全国2010年10月高等教育高等数学自考试题
2010年1月自学考试00023高等数学(工本)真题试卷及参考答案
2010年1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.在空间直角坐标系中，方程x 2+y 2=2的图形是（ ）A.圆B.球面C.圆柱面D.旋转抛物面2.设函数f(x+y,x-y)=xy2y x 22−,则f(x,y)=（ ） A.22y x xy − B.22y x xy 2− C. 22y x xy 4− D. )y x (2xy 22− 3.设积分区域Ω：x 2+y 2+z 2≤1，三重积分I=⎰⎰⎰Ω+dxdydz )1z (，则（ ） A.I<0B.I=0C.I>0D.I 与z 有关4.微分方程0y 2y 3y =+'−''的通解y=（ ）A.C 1e -x +C 2e 2xB. C 1e -x +C 2e -2xC. C 1e x +C 2e -2xD. C 1e x +C 2e 2x5.下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ） A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+−1n n 1n )1( C. ∑∞=−−3n 1n n ln )1( D. ∑∞=+1n 1n n 32 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 设函数z=u+v, 而u=x+y, v=xy ，则xz ∂∂=___________. 7. 设区域D ：|x|≤1,0≤y ≤1,则二重积分⎰⎰+D 2dxdy )x sin x 1(的值等于___________. 8. 设λ是正常数，并且xy λdx+x λydy 是其个函数u(x,y)的全微分，则λ=___________.9. 微分方程3y y 2y =+'+''的一个特解为y*=___________.10. 函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数为___________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．求过点P （4，-1，2）并且与直线L ：⎩⎨⎧−=−−=−+1z y x 7z y x 平行的直线方程. 12．设函数z=)x ,x y (f ，其中f 是可微函数，求yz ,x z ∂∂∂∂. 13．已知函数z=e 3y (x 2+2y-x)，求y x z 2∂∂∂. 14．求函数f(x,y,z)=xyz-x 2-y 2+3z 在点（-1，-1, 2）处的梯度.15．求曲面z=4-x 2-y 2上平行于平面2x+2y+z-7=0的切平面方程.16．计算二重积分I=⎰⎰+D dxdy )y 2x (，其中D 是由坐标轴和直线x+y=4所围成的区域. 17．计算三重积分I=⎰⎰⎰Ω++dxdydz )z y x(222，其中积分区域Ω：x 2+y 2+z 2≤1.18．计算对弧长的曲线积分⎰+Lds )y 2x 3(，其中L 是连接点（1，0）和（0，1）的直线段. 19．计算对坐标的曲线积分⎰+L xdy ydx ，其中L 是椭圆1b y a x 2222=+的逆时针方向. 20．求微分方程（1+x 2）dy+(1+y 2)dx=0的通解.21．求幂级数∑∞=+1n n 32x 1n n 的收敛半径和收敛区间. 22．设函数f(x)=x+1,x ∈[)ππ−,的傅里叶级数展开式为∑∞=++1n n n 0)nx sin b nx cos a(2a 求系数a 5 .四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．求由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所构成的柱面和平面z=0及x+y+z=7所围成的立体的体积.24．设无穷级数∑∞=1n 2n a 和∑∞=1n 2n b 均收敛，证明无穷级数∑∞=1n n n b a 是绝对收敛.25．设曲线y=y(x)在其上任意点（x,y ）处的切线斜率为yx 1+，且过点（-1，0），求该曲线的方程.。
2010高考数学全国卷1(题题详细解析)
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223i i+=-(A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i ii i +++++-===--+.(2)记cos(80)k -︒=,那么tan 100︒=A.21k k- B. -21k k- C.21k k- D. -21k k-2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】222sin 801cos 801cos (80)1k=-=--=-,所以tan 100tan 80︒=-2sin 801.cos 80k k-=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为m ax 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则a a a=(A) 52(B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a =====(5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式0x y += 1Oy x = y20x y --=xA0:20l x y -=2-2 AA BC DA 1B 1C 1D 1O的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】35533(12)(1)(16128)(1)x x x x x x x +-=+++-故353(12)(1)x x +-的展开式中含x 的项为3303551()1210122C x xC x x x ⨯-+=-+=-,所以x 的系数为-2.(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23B33C 23D637.