两角和与差的余弦公式的推导
两角和与差的正、余弦公式的一些推导方法
作 出角 的
， 曰 － ＃ ，贝 ０ Ｃ Ｏ Ｓ（ Ａ＋ 曰） 一
令 Ａ
。
ｃ Ｏ Ｓ Ａ Ｃ Ｏ Ｓ Ｂ－ Ｓ ｉ ｎ Ａ ｓ ｉ ｎ Ｂ．
正 弦 线和 余
ｆ
从而得到两角和的余弦公 式．
点评 ： 此方法是将终边与单位圆的交
弦 线 ，过 点
角坐标 系 ｘ Ｏ ｙ内 作 单 位 圆 Ｏ， 并 作 出角 ， 卢与 ，使 角 的始边为 ，
、
两 点 间距 离 法
展 开 并 整 理 ， 得 ２ － ２ ｃ ｏ ｓ ａ ＝２ — ２ ［ ｃ ｏ ｓ （ ） ｃ ｏ ｓ ＃ 一 ｓ ｉ ｎ （ ａ － ＃） ｓ ｉ ｒ ｖ ９ ］ 所以Ｃ Ｏ Ｓ ｏ ￣ ＝Ｃ Ｏ Ｓ （ ａ － ＃） ｃ ｏ ｓ ８ 一 ｓ ｉ ｎ （ ￣ － ＃）
） ＝ｃ ｏ ｓ ￣ ｃ ｏ ｓ ＃ ＋ ｓ ｉ ｎ ￣ ｓ ｉ ． 这种 方法 体
ｓ ｉ ｎ （ — ） 一Ｐ １ Ｐ ２ ＝ＭＰ ｚ 一鹏
＝ＭＰ ｚ 一
由Ｐ １ Ｐ ３ ＝
［ ｃ ｏ ｓ （
＝
及两点 间距离公式 ， 得
）
ｓ １ ｎ Ｂ 且 ＝ 一 ＋ ２ Ｊ ｝ 叮 ｒ ， ｋ∈ ， 得 到 Ｃ Ｏ Ｓ
点Ｐ ３ ， 另角 的始边 为 ０ ／ ＇ ｉ ， 终边交 （ ＤＯ 为Ⅳ ．
于点 Ｐ ４ ，这 时 点 Ｐ ｌ 、 Ｐ ２ 、 Ｐ ３ 、 Ｐ ４ 的 坐 标 分 别
是
０ Ａ ＝ ｃ ｏ ｓ ＃， Ａ Ｐ ２ ＝ ｓ ｉ ｎ ８ ，并且 厶４ Ｐ ２ Ⅳ＝
Ｐ Ｉ Ｏｘ ．
） ＝Ｏ Ａ ＝Ｏ Ｎ＋ Ｎ Ａ＝
角差的余弦公式的方法 ，利用 ｒ・
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式下面我们将分别介绍两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
1.正弦的两角和与差公式：设角A和角B的正弦值分别为sinA和sinB，那么有：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBsin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB证明：我们考虑一个单位圆（半径为1），圆心为O，且角A对应的弧与x 轴的交点为点P，角B对应的弧与x轴的交点为点Q。
根据单位圆上的点的坐标表示，我们有：点P的坐标为(cosA, sinA)点Q的坐标为(cosB, sinB)以O为起点，连接OP和OQ，将其延长到圆的边缘，分别交于点M和点N。
由于所有的角度都是以弧度来表示的，因此我们可以使用三角函数的定义来表示OP和OQ的长度。
通过定义我们有：sinA = PMcosA = OMsinB = QNcosB = ON现在我们来计算sin(A + B)。
根据三角形的正弦定理，我们可以得到：sin(A + B) = PN（即三角形OPN的高）通过几何推导我们可以发现，三角形OPN的底边的长度为cosB * cosA。
同样地，通过几何推导我们可以发现，三角形OPN的高为sinA * cosB + cosA * sinB。
因此，我们得到sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB。
同理，可以推导得到sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB。
2.余弦的两角和与差公式：设角A和角B的余弦值分别为cosA和cosB，那么有：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB证明：我们考虑一个单位圆（半径为1），圆心为O，且角A对应的弧与x 轴的交点为点P，角B对应的弧与x轴的交点为点Q。
根据单位圆上的点的坐标表示，我们有：点P的坐标为(cosA, sinA)点Q的坐标为(cosB, sinB)以O为起点，连接OP和OQ，将其延长到圆的边缘，分别交于点M和点N。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的倍角公式指出，对于任意角度α， sin(2α)、cos(2α)和tan(2α)的值可以通过
sin(α)、cos(α)、tan(α)的函数关系来表达。 利用这个公式，我们可以推导出两角和与差
总结词
通过三角函数的减法定理，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的减法定理指出，对于任意角度α、 β，sin(α-β)、cos(α-β)和tan(α-β)的值可 以通过sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)、 tan(α)和tan(β)的函数关系来表达。利用这 个定理，我们可以推导出两角和与差的正弦、 余弦和正切公式。
地理学问题
在地理学中，很多问题涉及到地 球的自转、公转等角度计算，如 时差、太阳高度角等，利用三角 函数公式可以方便地计算。
经济学问题
在经济学中，很多问题涉及到利 率、汇率等与角度相关的问题， 利用三角函数公式可以方便地描 述这些变化规律。
04
三角函数公式的扩展
