x x Λ恒成立
令[])1,1(200420032004220041)(-∈??
?
??++??? ??+??? ??=x x g x
x
x
Λ，)(x g 是减函数
∴
2
2003
2004200321)1(=
+++=
<Λg a 18. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是两个互异的点，点P 的坐标由公式???
????
++=++=λλλλ1121
21y y y x x x 确定，当∈λR 时，
则 （ C ） A ．P 是直线AB 上的所有的点 B ．P 是直线AB 上除去A 的所有的点 C ．P 是直线AB 上除去B 的所有点 D ．P 是直线AB 上除去A 、B 的所有点
19. 设12)310(++n （n ∈N ）的整数部分和小数部分分别为I n 和F n ，则F n (F n +I n )的值为（A ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．与n 有关的数
20. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001，0002，0003，…1000，打算从中抽取一个容量为50的
样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 ．0795
21. 设x 、y 、z 中有两条直线和一个平面，已知命题||x y
x z y z ⊥??⊥??
为真命题，则x 、y 、z 中一定为直线的是 ．z
22. 秋收要到了，粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为a 、b 的矩形木板，在屋内的一个墙
角搭一个急需用的粮仓，这个农户在犹豫，是将长为a 的边放在地上，还是将边长为b 的边放在地上，木板又该放在什么位置的时候，才能使此粮仓所能储放的粮食最多。请帮该农户设计一个方案，使粮仓所能储放的粮食最多（即粮仓的容积最大）
设墙角的两个半平面形成的二面角为定值α 。将b 边放在地上，如图所示，则粮仓的容积等于以△ABC 为底面，高为a 的直三棱柱的体积。
由于该三棱柱的高为定值a ，于是体积取最大值时必须△ABC 的面积S 取最大值。 设AB = x ，AC = y ，则由余弦定理有
2222cos b x y xy α=+-≥22cos xy xy α-， 于是，xy ≤2
2(1cos )
b α-，
从而，S =
1sin 2xy α≤22
cot sin 24(1cos )
4
b b α
αα=-。
当且仅当x =y 时，S 取最大值。
故当AB =AC 时，(V b )max =
2cot
24
ab α
。 同理，当a 边放在地上时，(V a )max =
2cot
24
ba α
。
显然，当a ＞b 时，(V a )max ＞(V b )max ；当a ＜b 时，(V a )max ＜(V b )max ；当a =b 时，(V a )max = (V b )max 。 故当a ＞b 时，将a 边放地上，且使底面三角形成以a 为底边的等腰三角形；当b ＞a 时，将b 边放地上，且使底面三角形成以b 为底边的等腰三角形；当a =b 时，无论将a 边还是b 边放在地上均可，只须使底面三角形构成以所放这条边为底边的等腰三角形即可。
23. 已知一个数列{a n }的各项是1或3．首项为1，且在第k 个1和第k +1个1之间有2k -1个3，即1，3，
1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n 项的和为S n ． （Ⅰ）试问第2004个1为该数列的第几项？ （Ⅱ）求a 2004； （Ⅲ）S 2004；
（Ⅳ）是否存在正整数m ，使得S m =2004？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 将第k 个1与第k +1个1前的3记为第k 对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；)3,,3,3,3,1(3
1243
421Λ个共-k 为第k 对，共1+（2k -1）=2k 项；…．故前k 对共有项数为
2+4+6+…+2k =k (k +1)． （Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为 2003(2003+1)+1=4014013（项）．
（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a 2004=3．
A
B
C x y a b α
第22题答图
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是 S 2004=45+3×1959=5922． （Ⅳ）前k 对所在全部项的和为
S k (k +1)=k +3[k (k +1)-k ]=3k 2+k ．
易得，S 25(25+1)=3×252+25=1900，S 26(26+1)=3×262+26=2054，S 651=1901，且自第652项到第702项均为
3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m ，使S m =2004．
24. （Ⅰ）设A 为动椭圆的中心，BD 为过焦点F 的弦，M 为BD 的中点，连接AM 并延长交椭圆于点C ．求
证：四边形ABCD 为平行四边形的充要条件是
a
BD ||为定值且值为23
（其中a 为椭圆的半长轴）．
（Ⅱ）命题（Ⅰ）的结论能推广到双曲线吗？为什么？
（Ⅰ）不妨设椭圆方程为122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)，F (c ，0)为右焦点，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， M (x 0，y 0)，弦
BD 的方程为x = my +c ．
联立两方程得 02)(422222=-++b mcy b y a b m ，于是
2
2
222102a b m mc
b y y y +-=+=，x 0 =
my 0+c 2
2
22a b m c
a +=．由椭圆第二定义得
2
22221222)](2[ ||a b m a c a x x c a a c BD +-=+-?=，于是 -=2|
|a BD 22
222a b m c +．
首先，若四边形ABCD 为平行四边形，则C 的坐标为 (2x 0，2y 0)，将其代入椭圆方程并化简得
22224a b m c +=，由此可得
=a BD ||2
3
． 其次，若=a BD ||23，则2
2224a b m c +=，于是x 02222a b m c a +=c a 42=，c m b a b m mc b y 422
2220-
=+-=，从而，14)2()2(2
2
22220220=+=+c b m a b y a x ，也就是点(2x 0，2y 0)在椭圆上，且M 平分AC ，故ABCD 为平行四边
形．
（Ⅱ）命题（Ⅰ）的结论在双曲线中不成立，因四边形ABCD 不可能为平行四边形 25. 用“斜二测画法”作正三角形ABC 的水平放置的直观图得C B A '''?，则C B A '''?与ABC ?
