概率练习题答案

一、选择题

1．设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ A ） A ．0)|(=B A P B ．P （B |A ）=0 C ．P （AB ）=0

D ．P （A ∪B ）=1

2．设A ，B 为两个随机事件，且P （AB ）>0，则P （A|AB ）=（ D ） A ．P （A ） B ．P （AB ） C ．P （A|B ）

D ．1

3．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（ D ）

A ．601

B ．457

C ．

5

1 D ．

15

7 4.若A 与B 互为对立事件，则下式成立的是（ C ） （A ?B ）=Ω （AB ）=P （A ）P （B ） （A ）=1-P （B ）

（AB ）=φ

5.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（ C ） A.8

1 B.41

C.8

3

D.

2

1 6.设A ，B 为两事件，已知P （A ）=31，P （A|B ）=32，53

)A |B (P =，则P （B ）=（ A ）

A. 51

B. 52

C.

5

3 D.

5

4 7.设随机变量X

则k=

设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B ,

C 都不发生”可表示为（ A ）

A ．C

B A B ．

C B A C ．C B A

D ．C B A

9．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5

1, P (B )=53

, 则P (A ∪B )= ( B )

A ．253

B ．2517

C ．5

4 D ．

25

23

10．下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（ A ） A ．???<<=其他,0;

10,2)(x x x f

B ．?????<<=其他,0;

10,21

)(x x f

C ．?

??-<<=其他,1;

10,3)(2x x x f

D ．?

??<<-=其他,0;

11,4)(3x x x f

11．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为?????<≥=,100,0;

100,100

)(2x x x x f 任取

一只电子元件，则它的使用寿命在150小时以内的概率为（ B ）

A ．41

B ．31

C ．

2

1 D ．

3

2 12．下列各表中可作为某随机变量分布律的是（ C ） A ． B ．

C ．

D ．

13.设随机变量X 的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X 的分布函数，则对任意的实数a ，有（ B ） (-a)=1-?

a

0dx

)x (f

(-a)=

?

-a

dx )x (f 21 (-a)=F(a) (-a)=2F(a)-1

14．设随机变量X ~B (3, , 则P {

X ≥1}= ( C ) A ．

B ．

C ．

D ．

15．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C )

A ．

B ．

C ．

D ． 16．设随机变量X 的概率密度为4

)3(2

e

2

π21)(+-=

x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( B )

A ．2,3-

B ．-3, 2

C ．2,

3

D ．3, 2

17．设随机变量X 在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2

D ．P{

???≤>,

1,0;1,

2

x x x c 则常数c 等于（ D ）

A ．-1

B ．2

1- C ．2

1 D ．1

19．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（ A ） A ．E （X ）=，D （X ）= B ．E （X ）=2，D （X ）=2 C ．E （X ）=，D （X ）=

D ．

E （X ）=2，D （X ）=4

20．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31

），且X ，Y 相互独立，

则D （X-3Y-4）=（ C ） A ．-13 B ．15 C ．19 D ．23

21.设随机变量X 具有分布P{X=k}=5

1

,k=1，2，3，4，5，则E （X ）=（ B ）

22．设随机变量X 的概率密度为?????<≥=,x ,;x ,ce f(x)x -0005

则常数c 等于（ B ）

A ．-

5

1

B ．

5

1 C ．1 D ．5

23．已知随机变量X 的分布律为

，且E (X )=1，则常数x =

（ B ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

24.设x 1，x 2，…，x 5是来自正态总体N （2,σμ）的样本，其样本均值和样本方差分别为∑

==

5

1

i i x 5

1x 和25

1

i i

2

)x x

(41

s ∑=-=

，则

s

)

x (5μ-服从（ A ） (4) (5) C.)4(2χ

D. )5(2χ

25.设总体X~N （2

,σμ），2

σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--=

n

1

i 2i

2

)x x

(1

n 1

s ，检验假

设H 0∶2σ=2

0σ时采用的统计量是（ C ）

A.)1n (t ~n

/s x t -μ-=

B. )n (t ~n

/s x t μ-=

C. )1n (~s )1n (22

2

2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22

2

2

χσ-=χ

26．设x 1,x 2，…，1n x 与y 1,y 2，…，2n y 分别是来自总体),(21σμN 与),(22σμN 的两个样本，它们相互独立，且x ，y 分别为两个样本的样本均值，则y x -所服从的分布为（ A ） A ．))1