利用三角函数的和差化积公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式，可以将两角和与差的 正弦、余弦和正切公式进行扩展，得到更一般化的公 式形式。
详细描述
三角函数的积化和差公式可以将两个角度的正弦或余 弦的乘积转化为其他角度的正弦、余弦和正切的和或 差的形式，从而扩展了原有的公式。例如，利用积化 和差公式，可以将两角和的余弦表示为单个角度余弦 的函数，进一步推导得到更一般化的公式。
VS
详细描述
两角和差公式的推导
两角和差公式的推导咱们来聊聊两角和差公式的推导哈。
两角和差公式，这可是三角函数中的重要宝贝。
那咱就先从最基础的开始说起。
大家想想，在一个三角形里，如果知道了两个角的大小，那第三个角是不是就能算出来啦？这就像是玩拼图，知道了其中两块的形状，第三块自然就清晰啦。
比如说，在一个直角三角形中，我们知道一个锐角是 30 度，直角是 90 度，那另一个锐角不就是 60 度嘛。
咱们先来说说两角和的余弦公式：cos（α + β）。
有一次，我在给学生讲这个的时候，就想到了一个有趣的例子。
我带了一个可以转动的圆盘到课堂上，圆盘上画了角度。
我让一个同学上来转动圆盘，先转到一个角度α，再接着转到角度β。
然后我就问大家，那从最初的位置到最终的位置，这个角度的变化对应的余弦值应该怎么算呢？同学们一开始都有点懵，但是慢慢地就开始思考，讨论起来。
咱们来正经推导一下哈。
假设单位圆上有两个点 A（cosα，sinα）和 B（cosβ，sinβ），那向量 OA 和向量 OB 的坐标就分别是（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ）。
向量的点乘大家还记得不？向量 OA·向量 OB = |OA|×|OB|×cos（α - β）。
因为单位圆上，|OA| = |OB| = 1，所以向量 OA·向量 OB = cos（α - β）。
又因为向量 OA·向量OB = cosα×cosβ + sinα×sinβ，所以就得到了cos（α - β）= cosα×cosβ + sinα×sinβ。
同样的道理，咱们可以推导出两角和的正弦公式：sin（α + β） =sinα×cosβ + cosα×sinβ。
再来说说两角差的公式，其实就是把两角和的公式中的β换成 -β 就行啦。
cos（α - β）= cosα×cos（-β）+ sinα×sin（-β），因为 cos（-β） = cosβ，sin（-β） = -sinβ，所以就得到了 cos（α - β）= cosα×cosβ -sinα×sinβ。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式两角和的公式可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)两角差的公式可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以通过三角函数的定义及相关几何知识进行推导。
我们以sin(A + B)的公式为例进行推导。
设点P(x, y)在单位圆上，与x轴正半轴的夹角为A + B。
则点P的坐标为(x, y) = (cos(A + B), sin(A + B))。
根据三角函数的定义可知：x = cos(A + B)y = sin(A + B)在单位圆上再取点Q(x', y')，与x轴正半轴的夹角为A，点Q的坐标为(x', y') = (cosA, sinA)。
同理再取点R(x'', y'')，与x轴正半轴的夹角为B，点R的坐标为(x'', y'') = (cosB, sinB)。
由于圆上任意两点间的距离为1，因此PQ与PR的长度均为1，可以分别表示为：PQ = sqrt((x - x')^2 + (y - y')^2)PR = sqrt((x - x'')^2 + (y - y'')^2)同时利用勾股定理可知：PQ^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2PR^2 = (x - x'')^2 + (y - y'')^2 = (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2将上述两个式子相加得：PQ^2 + PR^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2 + (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2展开计算可得：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B) * cosA + sin(A + B) * sinA - cos(A + B) * cosB - sin(A + B) * sinB)利用三角函数的和角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) + sinA * sin(A + B) - cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))= 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) - sinA * sin(A + B) + cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))利用余弦函数的差角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B - A) + cos(A + B + A) - cos(B - A) - cos(B + A))= 2 + 2 * (cosA + cos(B + A) - cos(B - A) - cosA)= 2 + 2 * (cosA + cosB * cosA - sinB * sinA - cosB * cosA + sinB * sinA)= 2 + 2 * cosA因此，PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * cosA。
两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式余弦公式是用来计算三角形中一个角的余弦值的公式。
它通常用于计算三角形的边长或角度。
余弦公式有两种形式，分别对应两角和与差：1.两角和的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。
假设我们要计算角C的余弦值。
根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)2.两角差的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。
假设我们要计算角C与角A的差的余弦值。
根据余弦定理，有以下公式：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)这两个公式可以用来计算三角形中的角度，也可以用来计算边长。
下面我们通过一些例子来说明如何应用这两个公式。
例1：已知三角形ABC，边长分别为AB=5，BC=7，AC=8、计算角C的余弦值。
解：根据余弦公式，我们需要先计算出角A和角B的余弦值，然后代入两角和的余弦公式中。
根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)代入具体数值，得到：cos(C) = (5^2 + 8^2 - 7^2) / (2 * 5 * 8)=(25+64-49)/80=40/80=0.5所以角C的余弦值为0.5例2：已知三角形ABC，边长分别为AB=4，AC=5，BC=6、计算角C与角A的差的余弦值。
解：根据余弦定理，我们需要先计算出角C和角A的余弦值，然后代入两角差的余弦公式中。
使用余弦定理计算角C的余弦值：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)=(4^2+5^2-6^2)/(2*4*5)=(16+25-36)/40=5/40=0.125使用余弦定理计算角A的余弦值：cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)=(6^2+5^2-4^2)/(2*6*5)=(36+25-16)/60=45/60=0.75代入两角差的余弦公式，得到：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)= (0.125)(0.75) + (sqrt(1 - 0.125^2))(sqrt(1 - 0.75^2))综上所述，这就是两角和与差的余弦公式的用法。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式首先，让我们从两角和的正弦公式开始推导。
假设有两个角A和B，那么它们的和角可以表示为A+B。
根据三角函数的定义，正弦函数的定义式为：sin(x) = 对边 / 斜边我们可以将角A和B的对边和斜边代入这个公式中，得到：sin(A + B) = (sin(A) * 斜边A + sin(B) * 斜边B) / 总斜边这个公式告诉我们，两个角的正弦之和等于各自正弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。
另外，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：sin(A + B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)接下来，让我们推导两角和的余弦公式。
余弦函数的定义式为：cos(x) = 临边 / 斜边同样地，根据这个定义式，我们可以得出两角和的余弦公式：cos(A + B) = (cos(A) * 斜边A + cos(B) * 斜边B) / 总斜边这个公式告诉我们，两个角的余弦之和等于各自余弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。
同样地，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：cos(A + B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)最后，让我们推导两角和的正切公式。