的面积之比为 （ B ）
A ．
82
B ．
4
2 C ．
2
2 D ．
2
1 26. （理科）设抛物线0(22
>=p px y 为常数）的焦点为F ，准线为l .过F 任作一条直线与
抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点，给出下列四个结论：①|AB|的最小值为2p ；②
△AOB 的面积为定值2
2
p ；③OA ⊥OB ；④以线段AB 为直径的圆与l 相切，其中正确
结论的序号是 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）①④ （文科）长为4的线段AB 的两端点在抛物线x y 22
=上滑动，则线段AB 的中点M 到y
轴的距离的最小值为
2
3 27. 如图所示的正方体中，E 、F 分别是AA 1、D 1C 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，则
空间四边形AGFE 在该正方体面上的射影不可能是
28. 设A 、B 两点到平面α的距离分别为2与6，则线段AB 的中点到平面α的距离为 4或2 29. （理）设函数f(x )是二次函数，已知22)(+='x x f ，且f(x )=0有两个相等实根，问是否存在一个常
数t （O ＜t ＜1)，使得直线x =－t 将函数y=f(x )的图象与坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，若存在，求出此常数t ，若不存在，请说明理由.
（文）已知1,)(log ,2)(log ,)(222
≠==+-=a k a f a f k x x x f 且. （1）求a 、k 之值；
（2）x 为何值时f （log 2x ）有最小值，并求其最小值
解：（理）设f(x )=ax 2+bx +C ，则b ax x f +='2)( （1分） 由f '(x )=2x +2及f(x )=0可
得a =1，b=2，c=1 （2分） 即f(x )=x 2+2x +1 （3分）
假设存在常数t （0＜t ＜1)满足条件，则??++=++--dx
x x dx x x t )12(2)12(2
0201 （6分） 即0230
123|)3
(2|)3(t
x x x x x x --++=++ （8分） 化简得：2t 3－6t 2+6t=1（10分） 即2(t －1)3=－1 解得32
1
1-=t （12分）
（文）（1）由题设知?????=+-=+-k k a a k a a 22
22
2log log 2)(log （3分） 由②得log 2a =0或log 2a =1（4分） 又a ≠1，故a =2 代入①log 2（2+k ）=2得k=2（5分） ∴a =2，k=2 （6分） （2）2log log )(log 22
22+-=x x x f （8分）
D 1 C 1 F A 1
C B 1
G
E A D A B C D B ①
②
4
7
)21(log 22+-=x （10分）
当4
7
)(log ,2,21log min 22===x f x x 时即（12分）
30. 三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524、746
等都是凹数.那么，各个数位上无重复数字的三位凹数共有 个 240 31. 在容量为10的一个样本中，已知S=9，那么 （ D ）
A 、S*的值不可能求出
B 、S*=10
C 、S*=90
D 、S*=310
32. 在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得 到的数能被5或2整除的概率是 （ Ｂ ） A 、0.8 B 、0.6 C 、0.4 D 、0.2
33. 有一台坏天平，两臂长不相等，其余均精确，现用它称物体的重量，将物体放在左右托
盘各称一次，重量分别为a 、b ，则该物体的真实重量为 （ Ｂ ）
A 、2
b a + B 、ab
C 、2
2
2b a + D 、
b
a 112+
34. 设曲线)0(:2
>=x x y c 上的点为),,(000y x P 过P 0作曲线c 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y
轴的直线与曲线c 交于),(111y x P ，然后再过P 1作曲线c 的切线交x 轴于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线c 交于),(222y x P ，依此类推，作出以下各点：P 0，Q 1，P 1，Q 2，P 2，Q 3，…P n ，Q n+1…，已知20=x ，设))(,(N n y x P n n n ∈ （1）求出过点P 0的切线方程； （2）设),(n f x n =求)(n f 的表达式； （3）设,10n n x x x S +++=Λ求
