整除的概念
整除的概念
整除就是若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．注意a or b作除数的其一为0则不叫整除整除的性质；（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．
整除与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．
整除有下列基本性质：
①若a|b，a|c，则a|b±c。（b>c）
②若a|b，则对任意c（0除外），a|bc。
③对任意a，±1|a，±a|a。
④若a|b，b|a，则|a|=|b|。
对任意整数a，b，b>0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0≤r 若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，且d 可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。当d≥0时，d 是a，b公因数中最大者。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。 整除的规律 整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。 整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。 整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。 整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。 整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。 整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。 整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。 整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。 整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。 整除规则第十条（10）：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除 整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ 整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3 倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7 倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除 整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除 整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除 整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除 整除规则第二十条（20）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除 整除规则第二十一条（21）：若一个整数的末5位与前面的数的差能被9091整除，则这个数能被9091整除 整除规则第二十二条（22）：（9的无敌乱切）把一个整数分成若干段之和能被9整除，则这个数能被9整除 整除规则第二十三条（23）：（11的无敌乱切）把一个整数分成若干段，每段的末尾为奇数位加，偶数位减，结果能被11整除，则这个数能被11整除 整除规则第二十四条（24）：（a）若一个整数的末4位与前面的数的和能被101整除，则这个数能被101整除 （b）若一个整数的末2位与前面的数的差能被101整除，则这个数能被101整除 切记：0 不能做除数！ 《整除》教案 教学目标 1、知识与技能 使学生理解自然数与整除的意义。 2、过程、能力与方法 通过举例\画图分析，列算式帮助学生理解整除的意义，激发学生学习数学的兴趣。使学生掌握整除概念。 3、情感、态度与价值观 培养学生抽象概括与观察物的能力。 教学重点 理解自然数与整数的意义。 教学难点 掌握整除概念。 教学准备 教学挂图、计算机及课件等。 教学方法 讲授法、讨论法、实践法。 教学过程 一、创设情境，引入新课 1、建议自然数与整数的概念 2、谈话引入：今天这节课，我们学习数的整除。（板书课题） 3、教师提问：既然是数的整除，自然就与数有关，同学们都学过什么数？ （教师板书：整数、小数、分数） 同学们会数数吧？（学生数数） （教师板书：1、2、3、4、5、） 继续数下去，能数到头吗？ 数不到头，我们可以用一个什么标点符号来表示呢？ （教师板书：“……”） 4、教师小结： 用来表示物体个数的1、2、3、4、5等等，叫做自然数。（板书：自然数） 提问：最小的自然数是几？有最大的自然数吗？ 当一个物体也没有时，我们用几来表示？ 二、新知探究，合作学习 1、建立整除概念。 （1）引入例1。 出示教材第10页例1。在10个方格里涂颜色，要求每种颜色方格的个数相同，有哪些涂法？指导：用同一种方格的个数，颜色的中枢，未涂颜色方格的个数制作一个表格。 （2）实践尝试。 学生拿出学具按要求进行涂色汇总。 （3）尝试交流。 学生用除法的形式来涂色，把各自的涂色方法展示给同学们，集体汇总。 10÷2＝5 10÷5＝2 10÷3＝3......1 10÷4＝2 (2) （4）小结：商是整数而没有余数（余数是0），我们可以说10能被2整除，也能被5整除。商是整数而又余数（余数不是0），我们可以说10不能被3整除，也不能被4整除。 （5）教学例2。 出示例题，8能被哪些数整除。 A、用方格的形式展示。 B、小组合作，组内交流。 C、小组汇报，集体订正。 D、明确8能倍那些书整除。 8÷1＝8 8＝1×8 8÷2＝4 8＝2×4 8÷3＝2......2 8÷4＝2 8÷5＝1 (3) 8＝3×2＋2 8＝4×2 8＝5×1＋3 8÷6＝1……2 8÷7＝1……1 8÷8＝1 2012学年预备级年第一学期期中考试知识点整理 第一章数的整除概念 1、正整数、负整数、整数、自然数： （1）用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 -1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 0、1、2、3、4……，叫做自然数 （2）零和正整数统称为自然数，0是最小的自然数，没有最大的自然数。 （3）正整数、零和负整数，统称为整数。 2、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或 ÷=也叫整除）。 者说b能整除a。（050 整除的条件：（1）除数、被除数都是整数。（2）被除数除以除数，商是整数而且没有余数。 3、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 （1）一个数的因数是有限的。最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数通常是成对出现的（用两数相乘去检验是否遗漏）。 （2）一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （3）因数与倍数是相互依存的。如果光说谁是倍数，或谁是因数是不完整的。 4、能被特殊的数字整除的特征：（重点掌握前4个） （1）能被2整除的整数，个位上数字为0、2、4、6、8，即：是偶数。 （2）能被5整除的整数，个位上数字为0、5。 （3）能同时被2和5整除的整数（即能被10整除），个位上数字为0。 （4）一个整数的各个位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。 （5）一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 注：一个整数能被n和m整除，则这个数能被m·n整除。 5、整数按能否被2整除可以分为：奇数和偶数。在正整数中奇数和偶数都是相邻的。 定义：如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。 如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。 6、（1）只含有因数1和本身的整数叫做素数或质数，如果除了1和它本身还有别的因数， 整除的性质和特征 整除问题是整数内容最基本的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。 一、整除的概念： 如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。整除属于除尽的一种特殊情况。 二、整除的五条基本性质： （1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除； （2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除； （3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除； （4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立； （5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。 三、一些特殊数的整除特征： 根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。 （1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。 ①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除； ②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除； ③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。 【推理过程】： 2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。 又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本性质（1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征。 专题一数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的 数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的 数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数） 解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。 练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数） 练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。 例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。 解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。 例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。 练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。 例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个 四年级奥数第一讲---数的整除问题 第一讲数的整除问题 一、基本概念和知识： 1、整除： 定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数： 如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。 练习： 写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________； 5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________； 公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。 如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数： 在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。 （１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。 （２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （３）0和１既不是质数，也不是合数。、 什么是整除 若整数a 除以大于0的整数b ，商为整数，且余数为零。我们就说a 能被b 整除(或说b 能整除a )，记作b |a ，读作b 整除a 或a 能被b 整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5：看末一位 4，25：看末两位 8，125：看末三位 数字和系：3，9：看数字和 数字差系：11：看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除； ⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。 常见整除性质： ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例1 数的整除特征(上) 例2 (★★★) 四位偶数64WW 能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 (★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 例3 例4 (★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些 例5 (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个 例6 (★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除【先睹为快】 第二十六讲整数整除的概念和性质 对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n 吸收习题及答案 一、填空题 1、用气相浓度△y为推动力的传质速率方程有两种，以传质分系数表达的速率方程为 _________，以传质总系数表达的速率方程为___________。N A = k y (y-y i) N A = K y (y-y*) 2、吸收速度取决于__________，因此，要提高气－液两流体相对运动速率，可以_______来增大吸收速率。双膜的扩散速率减少气膜、液膜厚度 3、由于吸收过程气相中的溶质分压总____ 液相中溶质的平衡分压，所以吸收操作线总是在平衡线的____。增加吸收剂用量，操作线的斜率_____，则操作线向_____平衡线的方向偏移，吸收过程推动力（y－y*）_____。大于、上方、增大、远离、增大 4、用清水吸收空气与A的混合气中的溶质A，物系的相平衡常数m=2，入塔气体浓度y = 0.06，要求出塔气体浓度y2 = 0.006，则最小液气比为_________。 