2018高考真题全国1卷-3卷数学理含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 (全国 Ⅰ 卷)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设z ＝1－i
1＋i ＋2i ，则|z |＝( )
A ．0 B.12 C ．1
D. 2
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则?R A ＝( ) A ．{x |－1
D.{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( ) A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5
＝( )
A ．－12 B.－10 C ．10
D.12
5．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )
A ．y ＝－2x B.y ＝－x C ．y ＝2x
D.y ＝x
6．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )
A.34AB →－14AC →
B.14AB →－34AC →
C.34AB →＋14
AC → D.14AB →＋34
AC → 7．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )
A ．217 B.2 5 C ．3
D.2
8．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为2
3的直线
与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →
＝( )
A ．5 B.6 C ．7
D.8
9．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝?
???
?e x ， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零
点，则a 的取值范围是( )
A ．[－1，0) B.[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
10．(2018·高考全国卷Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )
A ．p 1＝p 2 B.p 1＝p 3 C ．p 2＝p 3
D.p 1＝p 2＋p 3
11．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2
＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，
过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )
A.32
B.3 C ．2 3
D.4
12．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.334
B.233
C.324
D.32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2018·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件????
?x －2y －2≤0x －y ＋1≥0y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为
________．
14．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________． 15．(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
16．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.
(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .
18．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .
(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
19．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2
＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，
B 两点，点M 的坐标为(2，0)．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .
20．(2018·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付
用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝1
x －x ＋a ln x .
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
＜a －2.
22．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程． 23．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；
(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．
22018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 (全国 Ⅱ 卷)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i
＝( )
A ．－45－35i
B ．－45＋35i
C ．－35－45i
D ．－35＋45
i
2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )
A ．9 B.8 C ．5
D.4
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －
x
x 2
的图象大致为( )
4．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B.3 C ．2
D.0
5．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为
( )
A ．y ＝±2x B.y ＝±3x C ．y ＝±2
2
x
D.y ＝±3
2
x
6．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5
5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．4 2 B.30 C.29
D.2 5
7．(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1
100，设计了右侧的程序框图，
则在空白框中应填入( )
A ．i ＝i ＋1
B ．i ＝i ＋2
C ．i ＝i ＋3
D ．i ＝i ＋4
8．(2018·高考全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超
过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A.112
B.114
C.115
D.118
9．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )
A.15
B.56
C.55
D.22
10．(2018·高考全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4
D.π
11．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )
A ．－50 B.0 C ．2
D.50
12．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C
的左顶点，点P 在过A 且斜率为3
6
的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )
A.23
B.12
C.13
D.14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________． 14．(2018·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件?????x ＋2y －5≥0x －2y ＋3≥0x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为
________．
15．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
16．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8
，SA 与
圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)求S n，并求S n的最小值．
18．(2018·高考全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5 t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l 与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
20．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC ＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－P A－C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值．
21．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝e x－ax2.
(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .
22．(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?????x ＝2cos θ
y ＝4sin θ(θ为参
数)，直线l 的参数方程为?
????x ＝1＋t cos α
y ＝2＋t sin α(t 为参数)．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 23．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 (全国 Ⅲ 卷)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1，2} D ．{0，1，2} 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B.－3＋i C ．3－i
D.3＋i
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝1
3，则cos 2α＝( )
A.89
B.79 C ．－79
D.－89
5．(2018·高考全国卷Ⅲ)(x 2＋2
x )5的展开式中x 4的系数为( )
A ．10 B.20 C ．40
D.80
6．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x －2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()
A．[2，6] B.[4，8]
C．[2，32] D.[22，32]
7．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()
8．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X ＝6)，则p＝()
A．0.7 B.0.6 C．0.4 D.0.3
9．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积
为a2＋b2－c2
4，则C＝()
A.
π
2 B.
π
3
C.
π
4 D.
π
6
10．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC
为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为() A．12 3 B.18 3
C．24 3 D.54 3
11．(2018·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，
O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
12．(2018·高考全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()
A．a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D.ab＜0＜a＋b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
14．(2018·高考全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
15．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos(3x＋
π
6)在[0，π]的零点个数为________．
16．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k 的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m.
18．(2018·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产
方式
第二种生产
方式(3)根据(2)
附：K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
，
P(K2≥k)0.0.0.0
050
010 01 k
3.841
6.635
10.828
19.(2018·高考全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵
所在平面垂直，M 是CD ︵
上异于C ，D 的点．
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC;
(2)当三棱锥M -ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值． 20．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1交于A ，B 两点，
线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．
(1)证明：k <－1
2
；
(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →
|成等差数列，并求该数列的公差．
21．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x ＋ax 2)ln (1＋x)－2x. (1)若a ＝0，证明：当－1
22．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为?