解：（1）4200==x k Θ ∴过点P 0的切线段为)2(44-=-x y 即044=--y x （4分）
（2）n n x k 2=Θ ∴过点P n 的切线方程为)(22
n n n x x x x y -=- （6分）
将)0,(11++n n x Q 的坐标代入方程得：)(212n n n n x x x x -=-+
2
12
11=?=∴++n
n n n x x x x （8分）
故数列}{n x 是首项为2
1,20公比为=x 的等比数列
1)2
1()()21(2)(-=?==∴n n n n f n f x 即 （10分）
（3）
)
2
1
1(4
2
1
1
)
2
1
1(2
1
1
+
+
-
=
?
-
-
=
n
n
n
n
S
S
Θ
（12分）
4
)
2
1
1(4
lim
lim
1
=
-
=
∴
+
∞
→
∞
→n
n
n
n
S（14分）
35.已知图①中的图象对应的函数)
(x
f
y=，则图②中的图象对应的函数
在下列给出的四式中，只可能是（Ｃ）A．|)
(|x
f
y=B．|)
(
|x
f
y=C．|)
|
(x
f
y-
= D．|)
(|x
f
y-
=
36.如图，已知多面体ABC—DEFG中，AB、AC、AD两两
互相垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，
AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为（Ｂ）
A．2 B．4
C．6 D．8
37.（如图）正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1
及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹
是（A ）
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
38.（理）已知双曲线1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x的离心率2
=
e，一条
准线方程为2
2=
x ，直线l 与双曲线右支及双曲线的渐
近线交于A 、B 、C 、D 四点，四个点的顺序如图所示.
（Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）求证：|AB|=|CD|；
（Ⅲ）如果|AB|=|BC|=|CD|，求证：△OBC 的面积为定值.
（文）已知函数)0,0,,,(1)(2
>>∈++==b a R c b a c
bx ax x f y 是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，
其中b ∈N 且f (1)2
5<. （Ⅰ）试求函数f (x )的解析式；
（Ⅱ）问函数f (x )图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标;若不存在，说
明理由.
（理）解（Ⅰ）由已知.2,1.2
2,22
==∴==c a c a a c
∴所求双曲线的方程x 2－y 2=1………………………………………………2分
（Ⅱ）解法一
设l :x =my +b ,(m ≠±1) 由).1,1(m b m b A b
my x x y ---??
?+==得 由).1,1(m b
m b D b
my x x
y +-+??
?+=-=得 )1,1(2
2m bm
m b AD --∴中点坐标为………………………………………………4分
2
212222212012)1(1m
mb
y y b mby y m b
my x y x -=
+∴=-++-???+==-得由 )1,1(2
2m
bm m b BC --∴中点坐标为………………………………………………6分
∴AD 中点与BC 中点为同一点，又A 、B 、C 、D 四点共线，∴|AB|=|CD|.……7分 解法二：
当l 倾斜角为90°时，设l :x =m ,(m >1).
.|||1|||)1,(),1,(),,(),,(222CD m m AB m m C m m B m m D m m A =--=∴----∴……3分
当l 倾斜角不是90°时，设l :y =kx +b ,(k ≠±1). ).1,1(k b
k b A b
kx y x y --??
?+==得 由).
1,1(k b k b D b
kx y x y ++-??