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D A C D DA C DV V --=,即111133A C D A C D S D O S D D ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则12211133sin 60(2)2222AC D S AC AD a a ∆==⨯⨯=,21122A C D S A D C D a ∆== .所以1312333AC D AC D S D D aD O a S a∆∆===,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则13sin 3D O D D θ==,所以6cos 3θ=.（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b,c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为 (A)32(B)62(C) 3 (D) 69.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a P F e x a e x x c=--=+=+，22000||[)]21aPF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||P F P F F F P F P F +-,即cos 0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)x x x x ++--=+-,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||2y =（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a=，所以a+2b=2a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为 (A) 42-+(B)32-+(C) 422-+ (D)322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，PO=21x +，21sin 1xα=+，||||cos 2P A P B P A P B α∙=⋅ =22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令P A P B y ∙= ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB ∙=-+.此时21x =-.（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233(B)433(C) 23 (D)83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有A B C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =.PABO。
2010年普高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国卷I)真题精品解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i 【答案】A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=【答案】B【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80k=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a=5，789a a a=10，则456aaa = (A)【答案】A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a aa ===10,所以132850a a =, 所以133364564655()(50)a a a a aa a =====(5)35(1(1+-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4ABC DA 1B 1C 1D 1O(6)某校开设A 类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种(7)正方体ABCD-1111A BC D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A3B 3C 23D 3 【答案】D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a 【答案】C【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为【答案】B【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060222=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||y =（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-+3-(C) 4-+3-+【答案】D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+.此时x =（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(C) 【答案】B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max 3V =.绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2010年普通高等学校招生全国统一考试全国大纲Ⅰ卷数学试题文科全解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试全国大纲Ⅰ卷数学试题文科全解析一、填空题：1. 设y=log2x，则方程2^(y+1)+12x-15=0的解为____。
解析：根据题意，得到对数表达式y=log2x。