????x ＝cos θy ＝sin θ(θ为
参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
23．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f(x)的图象；
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．
2018年普通高等学校招生全国统一考试·(全国卷Ⅰ)·理
1．解析：选C.法一：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2
（1＋i ）（1－i ）
＋2i ＝－i ＋2i ＝i ，所以|z |＝1，
故选C.
法二：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i ＋2i （1＋i ）1＋i ＝－1＋i 1＋i ，所以|z |＝??????－1＋i 1＋i ＝|－1＋i||1＋i|＝22＝
1，故选C.
2．解析：选B.法一：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以?R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.
法二：因为A ＝{x |x 2－x －2>0}，所以?R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B. 3．解析：选A.法一：设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.
法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 是错误的．故选A.
4．解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×2
2
d )＝2a 1
＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－3
2
a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)
＝－10.故选B.
5．解析：选D.法一：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇数，所以f (－x )＝－f (x )，
所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.
法二：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.
6.
解析：选A.法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12
(AB →－AC →
)
＝34AB →－14
AC →
，故选A. 法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14
AC →
，故选A.
7．解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则MS ＝2，SN ＝4，则从M 到N 的路径中，最短路径的长度为MS 2＋SN 2＝22＋42＝2 5.故选B.
8．解析：选 D.法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝2
3
(x ＋2)，由
???
??y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，
得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以?????x ＝1，y ＝2或???x ＝4，y ＝4，不妨设M (1，2)，N (4，4)，易知F (1，0)，所以FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →
＝8.故选D.
法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝2
3
(x ＋2)，由?????y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，
得x 2－5x
＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2
＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →
＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x x ＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.
9．解析：选C.函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.
10．解析：选A.法一：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×????c 22＋12
π×????b 22－
????????π×????a 22
2－12bc ＝18
π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故
选A.
法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积
即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12
－????
??π×（2）22－2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×（2）2
2
－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝
2
π＋2，p 3＝π－2π＋2
，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A. 11．解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±3
3x ，所以∠MON ＝60°.不
妨设过点F 的直线与直线y ＝3
3
x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，
则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，
由?????y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得?
??x ＝3
2，y ＝32
，所以M ????32，32，所以|OM |＝????322＋????322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.
12．解析：选A.记该正方体为ABCD -A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成
的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′-AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ
与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝2
2
，
所以该正六边形的面积为6×34×????222＝33
4
，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为
33
4
，故选A.
13．解析：作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2，0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.
答案：6
14．解析：法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8；
当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16； 当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32； 所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
法二：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等
比数列，所以a n ＝－2n －1
，所以S 6＝－1×（1－26）1－2
＝－63.
答案：－63
15．解析：法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C 12C 2
4
＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C 22C 14＝4(种)．根据分类加法计数原
理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．
法二：从6人中任选3人，不同的选法有C 36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C 34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．
答案：16
16．解析：法一：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，
所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4?
???cos x －1
2(cos x ＋1)， 由f ′(x )≥0得1
2≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3
，k ∈Z ，
由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤1
2，即2k π＋π≥x ≥2k π＋π3或2k π－π≤x ≤2k π－π3
，k
∈Z ，
所以当x ＝2k π－π
3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，
且f (x )min ＝f ????2k π－π3＝2sin ????2k π－π3＋sin 2?
???2k π－π3＝－33
2.
法二：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )＝4sin x 2cos x
2
.
2cos 2x 2＝8sin x 2cos 3 x 2＝83
3sin 2x 2cos 6x 2，
所以[f (x )]2＝643×3sin 2 x 2cos 6 x 2≤64
3
.
? ??
??3sin 2 x 2＋cos 2 x 2＋cos 2 x 2＋cos 2 x 244＝27
4， 当且仅当3sin 2 x 2＝cos 2 x 2，即sin 2 x 2＝1
4
时取等号，
所以0≤[f(x)]2≤27
4，所以－
33
2≤
f(x)≤
33
2，
所以f(x)的最小值为－
33
2.
答案：－
33
2
17．解：(1)在△ABD中，由正弦定理得
BD
sin∠A
＝
AB
sin∠ADB
.
由题设知，
5
sin 45°
＝
2
sin∠ADB，所以sin∠ADB＝
2
5.
由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝1－
2
25＝
23
5.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝
2
5.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×22×
2
5
＝25.
所以BC＝5.
