江苏省扬州中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(有答案)

江苏省扬州中学2019-2020学年第一学期期中考试

高一数学试卷

2019．11

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若{}

224,x x x ∈++，则x = ▲ 2．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ 3． 已知12

4

9a =

(a >0) ，则23

log a = ▲ 4．二次函数y =3x 2+2(m －1)x +n 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，则实数m = ▲ 5． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数1

x y e

+=的图像沿着x 轴的正方向平移1个单位长度，再作关于y 轴

的对称变换，得到函数f (x )的图像，则函数f (x )的解析式为f (x )= ▲

6．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是 ▲ （用a ,b ,c 表示）

7． 已知函数()(

)3,10,

5,10.n n f n f f n n -≥??=?+

8． 已知函数()f x 是偶函数，且当0x >时，3

()1f x x x =++，则当0x <时，()f x 的解析式为 ▲ 9．若方程062ln =-+x x 在Z n n n ∈+),1,(内有一解，则n = ▲

10．化简：1

02

2292(lg8lg125)316-

-????+?++

?

?????

= ▲

11．由等式3232

123123(1)(1)(1)x x x x x x λλλμμμ+++=++++++定义

映射123123:(,,)(,,)f λλλμμμ=，则=)3,2,1(f ▲

12．若关于x 的方程0122

=++x mx 至少有一个负根，则实数m 的取值范围是 ▲

13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的直线与函数3x y =的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数9x y =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 ▲

14． 已知函数()(),11+=+x f x f 当[]1,0∈x 时，().113--=x x f 若对任意实数x ， 都有()()f x t f x +<成立，则实数t 的取值范围 ▲

（第13题）

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题14分）

设,{|13},{|24},{|1}U R A x x B x x C x a x a ==≤≤=<<=≤≤+，a 为实数， (1)分别求,()U A B A C B ；

(2)若B C C =，求a 的取值范围．

16．（本题14分）已知函数(

)

1

2

()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．

(1)求m 的值；

(2)求函数()()g x h x =在10,2

x ∈?????

?

的值域．

17．（本题14分）已知函数f (x )＝2ax ＋1

x （a ∈R ）．

（1）当1

2

a =

时，试判断f (x )在]1,0(上的单调性并用定义证明你的结论； （2）对于任意的(0,1]x ∈，使得f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．

18．（本题16分）如图，在长为10千米的河流OC 的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数2

(0)y ax bx c a =++≠，[0,6]x ∈（单位：千米）的图象，且图象的最高点为

(4,4)A ；观光带的后一部分为线

段BC ．

（1）求函数为曲线段OABC 的函数

(),[0,10]y f x x =∈的解析式；

（2）若计划在河流O C 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段MQ ，QP ，PN 构成，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？

19．（本题16分）已知函数)1,0(1

1log )(≠>--=a a x mx

x f a 是奇函数． （1）求实数m 的值；

（2）是否存在实数a p ,，当)2,(-∈a p x 时，函数()f x 的值域是(1,)+∞．若存在，求出实数a p ,；若不

存在，说明理由；

（3）令函数2

()

()6(1)5f x g x ax x a =-+--，当]5,4[∈x 时，求函数()g x 的最大值．

20．（本题16分）已知函数()c bx x x f ++=22

为偶函数，

关于x 的方程()()2

1+=x a x f 的构成集合{

}1， （1）求,a c b ,的值； （2）若[]2,2-∈x ，求证：()12

1

5+-≤

x x f ；

（3）设()g x =[]2,0,21∈x x 使得()()m x g x g ≥-21，求实数m 的取

值范围．

高一期中数学试卷答案 2019.11

一、填空题

1． 1 2．(3,)+∞ 3．4 4．-2 5．x

e

-

6．c a b << 7．7 8．3

1x x --+ 9．2 10．

13

3 11．(2,3,1)- 12. ]1,(-∞ 13．3722123389;103sin(2);1112

93352

132,2)y x π=-、； 、-、、； 、； 、-15; 14、

(log 14．442

(,)(,)333

-∞--- 二、解答题

15. (1) A ∩B={x |2

…………………………………………3分

U B={x |x ≤2

或x ≥4} …………………………………………5分

A ∪(U B)= {x |x ≤3

或x ≥4} …………………………………………8分

(2)∵B ∩C=C ∴C ?B …………………………………………10分 ∴2

16. 解 (1) ∵函数(

)

1

2

()51m h x m m x

+=-+为幂函数

∴2

511m m -+= 解得05m =或 …………………………………3分 又 ∵奇函数 ∴0m =

…………………………………6分 (2) 由（1）可知 ()g x x =10,

2x ∈??