我们知道，loga(b^c)=clogab，所以原方程可以变形为2^y * 2^1 + 12x - 15 = 0。
化简得：2^y + 2 + 12x - 15 = 0。
再次化简得：2^y + 12x - 13 = 0。
由此，我们可以得到解为y=-3。
2. 设z=log4x，则方程3^z + 2^(z-1) - 20 = 0的解为____。
解析：根据题意，得到对数表达式z=log4x。
我们知道，loga(b^c)=clogab，所以原方程可以变形为4^z + 2^(z-1) - 20 = 0。
化简得：2^2z + 2^(z-1) - 20 = 0。
再次化简得：2^2z + 2^(z-1) - 20 = 0。
由此，我们可以得到解为z=-2。
3. 若函数f(x)=ax^2+3x-b，则f(-2)+f(2)=8的一个解为____。
解析：根据题意，我们可以得到函数表达式f(x)=ax^2+3x-b。
代入-2和2得到f(-2)=(-2)a+3(-2)-b和f(2)=(2)a+3(2)-b。
代入f(x)后，我们可以得到方程(-2)a-6-b+(2)a+6-b=8。
化简得到方程：0a-2b=10。
由此，我们可以得到解为b=-5。
二、选择题：1. 若函数f(x)的图像关于x轴对称，则f(x)可能是下列哪个函数类型？A. 二次函数B. 一次函数C. 绝对值函数D. 导数函数解析：根据题意，我们可以得出函数f(x)的图像关于x轴对称。
符合这个条件的函数类型是二次函数，因此选项A正确。
2. 若α、β是方程x^2-3x-1=0的两根，那么方程x^2-3x+1=0的两根α^2和β^2之和为 ____。
A. -3B. -2C. 3D. 4解析：根据题意，我们可以利用Vieta's formulas，即两根的和等于系数 b/a 的相反数。
2010年全国1卷高考数学(含答案)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 3．第I 卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=球 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()( 一、选择题（1）复数=-+i i 3223 （A ）i （B ）i - （C ）i 1312-（D ）i 1312+ （2）记k =︒-)80cos(，那么=︒100tan（A ）k k 21- （B ）-k k 21- （C ）21k k- （D ）-21k k -（3）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤.02,0,1y x y x y 则y x z 2-=的最大值为 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（4）已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，634987321,10,5a a a a a a a a a 则===（A ）25 （B ）7 （C ）6 （D ）24（5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（A ）-4 （B ）-2 （C ）2 （D ）4（6）某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（A ）30种 （B ）35种 （C ）42种 （D ）48种（7）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为（A ）32 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）设2135,2ln ,2log -===c b a ，则 （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）a b c <<（9）已知F 1、F 2为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，︒=∠6021PF F ，则P 到x 轴的距离为（A ）23 （B ）26 （C ）3 （D ）6（10）已知函数)()(,0.|lg |)(b f a f b a x x f =<<=且若，则b a 2+的取值范围是（A ）),22(+∞ （B ）[)+∞,22 （C ）),3(+∞ （D ）[)+∞,3（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA ⋅的最小值为（A ）24+- （B ）23+- （C ）224+- （D ）223+-（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（A ）332 （B ）334 （C ）32 （D ）338 绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
全国2010年4月高等教育高等数学自考试题
全国2010年4月自学考试高等数学试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．函数y=2+ln(x +3)的反函数是（ ）A ．y=e x +3-2B ．y=e x +3+2C ．y=e x -2-3D ．y=e x -2+32．函数x x f(x)1sin =在点x =0处（ ）A ．有定义但无极限B ．有定义且有极限C ．既无定义又无极限D ．无定义但有极限3．设函数f (x )可导，且1Δ)()Δ4(lim 000Δ=-+→x x f x x f x ，则=')(0x f () A ．0 B ．41C ．1D ．44．对于函数f (x ),下列命题正确的是（ ）A ．若x 0为极值点，则0)(0='x fB ．若0)(0='x f ，则x 0为极值点C ．若x 0为极值点，则0)(0=''x fD ．若x 0为极值点且)(0x f 存在，则0)(0='x f5．若cos2x 是g (x )的一个原函数，则（ ）A ．⎰+=C x x x g 2cos d )(B ．⎰+=C x g x x )(d 2cosC ．⎰+='C x x x g 2cos d )(D ．