1.80 5、在气体流量，气相进出口组成和液相进口组成不变时，若减少吸收剂用量，则传质推动力将_________，操作线将_________平衡线。减少、靠近 6、某气体用水吸收时，在一定浓度范围内，其气液平衡线和操作线均为直线，其平衡线的斜率可用_____常数表示，而操作线的斜率可用_____表示。相平衡液气比 7、对一定操作条件下的填料吸收塔，如将塔料层增高一些，则塔的H OG将_________，N OG 将_________ ( 增加，减少，不变)。不变增加 8、吸收剂用量增加，操作线斜率___，吸收推动力___。（增大，减小，不变）增大、增大 9、计算吸收塔的填料层高度，必须运用如下三个方面的知识关联计算：_____、_____、_____。 平衡关系物料衡算传质速率。 10、填料的种类很多，主要有_____、______、______、______、______、______。 拉西环鲍尔环矩鞍环阶梯环波纹填料丝网填料 11、填料选择的原则是_________。表面积大、空隙大、机械强度高价廉，耐磨并耐温。 12、在选择吸收剂时，首先要考虑的是所选用的吸收剂必须有__ ___。 良好的选择性，即对吸收质有较大的溶解度，而对惰性组分不溶解。 13、填料塔内提供气液两相接触的场所的是_________。填料的表面积及空隙 15、填料应具有较_____的________，以增大塔内传质面积。大、比表面积 16、吸收塔内填装一定高度的料层，其作用是提供足够的气液两相_____。传质面积 二、选择题 1、吸收速率主要决定于通过双膜的扩散速度，要提高气液两流体的相对运动，提高吸收效果，则要_________。 B 数的整除特征(上) 什么是整除？ 若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。我们就说a能被ｂ整除(或说ｂ能整除a）,记作b|a，读作b整除ａ或a能被ｂ整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5:看末一位 4，25：看末两位 8,12５：看末三位 数字和系：3，9:看数字和 数字差系：１1:看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被７，１1，13整除； ⑵把数从末三位开始,三位为一段断开,只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，１1，１3的倍数。 常见整除性质: ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除. ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 ? (★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例1 例2 例3 (★★★) 四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 例4 ? (★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？ ? 【先睹为快】 将三位数3ab 连续重复地写下去，共写2005个3ab ，所得的数20053333ab ab ab ab 个正好是 91的倍数，试求ab ＝___________。 (★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？ (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 例5 例6 精品文档 数的整除知识点 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 数的整除 1.整除——因数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a. 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 精品文档． 精品文档 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800 数的整除特征专项训练 一、性质 1、如果整数A、B都能被C整除，那么他们的和A＋B或差A－B也能被C整除。 例如：8整除64，8整除24，那么8整除64＋24或64－24。 2、如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。 例如：30能被15整除，15能被5整除，那么30能被5整除。 二、数的整除特征 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8。 能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数。 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。 能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。 能被7、11、13整除的数的特征：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。 一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13整除 三、例题与练习 例1、判断下面的数是否能整除。 例2、判断下面的数是否能整除。 例3、四位数2□2□能同时被8、9整除，那么这个四位数是多少？ 练一练 在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被15整除，这样的四位数中最大的是多少？ 例4、将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？ 1、由1、 2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有哪些？ 2、从0、 3、5、7这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这样的三位数最大的是哪个？ 3、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、 4、5整除，这个六位数最小是多少？ 例5、某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少? 第九讲整除和位值原理 整除问题 整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识： 1.整除的概念 b ，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且 a，b，c为整数，且0 没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a 的约数． 2.整除的基本性质 ①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么 ②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么 ③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果 ④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即： 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8； ②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除； ③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除； ④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5； ⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除； ⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除； ⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除． 