1(,(22121σμμn n N +- B ．))1

1(,(22121σμμn n N -- C ．))1

1

(,(22

2

21

21σμμn n N +

- D ．))1

1

(

,(22

2

21

21σμμn n N -

-

27．设随机变量X ~2χ(2), Y ~2χ(3), 且X 与Y 相互独立, 则3

/2

/Y X ~ ( C ) A ．2χ (5)

B ．t (5)

C ．F (2,3)

D ．F (3,2)

28．在假设检验中, H 0为原假设, 则显著性水平α的意义是 ( A ) A ．P {拒绝H 0|H 0为真} B ．P {接受H 0|H 0为真} C ．P {接受H 0|H 0不真} D ．P {拒绝H 0|H 0不真}

29．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ C ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率

30．设总体X 服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x 1, x 2, …, x n 是来自该总体的样本，x

为样本均值，则θ的矩估计θ

?=（ B ） A ．x 2 B ．x C ．

2

x

D ．

x

21

二、填空题

1．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=，P （B ）=，则P （B A ?）=.

2．一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为_____18/35_____.

3．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为，，则飞机至少被击中一炮的概率为____07___.

4．设A 与B 是两个随机事件，已知P （A ）=，P （B ）=, P （A ?B ）=,则P (B A )=. 5．设事件A 与B 相互独立，且P （A ）=，P （B ）=，则P （A ?B ）=.

6．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=.

7.设P （A ）=,P （B ）=,P （A ?B ）=，则P （B A ）=.

8.设A ，B 相互独立且都不发生的概率为

9

1

，又A 发生而B 不发生的概率与B 发生而A 不发生的概率相等，则P （A ）=____2/3____.设随机变量X~B （1，）（二项分布），则X 的分布函数为__0 1_________.

10.设随机变量X 的概率密度为f(x)=?

??≤≤,,0,c x 0,x 242其他则常数c=.

11．设A , B 为随机事件, P (A )=, P (B |A )=, 则P (AB )=.

12．设随机事件A 与B 互不相容, P (A )=, P (A ∪B )=, 则P (B )=. 13．设A , B 互为对立事件, 且P (A )=, 则P (A B )=.

14．20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为.

15．设随机变量X~N （1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=，为使P{X

16．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X ，则P{X ≥1}=____31/32_______.

17．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P {}0=X =e -1

，则λ=____1_____.

18.设随机变量X 服从正态分布N （1，4），Φ(x )为标准正态分布函数,已知Φ(1)=,

Φ(2)=,则{}=<3X .

19．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布, 则P {X =2}=____9/2exp （-3）______.

20．设随机变量X ~N (0,42

), 且P {X ＞1}=, Φ (x )为标准正态分布函数, 则

Φ=.

21．设随机变量X 与Y 相互独立, X 在区间[0, 3]上服从均匀分布, Y 服从参数为4的指数

分布, 则D (X +Y )=__13/16_______.

22．设X 为随机变量, E (X +3)=5, D (2X )=4, 则E (X 2

)=___5_____.

23.若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且P{2≤X ≤4}=, 则P{X ≤0}=. 24.设随机变量X ，Y 相互独立，且P{X ≤1}=21，P{Y ≤1}=3

1

，则P{X ≤1,Y ≤1}=__1/6_________.

25.设随机变量X 服从正态分布N （2，4），Y 服从均匀分布U （3，5），则E （2X-3Y ）= _-8_____. 26.在假设检验中，在原假设H 0不成立的情况下，样本值未落入拒绝域W ，从而接受H 0，称这种错误为第_____二____类错误.

27.设随机变量X ～B (4,

3

2

),则P {}1

????≥<<-+-≤,6,

166,126

;6,

0x X x x ;

则当-6

29.设随机变量X 的分布律为Y =X 2

，记随机

变量Y

的分布函数为F Y （y ），则Y （3）=_________________.

30．已知随机变量X 的分布律为则

{}=<)(X E X P . 31．已知E （X ）=-1，D （X ）=3，则E （3X 2

-2）=___10______.