⎰+='Cx g x x )(d )2(cos二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．函数)2ln(5)(-=x x f 的定义域是 ．7．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=0 , 3 0 , 0 0 , 3)(x x x x f ，则=→)(lim 1x f x ． 8．设函数x e y tan =,则='y ．9．曲线y=x 2+1在点（1，2）处的切线方程为 ．10．函数x x x f +=3)(的单调增加区间为 ．11．已知x =4是函数q px x x f ++=2)(的极值点，则p = ．12．设商品的收益R 与价格P 之间的关系为R =6500P -100P 2，则收益R 对价格P 的弹性为 ．13．若)(x f 的一个原函数为ln x ,则=')(x f ．14．设函数x x x f +=)(，则⎰='dx x f )( ．15．设函数v u w w v u w v u f ++-=)(),,(，则=-+),,(xy y x y x f ．三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16．设x x f =)1(，求)(x f '．17．求函数x x x f 3)(3-=的极值．18．已知过曲线)(x f y =上任意一点（x ,y ）处的切线斜率为e 2x ，且曲线经过点（0，23），求该曲线方程． 19．计算定积分⎰-=5 2 1dx x xI ．20．设函数z =z (x ,y )是由方程z +e z =xy 所确定的隐函数，求全微分d z ．四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-+=0,sin 0,10,11)(22x x ax x x b x x x f ，试确定常数a 和b 的值，使得)(x f 在x =0处连续． 22．设)(x f 的一个原函数为2x e ，求⎰'dx x f x )(． 23．计算二重积分⎰⎰=Dy x xy I d d ，其中D 是由直线y =x ,y =5x ,x =1所围成的平面区域．五、应用题（本题9分）24．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，价格分别为P 1和P 2，销售量分别为Q 1和Q 2；需求函数分别为Q 1=24-0.2P 1,Q 2=10-0.05P 2,总成本函数为C=35+40(Q 1+Q 2)．(1)求总收益R 与销售价格P 1,P 2的函数关系;(2)求总成本C 与销售价格P 1,P 2的函数关系;(3)试确定销售价格P 1,P 2，以使该厂获得最大利润．六、证明题（本题5分）25．证明：⎰⎰=a 0 0 353)(31)(a dx x xf dx x f x ．。
2010年高考全国卷I数学(文)试题答案详解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷I 文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)2-12 (C)12 (D) 21.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos 602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a === 10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====(5)43(1)(1x -的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭x +y20y -=2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a a=+1由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则 12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8AB C DA 1B 1C 1D 1 O8.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +- ()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF = 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆===== 12||||PF PF = 4（9）正方体ABCD -1111A B C D中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）（B（C ）23 （D 9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD a ∆==⨯= ,21122ACD SAD CD a ∆== . 所以131A C D A C D S D D D O a S ∆∆= ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos O O O OD OD ∠=== （10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e, 3221log log 2e <<< ，32211112log log e <<<； c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-+3-(C) 4-+3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙= ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+此时x =【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x x x--∙==+-≥ 【解析3】建系：圆的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
全国2010年4月高等教育高等数学(工专)自考试题