4.位值原理 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：abc 表示a 个百，b 个十，c 个一。 其中a 可以是1～9中的数码，但不能是0，b 和c 是0～9中的数码。 5.位值原理的表达形式 以三位数为例：100101abc a b c =?+?+? abc 上面的横线表示这是用位值原理表示的一个数，用以区别abc a b c =?? 1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。 2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。 3.掌握整除的性质，并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征。 例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。 分析：abc 与cba 的数字顺序恰好相反，我们称cba 与abc 互为反序数，互为反序数的两个数之差必能被9整除。 §1.3整除的概念 注： 1. 在[]P x 中，加、减、乘封闭，但除法不封闭，整除是一种特殊关系． 2. 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式。 引例，设 32()3456f x x x x =+-+ 2()31g x x x =-+. 我们可以按下面的格式来做除法： 2323222313 456313 3931386133913317 x x x x x x x x x x x x x x -++-++-+-+-+- 于是求得商为3x+13，余式为3x-7.所得结果可以写成 3223456(313)(31)(317)x x x x x x x +-+=+-++- 这个求法实际上是具有一般性，下面就按这个想法来证明一元多项式环的一个基本性质。 一. 带余除法 对(),()[]f x g x P x ?∈，()0g x ≠，一定存在(),()[]q x r x P x ∈，使 ()()()()f x q x g x r x =+ * 成立，其中(())(())r x g x ??10，由归纳假设，存在11(),()q x r x ，使得 ()()()()111f x q x g x r x =+ 其中 ()()()1()f x 数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。 【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一 能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？ 【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位 数。问：这样的三位数有几个？ 【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 问：每本词典多少钱？ 【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。 【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ 【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 数的整除专项练习： 1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？ 2、在 内填上合适的数使七位数 能被72整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。 4能被11整除，求这个六位数。 传热学基本概念知识点 1傅里叶定律：单位时间内通过单位截面积所传递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的温度变化率 2集总参数法：忽略物体内部导热热阻的简化分析方法 3临界热通量：又称为临界热流密度，是大容器饱和沸腾中的热流密度的峰值 5效能：表示换热器的实际换热效果与最大可能的换热效果之比 6对流换热是怎样的过程，热量如何传递的？对流：指流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递方式。对流仅能发生在流体中，而且必然伴随有导热现象。对流两大类：自然对流与强制对流。 影响换热系数因素：流体的物性，换热表面的形状与布置，流速 7何谓膜状凝结过程，不凝结气体是如何影响凝结换热过程的？ 蒸汽与低于饱和温度的壁面接触时，如果凝结液体能很好的润湿壁面，它就在壁面上铺展成膜，这种凝结形式称为膜状凝结。 不凝结气体对凝结换热过程的影响：在靠近液膜表面的蒸气侧，随着蒸气的凝结，蒸气分压力减小而不凝结气体的分压力增大。蒸气在抵达液膜表面进行凝结前，必须以扩散方式穿过聚集在界面附近的不凝结气体层。因此，不凝结气体层的存在增加了传递过程的阻力。 8试以导热系数为定值，原来处于室温的无限大平壁因其一表面温度突然升高为某一定值而发生非稳态导热过程为例，说明过程中平壁内 部温度变化的情况，着重指出几个典型阶段。 首先是平壁中紧挨高温表面部分的温度很快上升，而其余部分则仍保持原来的温度，随着时间的推移，温度上升所波及的范围不断扩大，经历了一段时间后，平壁的其他部分的温度也缓慢上升。 主要分为两个阶段：非正规状况阶段和正规状况阶段 9灰体有什么主要特征？灰体的吸收率与哪些因素有关？ 灰体的主要特征是光谱吸收比与波长无关。灰体的吸收率恒等于同温度下的发射率，影响因素有：物体种类、表面温度和表面状况。 10气体与一般固体比较其辐射特性有什么主要差别？ 气体辐射的主要特点是：（1）气体辐射对波长有选择性（2）气体辐射和吸收是在整个容积中进行的 11说明平均传热温压得意义，在纯逆流或顺流时计算方法上有什么差别？ 平均传热温压就是在利用传热传热方程式来计算整个传热面上的热流量时，需要用到的整个传热面积上的平均温差。 纯顺流和纯逆流时都可按对数平均温差计算式计算，只是取值有所不同。 12边界层，边界层理论 边界层理论：（1）流场可划分为主流区和边界层区。只有在边界层区考虑粘性对流动的影响，在主流区可视作理想流体流动。（2）边界层厚度远小于壁面尺寸（3）边界层内流动状态分为层流与湍流，湍流边界层内紧靠壁面处仍有层流底层。 第九章 气体吸收 一、本章学习的目的、应掌握的内容和学习注意事项 1. 本章学习的目的 通过本章的学习，掌握气体吸收与解吸的基本概念和气体吸收过程的基本计算方法。 2. 本章重点掌握的内容 （1）气体吸收过程的平衡关系 （2）气体吸收过程的速率关系 （3）低浓度气体吸收过程的计算 本章应掌握的内容 （1）费克定律和分子传质问题的求解方法 （2）双膜模型 本章一般了解的内容 （1）溶质渗透模型和表面更新模型 （2）吸收系数 3. 本章学习应注意的问题 （1）表示吸收过程的平衡关系为亨利定律，亨利定律有不同的表达形式，学习中应注意把握它们之间的联系。 （2）表示吸收过程的速率关系为吸收速率方程，吸收速率方程有不同的表达形式，学习中应注意把握它们之间的联系。 （3）学习分子传质，不要机械地记忆各过程的求解结果，应注意把握求解的思路和应用背景。 （4）学习中应注意把握传质机理和吸收过程机理之间的联系，注意体会讲述传质机理和吸收过程机理的目的和意义。 二、例题解析 9-1 惰性气与CO 2的混合气中CO 2体积分数为30％，在表压1MPa 下用水吸收。设吸收塔底水中溶解的CO 2达到饱和，此吸收液在膨胀槽中减压至表压20kPa ，放出大部分CO 2，然后再在解吸塔中吹气解吸。 设全部操作范围内水与CO 2的平衡关系服从亨利定律，操作温度为25℃。求1kg 水在膨胀槽中最多能放出多少千克CO 2气体。 解：依题意，在全部操作范围内水与CO 2的平衡关系服从亨利定律，查附录二得25℃下CO 2溶于水时的亨力系数为 MPa 1066.12?=E 方法一：对膨胀槽作CO 2物料平衡(以1kg 水为衡算基准) 入膨胀槽吸收液中CO 2的组成 321110990.11066.1/3.01013.1/-?