正切函数的定义式为：tan(x) = 对边 / 临边我们可以将角A和B的对边和临边代入这个公式中，得到：tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这个公式告诉我们，两个角的正切之和等于各自正切的和再除以1减去各自正切的乘积。
总结一下，两角和与差的正弦、余弦、正切公式如下：sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这些公式在解决三角函数运算、证明恒等式和简化复杂的三角函数表达式等方面都非常有用。
§3.1.1 两角和与差的余弦公式
第三章三角恒等变换 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 §3.1.1两角和与差的余弦公式 【学习目标、细解考纲】 1、 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系； 2、 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用； 3、 能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形。 【知识梳理、双基再现】
1、_______;____________________)cos(_______;____________________)cos( 【小试身手、轻松过关】 1．________15cos ; _________105cos。
2、__;__________1211cos.________________)1217cos(
.______________)cos(____,__________)cos(),2,0(,53cos),,2(,1715sin3那么、
4．已知)23,(,1312cos，那么.____________)4cos(的值等于 【基础训练、锋芒初显】 5、)cos(),cos(),23,(,43cos),,2(,32sin求已知
6、在,coscossinsinBABAABC中，若则ABC是（） A、锐角三角形B、钝角三角形 C、直角三角形D、不确定
7、cos,1715)3cos(为钝角，求已知 8、ABC中，sinA=,53cosB=135,求cosC的值。 【举一反三、能力拓展】 9、8sin15sin7cos8sin15cos7sin
10、（2004全国）设()4cos(2,53sin),2,0(则若） A、57B、51 C、57 D、－51
两角和与差的正余弦公式应用辅助角公式
举例说明：利用两角和与差的正余 弦公式和辅助角公式，可以化简复 杂的三角函数式，进而求出最值。
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结合应用举例：求三角函数的最值、 化简三角函数式等。
结合应用举例：在物理、工程等领域 中，可以利用两角和与差的正余弦公 式与辅助角公式的结合应用，解决一 些实际问题。
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公式推导：通过两角和与差的正余弦公式推导出辅助角公式 角度范围：确定两角和与差的正余弦公式和辅助角公式的适用角度范围 实例解析：结合具体实例，展示如何应用两角和与差的正余弦公式与辅助角公式解决实际问题 注意事项：强调在应用过程中需要注意的事项，如公式的适用条件、计算精度等
两角和与差的正余弦公式与辅助角 公式的结合应用，可以解决一些三 角函数问题。
注意事项：使用公 式时需要注意角度 的范围和特殊情况 的处理
公式形式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny 应用场景：解决三角函数问题，如求角度、求长度等
辅助角公式：将两角和与差的正弦公式中的x和y视为辅助角，可以简化计算过程
证明方法：利用三角函数的加法定理进行证明
三角函数图像的变换 求解最值问题 解决周期和对称性问题处理切线问题
公式形式：asinx+bcosx=sqrt(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中φ为辅助角 应用举例：求函数y=sinx+cosx的值域 应用举例：求函数y=sin2x+cos2x的最小正周期 应用举例：求函数y=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的最大值
两角和与差的正余 弦公式与辅助角公 式的结合应用
两角和与差的正弦余弦和正切公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式1.两角和的正弦公式：sin(a+b) = sinacosb + cosasinb这个公式表示两个角的正弦之和等于前者的正弦与后者的余弦之积加上前者的余弦与后者的正弦之积。
证明：根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：sin(a+b) = sin[(a)+(b)]= sin[(a)cos(b) + (b)cos(a)]= sin[(a)cos(b)] + sin[(b)cos(a)]= sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)这就是两角和的正弦公式。