全国2010年4月高等教育高等数学(一)自考试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.函数y=2+ln( +3)的反函数是( )全国2010年4月高等教育高等数学(一)自考试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.函数y=2+ln( +3)的反函数是( )一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.中共中央领导真正认识到马克思主义中国化这个问题重要性的会议是（）A.瓦窑堡会议B.遵义会议C.中共六届六中全会D.中共七大2.毛泽东思想初步形成于（）A.中国共产党创建时期B.大革命时期C.土地革命战争时期D.遵义会议后到抗日战争时期3.邓小平理论形成的现实依据是（）A.我国改革开放和现代化建设的实践B.社会主义建设正反两个方面的历史经验总结C.和平与发展D.马克思列宁主义、毛泽东思想4.邓小平明确“解放思想、实事求是”思想路线的文献是（）A.《完整地准确地理解毛泽东思想》B.《高举毛泽东思想旗帜，坚持实事求是》C.《解放思想，实事求是，团结一致向前看》D.《解放思想，独立思考》5.中国的红色政权能够存在和发展的最根本原因是（）A.人民大众的广泛参与B.大革命存留的政治影响和全国革命形势继续向前发展C.相当力量正式红军的存在、共产党组织的坚强有力及政策的正确D.中国是一个政治经济发展极不平衡的半殖民地半封建大国的基本国情6.过渡时期总路线的主体是（）A.对农业的社会主义改造B.对手工业的社会主义改造C.对资本主义工商业的社会主义改造D.实现国家的社会主义工业化7.邓小平明确提出社会主义本质的著名论断是在（）A.党的十二大上B.党的十三大上C.党的十四大上D.1992年南方谈话中8.保持党的先进性的根本体现和根本要求是（）A.始终代表中国先进生产力的发展要求B.始终代表中国最广大人民群众的利益C.始终代表中国先进文化的发展方向D.始终代表社会历史的前进方向9.我们党全面阐述社会主义初级阶段理论是在（）A.党的十一届三中全会邓小平讲话中B.党的十一届六中全会《关于建国以来党的若干历史问题的决议》中C.党的十二大报告中D.党的十三大报告中10.党的十五大在邓小平理论指导下，制定了党在社会主义初级阶段的（）A.基本路线B.基本纲领C.基本方针D.基本政策11.邓小平指出：“改革是中国的第二次革命”，这句话是从（）A.扫除发展生产力的障碍这个意义上说的B.对政治、经济、文化进行根本性变革的意义上说的C.从完善我国生产关系上说的D.根本上改变束缚我国生产力发展的经济体制上说的12.我国经济特区的“特”在于实行特殊的（）A.政治制度B.经济制度C.政治制度和经济制度D.经济政策和经济管理体制13.中共十六大报告指出，21世纪头20年将是（）A.可持续发展阶段B.建立现代企业制度的阶段C.科教兴国的阶段D.全面建设小康社会的阶段14.速度、结构、效益、质量是国民经济发展中的四个重要因素，其中处于核心地位的是（）A.速度B.结构C.效益D.质量15.实行何种所有制结构，是由（）A.社会制度的性质决定的B.生产关系的性质决定的C.人们的社会关系决定的D.生产力的状况决定的16.社会主义市场经济理论认为，计划经济和市场经济属于（）A.不同的资源配置方式B.不同的经济增长方式C.不同的经济制度范畴D.不同的生产关系范畴17.公有制的实现形式，具体的是指（）A.社会主义经济的管理体制和管理制度B.公有资产的所有、占有、支配和使用的关系C.公有资产的组织形式和经营方式D.公有资产的最终归属问题18.发展社会主义民主、建设社会主义政治文明的内在要求是（）A.实现社会主义的自由B.尊重和保障****C.实现社会主义的民主D.无产阶级专政19.我国的政党制度是（）A.共产党和民主党派联合执政的多党制度B.共产党和民主党派的多党合作制度C.共产党领导的多党合作和政治协商制度D.共产党的一党制度20.社会主义核心价值体系的重要基础是（）A.马克思主义思想B.民族精神C.时代精神D.社会主义荣辱观21.发展社会主义先进文化的重要内容和中心环节是（）A.培育“四有”公民B.建立社会主义核心价值体系C.加强思想道德建设D.加强教育科学文化建设22.继续推进社会主义和谐社会建设要着力解决的问题是（）A.加强煤矿的安全生产工作问题B.群众最关心、最直接、最现实的利益问题C.增强自主创新能力问题D.保持经济快速持续、稳定健康发展问题23.构建社会主义和谐社会，保障社会公平正义必须加强（）A.制度建设B.法制建设C.文化建设D.领导干部队伍建设24.被邓小平称赞为“一部具有历史意义和国际意义的法律”，“是一个具有创造性的杰作”的是（）A.《中英联合声明》B.《中华人民共和国香港特别行政区基本法》C.《中葡联合声明》D.《中华人民共和国澳门特别行政区基本法》25.中国在对外政策中最根本的是（）A.促进世界和平B.独立自主C.不称霸D.不结盟26.解决我国民族问题的基本原则是（）A.实行民族区域自治B.坚持民族平等、团结和共同繁荣C.尊重各民族的风俗习惯D.尊重和保护各民族的宗教信仰自由27.2009年6月1日，纽约股市开盘之前美国汽车业的百年老店正式向法院申请破产保护，它是（）A.通用汽车公司B.福特汽车公司C.克莱斯勒汽车公司D.美国本田汽车公司28.2009年9月15日至18日，在北京举行了（）A.中共十七届二中全会B.中共十七届三中全会C.中共十七届四中全会D.中共十七届五中全会29.2009年10月16日晚，中华人民共和国第十一届运动会在（）A.广东省广州市隆重开幕B.山东省济南市隆重开幕C.北京市隆重开幕D.上海市隆重开幕30.2009年11月5日，我国大陆第一条海底隧道全线贯通，它是（）A.大连至烟台海底隧道B.普陀沈家门海底隧道C.厦门翔安海底隧道D.琼州海峡海底隧道二、多项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中至少有两个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
浙江2010年10月办公自动化设备自考试题
2010年上海高考数学卷（文科）试题选讲智康VIP 事业部 张 骏2010-6-12一、 填空题3．行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 。
分析：依据行列式的定义直接可求出该行列式的解为221cos sin cos6632πππ-==。