32．设总体是X ～N （2,μ），x 1,x 2,x 3是总体的简单随机样本,1?μ, 2?μ是总体参数μ的两个估计量，且1?μ=321414121x x x ++，2?μ

=3213

1

3131x x x ++,其中较有效的估计量是__2?μ

_____.

33．随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=，E （X ）=1，则x=___10/7_______.

34．设随机变量X 的分布律为

则D （X ）=_____1____.

35．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则D （2X+1）=___4/9______.

36．设总体X~N （μ,σ2

）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且2

4

1

2

4

1

)(,4

1

σ

∑∑==-=

i i

i i x x

x x 则

服

从自由度为____3___的2χ分布.

37．设总体X~N （μ,σ2

）,x 1,x 2,x 3为来自X 的样本，则当常数a=_____1/4_______时，

3212

1

41?x ax x ++=μ

是未知参数μ的无偏估计. 三、计算题

1．飞机在雨天晚点的概率为，在晴天晚点的概率为，天气预报称明天有雨的概率为，试求明天飞机晚点的概率.

2．司机通过某高速路收费站等候的时间X （单位：分钟）服从参数为λ=5

1

的指数分布. （1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ；

（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y 表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y 的分布律，并求P{Y ≥1}.

2解： (1)f(x)=?????≤>-0

,00

,e 51x 51

x x

P{X>10}=

210

10

51

51

5

1-∞

+∞+--==?

e e dx e x x

(2) P{Y ≥1}=1-)0(P 2=1-42

2

20

20

22)1()(-----=-e e e e C

3．设随机变量X 的概率密度为

??

???≤≤=.

,0;20,

2

)(其他x x x f

试求：（1）E （X ），D （X ）；（2）D （2-3X ）；（3）P{0

?

+∞

∞

-dx x xf )(=??

2

2

x x dx=34

)(E 2

X =?+∞

∞-dx x f x )(2

=??

2

022

x

x dx=2

∴D(X)=)(E 2X -2)]([X E =2-2)34(=92

（2）D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)=9?9

2

=2

(3)P{0

2)(dx x dx x f

4. 假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩

61=x 分，标准差s=15分.若在显著性水平下是否可以认为全体考生的数学平均成绩为

70分？（附：(24)=） 1 解： 设700==μμ，

n

s/x μ-～t(n-1),

n=25, 0639.2)24()1(025.02

==-t n t α

0639.23325

/157061s/x >=-=-=

-n

μ,

拒绝该假设，不可以认为全体考生的数学平均成绩为70分。 5. 设某种晶体管的寿命X （以小时计）的概率密度为

f(x)=?????≤>.100x ,

0,

100x ,x 1002

（1）若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间不到200小时的概率是多少？

（2）若一个电子仪器中装有3个独立工作的这种晶体管，在使用150小时内恰有一个晶体管损坏的概率是多少？

6．盒中有3个新球、1个旧球, 第一次使用时从中随机取一个, 用后放回, 第二次使用时

从中随机取两个, 事件A 表示“第二次取到的全是新球”, 求P (A ).

7．设随机变量X 的概率密度为??

?<<+=,,

0,

20,)(其他x b ax x f 且P {X ≥1}=

4

1

. 求： (1)常数a ,b ; (2)X 的分布函数F (x )； (3)E (X ).

8.某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X 服从泊松分布，则X~P （λ），若已知P

（X=1）=P （X=2），且该柜台销售情况Y （千元），满足Y=21X 2

+2.

试求：（1）参数λ的值；

（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率； （3）该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）.

9．一台自动车床加工的零件长度X （单位：cm ）服从正态分布N （μ,σ2

），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差15

22=s ，试求：总体方差σ2

的置信度为95%的置信区间.

（附：484.0)4(,143.11)4(,216.0)3(,348.9)3(2975.02025.02975.02025.0====χχχχ）

9.解：α=,2α=,n=4,2

s =15

2, 置信区间：

]216.0152

3,348.91523[])

3()1(,)3()1([])1()1(,)1()1([2975.02

2025.02

22

12

22

2

?

?

=--=-----

χχχχααs n s n n s n n s n

=[，]

10．设有两种报警系统Ⅰ与Ⅱ，它们单独使用时，有效的概率分别为与，且已知在系统Ⅰ失效的条件下，系统Ⅱ有效的概率为，试求：

（1）系统Ⅰ与Ⅱ同时有效的概率；（2）至少有一个系统有效的概率.