2.两角和的余弦公式：cos(a+b) = cosacosb - sinasinb这个公式表示两个角的余弦之和等于前者的余弦与后者的余弦之积减去前者的正弦与后者的正弦之积。
证明：同样，根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：cos(a+b) = cos[(a)+(b)]= cos[(a)cos(b) - (b)sin(a)]= cos[(a)cos(b)] - sin[(a)sin(b)]= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)这就是两角和的余弦公式。
3.两角和的正切公式：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这个公式表示两个角的正切之和等于两角的正切之和除以1减去两角的正切之积。
证明：我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来推导两角和的正切公式。
首先，根据正切的定义tan(a+b) = sin(a+b) / cos(a+b)然后，代入两角和的正弦公式和余弦公式的表达式，我们有：tan(a+b) = (sinacosb + cosasinb) / (cosacosb - sinasinb)接下来，我们对分子和分母同时除以cosacosb，得到：tan(a+b) = (sin(a) + tana) / (1 - sin(a)tanb)最后，再将分子中的sin(a)替换为sin(a)/cosa，我们可以得到：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这就是两角和的正切公式。
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两角和与差的余弦公式的推导
余弦公式是三角形中的一项基本公式，用于计算三边长度和夹角的关系。
两角和与差的余弦公式是在余弦公式的基础上，推导出两个角度和的
余弦公式和两个角度差的余弦公式。
设三角形的边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。
1.推导两角和的余弦公式
首先，根据余弦定理，我们有以下关系式：
a² = b² + c² - 2bc cosA
b² = a² + c² - 2ac cosB
c² = a² + b² - 2ab cosC
现在我们考虑求解cos(A+B)的值。
根据三角函数的和差化积公式，
我们有：
cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB
首先，我们考虑cosA*cosB的项。
将上述余弦定理的第一个式子代入，我们有：
cosA*cosB = [b² + c² - a²]/[2bc] * [a² + c² - b²]/[2ac]
= (b² + c² - a²)(a² + c² - b²) / (4abc²)
接下来，我们考虑sinA*sinB的项。
由正弦定理可得：
sinA = a sinC / c
sinB = b sinC / c
sinA*sinB = (a sinC / c) * (b sinC / c)
= (a b sin²C) / c²
将上述两个项代入cos(A+B)的式子中，我们有：
cos(A+B) = (b² + c² - a²)(a² + c² - b²) / (4abc²) - (a b sin²C) / c²
整理上述式子，可以得到两角和的余弦公式：
cos(A+B) = (b² + c² - a²)(a² + c² - b²) - a² b² sin²C / c²) / (4abc²)
2.推导两角差的余弦公式
同样地，根据三角函数的和差化积公式，我们有：
cos(A-B) = cosA cos(-B) - sinA sin(-B)
由于sin(-B) = -sinB
cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB
利用余弦定理，我们可以将cosA和cosB表示为：
cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)
cosB = (c² + a² - b²) / (2ac)
将上述两个项代入cos(A-B)的式子中，我们有：
cos(A-B) = [(b² + c² - a²) / (2bc)] * [(c² + a² - b²) /
(2ac)] + [(a sinC / c) * (b sinC / c)]
= [(b² + c² - a²)(c² + a² - b²) + ab sin²C] / (2abc²)
整理上述式子，可以得到两角差的余弦公式：
cos(A-B) = [(b² + c² - a²)(c² + a² - b²) + ab sin²C] /
(2abc²)
通过上述推导，我们得到了两角和与差的余弦公式。
这些公式在解三角形问题时非常有用，可以通过已知的边和角，求解未知的边和角。