行列式的计算这几年被添加到高中数学教学大纲中，对于这一内容的考核往往与复数、三角等的计算相结合。
7．圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。
分析：将圆C 的方程化为标准式，即()()22121x y -+-=，则该圆是以()1,2为圆心、1为半径的圆。
带入点到直线的距离公式d =，可求出3d =。
此类问题一般将圆的一般式方程化为标准式方程。
当然，在解析几何中若需将圆锥曲线与直线方程联立时，则往往不需要化为标准式。
9．函数()()3log 3f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。
分析：原函数与反函数的图像关于直线y x =对称，则本题只需求出与原函数的图像与x 轴的交点关于直线y x =对称的点即可。
易知原函数的图像与x 轴的交点为()2,0-，则所求点为()0,2-。
本题依据反函数的性质直接求解，因而无需求出反函数。
二、 选择题17．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） A ．()0,1 B ．()1,1.25 C ．()1.25,1.75 D ．()1.75,2分析：易知()lg 2f x x x =+-在其定义域内为单调递增函数，则当0x x >时，()0f x >；当0x x <时，()0f x <。
()1.750f <，()20f >，故0x 属于区间()1.75,2。
答案为D 。
18．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形分析：由正弦定理知ABC ∆的三边满足::5:11:13a b c =。
2010年专升本《高等数学》试卷
2010年福建省高职高专升本科入学考试 高等数学 试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 函数2sin(1)()1x f x x ，()x 是（ ）A. 有界函数B. 奇函数C. 偶函数D. 周期函数 2. 函数2()f x x 与()g x x 表示同一函数，则他们的定义域是（ ） A. (,0] B. [0,) C.(,) D. (0,)3. 设函数()g x 在 xa 连续而()()()f x x a g x ，则'()f a =（ ）A. 0B. '()g a C. ()g a D. ()f a 4. 设163()351f x xxx ，则17(1)f （ ）A. 17！B. 16！C. 15！D. 0 5. 0x是函数22()xxf x e 的（ ）A. 零点B. 驻点C. 极值点D. 非极值点 6. 设2(),x xf x dx e C 则()f x =（ ） A. 2x xeB. 2x xeC.22x eD. 22x e7. 2(cos )b ad x dx =（ ）（其中a ，b 为常数） A. 2sin x dx B. 2cos x dx C. 0 D.22cos x x dx8. 广义积分21xxe dx e （ ）A. πB. 2πC. 4π D. 0 9. 直线 211:113x y z L 与平面 :5670x yz 的位置关系是 （ ）A. L π在上B. LC. L π与平行D.L π与相交，但不垂直10. 微分方程'23'()30x y y y x 的阶数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11. 函数2ln(1)y x 的反函数是 12. 320355lim sin 53x x x x x= 13. 曲线cos yx 上点132π（,）处的法线的斜率等于14. 若()f x 在0x x 处可导，且000()(7)lim3hf x f x h h，则'0()f x =15. 函数()arctan [0,1]f x x 在上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是16. 曲线x yxe 的拐点是 17. 设()F x 为可微函数，则()dF x18. 定积分42xdx 19. 微分方程'2(1)yx y 的通解是20. 设向量{1,3,2}a与向量{2,6,},b 则λ=三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分） 21. 设函数0()310xke xf x x x在x=0处连续，试求常数k22. 计算极值0ln()limcos xt xte dtx x23. 求由方程ln 2xyey所确定的隐函数()y y x 的一阶导数dydx24. 求由参数方程cos sin xty t 所确定的函数()y y x 的二阶导数2d ydx25. 求不定积分2arctan x xdx ⎰26. 求定积分231(1)dx x x27. 求微分方程'23xy y x ++的通解。
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浙江省2010年10月自学考试高等数学四试题
课程代码：06604
本试卷分A、B卷，使用2007年版本教材的考生请做A卷，使用2009年版本教材的考生请做B卷；若A、B
两卷都做的，以B卷记分。
A卷
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未
选均无分。
1.函数y=|x|在点x=0处( )
A.可导 B.既不可导也不连续
C.无意义 D.连续但不可导
2.下列极限中正确的是( )
A.xxxsinlim0 =∞ B.xxxsinlim0=1
C.xxxsinlim=1 D.xxxtanlim=1
3.函数f (x)=x sinx1在点x=0处( )
A.有定义且有极限 B.无定义且无极限
C.无定义但有极限 D.有定义但无极限
4.可微函数f (x)在x=x0处取得极大值，则必有( )
A.f ′(x0)=0 B.f ″(x0)>0
C.f ′(x0)=0且f ″(x0)>0 D.f ′(x0)不存在
5.(x0cos2td t)′=( )
A.cos2t B.cos2x
C.sin2t D.sin2x
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.已知f (x)=10x2,f ′(1)=___________.
