫=(出)即u1与u1都为实数U3 U3 U3 U2 U3所以U i ： U2 ： U3与一组实数成比例，即直线为实直线。
射影平面
例6. 求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分线方程. 解. 设内外角平分线方程为
l1 l2 12 1
2
l1 : y 1 x 0 l2 : y 2 x 0
利用上题可得
12 x (1 2 ) xy y 0
2
x2 (1 2 ) xy y 2 0
r r (14,32) 由题设 r r 2 2r r 1 r 1 (13, 24) 1 r 1. r2 r0
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i=1,2. 1 i P 2. 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有 1 3. 同理, 对于i=2, 可求得 2 3. 于是，
AO GB AH OB GO AB OH AB GO OB AO OH 所以 GO OH GB AH . GO OH OB AO GO OH . GO OH
注：同理可证，G'O=OH'.
§ 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性
一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4. 分析：利用推论1, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的 交点即为P4. 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2. (2). 过P3作直线分别交AP1, AP2于B, D.
点在平面内的射影
设 SB = a,在 R t△SBM 中 , SM = 2a, 2
在 R t△SB C中 , SC = 3a,
在 R t△SCM 中 , tan∠SCM
= SM SC
=
66.
甘肃省临泽一中 ( 734200)
● 张 波
线线角与线面角的求解方法
一 、异面直线所成的角
异面直线所成的角一般是按定义作出异面
·3·
数理化学习 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ高中版 )
在 R t△PAO 中 ,
PO = PA2 - AO2 = 3 3. 2
例 2 如图 3, 正方体 AB CD —A1 B 1 C1 D1 中 , 若 E, F分别为棱 AB , C1 D1 的 中点 , 求直线 A1B 1 与平面 A1 ECF 所 成 的 角 的 余 弦 值.
直线所成的角 ,然后通过解三角形来求角. 求异
面直线所成的角常先作出所成角的平面图形 ,
作法有 : ①平移法 : 在异面直线中的一条直线
上选择“特殊点 ”, 作另一条直线的平行线 , 常
利用中位线 ; ②补形法 : 把空间图形补成熟悉
的几何体 , 其目的在于容易发现两条异面直线
间的关系. 要特别注意异面直线所成的角的范
化到一个三角形内.
·4·
例 5 如图 4,由点 S
引三条射线 SA、SB、SC,
已知 ∠ASB
=
θ 1
,
∠B SC
=θ2 , ∠ASC =θ(都是锐
角 ) , 且 co sθ1 co sθ2 =
co sθ,求证平面 ASB ⊥平
面 B SC.
证明 :取 SA上一点 P (异于 S ) ,作 PQ ⊥SB
于 Q, QR ⊥ SC于 R,连 PR.
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1、 有限射影平面
2、
我们先看一个有趣的问题：有一位好客的女主人打算邀请7位朋友来家里聚会,每
次聚会她只想邀请3位宾客,但是她希望其中的任何两位朋友都恰好在一次聚会上见面,
那么她应该怎样安排呢？这样的安排是否存在?
我们简单试一下就会发现,任何两次聚会中必须有一位相同的朋友被邀请到.
换句话说,如果第一次邀请A、B、C,第二次邀请D、E、F,这样安排是行不通的.下面我
们给出一种可行的安排方案：
第一次邀请A、B、C；第二次,邀请A、D、E；第三次,邀请A、F、G；第四次,
邀请B、D、F；第五次,邀请B、E、G；第六次,邀请C、D、G；第七次,邀请C、E、F.我
们可以用下面的一个图形来表示这个邀请方案:
上面的图形是非常有名的！它是由数学家G.Fano在1892年提出的,实际上,它就是
定义在二元域上的二阶射影平面PG（2,2）.
射影几何的研究始自法国数学家G.Desargues的1639年的著作,但是在当时并
没有引起人们的重视.一直到两个世纪后,由于法国著名数学家J.V.Poncelet著作(1822)
的发表,射影几何才开始受到数学界的重视,更使其成为19世纪几何学研究的重点.射影
几何学在古典几何学中是最基础的、最广泛的而且是最自由的.它是公理化数学的典型
之一例,也可以说它是现代数学的先驱.
定义 射影平面（P,L）是由点集合P和线集合L构成的,它是满足下面条件的
平面
1、任意两个点决定一条直线,每条直线上至少有两个点；
2、任意两条直线都相交；
3、存在4点集,使其中的任意三个点不在一条直线上.
注意,定义中的条件3是为了排除射影平面只有一条直线的平凡情形的.
定理4.1 设（P,L）为射影平面,其中点集合P含v个点,线集合L有b条线,则存在
一整数2k,使12kkbv,而且每条直线上有1k个点,过每个点有1k条线.
我们称上述定理中的k为射影平面（P,L）的阶数.在有限射影几何中一个非常重要的核
心问题是：对给定的自然数k,k阶射影平面是否存在？如果存在,则有几种类型？
定理4.2 2阶射影平面是唯一的.
证明 由于是2阶射影平面,所以只能有7个点,不妨设点集合为{0,1,2,3,4,5,6}.
因为过点1有三条直线,不妨设它们为{1,2,4},{1,3,0},{1,6,5}.又过点2也有三条直
线,而其中的一条已为{1,2,4},所以另外的两条直线可设为{2,3,5}和{2,0,6}.由射影
平面的定义,点4和点0应该决定一条直线,而且其上的另外一点为点5.同理,点3和点
4也决定一条直线,其上的另外一点为点6.则其决定的射影平面如图示：
我们很容易验证,上图与前面的Fano图形是一致的,即2阶射影平面唯一.
下面我们再给出3阶射影平面的图示:
其中13条直线分别为{1,2,3,11},{4,5,6,11},{7,8,9,11},{1,4,7,13},{2,5,
8,13},{3,6,9,13},{1,5,9,12},{2,6,7,12},{3,4,8,12},{1,6,8,10},{2,4,9,
10},{3,5,7,10}, {10,11,12,13}.
定理4.3 如果给定的自然数npk，p为素数,则k阶射影平面存在.
证明的方法是利用有限域上的线性空间去构造k阶射影平面.我们在后面的章节会
给出详细的证明.
通过上述的定理,我们知道2,3,4,5,7,8,9阶射影平面是存在的,而且进一步知
道,2,3,4,5,7,8阶射影平面是唯一的,9阶射影平面至少有4种.6阶射影平面不存
在.1991年加拿大的林永康（Clement Lam）教授研究小组,利用计算机证明了不存在
10阶射影平面,但是严格的数学逻辑证明目前还没有.至于其它阶数的射影平面是否存
在,目前还不知到.