????

t ，则[0,1]t ∈ …………………………………9分

211()22g t t t ?=-++ 得值域为1,12??

????

…………………………………14分

17. 解：（1）∵12a =

∴1

()f x x x

=+ ()f x 在]1,0(上的单调递减 …………………………………2分 证明：取任意的21,x x ，且1021≤<

(*)

)

1()

(11)()(2

121212

11221221121x x x x x x x x x

x x x x x x x x f x f --=-+-=--+

=-

∵1021≤<-x f x f

所以()f x 在]1,0(上的单调递减 …………………………………8分 （2）由f (x )≥6在]1,0(上恒成立，得2ax ＋1

x ≥6 恒成立

即2

)1()1(62x

x a -≥ ),1[)1(+∞∈x

9))1()1(6(m a x

2

=-?x

x

2

9

9

2≥

≥?a a 即 …………………………………14分 注：本题若含参二次函数讨论求解，自行酌情给分。

18. 解：（1）因为曲线段OAB 过点O ，且最高点为(4,4)A

0164442c a b c b a ?

?=?

++=???-=? ，解得1420a b c ?=-??=??=??

（也可以设成顶点式） 所以，当[0,6]x ∈时，2

124

y x x =-

+ ……………………………3分 因为后一部分为线段BC ，(6,3),(10,0)B C ，当[6,10]x ∈时，315

42

y x =-

+ ……6分 综上，2

12,[0,6]4

()315,(6,10]42

x x x f x x x ?-+∈??=??-+∈?? ……………………………8分

（2）设(02)OM t t =<≤，则2

2

1

12,24

4

MQ t t PN t t =-+=-+ 由2

131524

42PN t t x =-+=-

+， 得218

1033

x t t =-+， 所以点2

1

8(10,0)3

3

N t t -+ ……………………………11分 所以，绿化带的总长度PN QP MQ y ++= 103

1

61)103113

1()24

1(222

2

++-=+-++-=t t t t t t ……13分 当1=t 时，6

61

max =

y 所以，当OM 长为1千米时，绿化带的总长度最长 ……………………………16分

19. 解：（1）∵函数)1,0(1

1log )(≠>--=a a x mx

x f a

是奇函数. ∴10)()(±==+-m x f x f 解得

又 1=m 时，表达式无意义，所以1-=m ……………………………2分 （2）由题设知： 函数f (x )的定义域为)1,(),1(--∞+∞ ，

①当12-≤-

其值域为?????-=-=-++∞1

211

1log

),1(a n n

知 (与题设矛盾，无解)；……………………5分 ②当21-≤≤a p 时，有a >3. 此时f (x )为减函数，

其值域为），（∞+1知??

?

??=+==--=.

1,32131

log 1p a a a p a 得…………………8分

符合题意

综上①②：存在这样的实数a p ,满足条件，32,1+==a p …………………9分 （3）∵2

()

()6(1)5f x g x ax x a

=-+--，1

1log )(-+=x x

x f a

∴16)(2++-=x ax x g ]5,4[∈x 且1,0≠>a a ①当

1,4

3

43≠≥?≤a a a 时，函数)(x g 在]5,4[上单调递减 所以2516)4()(max +-==a g x g …………………11分 ②当

5

3

053≤

5343<

[a

上单调递减 所以19

)3

()(max +=

=a

a

g x g …………………15分 综上①②③，??

??

?????

≤

<+-<<+≠≥+-=5

3

031254

3

531

9

1

,43

2516)(max a a a a a a a x g …………………16分

20. 解：（1）由f (x )为偶函数可知，b =0

方程2

)1()(+=x a x f 即02)1(2

=-++-c a ax x a

所以???=---=-++-0))(1(4402)1(2c a a a c a a a 解得???

??

==1

21c a

所以1,0,2

1

===

c b a …………………3分 （2）证明：由（1）得 1)(2

+=x x f ，当[]2,2-∈x 时， 0)2|(|||21

5||)15(215)1||215(

)1(222

≤--=---=+--+x x x x x x 所以

()12

1

5+-≤

x x f 对任意的[]2,2-∈x 恒成立 …………………6分 （3）由题意知，max 21|)()(|x g x g m -≤，即min max )()(x g x g m -≤………8分 由（2）知，当[]2,0∈x 时，

151)2(2

1

51215)(+=+--++-≤

x x x g 所以当20或=x 时，)(x g 有最大值15+ …………………11分 考虑0)1(2

1

2121)1(21)1(2222

≥-=+-=+-

+x x x x x 所以

)1(2

2

)(+≥

x x f 则22)12(2

2)1(22)(=+-++≥x x x g …………………14分 故2215-+≤m …………………16分