?+=-=得).1,
1(2
2k
b
k bk AD --∴中点坐标为…………4分 由.12)01.(012)1(12
21222222k bk x x k b bkx x k b
kx y y x -=+∴≠-=----???+==-得
).1,1(2
2k
b
k bk BC --∴中点坐标为…………………………………………………6分 ∴AD 中点与BC 中点为同一点，又A 、B 、C 、D 四点共线，∴|AB|=|CD|.……7分 （Ⅲ）设A(a ,a ) D(b ,－b ) a >0, b >0 ∵|AB|=|BC|=|CD|
)2(31
212)2(31212b a b a y b a b a x c c -=+-=+=++=
∴ 即)3
2,32(b
a b a C -+…………………………………………………………………9分
∴点C 在双曲线上 8
9
1)32()32(22=∴=--+∴ab b a b a ……………11分
8
3
312261||||213131==?=??==??ab b a OD OA S S OAD OBC 又……………13分
∴△OBC 的面积为定值.
（文）（Ⅰ）∵f (x )是奇函数 ∴f (―x )=―f (x )
即
0.1
122=∴-=+∴+-+-=++c c bx c bx c bx ax c bx ax ……………………2分
22211)(0
,0b a
bx x b a bx ax x f b a ≥+=+=∴>>Θ，……………………4分
当且仅当，a x 1=
时，等号成立.于是22
22b a b
a
=∴=…………………6分
02522
512512
5
)1(22<+-∴<+<++<
b b b b
c b a f 即得由
解得
11.22
1
==∴∈<x x f 1
)(+=∴…………………………………………………………………………8分
（Ⅱ）设存在一点(x 0,y 0)在y=f (x )图象上,并且关于(1,0)的对称点
(02x -、y 0)也在y =f (x )图象上，…………………………………………………9分
则00
200
02021
)2(1
y x x y x x -=-+-=+…………………………………………11分
关于点
图象上存在两点得消)22,21(),22,21()(2
1.
012002
00--+=∴±==--x f y x x x y
（1，0）对称…………………………………………………………………………13分
39. 对于函数f(x)=ax 2+bx+c （a ≠0）作代换x=g （t ），则不改变函数f(x)的值域的代换是 Ｄ
A ．g （t ）=2t
B ．g(t)=|t |
C ．g(t)=sint
D ．g(t)=log 2t
40. 若将离心率为43的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕着它的左焦点按逆时针方向旋转2
π
后，所得新椭
圆的一条准线方程是3y +14=0，则新椭圆的另一条准线方程是 Ｃ
A ．0143=-y
B ．0233=-y
C ．0503=-y
D ．0323=-y
41. 数列满足条件： ①任意连续二项的和大于零；②任意连续三项的和小于零.
则这样的数列最多有 项. 3
42. 设数列}{n a 的首项a 1=1,前n 项和S n 满足关系
)4,3,2,0(3)32(31Λ=>=+--n t t S t tS n n .
（Ⅰ）求证：数列}{n a 是等比数列；
（Ⅱ）设数列}{n a 的公比是f （t ）作数列}{n b ，使),4,3,2)(1
(
,11
1Λ===-n b f b b n n 求b n 及;lg lim n
n
n b a ∞→
（Ⅲ）求和：.)1(11
43322120+--+-+-=n n n b b b b b b b b B Λ
（I ）证明：由已知得),4,3(3)32(321Λ==+---t t S t tS n n 减去已知式，化得t
t a a n n 33
21+=-.当n =2时，
由已知式及a=1得.
332.332122
t
t a a t t a
+=∴+=
数列{a n }是以1为首项，t
t 332+为公比的等比数列.（4分）（II ）解：
{}
n n n n n b b b b b b ∴+=
+=
=---.3
2
33
2
,111
1
1是以1为首项，32
为公差的等差数列
)
9.(33
2lg 23332lg 12)1(3lim
3
12)332lg(
lim
lg lim ,)332(
3
1
232)
1(11
1
分又t
t t t n n n t t b a t t a n n b n n n n
n n n n n +=++-=++=∴+=+=-+=∞→-∞→∞→-（III ）解：
).
32)(12(9
)1()1(111++-=
--+-k k b b k k k k Θ当k 为偶数时，
)12(9
4
)32)(12(91)12)(12(91)1()1(1112+-=++-+-=
-+-+---k k k k k b b b b k k k k k k
当n 为偶数时，将相邻两项配对，则);3(9
2)]12(1395[9
4+-
=+++++-
=n n n B n
Λ
当n 为奇数时，
21121
267
(1)(2)(21)(23).99
9
n n n n n n B B b b n n n n -+++=+=--++++=
（14分）
43. 设20
()(1)0
x a x f x f x x -?-≤=?->?， 若()f x x =有且仅有两解，则实数a 的取值范围是：2a <
44.
A