=??==E p x 设此液1kg 水中溶解CO 2的kg 数为W 1，则有： kg 10875.410990.118 /144/44 /313111--?=??=+= W W W x 出膨胀槽吸收液中CO 2的组成 422210307.71066.1/)020.01013.0(/-?=?+==E p x 设此液1kg 水中溶解CO 2的kg 数为W 2，则有： 数的整除专题训练 知识梳理： 性质1.如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除。 性质2.如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除。 性质3.如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除。 性质4.如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除，否则这个数便不能被11整除。 性质5.如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除。 例题精讲： 1. 三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元 解：先求出满足条件的最大五位数。75=25 ×3，则这个五位数是25和3的倍数。 因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为x， 如十位为7，则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9，得此五位数为29775；如十位为2，则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8，得此五位数为28725。所以，满足题意的最大五位数为29775。 29775÷75=397(元)， 即每位学生最多可能交397元。 2. 小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗 解：“*679. *”能被72除尽，则“*679*”应是72的倍数。72=8 ×9，先考虑8，末三位数字79*应满足被8整除，所以十分位数字是2；考虑9，已知数字之和是6+7+9+2=24，所以原数的千位上应是3，即这两个数字分别是3和2。 3. 有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。 解：设中间的数为a，则另外两个数是(a-1)和(a+1)，所以要a+(a+1)+(a-1)=3a是3333的倍数，那么a是1111的倍数，又3a<10000，所以a≤3333，所以a可取1111、2222、3333。所以。取可能的最小的值为1111。 4. 一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗请证明你的判断。 解：设末三位数字组成的数为m，末三位以前数字组成的数为n，则m-n=7d(d 为整数),即n=m-7d，原数为m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d，1001=13 ×11 ×7，7000d=7 ×1000d，所以原数是7的倍数。 5. 小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢 解：75=3 ×5 ×5， 要被75整除，必可被3整除，所以有4、5、7、8，2、4、7、8和2、4、5、7三种选法； 又要被25整除，所以未两位为25或75，所以排除2、4、7、8的选法。 则4、5、7、8的选法有2种组合，2、4、5、7的选法有4种组合，所以共可 小学数学：因数和倍数相关概念1、自然数： 在数物体的时候，用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5……叫做自然数。 2、自然数都是整数。 3、整除的意义： 整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除。 4、因数与倍数： 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 5、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它的本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 6、能被2、3、5整除的数的特征： 能被2整除的数的特征：个位上的数是0、2、4、6、8的数。 能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数。 能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 能被2、3整除的数的特征：个位上的数是0、2、4、6、 8，且各个数位上的数的 和能被3整除的数 能被2、5整除的数的特征：个位上的数是0的数。 能被3、5整除的数的特征：个位上是0或者5，且各个数位上的数的和能被3整除的数。 能被2、3、5整除的数的特征：个位上的数是0，且各 个数位上的数的和能 被3整除的数。 7、偶数与奇数： 能被2整除的数叫做偶数。如果a是自然数，偶数可以用2a表示。 不能被2整除的数叫做奇数。如果a是自然数，奇数可以用2a－1(2a+1)表示。 奇数 自然数（能否被2整除分为） 偶数8、奇数与偶数的运算特点： 加法：偶+奇=奇偶+偶=偶奇+奇=奇 减法：偶-奇=奇偶-偶=偶奇-奇=偶偶-奇=奇 乘法：奇×偶=偶偶×偶=偶奇×奇=奇 9、在自然数中，无最大的奇数，最小的奇数是1。 在自然数中，无最大的偶数，最小的偶数是2。10、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。 质数——只有两个因数。 自然数（按因数的个数分为）合数——两个以上的因数 1——只有1个因数 11、100以内的质数表： 2 3 5 7和11，13 17和19，23 29 31，37 41和43，47 53 59，61 67 71，73 79 83，89和97。共25个。 12、质因数和分解质因数 每个合数都可以写成几个质因数相乘形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 13、分解质因数的方法： 把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止；然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。 14、一个数的质因数和这个数的因数的关系： 把一个合数分解质因数后，每个质因数都是这个合数的因数；两个或两个以上质因数相乘的积，也是这个合数的因数。 15、公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 整数概念 1、整数的意义：自然数和0都是整数。 2、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除： （1）整除、倍数、约数：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 例如因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 （2）整除的性质： 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、《整除》教案
六年级第一学期第一章数的整除概念
整除的性质和特征
五年级奥数-数的整除
四年级奥数第一讲---数的整除问题
数的整除特征基础篇
第26讲 整数整除的概念和性质
吸收(基本概念)
数的整除特征基础篇
数的整除知识点
(完整word版)数的整除特征专项训练
小六数学第9讲：整除和位值原理(教师版)
整除的概念
数的整除特征47662
传热学基本概念知识点
第九章气体吸收
数的整除特性练习题
(完整word版)数的整除相关概念
整数概念