18．解：(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，HF
→
的方向为y轴正方向，|BF
→
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝ 3.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.
可得PH＝
3
2，EH＝
3
2.
则H(0，0，0)，P????
0，0，
3
2，D?
?
?
?
－1，－
3
2，0，DP
→
＝????
1，
3
2，
3
2，HP
→
＝????
0，0，
3
2
为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝
?
?
?
?
?
?
HP
→
·DP
→
|HP
→
||DP
→
|
＝
3
4
3
＝
3
4.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
3
4.
19．解：(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
由已知可得，点A的坐标为????
1，
2
2
或????
1，－
2
2
.
所以AM的方程为y＝－
2
2x＋2或y＝
2
2x－ 2.
(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2
x 2－2
.
由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得
k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k
（x 1－2）（x 2－2）
.
将y ＝k (x －1)代入x 22
＋y 2
＝1得
(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.
所以，x 1＋x 2＝4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1
.
则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k
2k 2＋1
＝0.
从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .
20．解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2(1－p )18.因此f ′(p )＝C 220
[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝2C 220p (1－p )17
(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1.当p ∈(0，0.1)时f ′(p )>0；当p ∈(0.1，1)时，f ′(p )<0.
所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.
(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180，0.1)， X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y .
所以EX ＝E (40＋25Y )＝40＋25EY ＝490.
(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于EX >400，故应该对余下的产品作检验．
21．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a
x ＝－x 2－ax ＋1x 2
.
(i)若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递减． (ii)若a >2，令f ′(x )＝0得，x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42
.
当x ∈? ????0，a －a 2－42∪? ????a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )<0；
当x ∈? ????a －a 2－42，
a ＋a 2－42时，f ′(x )>0.所以f (x )在? ?
?
??0，a －a 2－42，? ????a ＋a 2－42，＋∞单调递减，在? ????a －a 2－42，
a ＋a 2－42单调递增． (2)由(1)知，f (x )存在两个极值点时，当且仅当a >2.
由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0，所以x 1x 2＝1，不妨设x 1
＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2
，
所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
设函数g (x )＝1 x －x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)单调递减，又g (1)＝0，从而当x ∈(1， ＋∞)时，g (x )<0. 所以1 x 2－x 2＋2ln x 2<0，即f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 22．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆． 由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点． 当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1 ＝2，故k ＝－ 4 3或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－4 3 时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2 与C 2有两个公共点． 当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2| k 2＋1 ＝2，故k ＝0或 k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与 C 2没有公共点；当k ＝4 3 时，l 2与C 2没有公共点． 综上，所求C 1的方程为y ＝－4 3 |x |＋2. 23．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝??? －2，x ≤－1， 2x ，－1 故不等式f (x )>1 的解集为{x |x >1 2 }． (2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1； 若a >0，|ax －1|<1的解集为0 a ≥1，故0 综上，a 的取值范围为(0，2]． 2018年普通高等学校招生全国统一考试·(全国卷Ⅱ)·理 1．解析：选D.1＋2i 1－2i ＝（1＋2i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ） ＝－35＋4 5i ，故选D. 2. 解析：选A.法一：由x 2＋y 2≤3 知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以 x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 1 3＝9，故选A. 法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2 ＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A. 3．解析：选B.当x <0时，因为e x －e － x <0，所以此时f (x )＝e x －e －x x 2 <0，故排除A 、D ；又 f (1)＝e －1 e >2，故排除C ，选B. 4．解析：选B.a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2－(－1)＝3，故选B. 5．解析：选A.法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所 以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A. 法二：由e ＝c a ＝1＋????b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2 x ，故选A. 6．解析：选A.因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－3 5 ，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2 ＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×??? ?－3 5＝32，所以AB ＝42，故选A. 7．解析：选B.由程序框图的算法功能知执行框 N ＝N ＋1 i 计算的是连续奇数的倒数和， 而执行框T ＝T ＋1 i ＋1 计算的是连续偶数的倒数和，所以在空白执行框中应填入的命令是i ＝i ＋2，故选B. 8．解析：选C.不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的 有3对，所以所求概率P ＝3C 210＝1 15 ，故选C. 9．解析：选C. 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点， 所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝ AD 2＋DD 21＝2，DM ＝ AD 2＋ ????12AB 2 ＝52 ，DB 1＝ AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝5 2 ，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋????522 － ????5222×1× 5 2 ＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为5 5， 故选C. 10．解析：选A.法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ??? ?x ＋π 4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π] 上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π 4 .因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以 ? ??－a ≥－π 4， a ≤3π 4 ，