7.极限444lim222xxxx=___________.
8.极限xxx10)1(lim=___________.
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9.函数f (x)=sinx1的间断点是___________.
10.曲线y=ln x的铅直渐近线方程是___________.
11.函数y=arcsin(1-3x)的导数是___________.
12.函数f (x)=x4的单调递增区间是___________.
13.不定积分)1(d22xxx =___________.
14.设函数z=x2y-xy3,则yz=___________.
15.定积分113xcos xdx=___________.
三、计算题（本大题共9小题，16—22题，每小题6分，23—24题，每小题5分，共52分）
16.设y=x4ln x,求dy.
17.求2sinxdx.
18.求极限xxxx)12(lim.
19.设y=f (x)是由方程xy=1-ln y确定的函数，求y′.
20.求不定积分xx2lndx.
21.计算定积分20dxxex.
22.已知函数f (x)=0 ,0 ,1xxbxex在x=0处连续，求b的值.
23.求函数z=4xy3+5x2y6的全微分.
24.求由曲线y=x和曲线y=x所围成的平面图形的面积.
四、应用题（本大题8分）
25.某企业欲制造一个容积为V的圆柱形油桶，问如何设计底面半径和高度可使用料最省?
B卷
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未
选均无分。
1.函数y=232xx的定义域是( )
A.(-∞，2］ B.(0,2)
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C.(-∞,0)∪(0,2) D.(-∞,0)
2.函数y=ln21(x- x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数，又是偶函数
3.y=sin(x+2),则y′=( )
A.cos(x+2) B.cos x
C.-cos(x+2) D.-cos x
4.xlim arctan(x+1)=( )
A.0 B.+∞
C.2 D.-2
5.xxxxx431lim22 =( )
A.1 B.31
C.∞ D.2
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.xxx11lim =___________.
7.设y=cot x+x2,则dy=___________.
8.函数y=ex-x+2的单调递减区间为___________.
9.设y=x2-5x+6,则y″=___________.
10.2xexdx=___________.
11.曲线y=xe1的渐近线方程为___________.
12.已知f (x)=xtte02)( dt,则f ′(x)=___________.
13.11)2(tanxdx=___________.
14.曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为___________.
15.1011xdx=___________.
三、计算题（本大题共9小题，16—19题，每小题5分，20—22题，每小题6分，23—24题，每小题7分,共52
分）
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16.求极限xxx2sinlim0.
17.设f (x)=ln sec x+e2x,求f ′(x).
18.求不定积分.dcos12xxxx
19.求定积分10211xdx.
20.求函数y=(x3+cos2x)5的导数.
21.求不定积分xarctan2xdx.
22.求定积分31)(lnxxdx.
23.求函数u=x3+2sin y+eyz的全微分.
24.求不定积分abxbax)()1(dx，其中a和b为正常数.
四、应用题（本大题8分）
25.计算y=x2与y=2x所围成的平面图形的面积.